التكامل بالأجزاء

يمكن استنتاج النظرية على النحو التالي. بالنسبة لدالتين قابلتين للتفاضل باستمرار${\displaystyle u(x)}$و${\displaystyle v(x)}$وتنص قاعدة الضرب على ما يلي :

$${\displaystyle {\Big (}u(x)v(x){\Big )}'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).}$$

دمج كلا الجانبين فيما يتعلق بـ${\displaystyle x}$،

$${\displaystyle \int {\Big (}u(x)v(x){\Big )}'\,dx=\int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx,}$$

وبملاحظة أن التكامل غير المحدد هو دالة أصلية، نحصل على

$${\displaystyle u(x)v(x)=\int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx,}$$

حيث نهمل كتابة ثابت التكامل . وهذا يعطينا صيغة التكامل بالتجزئة :

$${\displaystyle \int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx,}$$

أو من حيث التفاضلات${\displaystyle du=u'(x)\,dx}$،${\displaystyle dv=v'(x)\,dx,\quad }$

$${\displaystyle \int u(x)\,dv=u(x)v(x)-\int v(x)\,du.}$$

يُفهم هذا على أنه مساواة بين دالتين مع إضافة ثابت غير محدد إلى كل طرف. بأخذ الفرق بين كل طرف من القيمتين${\displaystyle x=a}$و${\displaystyle x=b}$وبتطبيق النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل نحصل على الصيغة التكاملية المحددة: $${\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx.}$$ التكامل الأصلي${\displaystyle \int uv'\,dx}$يحتوي على المشتقة v' ؛ لتطبيق النظرية، يجب إيجاد v ، وهي الدالة الأصلية لـ v' ، ثم حساب التكامل الناتج.${\displaystyle \int vu'\,dx.}$

ليس من الضروري${\displaystyle u}$و${\displaystyle v}$أن تكون قابلة للتفاضل باستمرار. يعمل التكامل بالتجزئة إذا${\displaystyle u}$هي مستمرة تمامًا والدالة المحددة${\displaystyle v'}$قابلة للتكامل وفقًا لمعيار لوبيغ (ولكن ليس بالضرورة متصلة). ^{[ 3 ]} (إذا${\displaystyle v'}$إذا كانت هناك نقطة انقطاع، فإن الدالة الأصلية لها${\displaystyle v}$قد لا يكون لها مشتق عند تلك النقطة.)

إذا لم تكن فترة التكامل مضغوطة ، فليس من الضروري${\displaystyle u}$أن يكون متصلاً بشكل مطلق في الفترة بأكملها أو لـ${\displaystyle v'}$أن تكون قابلة للتكامل وفقًا لمعيار ليبيغ في الفترة، كما في مثالين (حيث${\displaystyle u}$و${\displaystyle v}$ستظهر الدوال المتصلة والقابلة للتفاضل باستمرار. على سبيل المثال، إذا

$${\displaystyle u(x)=e^{x}/x^{2},\,v'(x)=e^{-x}}$$

${\displaystyle u}$ليست متصلة بشكل مطلق على الفترة [ 1، ∞) ، ولكن مع ذلك:

$${\displaystyle \int _{1}^{\infty }u(x)v'(x)\,dx={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{1}^{\infty }-\int _{1}^{\infty }u'(x)v(x)\,dx}$$

طالما${\displaystyle \left[u(x)v(x)\right]_{1}^{\infty }}$يُقصد بذلك حد${\displaystyle u(L)v(L)-u(1)v(1)}$مثل${\displaystyle L\to \infty }$وطالما أن الحدين على الجانب الأيمن محدودان. هذا صحيح فقط إذا اخترنا${\displaystyle v(x)=-e^{-x}.}$وبالمثل، إذا

$${\displaystyle u(x)=e^{-x},\,v'(x)=x^{-1}\sin(x)}$$

${\displaystyle v'}$ليست قابلة للتكامل وفقًا لمعيار ليبيغ على الفترة [ 1، ∞) ، ولكن مع ذلك

$${\displaystyle \int _{1}^{\infty }u(x)v'(x)\,dx={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{1}^{\infty }-\int _{1}^{\infty }u'(x)v(x)\,dx}$$ بنفس التفسير.

ويمكن للمرء أيضاً أن يتوصل بسهولة إلى أمثلة مماثلة حيث${\displaystyle u}$و${\displaystyle v}$ليست قابلة للتفاضل بشكل مستمر.

علاوة على ذلك، إذا${\displaystyle f(x)}$هي دالة ذات تغير محدود على القطعة${\displaystyle [a,b],}$و${\displaystyle \varphi (x)}$قابلة للتفاضل على${\displaystyle [a,b],}$ثم

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\varphi '(x)\,dx=-\int _{-\infty }^{\infty }{\widetilde {\varphi }}(x)\,d({\widetilde {\chi }}_{[a,b]}(x){\widetilde {f}}(x)),}$$

أين${\displaystyle d(\chi _{[a,b]}(x){\widetilde {f}}(x))}$يشير إلى المقياس الموقّع المقابل للدالة ذات التباين المحدود${\displaystyle \chi _{[a,b]}(x)f(x)}$، والوظائف${\displaystyle {\widetilde {f}},{\widetilde {\varphi }}}$هي امتدادات لـ${\displaystyle f,\varphi }$ل${\displaystyle \mathbb {R} ,}$والتي تتميز على التوالي بتغير محدود وقابلية للتفاضل.

بإجراء التكامل لقاعدة الضرب لثلاث دوال مضروبة،${\displaystyle u(x)}$،${\displaystyle v(x)}$،${\displaystyle w(x)}$، يعطي نتيجة مماثلة:

$${\displaystyle \int _{a}^{b}uv\,dw\ =\ {\Big [}uvw{\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}uw\,dv-\int _{a}^{b}vw\,du.}$$

بشكل عام، بالنسبة لـ${\displaystyle n}$عوامل

$${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}u_{i}(x)\right)'\ =\ \sum _{j=1}^{n}u_{j}'(x)\prod _{i\neq j}^{n}u_{i}(x),}$$

مما يؤدي إلى

$${\displaystyle \left[\prod _{i=1}^{n}u_{i}(x)\right]_{a}^{b}\ =\ \sum _{j=1}^{n}\int _{a}^{b}u_{j}'(x)\prod _{i\neq j}^{n}u_{i}(x).}$$

التكامل بالتجزئة هو أسلوب استدلالي وليس عملية آلية بحتة لحل التكاملات؛ فعند وجود دالة واحدة للتكامل، تتمثل الاستراتيجية المعتادة في فصل هذه الدالة بعناية إلى حاصل ضرب دالتين u ( x ) و v ( x ) بحيث يكون حساب التكامل المتبقي من صيغة التكامل بالتجزئة أسهل من حساب الدالة الأصلية. يوضح الشكل التالي أفضل استراتيجية يمكن اتباعها:

$${\displaystyle \int uv\,dx=u\int v\,dx-\int \left(u'\int v\,dx\right)\,dx.}$$

في الطرف الأيمن، تم اشتقاق u وتكامل v ؛ لذا من المفيد اختيار u كدالة تتبسط عند اشتقاقها، أو اختيار v كدالة تتبسط عند تكاملها. كمثال بسيط، انظر إلى:

$${\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\,dx\,.}$$

بما أن مشتقة ln( x ) هي 1 / x ، فإن الجزء (ln(x)) هو u ؛ وبما أن الدالة الأصلية لـ 1 / x² هي -1 / x ، فإن الجزء ¹ / x² هو ^v . وبذلك ، تصبح الصيغة كالتالي :

$${\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\,dx=-{\frac {\ln(x)}{x}}-\int {\biggl (}{\frac {1}{x}}{\biggr )}{\biggl (}-{\frac {1}{x}}{\biggr )}\,dx\,.}$$

يمكن إيجاد الدالة الأصلية لـ − 1 / x 2 باستخدام ^قاعدة القوة ، وهي 1 / x ، مما يجعل التكامل النهائي

$${\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\,dx=-{\biggl (}{\frac {\ln(x)+1}{x}}{\biggr )}+C,}$$

حيث C هو ثابت التكامل .

بدلاً من ذلك، يمكن اختيار u و v بحيث يتبسط حاصل ضرب u ′ (∫ v dx ) نتيجةً للاختزال. على سبيل المثال، لنفترض أننا نرغب في إجراء التكامل التالي: 

$${\displaystyle \int \sec ^{2}(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\,dx.}$$

إذا اخترنا u ( x ) = ln(|sin( x )|) و v ( x ) = sec²x ^، فإن u تشتق إلى${\displaystyle {\frac {1}{\tan x}}}$باستخدام قاعدة السلسلة، وتكامل v يساوي tan x ؛ لذا فإن الصيغة تعطي:

$${\displaystyle \int \sec ^{2}(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\,dx=\tan(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}-\int \tan(x)\cdot {\frac {1}{\tan(x)}}\,dx\ .}$$

يتبسط التكامل إلى 1، لذا فإن الدالة الأصلية هي x . غالباً ما يتطلب إيجاد تركيبة مبسطة إجراء تجارب.

في بعض التطبيقات، قد لا يكون من الضروري التأكد من أن التكامل الناتج عن التكامل بالتجزئة له شكل بسيط؛ على سبيل المثال، في التحليل العددي ، قد يكفي أن يكون له مقدار صغير وبالتالي يساهم فقط بحد خطأ صغير. تُوضَّح بعض التقنيات الخاصة الأخرى في الأمثلة أدناه.

جداء واليس اللانهائي لـ${\displaystyle \pi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)\\[6pt]&={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdot \;\cdots \end{aligned}}}$$

يمكن اشتقاقها باستخدام التكامل بالتجزئة .

دالة غاما هي مثال على دالة خاصة ، تُعرَّف على أنها تكامل غير محدود لـ${\displaystyle z>0}$يوضح التكامل بالتجزئة أنه امتداد لدالة المضروب:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{z-1}dx\\[6pt]&=-\int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,d\left(e^{-x}\right)\\[6pt]&=-{\Biggl [}e^{-x}x^{z-1}{\Biggl ]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }e^{-x}d\left(x^{z-1}\right)\\[6pt]&=0+\int _{0}^{\infty }\left(z-1\right)x^{z-2}e^{-x}dx\\[6pt]&=(z-1)\Gamma (z-1).\end{aligned}}}$$

منذ

$${\displaystyle \Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}\,dx=1,}$$

متى${\displaystyle z}$هو عدد طبيعي، أي${\displaystyle z=n\in \mathbb {N} }$بتطبيق هذه الصيغة بشكل متكرر نحصل على المضروب :${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}$

يُستخدم التكامل بالتجزئة بكثرة في التحليل التوافقي ، وخاصةً تحليل فورييه ، لإثبات أن التكاملات المتذبذبة بسرعة ذات الدوال المكاملة السلسة تتلاشى بسرعة . وأكثر الأمثلة شيوعًا على ذلك هو استخدامه في إثبات أن تلاشي تحويل فورييه للدالة يعتمد على سلاسة تلك الدالة، كما هو موضح أدناه.

تتمثل إحدى استخدامات التكامل بالتجزئة في نظرية المؤثرات في أنه يُظهر أن −∆ (حيث ∆ هو مؤثر لابلاس ) هو مؤثر موجب على${\displaystyle L^{2}}$(انظر إلى فضاء L ^p ). إذا${\displaystyle f}$إذا كان الدعم سلسًا ومدمجًا، فباستخدام التكامل بالتجزئة، نحصل على

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle -\Delta f,f\rangle _{L^{2}}&=-\int _{-\infty }^{\infty }f''(x){\overline {f(x)}}\,dx\\[5pt]&=-\left[f'(x){\overline {f(x)}}\right]_{-\infty }^{\infty }+\int _{-\infty }^{\infty }f'(x){\overline {f'(x)}}\,dx\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }\vert f'(x)\vert ^{2}\,dx\geq 0.\end{aligned}}}$$

• تحديد الشروط الحدية في نظرية ستورم-ليوفيل
• اشتقاق معادلة أويلر-لاغرانج في حساب التفاضل والتكامل.

يمكن تلخيص العملية الأساسية للصيغة المذكورة أعلاه في جدول؛ وتسمى الطريقة الناتجة "التكامل الجدولي". ^{[ 5 ]}

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك التكامل

$${\displaystyle \int x^{3}\cos x\,dx\quad }$$وخذ${\displaystyle \quad u^{(0)}=x^{3},\quad v^{(n)}=\cos x.}$

ابدأ بإدراج الوظيفة في العمود أ${\displaystyle u^{(0)}=x^{3}}$ومشتقاتها اللاحقة${\displaystyle u^{(i)}}$حتى الوصول إلى الصفر. ثم اذكر الدالة في العمود B${\displaystyle v^{(n)}=\cos x}$وتكاملاتها اللاحقة${\displaystyle v^{(n-i)}}$حتى يصبح حجم العمود B مساوياً لحجم العمود A. والنتيجة هي كما يلي:

# أنا	لافتة	أ: المشتقات${\displaystyle u^{(i)}}$	ب: التكاملات${\displaystyle v^{(n-i)}}$
0	+	${\displaystyle x^{3}}$	${\displaystyle \cos x}$
1	-	${\displaystyle 3x^{2}}$	${\displaystyle \sin x}$
2	+	${\displaystyle 6x}$	${\displaystyle -\cos x}$
3	-	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle -\sin x}$
4	+	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \cos x}$

يُعطي حاصل ضرب عناصر الصف i من العمودين A و B ، مع الإشارة المناسبة، التكاملات المطلوبة في الخطوة i خلال عملية التكامل بالتجزئة المتكررة. عند الخطوة i = 0، نحصل على التكامل الأصلي. وللحصول على النتيجة الكاملة في الخطوة i > 0 ، يجب إضافة التكامل i إلى جميع نواتج الضرب السابقة ( 0 ≤ j < i ) للعنصر j من العمود A والعنصر ( j + 1) من العمود B (أي، ضرب العنصر الأول من العمود A في العنصر الثاني من العمود B، والعنصر الثاني من العمود A في العنصر الثالث من العمود B، وهكذا...) مع الإشارة المعطاة للعنصر j . تتوقف هذه العملية تلقائيًا عندما يكون حاصل الضرب، الذي يُعطي التكامل، صفرًا ( i = 4 في المثال). والنتيجة الكاملة هي التالية (مع تبديل الإشارات في كل حد):

$${\displaystyle \underbrace {(+1)(x^{3})(\sin x)} _{j=0}+\underbrace {(-1)(3x^{2})(-\cos x)} _{j=1}+\underbrace {(+1)(6x)(-\sin x)} _{j=2}+\underbrace {(-1)(6)(\cos x)} _{j=3}+\underbrace {\int (+1)(0)(\cos x)\,dx} _{i=4:\;\to \;C}.}$$

وهذا ينتج عنه

$${\displaystyle \underbrace {\int x^{3}\cos x\,dx} _{\text{step 0}}=x^{3}\sin x+3x^{2}\cos x-6x\sin x-6\cos x+C.}$$

كما أن التكامل الجزئي المتكرر مفيد أيضًا، عند إجراء التفاضل والتكامل للدوال على التوالي.${\displaystyle u^{(i)}}$و ${\displaystyle v^{(n-i)}}$ ينتج عن حاصل ضربهما مضاعف للدالة الأصلية. في هذه الحالة، قد ينتهي التكرار أيضًا بهذا المؤشر i. يمكن أن يحدث هذا، كما هو متوقع، مع الدوال الأسية والمثلثية. على سبيل المثال، انظر

$${\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx.}$$

# أنا	لافتة	أ: المشتقات${\displaystyle u^{(i)}}$	ب: التكاملات${\displaystyle v^{(n-i)}}$
0	+	${\displaystyle e^{x}}$	${\displaystyle \cos x}$
1	-	${\displaystyle e^{x}}$	${\displaystyle \sin x}$
2	+	${\displaystyle e^{x}}$	${\displaystyle -\cos x}$

في هذه الحالة، فإن حاصل ضرب الحدود في العمودين A و B مع الإشارة المناسبة للفهرس i = 2 ينتج عنه معكوس الدالة الأصلية (قارن بين الصفين i = 0 و i = 2 ).

$${\displaystyle \underbrace {\int e^{x}\cos x\,dx} _{\text{step 0}}=\underbrace {(+1)(e^{x})(\sin x)} _{j=0}+\underbrace {(-1)(e^{x})(-\cos x)} _{j=1}+\underbrace {\int (+1)(e^{x})(-\cos x)\,dx} _{i=2}.}$$

لاحظ أن التكامل الموجود على الجانب الأيمن يمكن أن يكون له ثابت تكامل خاص به${\displaystyle C'}$وبنقل التكامل المجرد إلى الجانب الآخر، نحصل على:

$${\displaystyle 2\int e^{x}\cos x\,dx=e^{x}\sin x+e^{x}\cos x+C',}$$

وأخيراً:

$${\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx={\frac {1}{2}}\left(e^{x}(\sin x+\cos x)\right)+C,}$$

أين${\displaystyle C={\frac {C'}{2}}}$.

ضع في اعتبارك حقول المتجهات القابلة للتفاضل باستمرار${\displaystyle \mathbf {U} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+\cdots +u_{n}\mathbf {e} _{n}}$و${\displaystyle v\mathbf {e} _{1},\ldots ,v\mathbf {e} _{n}}$، أين${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$هو متجه الأساس القياسي رقم i لـ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$الآن قم بتطبيق التكامل بالتجزئة المذكور أعلاه على كل${\displaystyle u_{i}}$مضروبة في حقل المتجهات${\displaystyle v\mathbf {e} _{i}}$:

$${\displaystyle \int _{\Omega }u_{i}{\frac {\partial v}{\partial x_{i}}}\,d\Omega \ =\ \int _{\Gamma }u_{i}v\,\mathbf {e} _{i}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma -\int _{\Omega }{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}v\,d\Omega .}$$

يؤدي جمع القيم على i إلى صيغة جديدة للتكامل بالتجزئة:

$${\displaystyle \int _{\Omega }\mathbf {U} \cdot \nabla v\,d\Omega \ =\ \int _{\Gamma }v\mathbf {U} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma -\int _{\Omega }v\,\nabla \cdot \mathbf {U} \,d\Omega .}$$

القضية${\displaystyle \mathbf {U} =\nabla u}$، أين${\displaystyle u\in C^{2}({\bar {\Omega }})}$، وتُعرف بأنها أولى هويات غرين :

$${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,d\Omega \ =\ \int _{\Gamma }v\,\nabla u\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma -\int _{\Omega }v\,\nabla ^{2}u\,d\Omega .}$$

المشتقة الخارجية على الأشكال التفاضلية تحقق قاعدة الضرب المتدرج. إذا${\displaystyle u\in \Omega ^{k}(M)}$هو تفاضلي${\displaystyle k}$-form و${\displaystyle v\in \Omega ^{n}(M)}$تفاضلي${\displaystyle n}$-form على قابل للتوجيه${\displaystyle (k+n+1)}$-متعدد الشعب ذو الحدود${\displaystyle M}$إذاً، فإن قاعدة المنتج المتدرج هي $${\displaystyle d(u\wedge v)=du\wedge v+(-1)^{k}u\wedge dv.}$$

دمج كلا جانبي المساواة على${\displaystyle M}$أعطِ

$${\displaystyle \int \limits _{M}d(u\wedge v)=\int \limits _{M}du\wedge v+(-1)^{k}\int \limits _{M}u\wedge dv.}$$

هذا يعادل

$${\displaystyle \int \limits _{M}du\wedge v=\int \limits _{M}d(u\wedge v)-(-1)^{k}\int \limits _{M}u\wedge dv.}$$

تطبيق نظرية ستوكس المعممة يعطي النتيجة التالية:

$${\displaystyle \int \limits _{M}du\wedge v=\oint \limits _{\partial M}u\wedge v-(-1)^{k}\int \limits _{M}u\wedge dv.}$$

تأجير${\displaystyle u}$و${\displaystyle v}$كن تفاضليًا${\displaystyle 0}$-forms (الدوال السلسة) تستعيد النسخة الكلاسيكية.