مثلث بيزير

مثلث بيزير هو نوع خاص من سطح بيزير يتم إنشاؤه عن طريق الاستيفاء ( الخطي أو التربيعي أو المكعب أو الدرجة الأعلى) لنقاط التحكم.

يحتوي مثلث بيزير العام من الدرجة n على ( n  +1)( n  + 2)/2 نقطة تحكم α ⁱ β ^j γ ^k حيث i و  j و  k أعداد صحيحة غير سالبة بحيث i  +  j  +  k  =  n . ^[1] ثم يتم تعريف السطح على أنه

${\displaystyle (\alpha s+\beta t+\gamma u)^{n}=\sum _{\begin{smallmatrix}i+j+k\,=\,n\\i,j,k\,\geq \,0\end{smallmatrix}}{n \choose i\ j\ k}s^{i}t^{j}u^{k}\alpha ^{i}\beta ^{j}\gamma ^{k}=\sum _{\begin{smallmatrix}i+j+k\,=\,n\\i,j,k\,\geq \,0\end{smallmatrix}}{\frac {n!}{i!j!k!}}s^{i}t^{j}u^{k}\alpha ^{i}\beta ^{j}\gamma ^{k}}$

لجميع الأعداد الحقيقية غير السالبة s  +  t  +  u  = 1.

مع الترتيب الخطي ( )، فإن مثلث بيزير الناتج هو في الواقع مثلث مسطح منتظم ، حيث تساوي رؤوس المثلث نقاط التحكم الثلاث. يتميز مثلث بيزير التربيعي ( ) بوجود 6 نقاط تحكم تقع جميعها على الحواف. يتم تعريف مثلث بيزير المكعب ( ) بواسطة 10 نقاط تحكم وهو مثلث بيزير من الدرجة الأدنى الذي يحتوي على نقطة تحكم داخلية، لا تقع على الحواف. في جميع الحالات، ستكون حواف المثلث عبارة عن منحنيات بيزير بنفس الدرجة. ${\textstyle n=1}$${\textstyle n=2}$${\textstyle n=3}$

مثلث بيزير المكعب هو سطح له المعادلة

${\displaystyle {\begin{aligned}p(s,t,u)=(\alpha s+\beta t+\gamma u)^{3}=\;&\beta ^{3}\,t^{3}+3\,\alpha \beta ^{2}\,st^{2}+3\,\beta ^{2}\gamma \,t^{2}u\;+\\&3\,\alpha ^{2}\beta \,s^{2}t+6\,\alpha \beta \gamma \,stu+3\,\beta \gamma ^{2}\,tu^{2}\,+\\&\alpha ^{3}\,s^{3}+3\,\alpha ^{2}\gamma \,s^{2}u+3\,\alpha \gamma ^{2}\,su^{2}+\gamma ^{3}\,u^{3}\end{aligned}}}$

حيث α ³ وβ ³ وγ ³ وα ² β وαβ ² وβ ² γ وβγ ² وαγ ² وα ² γ وαβγ هي نقاط التحكم في المثلث و s و t و u (حيث 0 ≤ s و t و u ≤ 1 و s + t + u = 1) هي إحداثيات مركز الثقل داخل المثلث. ^{[2] [1]}

وبدلاً من ذلك، يمكن التعبير عن مثلث بيزير المكعب بصيغة أكثر عمومية مثل

${\displaystyle {\begin{aligned}p(s,t,u)&=\sum _{\begin{smallmatrix}i+j+k\,=\,3\\i,j,k\,\geq \,0\end{smallmatrix}}{3 \choose i\ j\ k}s^{i}t^{j}u^{k}\alpha ^{i}\beta ^{j}\gamma ^{k}=\sum _{\begin{smallmatrix}i+j+k\,=\,3\\i,j,k\,\geq \,0\end{smallmatrix}}{\frac {6}{i!j!k!}}s^{i}t^{j}u^{k}\alpha ^{i}\beta ^{j}\gamma ^{k}\end{aligned}}}$

طبقًا لصياغة مثلث بيزير من الدرجة النونية.

زوايا المثلث هي النقاط α ³ وβ ³ وγ ^3. حواف المثلث هي نفسها منحنيات بيزير ، مع نفس نقاط التحكم مثل مثلث بيزير.

من خلال إزالة حد γ u ، ينتج منحنى بيزير منتظم. أيضًا، على الرغم من أنه ليس مفيدًا جدًا للعرض على شاشة كمبيوتر مادية، فإن إضافة حدود إضافية ينتج رباعي السطوح بيزير أو متعدد السطوح بيزير .

بسبب طبيعة المعادلة، سيتم احتواء المثلث بأكمله داخل الحجم المحيط بنقاط التحكم، والتحويلات التآلفية لنقاط التحكم ستحول المثلث بأكمله بشكل صحيح بنفس الطريقة.

من مزايا مثلثات بيزير في الرسومات الحاسوبية أن تقسيم مثلث بيزير إلى مثلثين منفصلين يتطلب فقط الجمع والقسمة على اثنين، بدلاً من الحساب بالفاصلة العائمة . وهذا يعني أنه على الرغم من أن مثلثات بيزير ناعمة، إلا أنه يمكن تقريبها بسهولة باستخدام مثلثات منتظمة عن طريق تقسيم المثلث بشكل متكرر إلى نصفين حتى يتم اعتبار المثلثات الناتجة صغيرة بدرجة كافية.

يقوم ما يلي بحساب نقاط التحكم الجديدة لنصف مثلث بيزير الكامل مع الزاوية α ³ ، والزاوية في منتصف منحنى بيزير بين α ³ وβ ³ ، والزاوية الثالثة γ ³ .

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\alpha ^{3}}}{'}\\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\beta }}{'}\\{\boldsymbol {\alpha \beta ^{2}}}{'}\\{\boldsymbol {\beta ^{3}}}{'}\\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\gamma }}{'}\\{\boldsymbol {\alpha \beta \gamma }}{'}\\{\boldsymbol {\beta ^{2}\gamma }}{'}\\{\boldsymbol {\alpha \gamma ^{2}}}{'}\\{\boldsymbol {\beta \gamma ^{2}}}{'}\\{\boldsymbol {\gamma ^{3}}}{'}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\{1 \over 2}&{1 \over 2}&0&0&0&0&0&0&0&0\\{1 \over 4}&{2 \over 4}&{1 \over 4}&0&0&0&0&0&0&0\\{1 \over 8}&{3 \over 8}&{3 \over 8}&{1 \over 8}&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&{1 \over 2}&{1 \over 2}&0&0&0&0\\0&0&0&0&{1 \over 4}&{2 \over 4}&{1 \over 4}&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&{1 \over 2}&{1 \over 2}&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\alpha ^{3}}}\\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\beta }}\\{\boldsymbol {\alpha \beta ^{2}}}\\{\boldsymbol {\beta ^{3}}}\\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\gamma }}\\{\boldsymbol {\alpha \beta \gamma }}\\{\boldsymbol {\beta ^{2}\gamma }}\\{\boldsymbol {\alpha \gamma ^{2}}}\\{\boldsymbol {\beta \gamma ^{2}}}\\{\boldsymbol {\gamma ^{3}}}\end{pmatrix}}}$

على نحو مكافئ، باستخدام الجمع والقسمة على اثنين فقط،

${\displaystyle {\begin{matrix}&&\beta ^{3}:=(\alpha \beta ^{2}+\beta ^{3})/2\\&\alpha \beta ^{2}:=(\alpha ^{2}\beta +\alpha \beta ^{2})/2&\beta ^{3}:=(\alpha \beta ^{2}+\beta ^{3})/2\\\alpha ^{2}\beta :=(\alpha ^{3}+\alpha ^{2}\beta )/2&\alpha \beta ^{2}:=(\alpha ^{2}\beta +\alpha \beta ^{2})/2&\beta ^{3}:=(\alpha \beta ^{2}+\beta ^{3})/2\\\end{matrix}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&\beta ^{2}\gamma :=(\alpha \beta \gamma +\beta ^{2}\gamma )/2\\\alpha \beta \gamma :=(\alpha ^{2}\gamma +\alpha \beta \gamma )/2&\beta ^{2}\gamma :=(\alpha \beta \gamma +\beta ^{2}\gamma )/2\\\end{matrix}}}$

${\displaystyle \beta \gamma ^{2}:=(\alpha \gamma ^{2}+\beta \gamma ^{2})/2}$

حيث := يعني استبدال المتجه الموجود على اليسار بالمتجه الموجود على اليمين.

لاحظ أن تقسيم مثلث بيزير إلى نصفين يشبه تقسيم منحنيات بيزير من جميع الرتب حتى رتبة مثلث بيزير إلى النصف.

• منحنى بيزير
• سطح بيزييه (البقع التربيعية هي مستطيلات بيزييه)
• سطح

• روث، إس إتش مارتن؛ دييزي، باتريك؛ جروس، ماركوس إتش. (سبتمبر 2001)، "بقع بيزير المثلثية لتتبع الأشعة"، منتدى رسومات الكمبيوتر ، 20 (3): 422-432، doi :10.1111/1467-8659.00535
• Roth, SHM; Diezi, P.; Gross, MH (2000), "Triangular Bezier clipping", Proceedings of the Eighth Pacific Conference on Computer Graphics and Applications (PCCGA-00) , IEEE Computer Society, doi :10.1109/pccga.2000.883971, hdl : 20.500.11850/68729
• يانغ، شونيان؛ تشنغ، جيانمين (أبريل 2012)، "التدخل الطبيعي الواعي للشكل لتظليل السطح المنحني من التقريب متعدد السطوح"، الحاسوب المرئي ، 29 (3): 189-201، doi :10.1007/s00371-012-0715-y
• Schwarz, Michael; Stamminger, Marc (2006), "Pixel-shader-based curved triangles", SIGGRAPH '06: ACM SIGGRAPH 2006 Research stickers (PDF) , ACM Press, doi :10.1145/1179622.1179680, تم أرشفته من الأصل (PDF) في 2011-01-03
• باريرا، توني؛ هاست، أندرس؛ بينجستون، إيورت، "إنشاء السطح باستخدام تسارع المربع الأدنى استنادًا إلى عموديات الرأس على الشبكات المثلثية" (PDF) ، في أوليلا، مارك (المحرر)، SIGRAD 2002 ، ص 43-48

• مثلثات بيزير التربيعية كرسم بدائيات تحتوي على مزيد من المعلومات حول مثلثات بيزير المستوية والتربيعية.
• مثلثات PN المنحنية (نوع خاص من مثلثات بيزير المكعبة)