رباعي السطوح

الرسم البياني رباعي السطوح
الرسم البياني رباعي السطوح
رؤوس	4
الحواف	6
نصف القطر	1
القطر	1
محيط الخصر	3
التماثلات الذاتية	24
الرقم اللوني	4
ملكيات	هاملتوني ، منتظم ، متماثل ، منتظم المسافة ، متعد المسافة ، متصل بثلاث رؤوس ، رسم بياني مستوٍ
	جدول الرسوم البيانية والمعلمات

في الهندسة ، رباعي السطوح ( الجمع : رباعي السطوح أو رباعيات السطوح )، والمعروف أيضًا باسم الهرم الثلاثي ، هو متعدد السطوح يتكون من أربعة أوجه مثلثة وستة حواف مستقيمة وأربعة رؤوس . رباعي السطوح هو أبسط متعددات السطوح المحدبة العادية . ^[1]

الشكل الرباعي السطوح هو الحالة ثلاثية الأبعاد للمفهوم الأكثر عمومية للمجسم البسيط الإقليدي ، وبالتالي يمكن أيضًا تسميته بالمجسم البسيط ثلاثي السطوح .

رباعي السطوح هو نوع من الأهرامات ، وهو متعدد السطوح بقاعدة مضلعة مسطحة ووجوه مثلثة تربط القاعدة بنقطة مشتركة. في حالة رباعي السطوح، تكون القاعدة مثلثًا (يمكن اعتبار أي من الوجوه الأربعة قاعدة)، لذلك يُعرف رباعي السطوح أيضًا باسم "الهرم المثلث".

مثل جميع الأشكال المتعددة السطوح المحدبة ، يمكن طي رباعي السطوح من ورقة واحدة. يحتوي على شبكتين من هذا القبيل . [ ^1]

بالنسبة لأي رباعي السطوح يوجد كرة (تسمى الكرة المحيطة ) تقع عليها جميع الرؤوس الأربعة، وكرة أخرى (الكرة الداخلية ) مماسة لوجوه رباعي السطوح. ^[2]

رباعي السطوح المنتظم

رباعي السطوح المنتظم هو رباعي السطوح حيث تكون جميع وجوهه الأربعة مثلثات متساوية الأضلاع . بعبارة أخرى، تكون جميع وجوهه بنفس الحجم والشكل (متطابقة) وجميع أضلاعه بنفس الطول. متعدد السطوح المحدب حيث تكون جميع وجوهه مثلثات متساوية الأضلاع هو مثلث السطوح . هناك ثمانية مثلثات محدبة، أحدها هو رباعي السطوح المنتظم. ^[3]

رباعي السطوح المنتظم هو أيضًا أحد الأشكال الخمسة الأفلاطونية المنتظمة ، وهي مجموعة من متعددات السطوح حيث تكون جميع وجوهها مضلعات منتظمة . ^[4] يُعرف الشكل الأفلاطوني منذ العصور القديمة، وقد سُمي على اسم الفيلسوف اليوناني أفلاطون ، الذي ربط هذه الأشكال الأربعة بالطبيعة. اعتُبر الشكل الرباعي السطوح المنتظم العنصر الكلاسيكي للنار ، بسبب تفسيره لزاويته الحادة بأنها الأكثر اختراقًا. ^[5]

رباعي السطوح المنتظم ثنائي ذاتيًا، أي أن ثنائيه هو رباعي سطوح منتظم آخر. ويشكل الشكل المركب الذي يتألف من رباعيي سطوح مزدوجين ثماني السطوح أو ثماني السطوح النجمي . وداخله ثماني السطوح ، وبالتالي فإن ثماني السطوح المنتظم هو نتيجة لقطع أربعة رباعيات سطوح منتظمة بنصف الحجم الخطي من رباعي السطوح المنتظم (أي تصحيح رباعي السطوح).

يرتبط رباعي السطوح أيضًا بجسمين آخرين: من خلال القطع ، يصبح رباعي السطوح رباعي السطوح مقطوعًا . ثنائي هذا الجسم هو رباعي السطوح ثلاثي السطوح ، وهو رباعي السطوح منتظم بأربعة أهرامات مثلثة متصلة بكل وجه من وجوهه. أي كليتوب .

لا تملأ رباعيات السطوح المنتظمة وحدها الفراغ ، ولكن إذا تناوبت مع ثمانيات السطوح المنتظمة بنسبة اثنين من رباعيات السطوح إلى ثمانيات السطوح، فإنها تشكل قرص العسل المكعب المتناوب ، وهو عبارة عن فسيفساء. يمكن لبعض رباعيات السطوح غير المنتظمة، بما في ذلك مخطط شليفلي ورباعي السطوح هيل ، أن تتشكل فسيفساء.

قياس

نموذج ثلاثي الأبعاد لرباعي السطوح المنتظم

بما أن رباعي السطوح المنتظم بطول ضلع . فإن مساحة سطح رباعي السطوح المنتظم تساوي أربعة أضعاف مساحة المثلث متساوي الأضلاع: ^[6] وارتفاع رباعي السطوح المنتظم هو . ^[7] ويمكن تحديد حجم رباعي السطوح المنتظم بنفس طريقة تحديد حجم الأهرامات الأخرى، ثلث القاعدة وارتفاعها. ولأن القاعدة متساوية الأضلاع فهي: ^[6] ويمكن أيضًا الحصول على حجمها عن طريق تشريح المكعب إلى ثلاثة أجزاء. ^[8] $أ$ $A$ $A=4\cdot \left({\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}\right)=a^{2}{\sqrt {3}}\approx 1.732a^{2}.$ ${\textstyle {\frac {\sqrt {6}}{3}}a}$ $V={\frac {1}{3}}\cdot \left({\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}\right)\cdot {\frac {\sqrt {6}}{3}}a={\frac {a^{3}}{6{\sqrt {2}}}\approx 0.118a^{3}.$

زاويته ثنائية السطوح -الزاوية بين مستويين- وزاويته بين الخطوط من مركز رباعي السطوح المنتظم بين رأسين ^[أ] هي على التوالي: ^[9] ${\begin{aligned}\arccos \left({\frac {1}{3}}\right)&=\arctan \left(2{\sqrt {2}}\right)\approx 70.529^{\circ },\\\arccos \left(-{\frac {1}{3}}\right)&=2\arctan \left({\sqrt {2}}\right)\approx 109.471^{\circ }.\end{aligned}}$

أقطار الكرة المحيطة بها ، والكرة الداخلية ، والكرة الوسطى ، والكرة الخارجية هي: ^[6] بالنسبة لرباعي السطوح المنتظم بطول ضلع ، ونصف قطر الكرة المحيطة به ، والمسافة من نقطة عشوائية في الفضاء ثلاثي الأبعاد إلى رؤوسه الأربعة، يكون: ^[10] $R$ $r$ $r_{\mathrm {M} }$ $r_{\mathrm {E} }$ ${\begin{aligned}R={\frac {\sqrt {6}}{4}}a,&\qquad r={\frac {1}{3}}R={\frac {a}{\sqrt {24}}},\\r_{\mathrm {M} }={\sqrt {rR}}={\frac {a}{\sqrt {8}}},&\qquad r_{\mathrm {E} }={\frac {a}{\sqrt {6}}}.\end{aligned}}$ $أ$ $R$ $d_{i}$ ${\begin{aligned}{\frac {d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}}{4}}+{\frac {16R^{4}}{9}}&=\left({\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}}{4}}+{\frac {2R^{2}}{3}}\right)^{2},\\4\left(a^{4}+d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}\right)&=\left(a^{2}+d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}\right)^{2}.\end{aligned}}$

بالنسبة إلى المستوى القاعدي، يكون ميل الوجه (2 √ 2 ) ضعف ميل الحافة ( √ 2 )، وهو ما يتوافق مع حقيقة أن المسافة الأفقية المقطوعة من القاعدة إلى القمة على طول الحافة تكون ضعف المسافة على طول المتوسط للوجه . بعبارة أخرى، إذا كان C هو مركز ثقل القاعدة، فإن المسافة من C إلى رأس القاعدة تكون ضعف المسافة من C إلى نقطة منتصف حافة القاعدة. ويتبع هذا من حقيقة أن متوسطات المثلث تتقاطع عند مركز ثقله، وتقسم هذه النقطة كل منهما إلى قطعتين، أحدهما أطول بمرتين من الآخر (انظر الدليل ).

زاويتها الصلبة عند الرأس المحاطة بوجه هي وهذا يعادل تقريبًا 0.55129 ستراديان ، أو 1809.8 درجة مربعة ، أو 0.04387 سباتس . ${\begin{aligned}\arccos \left({\frac {23}{27}}\right)&={\frac {\pi }{2}}-3\arcsin \left({\frac {1}{3}}\right)\\&=3\arccos \left({\frac {1}{3}}\right)-\pi \end{aligned}}$

إحداثيات ديكارتية

إحدى الطرق لإنشاء رباعي السطوح المنتظم هي استخدام إحداثيات ديكارت التالية ، والتي تحدد الرؤوس الأربعة لرباعي السطوح بطول ضلع 2، ومركزه الأصل، وحافتان مستويتان: $\left(\pm 1,0,-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)\quad {\mbox{and}}\quad \left(0,\pm 1,{\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)$

يتم التعبير عنها بشكل متماثل على أنها 4 نقاط على الكرة الوحدوية ، مركز الثقل عند الأصل، مع وجه سفلي موازٍ للمستوى ، والرؤوس هي: بطول ضلع . $xy$ ${\begin{aligned}\left({\sqrt {\frac {8}{9}}},0,-{\frac {1}{3}}\right),&\quad \left(-{\sqrt {\frac {2}{9}}},{\sqrt {\frac {2}{3}}},-{\frac {1}{3}}\right),\\\left(-{\sqrt {\frac {2}{9}}},-{\sqrt {\frac {2}{3}}},-{\frac {1}{3}}\right),&\quad (0,0,1)\end{aligned}}$ ${\textstyle {\frac {2{\sqrt {6}}}{3}}}$

يمكن تضمين رباعي السطوح المنتظم داخل مكعب بطريقتين بحيث يكون كل رأس رأسًا للمكعب، ويكون كل ضلع قطريًا لأحد وجوه المكعب. في أحد هذه التضمينات، تكون إحداثيات الرؤوس الديكارتية هي وهذا ينتج عنه رباعي سطوح بطول ضلع ، ومركزه الأصل. بالنسبة للرباعي السطوح الآخر (الذي يكون مزدوجًا للأول)، اعكس جميع الإشارات. تكون رؤوس رباعي السطوح هذين مجتمعين رؤوس مكعب، مما يدل على أن رباعي السطوح المنتظم هو مكعب ثلاثي السطوح ، وهو متعدد السطوح يكون عن طريق التناوب على مكعب. يحتوي هذا الشكل على مخطط كوكستر ${\begin{aligned}(1,1,1),&\quad (1,-1,-1),\\(-1,1,-1),&\quad (-1,-1,1).\end{aligned}}$ $2{\sqrt {2}}$ ورمز شليفلي . $\mathrm {h} \{4,3\}$

التماثل

يمكن تجميع رؤوس المكعب في مجموعتين من أربع رؤوس، كل منها تشكل رباعي سطوح منتظم، يظهر أحد رباعي السطوح في المكعب. تتوافق تناظرات رباعي السطوح المنتظم مع نصف تناظرات المكعب: تلك التي تربط رباعي السطوح بأنفسها، وليس ببعضها البعض. رباعي السطوح هو الجسم الأفلاطوني الوحيد الذي لم يتم ربطه بنفسه عن طريق عكس النقاط .

يحتوي رباعي السطوح المنتظم على 24 تماثلًا، مما يشكل مجموعة التماثل المعروفة باسم التماثل الرباعي السطوح الكامل . هذه المجموعة من التماثل متماثلة مع المجموعة المتماثلة . ويمكن تصنيفها على النحو التالي: $\mathrm {T} _{\mathrm {d} }$ $S_{4}$

إنه يتمتع بتناظر رباعي السطوح الدوراني . هذا التناظر متماثل مع المجموعة المتناوبة -الهوية و11 دورة قائمة بذاتها- مع فئات الاقتران التالية (بين قوسين يتم إعطاء تبديلات الرؤوس، أو على نحو مماثل، الوجوه، وتمثيل رباعية الوحدة ): $\mathrm {T}$ $\mathrm {T}$ $A_{4}$ $A_{4}$
- الهوية (الهوية؛ 1)
- الدوران حول محور يمر عبر رأس، عموديًا على المستوى المقابل، بزاوية ±120 درجة: 4 محاور، 2 لكل محور، معًا 8 ((1 2 3) ، إلخ ؛1 ± ي ± ك/2)
- الدوران بزاوية 180 درجة بحيث تتطابق الحافة مع الحافة المقابلة: 3 ((1 2)(3 4) ، إلخ؛ i ، j ، k )
الانعكاسات في المستوى العمودي على الحافة: 6
الانعكاسات في المستوى المقترنة بالدوران بزاوية 90 درجة حول محور عمودي على المستوى: 3 محاور، 2 لكل محور، معًا 6؛ وبشكل مكافئ، فهي عبارة عن دوران بزاوية 90 درجة مع الانعكاس ( يتم تعيين x إلى − x ): تتوافق الدورات مع دورات المكعب حول المحاور المتقابلة

الإسقاطات المتعامدة للرباعي السطوح المنتظم

يحتوي الشكل الرباعي المنتظم على إسقاطين متعامدين خاصين ، أحدهما يتركز على رأس أو على وجه، والآخر يتركز على حافة. يتوافق الأول مع المستوى A ₂ Coxeter .

الإسقاط التقويمي
مركزها	الوجه/الرأس	حافة
صورة
التماثل الإسقاطي	[3]	[4]

مقطع عرضي لرباعي السطوح المنتظم

الحافتان المائلتان المتعامدتان المتقابلتان لرباعي السطوح المنتظم تحددان مجموعة من المستويات المتوازية. عندما يتقاطع أحد هذه المستويات مع رباعي السطوح، يكون المقطع العرضي الناتج مستطيلًا . [ ^11] عندما يكون المستوى المتقاطع بالقرب من أحد الحواف، يكون المستطيل طويلًا ونحيفًا. عندما يكون في منتصف المسافة بين الحافتين، يكون التقاطع مربعًا . تنعكس نسبة العرض إلى الارتفاع للمستطيل عند المرور بنقطة المنتصف هذه. بالنسبة لتقاطع المربع في منتصف المسافة، يعبر خط الحدود الناتج كل وجه من وجوه رباعي السطوح على نحو مماثل. إذا تم تقسيم رباعي السطوح على هذا المستوى، يصبح كلا النصفين أسافين .

تنطبق هذه الخاصية أيضًا على الوتديات الرباعية الشكل عند تطبيقها على زوجين من الحواف الخاصة.

البلاط الكروي

يمكن أيضًا تمثيل رباعي السطوح على هيئة بلاط كروي ( مثلثات كروية )، وإسقاطه على المستوى عبر إسقاط مجسم . هذا الإسقاط مطابق ، ويحافظ على الزوايا ولكن ليس المساحات أو الأطوال. يتم إسقاط الخطوط المستقيمة على الكرة كأقواس دائرية على المستوى.

الإسقاط التقويمي	الإسقاط المجسم

التراص الحلزوني

يمكن تكديس رباعي السطوح المنتظم وجهًا لوجه في سلسلة غير دورية كيرالية تسمى حلزون بورديك-كوكسيتر .

في أربعة أبعاد ، يمكن إنشاء جميع متعددات السطوح المنتظمة المحدبة ذات الخلايا الرباعية السطوح ( 5 خلايا ، و 16 خلية ، و 600 خلية ) كبلاطات للكرة ثلاثية الأبعاد بواسطة هذه السلاسل، والتي تصبح دورية في الفضاء ثلاثي الأبعاد لسطح حدود متعددات السطوح الرباعية.

رباعي السطوح غير المنتظم

علاقات المجموعات الفرعية للتناظر الرباعي السطوح	التناظرات الرباعية السطوح الموضحة في مخططات رباعية السطوح

يتم تصنيف رباعيات السطوح التي لا تحتوي على أربعة وجوه متساوية الأضلاع وتسميتها حسب التماثلات التي تمتلكها.

إذا كانت جميع أزواج الحواف الثلاثة المتقابلة في رباعي السطوح متعامدة ، فإنه يسمى رباعي السطوح متعامد المركز . عندما يكون زوج واحد فقط من الحواف المتقابلة متعامدًا، فإنه يسمى رباعي السطوح شبه متعامد المركز . في رباعي السطوح ثلاثي المستطيلات، تكون زوايا الوجه الثلاثة عند أحد الرؤوس زوايا قائمة ، كما هو الحال في زاوية المكعب.

رباعي السطوح المتساوي الديناميكي هو رباعي السطوح الذي تكون فيه السيفيان التي تربط الرؤوس بمركزيات الوجوه المقابلة متزامنة .

يحتوي رباعي السطوح المتساوي الأضلاع على سيفينات متزامنة تربط الرؤوس بنقاط اتصال الوجوه المقابلة بالكرة المحاطة بالرباعي السطوح.

ثنائي الوتدي

الشكل ثنائي الوتدي هو شكل رباعي السطوح له أربعة مثلثات متطابقة كأوجه؛ ويجب أن تكون جميع زوايا المثلث حادة. الشكل رباعي السطوح المنتظم هو حالة خاصة من الشكل ثنائي الوتدي. وتشمل الأسماء الأخرى لنفس الشكل الشكل ثنائي الوتدي، ورباعي السطوح متساوي الساقين، ورباعي السطوح متساوي الأوجه.

مخططات التقويم

المستطيل الثلاثي هو شكل رباعي السطوح حيث تكون جميع الوجوه الأربعة مثلثات قائمة . المستطيل الثلاثي ليس مستطيلاً ثنائي السطوح، لأن أضلاعه المتقابلة ليست متساوية الطول. من غير الممكن إنشاء مستطيل ثنائي السطوح بأوجه مثلث قائم أو مثلث منفرج.

المخطط المستقيم هو شكل بسيط غير منتظم وهو الغلاف المحدب لشجرة تكون جميع حوافها متعامدة بشكل متبادل. في المخطط المستقيم ثلاثي الأبعاد، تتكون الشجرة من ثلاثة حواف متعامدة تربط بين جميع الرؤوس الأربعة في مسار خطي يشكل منعطفين قائمين الزاوية. المخطط المستقيم ثلاثي الأبعاد هو رباعي السطوح له زاويتان قائمتان عند كل من الرأسين، لذلك فإن الاسم الآخر له هو رباعي السطوح ثنائي المستطيل . ويُطلق عليه أيضًا رباعي السطوح رباعي المستطيل لأنه يحتوي على أربع زوايا قائمة. ^[12]

يُطلق كوكستر أيضًا على رباعي السطوح المستطيل اسم "رباعي السطوح المميز"، وذلك بسبب علاقته التكاملية بمتعدد السطوح المنتظم ومجموعات تماثله. ^[13] على سبيل المثال، الحالة الخاصة لمستقيم ثلاثي الأضلاع ذو حواف عمودية متساوية الطول هي سمة مميزة للمكعب ، مما يعني أنه يمكن تقسيم المكعب إلى حالات من هذا المستقيم. إذا كانت حوافه العمودية الثلاثة بطول وحدة، فإن حوافه المتبقية هي اثنان بطول √ 2 وواحد بطول √ 3 ، وبالتالي فإن جميع حوافه هي حواف أو أقطار المكعب. المكعبيمكن تقسيمها إلى ستة مخططات ثلاثية الأبعادأربع طرق مختلفة، حيث تحيط كل الأشكال الستة بنفس قطر المكعب √ 3. ويمكن أيضًا تشريح المكعب إلى 48 حالة أصغر من نفس مخطط 3 المميز هذا (بطريقة واحدة فقط، من خلال جميع مستويات تماثله في وقت واحد). رباعي السطوح المميز للمكعب هو مثال على رباعي السطوح الهيروني .

كل متعدد السطوح المنتظم، بما في ذلك رباعي السطوح المنتظم، له مخططه المستقيم المميز . يوجد مخطط مستقيم ثلاثي السطوح، وهو "الرباعي السطوح المميز لرباعي السطوح المنتظم". رباعي السطوح المنتظمينقسم إلى 24 حالة من رباعي السطوح المميز لهمن خلال مستويات تماثلها. تظهر الأشكال الرباعية السطوح المميزة للرباعي السطوح المنتظم في شكلين متطابقين، 12 شكلًا من كل شكل.

خصائص رباعي السطوح المنتظم ^[14]
	حافة	قوس		ثنائي السطوح
𝒍	$2$	109°28′16″	$\pi -2{\text{𝜿}}$	70°31′44″	$\pi -2{\text{𝟁}}$

𝟀	${\sqrt {\tfrac {4}{3}}}\approx 1.155$	70°31′44″	$2{\text{𝜿}}$	60 درجة	${\tfrac {\pi }{3}}$
𝝉 ^[ب]	$1$	54°44′8″	${\tfrac {\pi }{2}}-{\text{𝜿}}$	60 درجة	${\tfrac {\pi }{3}}$
𝟁	${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}\approx 0.577$	54°44′8″	${\tfrac {\pi }{2}}-{\text{𝜿}}$	60 درجة	${\tfrac {\pi }{3}}$

$_{0}R/l$	${\sqrt {\tfrac {3}{2}}}\approx 1.225$
$_{1}R/l$	${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707$
$_{2}R/l$	${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}\approx 0.408$

${\text{𝜿}}$		35°15′52″	${\tfrac {{\text{arc sec }}3}{2}}$

إذا كان طول ضلع رباعي السطوح المنتظم 𝒍 = 2، فإن حواف رباعي السطوح المميز الستة لها أطوال , , حول وجه المثلث القائم الخارجي (الحواف المقابلة للزوايا المميزة 𝟀 و 𝝉 و 𝟁)، ^[b] زائد , , (الحواف التي تمثل الأقطار المميزة لرباعي السطوح المنتظم). مسار الحواف الثلاثة على طول الحواف المتعامدة للمخطط المستقيم هو , , , أولاً من رأس رباعي السطوح إلى مركز حافة رباعي السطوح، ثم يدور 90 درجة إلى مركز وجه رباعي السطوح، ثم يدور 90 درجة إلى مركز رباعي السطوح. يحتوي المخطط المستقيم على أربعة أوجه مثلث قائم غير متشابهة. الوجه الخارجي هو مثلث 60-90-30 وهو سدس وجه رباعي السطوح. الوجوه الثلاثة الداخلية للرباعي السطوح هي: مثلث قائم الزاوية ذو حواف ، ، ، ومثلث قائم الزاوية ذو حواف ، ، ، ومثلث قائم الزاوية ذو حواف ، ، . ${\sqrt {\tfrac {4}{3}}}$ $1$ ${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}$ ${\sqrt {\tfrac {3}{2}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}$ $1$ ${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}$ $1$ ${\sqrt {\tfrac {3}{2}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}$ ${\sqrt {\tfrac {4}{3}}}$ ${\sqrt {\tfrac {3}{2}}}$ ${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}$

رباعي السطوح يملأ الفراغ

يحتوي رباعي السطوح الذي يملأ الفراغ على نسخ متطابقة مباشرة أو متماثلة ( صورة معكوسة ) من نفسه إلى فراغ البلاط. ^[15] يمكن تشريح المكعب إلى ستة أشكال ثلاثية السطوح، ثلاثة منها يسارية وثلاثة يمينية (واحدة من كل وجه من وجوه المكعب)، ويمكن للمكعبات أن تملأ الفراغ، وبالتالي فإن الشكل الثلاثي المميز للمكعب هو رباعي السطوح الذي يملأ الفراغ بهذا المعنى. (الشكل الثلاثي المميز للمكعب هو أحد أشكال رباعي السطوح هيل ، وهي عائلة من أشكال رباعي السطوح التي تملأ الفراغ. جميع أشكال رباعي السطوح التي تملأ الفراغ متطابقة مع المكعب.)

يمكن أن يكون ثنائي الوتدي رباعي السطوح يملأ الفراغ بالمعنى المتطابق المباشر، كما هو الحال في قرص العسل رباعي السطوح ثنائي الوتدي . ومع ذلك، لا يمكن لرباعي السطوح المنتظم أن يملأ الفراغ بنفسه (علاوة على ذلك، فهو ليس متوافقًا مع أي متعدد السطوح آخر يمكنه ملء الفراغ، انظر مشكلة هيلبرت الثالثة ). يملأ قرص العسل رباعي السطوح-ثماني السطوح الفراغ بخلايا رباعية السطوح المنتظمة بالتناوب وخلايا ثماني السطوح المنتظمة بنسبة 2:1.

المجالات الأساسية

رباعي السطوح غير المنتظم الذي يمثل المجال الأساسي ^[16] لمجموعة التناظر هو مثال على رباعي السطوح جورسات . تولد رباعيات السطوح جورسات جميع متعددات السطوح المنتظمة (والعديد من متعددات السطوح المنتظمة الأخرى) عن طريق الانعكاسات المرآة، وهي العملية التي يشار إليها باسم بناء ويثوف المجسم .

بالنسبة للمتعددات السطوح، يقوم بناء ويثوف بترتيب ثلاث مرايا بزوايا مع بعضها البعض، كما هو الحال في المشكال . وعلى عكس المشكال الأسطواني، تقع مرايا ويثوف على ثلاثة أوجه من رباعي السطوح جورسات بحيث تتقاطع المرايا الثلاث في نقطة واحدة. ( يحتوي مخطط كوكستر-دينكين للمتعدد السطوح الناتج على ثلاث عقد تمثل المرايا الثلاث. يتم ترميز الزاوية ثنائية السطوح بين كل زوج من المرايا في المخطط، بالإضافة إلى موقع نقطة توليد واحدة مضروبة في انعكاسات المرآة في رؤوس المتعدد السطوح.)

من بين رباعيات السطوح من نوع Goursat التي تولد أقراص العسل ثلاثية الأبعاد، يمكننا التعرف على مخطط مستقيم (رباعي السطوح المميز للمكعب)، ومخطط مستقيم مزدوج (رباعي السطوح المميز للمكعب المرتبط وجهًا بصورته المرآة)، والشكل الوتدي الذي يملأ الفراغ الموضح أعلاه. ^[13] الشكل الوتدي هو الشكل المستقيم المزدوج المرتبط وجهًا بصورته المرآة (الشكل المستطيل الرباعي). وبالتالي، يمكن تشريح كل رباعيات السطوح الثلاثة من نوع Goursat، وكل متعددات السطوح التي تولدها عن طريق الانعكاسات، إلى رباعيات السطوح المميزة للمكعب .

تماثلات رباعي السطوح غير المنتظمة

تعتمد تماثلات رباعي السطوح غير المنتظم (غير المميز) على هندسة رباعي السطوح، مع إمكانية وجود 7 حالات. في كل حالة، تتشكل مجموعة نقاط ثلاثية الأبعاد . يمكن أن توجد تماثلات أخرى (C ₃ ، [3] ⁺ )، و(S ₄ ، [2 ⁺ ، 4 ⁺ ]) إذا تم تضمين علامات الوجه أو الحافة. يتم تضمين مخططات رباعي السطوح لكل نوع أدناه، مع حواف ملونة بالتكافؤ المتساوي القياس، وهي ملونة باللون الرمادي للحواف الفريدة.

اسم رباعي السطوح				وصف
التماثل
شون.	كوكس.	محجر العين.	أمر
رباعي السطوح المنتظم				أربعة مثلثات متساوية الأضلاع يشكل مجموعة التماثل T _d ، متماثلة مع المجموعة المتماثلة S _4. رباعي السطوح المنتظم له مخطط كوكستر ورمز شليفلي {3،3}.
ت _د ت	[3,3] [3,3] ⁺	*332 332	24 12
هرم مثلثي				قاعدة مثلث متساوي الأضلاع وثلاثة أضلاع مثلث متساوي الساقين يعطي 6 تماثلات، تتوافق مع تماثلات القاعدة الستة. كتبديلات للرؤوس، هذه التماثلات الستة هي المتطابقة 1، (123)، (132)، (12)، (13) و(23)، وتشكل مجموعة التماثل C _3v ، متماثلة مع المجموعة المتماثلة ، S _3. للهرم المثلث رمز شليفلي {3}∨( ).
ج _3ف ج ₃	[3] [3] ⁺	*33 33	6 3
العظم الوتدي المرآوي				مثلثان متساويان في الطول لهما قاعدة مشتركة وحافة مشتركة يحتوي هذا على زوجين من الحواف المتساوية (1,3)، (1,4) و(2,3)، (2,4) وبخلاف ذلك لا توجد حواف متساوية. المتماثلان الوحيدان هما 1 والانعكاس (34)، مما يعطي المجموعة C _s ، متماثلة أيضًا للمجموعة الدورية ، Z ₂ .
C _s = C _1h = C _1v	[ ]	*	2
رباعي السطوح غير المنتظم (بدون تماثل)				أربعة مثلثات غير متساوية إن تماثله الوحيد هو التماثل المتماثل، ومجموعة التماثل هي المجموعة التافهة . رباعي السطوح غير المنتظم له رمز شليفلي ( )∨( )∨( )∨( ).
ج ₁	[ ] ⁺	1	1
ثنائيات الوتدي (أربعة مثلثات متساوية)
عظمة الوتدي الرباعية				أربعة مثلثات متساوية الساقين يحتوي على 8 تماثلات. إذا كانت الضلعان (1،2) و(3،4) مختلفين في الطول عن الضلعين الآخرين الأربعة، فإن التماثلات الثمانية هي المتطابقة 1 والانعكاسات (12) و(34) والدوران بزاوية 180 درجة (12)(34) و(13)(24) و(14)(23) والدوران غير الصحيح بزاوية 90 درجة (1234) و(1432) التي تشكل مجموعة التماثل D _2d . يحتوي الضلع الوتدي الرباعي على رسم تخطيطي لكوكسيترورمز شليفلي s{2,4}.
د ₂ د س ₄	[2 ⁺ ,4] [2 ⁺ ,4 ⁺ ]	2*2 2×	8 4
عظمة الوتدي المعينية				أربعة مثلثات متساوية الأضلاع يحتوي على 4 تماثلات. التماثلات هي 1 والدوران 180 درجة (12)(34)، (13)(24)، (14)(23). هذه هي المجموعة الرباعية كلاين V ₄ أو Z ₂² ، الموجودة كمجموعة نقطية D _2. يحتوي المعين ثنائي الوتدي على مخطط كوكسترورمز شليفلي sr{2,2}.
د ₂	[2,2] ⁺	222	4
عظمان عضليان معممان (زوجان من المثلثات المتساوية)
عظمة الوتدي الثنائية				زوجان من المثلثات المتساوية الساقين هذا يعطي حافتين متقابلتين (1،2) و (3،4) متعامدتين لكن بطولين مختلفين، ومن ثم تكون التماثلات الأربعة هي 1، والانعكاسات (12) و (34) والدوران 180 درجة (12) (34). مجموعة التماثل هي C _2v ، متماثلة لمجموعة كلاين الرباعية V _4. يحتوي الشكل ثنائي الوتدي على رمز شليفلي { } ∨{ }.
ج _2ف ج ₂	[2] [2] ⁺	*22 22	4 2
ثنائي الوتدي الفيليكي				زوجان من المثلثات المتساوية الأضلاع أو المتساوية الساقين يحتوي هذا على زوجين من الحواف المتساوية (1,3)، (2,4) و(1,4)، (2,3) ولكن بخلاف ذلك لا توجد حواف متساوية. المتماثلان الوحيدان هما 1 والدوران (12)(34)، مما يعطي المجموعة C ₂ متماثلة للمجموعة الدورية ، Z ₂ .
ج ₂	[2] ⁺	22	2

فئات التقسيم والتشابه

تقسيم رباعي السطوح هو عملية تستخدم في الهندسة الحاسوبية والنمذجة ثلاثية الأبعاد لتقسيم رباعي السطوح إلى عدة رباعيات سطوح أصغر. تعمل هذه العملية على تعزيز تعقيد وتفاصيل شبكات رباعي السطوح، وهو أمر مفيد بشكل خاص في عمليات المحاكاة العددية وتحليل العناصر المحدودة والرسومات الحاسوبية. إحدى طرق التقسيم الشائعة الاستخدام هي تقسيم الحافة الأطول (LEB) ، والتي تحدد أطول حافة لرباعي السطوح وتقسمها عند نقطة المنتصف، مما يؤدي إلى توليد رباعي سطوح جديد أصغر. عندما تتكرر هذه العملية عدة مرات، وتقسم جميع رباعيات السطوح الناتجة في كل تكرار سابق، تسمى العملية تقسيم الحافة الأطول التكراري.

فئة التشابه هي مجموعة من رباعيات السطوح لها نفس الشكل الهندسي، بغض النظر عن موقعها المحدد واتجاهها ومقياسها. لذا، يمكن تحويل أي رباعيات سطوح تنتمي إلى نفس فئة التشابه إلى بعضها البعض عن طريق التحويل الأفيني. إن نتيجة وجود عدد محدود من فئات التشابه في طرق التقسيم التكراري مهمة للنمذجة والمحاكاة الحاسوبية. فهي تقلل من التباين في أشكال وأحجام رباعيات السطوح الناتجة، مما يمنع تكوين عناصر غير منتظمة للغاية يمكن أن تعرض نتائج المحاكاة للخطر.

لقد ثبت أن LEB التكراري للرباعي السطوح المنتظم ينتج 8 فئات تشابه فقط. وعلاوة على ذلك، في حالة رباعي السطوح المتساوي الأضلاع تقريبًا حيث لا تكون حافتاه الأطول متصلتين ببعضهما البعض، وتكون النسبة بين أطول حافتين وأقصرهما أقل من أو تساوي ، فإن LEB التكراري لا ينتج أكثر من 37 فئة تشابه. ^[17] ${\sqrt {3/2}}$

الخصائص العامة

مقدار

يمكن الحصول على حجم رباعي السطوح بعدة طرق. ويمكن الحصول عليه باستخدام صيغة حجم الهرم: حيث π هي مساحة القاعدة و π هي الارتفاع من القاعدة إلى القمة. وينطبق هذا على كل من الخيارات الأربعة للقاعدة، وبالتالي فإن المسافات من القمم إلى الوجوه المقابلة تتناسب عكسيًا مع مساحة هذه الوجوه. وهناك طريقة أخرى وهي تشريح المنشور الثلاثي إلى ثلاث قطع. ^[18] $V={\frac {1}{3}}Ah.$ $A$ $h$

بالنظر إلى رؤوس رباعي السطوح فيما يلي: يمكن تحديد حجم رباعي السطوح من حيث المحدد ، ^{[19] أو أي تركيبة أخرى من أزواج الرؤوس التي تشكل}رسمًا بيانيًا متصلًا ببساطة . بمقارنة هذه الصيغة بتلك المستخدمة لحساب حجم متوازي السطوح ، نستنتج أن حجم رباعي السطوح يساوي ⁠ ${\begin{aligned}\mathbf {a} &=(a_{1},a_{2},a_{3}),\\\mathbf {b} &=(b_{1},b_{2},b_{3}),\\\mathbf {c} &=(c_{1},c_{2},c_{3}),\\\mathbf {d} &=(d_{1},d_{2},d_{3}).\end{aligned}}$ ${\textstyle {\frac {1}{6}}\det(\mathbf {a} -\mathbf {d} ,\mathbf {b} -\mathbf {d} ,\mathbf {c} -\mathbf {d} )}$ 1/6من حجم أي متوازي سطوح يشترك معه في ثلاثة حواف متقاربة.

يمكن تمثيل القيمة المطلقة للضرب الثلاثي القياسي على النحو التالي:

6\cdot V={\begin{Vmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{Vmatrix}}

أو حيث يتم التعبير عنها كمتجهات صف أو عمود.

6\cdot V={\begin{Vmatrix}\mathbf {a} \\\mathbf {b} \\\mathbf {c} \end{Vmatrix}}

{\begin{cases}\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3}),\\\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3}),\\\mathbf {c} =(c_{1},c_{2},c_{3}),\end{cases}}

لذلك

36\cdot V^{2}={\begin{vmatrix}\mathbf {a^{2}} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b^{2}} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} &\mathbf {c^{2}} \end{vmatrix}}

أين

{\begin{cases}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =ab\cos {\gamma },\\\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} =bc\cos {\alpha },\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} =ac\cos {\beta }.\end{cases}}

حيث ، ، و ، والذي يعطي $a={\begin{Vmatrix}\mathbf {a} \end{Vmatrix}}$ $b={\begin{Vmatrix}\mathbf {b} \end{Vmatrix}}$ $c={\begin{Vmatrix}\mathbf {c} \end{Vmatrix}}$

V={\frac {abc}{6}}{\sqrt {1+2\cos {\alpha }\cos {\beta }\cos {\gamma }-\cos ^{2}{\alpha }-\cos ^{2}{\beta }-\cos ^{2}{\gamma }}},\,

حيث α و β و γ هي زوايا المستوى التي تحدث في الرأس d . الزاوية α هي الزاوية بين الحافتين اللتين تربطان الرأس d بالرأسين b و c . الزاوية β هي الزاوية بين الحافتين اللتين تربطان الرأسين a و c ، بينما γ هي الزاوية بين الرأسين a و b .

إذا لم نطلب أن يكون d = 0، إذن

6\cdot V=\left|\det \left({\begin{matrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}&d_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}&d_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}&d_{3}\\1&1&1&1\end{matrix}}\right)\right|\,.

بالنظر إلى المسافات بين رؤوس رباعي السطوح، يمكن حساب الحجم باستخدام محدد كايلي-مينجر :

288\cdot V^{2}={\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&d_{14}^{2}\\1&d_{12}^{2}&0&d_{23}^{2}&d_{24}^{2}\\1&d_{13}^{2}&d_{23}^{2}&0&d_{34}^{2}\\1&d_{14}^{2}&d_{24}^{2}&d_{34}^{2}&0\end{vmatrix}}

حيث تمثل المؤشرات السفلية i و j ∈ {1 و2 و3 و4} الرؤوس { a و b و c و d } و dij هي المسافة الزوجية بينهما - أي طول الحافة التي تربط بين الرأسين. تعني القيمة السالبة للمحدد أنه لا يمكن إنشاء رباعي السطوح بالمسافات المعطاة. هذه الصيغة، التي تسمى أحيانًا صيغة تارتاجليا ، ترجع في الأساس _إلى الرسام بييرو ديلا فرانشيسكا في القرن الخامس عشر، كنظير ثلاثي الأبعاد لصيغة هيرون في القرن الأول لمساحة المثلث. ^[20]

ليكن ، ، و أطوال ثلاثة أضلاع تلتقي عند نقطة، و ، ، و أطوال الأضلاع المقابلة. حجم رباعي السطوح هو: ^[21] حيث تستخدم الصيغة أعلاه ستة أطوال للأضلاع، وتستخدم الصيغة التالية ثلاثة أطوال للأضلاع وثلاث زوايا. ^[21] $a$ $b$ $c$ $x$ $y$ $z$ $V$ $V={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}c^{2}-a^{2}X^{2}-b^{2}Y^{2}-c^{2}Z^{2}+XYZ}}{12}}$ ${\begin{aligned}X&=b^{2}+c^{2}-x^{2},\\Y&=a^{2}+c^{2}-y^{2},\\Z&=a^{2}+b^{2}-z^{2}.\end{aligned}}$ $V={\frac {abc}{6}}{\sqrt {1+2\cos {\alpha }\cos {\beta }\cos {\gamma }-\cos ^{2}{\alpha }-\cos ^{2}{\beta }-\cos ^{2}{\gamma }}}$

يمكن تحديد حجم رباعي السطوح باستخدام صيغة هيرون. افترض أن ، ، ، ، ، و هي أطوال أضلاع رباعي السطوح كما في الصورة التالية. هنا، تشكل الثلاثة الأولى مثلثًا، مع معاكس ، ومعاكس ، ومعاكس . ثم، حيث و $U$ $V$ $W$ $u$ $v$ $w$ $u$ $U$ $v$ $V$ $w$ $W$ $V={\frac {\sqrt {\,(-p+q+r+s)\,(p-q+r+s)\,(p+q-r+s)\,(p+q+r-s)}}{192\,u\,v\,w}}$ ${\begin{aligned}p={\sqrt {xYZ}},&\quad q={\sqrt {yZX}},\\r={\sqrt {zXY}},&\quad s={\sqrt {xyz}},\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}X=(w-U+v)(U+v+w),&\quad x=(U-v+w)(v-w+U),\\Y=(u-V+w)(V+w+u),&\quad y=(V-w+u)(w-u+V),\\Z=(v-W+u)(W+u+v),&\quad z=(W-u+v)\,(u-v+W).\end{aligned}}$

أي مستوى يحتوي على متوسطين (موصل بين نقاط منتصف الحواف المتقابلة) لرباعي السطوح ينصف حجم رباعي السطوح. ^[22]

بالنسبة للرباعي السطوح في الفضاء الزائدي أو في الهندسة الإهليلجية ثلاثية الأبعاد ، تحدد الزوايا ثنائية السطوح للرباعي السطوح شكله وبالتالي حجمه. في هذه الحالات، يُعطى الحجم بواسطة صيغة موراكامي-يانو ، بعد جون موراكامي وماساكازو يانو. ^[23] ومع ذلك، في الفضاء الإقليدي، يؤدي تغيير مقياس رباعي السطوح إلى تغيير حجمه ولكن ليس زواياه ثنائية السطوح، لذلك لا يمكن أن توجد مثل هذه الصيغة.

أي ضلعين متقابلين لرباعي السطوح يقعان على خطين مائلين ، والمسافة بين الضلعين تُعرف بأنها المسافة بين خطي الانحدار. ليكن المسافة بين خطي الانحدار المشكلين بواسطة ضلعين متقابلين وكما تم حسابها هنا . ثم تُعطى صيغة أخرى لحجم رباعي السطوح بواسطة $d$ $a$ $\mathbf {b} -\mathbf {c}$ $V$ $V={\frac {d|(\mathbf {a} \times \mathbf {(b-c)} )|}{6}}.$

خصائص مشابهة لتلك الخاصة بالمثلث

يمتلك رباعي السطوح العديد من الخصائص المشابهة لتلك الموجودة في المثلث، بما في ذلك الكرة الداخلية والكرة المحيطة والرباعي السطوح المتوسط والكرة الخارجية. وله مراكز خاصة مثل المركز الداخلي والمركز المحيط والمراكز الخارجية ومركز سبايكر ونقاط مثل مركز الثقل. ومع ذلك، لا يوجد بشكل عام مركز عمودي بمعنى الارتفاعات المتقاطعة. ^[24]

وجد غاسبار مونج مركزًا موجودًا في كل رباعي السطوح، يُعرف الآن باسم نقطة مونج : النقطة التي تتقاطع عندها المستويات الوسطى الستة لرباعي السطوح. يُعرَّف المستوى الأوسط بأنه مستوى متعامد على حافة تربط بين أي رأسين ويحتوي أيضًا على مركز ثقل حافة معاكسة تتشكل من خلال ربط الرأسين الآخرين. إذا تقاطعت ارتفاعات رباعي السطوح، فإن نقطة مونج والمركز المستقيم يتطابقان لإعطاء فئة رباعي السطوح المستقيم المركزي .

خط متعامد يسقط من نقطة مونج إلى أي وجه يلتقي بهذا الوجه في منتصف قطعة الخط بين مركز تقويم ذلك الوجه وسفح الارتفاع المتساقط من الرأس المقابل.

يُطلق على القطعة المستقيمة التي تصل بين رأس رباعي السطوح ومركز ثقل الوجه المقابل اسم المتوسط ، ويُطلق على القطعة المستقيمة التي تصل بين منتصفي حافتين متقابلتين اسم ثنائي المتوسط لرباعي السطوح. وبالتالي، يوجد أربعة متوسطات وثلاثة ثنائيات متوسطات في رباعي السطوح. تتزامن هذه القطع المستقيمة السبعة جميعها عند نقطة تسمى مركز ثقل رباعي السطوح. ^[25] بالإضافة إلى ذلك، يتم تقسيم المتوسطات الأربعة بنسبة 3:1 بواسطة مركز الثقل (انظر نظرية كوماندينو ). مركز ثقل رباعي السطوح هو نقطة المنتصف بين نقطة مونج ومركز محيطه. تحدد هذه النقاط خط أويلر لرباعي السطوح الذي يشبه خط أويلر للمثلث.

تحتوي الدائرة ذات النقاط التسع للمثلث العام على نظير في الكرة المحيطة لرباعي السطوح الأوسط لرباعي السطوح. إنها كرة ذات اثنتي عشرة نقطة وبجانب مراكز ثقل الوجوه الأربعة لرباعي السطوح المرجعي، تمر عبر أربع نقاط أويلر بديلة ، ثلث المسافة من نقطة مونج نحو كل من الرؤوس الأربعة. وأخيرًا تمر عبر النقاط الأساسية الأربع للخطوط المتعامدة المتساقطة من كل نقطة أويلر إلى الوجه الذي لا يحتوي على الرأس الذي ولّد نقطة أويلر. ^[26]

يقع مركز T للكرة ذات الاثنتي عشرة نقطة أيضًا على خط أويلر. وعلى عكس نظيره المثلثي، يقع هذا المركز على بعد ثلث المسافة من نقطة مونج M نحو مركز الدائرة. أيضًا، يكون الخط المتعامد عبر T إلى وجه مختار متوازيًا مع خطين متعامدين آخرين لنفس الوجه. الأول هو خط متعامد يمر عبر نقطة أويلر المقابلة إلى الوجه المختار. والثاني هو خط متعامد يمر عبر مركز الوجه المختار. يقع هذا الخط المتعامد عبر مركز الاثنتي عشرة نقطة في منتصف المسافة بين الخط المتعامد لنقطة أويلر والخط المتعامد لمركز الدائرة. علاوة على ذلك، بالنسبة لأي وجه، يقع مركز الاثنتي عشرة نقطة في منتصف نقطة أويلر المقابلة ومركز الدائرة لذلك الوجه.

يبلغ نصف قطر الكرة ذات الاثنتي عشرة نقطة ثلث نصف قطر محيط رباعي السطوح المرجعي.

هناك علاقة بين الزوايا التي تشكلها وجوه رباعي السطوح العام كما هو موضح في ^[27]

{\begin{vmatrix}-1&\cos {(\alpha _{12})}&\cos {(\alpha _{13})}&\cos {(\alpha _{14})}\\\cos {(\alpha _{12})}&-1&\cos {(\alpha _{23})}&\cos {(\alpha _{24})}\\\cos {(\alpha _{13})}&\cos {(\alpha _{23})}&-1&\cos {(\alpha _{34})}\\\cos {(\alpha _{14})}&\cos {(\alpha _{24})}&\cos {(\alpha _{34})}&-1\\\end{vmatrix}}=0\,

حيث α _ij هي الزاوية بين الوجهين i و j .

يرتبط المتوسط الهندسي لإحداثيات موضع الرأس في رباعي السطوح ومركزه المتساوي الأضلاع، في ظل ظروف مماثلة لتلك التي لوحظت في المثلث. وجد لورينز ليندلوف أن أي رباعي سطوح معين هو نقطة تُعرف الآن باسم مركز متساوي الأضلاع، O ، حيث تكون الزوايا الصلبة التي تحصرها الوجوه متساوية، ولها قيمة مشتركة هي π sr ، وحيث تكون الزوايا التي تحصرها الحواف المقابلة متساوية. ^[28] الزاوية الصلبة π sr هي ربع الزاوية التي تحصرها المساحة بأكملها. عندما تكون جميع الزوايا الصلبة عند رؤوس رباعي السطوح أصغر من π sr، تقع O داخل رباعي السطوح، ولأن مجموع المسافات من O إلى الرؤوس هو الحد الأدنى، فإن O يتطابق مع المتوسط الهندسي ، M ، للرؤوس. في حالة أن الزاوية الصلبة عند أحد الرؤوس، v ، تقيس بالضبط π sr، فإن O و M يتطابقان مع v . ومع ذلك، إذا كان لرباعي السطوح رأس، v ، بزاوية صلبة أكبر من π sr، فإن M لا تزال تتوافق مع v ، ولكن O تقع خارج رباعي السطوح.

العلاقات الهندسية

رباعي السطوح هو مجسم ثلاثي السطوح . وعلى عكس حالة الأشكال الأفلاطونية الأخرى، فإن جميع رؤوس رباعي السطوح المنتظم متساوية البعد عن بعضها البعض (وهي الترتيب الوحيد الممكن لأربع نقاط متساوية البعد في الفضاء ثلاثي الأبعاد، على سبيل المثال في الكهرومغناطيسية راجع مسألة تومسون ).

يقسم التضمين أعلاه المكعب إلى خمسة رباعيات سطوح، أحدها منتظم. في الواقع، خمسة هو الحد الأدنى لعدد رباعيات السطوح المطلوبة لتكوين مكعب. لرؤية ذلك، بدءًا من رباعي سطوح أساسي به 4 رؤوس، فإن كل رباعي سطوح مضاف يضيف رأسًا جديدًا واحدًا على الأكثر، لذا يجب إضافة 4 رباعيات سطوح أخرى على الأقل لتكوين مكعب به 8 رؤوس.

يؤدي كتابة رباعي السطوح داخل المركب المنتظم المكون من خمسة مكعبات إلى الحصول على مركبين منتظمين آخرين، يحتويان على خمسة وعشرة رباعيات السطوح.

لا يمكن للرباعيات السطوح المنتظمة أن تقسم الفضاء إلى مربعات من تلقاء نفسها، على الرغم من أن هذه النتيجة تبدو محتملة بما يكفي لدرجة أن أرسطو ادعى أنها ممكنة. ومع ذلك، يمكن دمج رباعيي سطوح منتظمين مع ثماني السطوح، مما يعطي معينًا يمكنه تقسيم الفضاء إلى مربعات على شكل قرص العسل رباعي السطوح ثماني السطوح .

من ناحية أخرى، هناك العديد من الأشكال الرباعية السطوح غير المنتظمة المعروفة، والتي يمكن لنسخ منها أن تبلط الفراغ، على سبيل المثال، الشكل المستقيم المميز للمكعب والشكل الوتدي لقرص العسل الرباعي السطوح الوتدي . تظل القائمة الكاملة مشكلة مفتوحة. ^[29]

إذا خففنا من شرط أن تكون كل رباعيات السطوح متماثلة الشكل، فيمكننا أن نبلط الفضاء باستخدام رباعيات السطوح فقط بعدة طرق مختلفة. على سبيل المثال، يمكننا تقسيم ثماني السطوح إلى أربعة رباعيات سطوح متطابقة ودمجها مرة أخرى مع اثنين منتظمين. (كملاحظة جانبية: هذان النوعان من رباعيات السطوح لهما نفس الحجم).

يعتبر الشكل الرباعي السطوح فريدًا من بين متعددات السطوح المنتظمة لأنه لا يحتوي على أي وجوه متوازية.

قانون الجيب للرباعيات السطوح ومساحة جميع أشكال الرباعيات السطوح

النتيجة المترتبة على قانون الجيب المعتاد هي أنه في رباعي السطوح ذو الرؤوس O و A و B و C ، لدينا

\sin \angle OAB\cdot \sin \angle OBC\cdot \sin \angle OCA=\sin \angle OAC\cdot \sin \angle OCB\cdot \sin \angle OBA.\,

من الممكن أن ننظر إلى جانبي هذه الهوية على أنهما يتوافقان مع اتجاه عقارب الساعة وعكس اتجاه عقارب الساعة للسطح.

إن وضع أي من الرؤوس الأربعة في دور O يُنتج أربع هويات من هذا القبيل، ولكن ثلاثة منها على الأكثر تكون مستقلة: إذا تم ضرب الجوانب "التي تدور في اتجاه عقارب الساعة" لثلاثة منها واستُنتج أن الحاصل يساوي حاصل ضرب الجوانب "التي تدور عكس اتجاه عقارب الساعة" لنفس الهويات الثلاث، ثم تم إلغاء العوامل المشتركة من كلا الجانبين، تكون النتيجة هي الهوية الرابعة.

إن الزوايا الثلاث هي زوايا مثلث ما إذا وفقط إذا كان مجموعها 180 درجة (π راديان). ما هو الشرط اللازم والكافي على الزوايا الاثنتي عشرة لتكون الزوايا الاثنتي عشرة لرباعي السطوح؟ من الواضح أن مجموع زوايا أي ضلع من رباعي السطوح يجب أن يكون 180 درجة. ولأن هناك أربعة مثلثات من هذا القبيل، فهناك أربعة قيود على مجموع الزوايا، وبالتالي يتم تقليل عدد درجات الحرية من 12 إلى 8. إن العلاقات الأربع التي يعطيها قانون الجيب هذا تقلل عدد درجات الحرية من 8 إلى 5 وليس 4، لأن القيد الرابع ليس مستقلاً عن القيدات الثلاثة الأولى. وبالتالي فإن فضاء جميع أشكال رباعي السطوح هو خماسي الأبعاد. ^[30]

قانون جيب التمام للرباعي السطوح

ليكن ، ، ، نقاط رباعي السطوح. وليكن مساحة الوجه المقابل للرأس وليكن الزاوية ثنائية السطوح بين وجهي رباعي السطوح المجاورين للحافة . قانون جيب التمام لرباعي السطوح، الذي يربط مساحات وجوه رباعي السطوح بالزوايا ثنائية السطوح حول الرأس، يعطى بالعلاقة التالية: ^[31] $P_{1}$ $P_{2}$ $P_{3}$ $P_{4}$ $\Delta _{i}$ $P_{i}$ $\theta _{ij}$ $P_{i}P_{j}$ $\Delta _{i}^{2}=\Delta _{j}^{2}+\Delta _{k}^{2}+\Delta _{l}^{2}-2(\Delta _{j}\Delta _{k}\cos \theta _{il}+\Delta _{j}\Delta _{l}\cos \theta _{ik}+\Delta _{k}\Delta _{l}\cos \theta _{ij})$

نقطة داخلية

ليكن P أي نقطة داخلية لرباعي السطوح ذي الحجم V حيث تكون رؤوسه A و B و C و D ، وحيث تكون مساحات الوجوه المقابلة له هي F _a و F _b و F _c و F _d . إذن ^[32]^{: ص.62، #1609}

PA\cdot F_{\mathrm {a} }+PB\cdot F_{\mathrm {b} }+PC\cdot F_{\mathrm {c} }+PD\cdot F_{\mathrm {d} }\geq 9V.

بالنسبة للرؤوس A و B و C و D والنقطة الداخلية P والقدم J و K و L و M للخطوط العمودية من P إلى الوجوه، ولنفترض أن الوجوه لها مساحات متساوية، إذن ^[32]^{: ص 226، #215}

PA+PB+PC+PD\geq 3(PJ+PK+PL+PM).

داخل نصف القطر

عند الإشارة إلى نصف قطر رباعي السطوح بـ r ونصف قطر وجوهه المثلثية بـ r _i حيث i = 1, 2, 3, 4، لدينا ^[32]^{: ص 81، #1990}

{\frac {1}{r_{1}^{2}}}+{\frac {1}{r_{2}^{2}}}+{\frac {1}{r_{3}^{2}}}+{\frac {1}{r_{4}^{2}}}\leq {\frac {2}{r^{2}}},

مع المساواة إذا وفقط إذا كان رباعي السطوح منتظمًا.

إذا كانت A ₁ و A ₂ و A ₃ و A ₄ تمثل مساحة كل وجه، فإن قيمة r تُعطى بواسطة

r={\frac {3V}{A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}}}

.

يتم الحصول على هذه الصيغة من تقسيم رباعي السطوح إلى أربعة رباعيات سطوح تكون نقاطها هي النقاط الثلاث لأحد الوجوه الأصلية والمركز الداخلي. نظرًا لأن رباعيات السطوح الفرعية الأربعة تملأ الحجم، فلدينا . $V={\frac {1}{3}}A_{1}r+{\frac {1}{3}}A_{2}r+{\frac {1}{3}}A_{3}r+{\frac {1}{3}}A_{4}r$

محيط

حدد نصف القطر المحيط بمجسم رباعي السطوح بـ R. ليكن a و b و c أطوال الأضلاع الثلاثة التي تلتقي عند رأس، وليكن A و B و C أطوال الأضلاع المقابلة. ليكن V حجم المجسم الرباعي السطوح. ثم ^[33]^[34]

R={\frac {\sqrt {(aA+bB+cC)(aA+bB-cC)(aA-bB+cC)(-aA+bB+cC)}}{24V}}.

محيط المركز

يمكن إيجاد مركز محيط رباعي السطوح كتقاطع لثلاث مستويات منصفات. يتم تعريف المستوى المنصف على أنه المستوى الذي يقع في مركز رباعي السطوح، ويتعامد عليه. وفقًا لهذا التعريف، يمكن صياغة مركز محيط رباعي السطوح $C برؤوس$ $x 0$ و $x 1$ و $x 2$ و $x 3$ على أنه حاصل ضرب مصفوفة-متجه: ^[35]

{\begin{aligned}C&=A^{-1}B&{\text{where}}&\ &A=\left({\begin{matrix}\left[x_{1}-x_{0}\right]^{T}\\\left[x_{2}-x_{0}\right]^{T}\\\left[x_{3}-x_{0}\right]^{T}\end{matrix}}\right)&\ &{\text{and}}&\ &B={\frac {1}{2}}\left({\begin{matrix}\|x_{1}\|^{2}-\|x_{0}\|^{2}\\\|x_{2}\|^{2}-\|x_{0}\|^{2}\\\|x_{3}\|^{2}-\|x_{0}\|^{2}\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}

على النقيض من مركز الثقل، قد لا يقع مركز الدائرة المحيطية دائمًا على الجانب الداخلي من رباعي السطوح. وعلى نحو مماثل للمثلث المنفرج، يقع مركز الدائرة المحيطية خارج الجسم في رباعي السطوح المنفرج.

مركز الثقل

يمكن حساب مركز كتلة رباعي السطوح باعتباره المتوسط الحسابي لرؤوسه الأربعة، انظر مركز الثقل .

وجوه

مجموع مساحات أي ثلاثة وجوه أكبر من مساحة الوجه الرابع. ^[32]^{: ص225، #159}

رباعي السطوح الصحيح

توجد رباعيات سطوح ذات أطوال حواف ومساحة وجه وحجم ذات قيمة عددية صحيحة. تسمى هذه رباعيات السطوح الهيرونية . أحد الأمثلة له حافة واحدة تساوي 896، والحافة المقابلة تساوي 990 والحواف الأربعة الأخرى تساوي 1073؛ وجهان عبارة عن مثلثين متساويي الساقين بمساحة تساوي436 800 والاثنان الآخران متساويان الساقين بمساحة47 120 ، في حين أن الحجم هو124 185 600 . ^[36]

يمكن أن يحتوي رباعي السطوح على حجم صحيح وأعداد صحيحة متتالية كأحرف، ومن الأمثلة على ذلك الشكل الذي له الأضلاع 6 و7 و8 و9 و10 و11 وحجم 48. ^[37]

متعددات السطوح والمركبات ذات الصلة

يمكن رؤية رباعي السطوح المنتظم على شكل هرم مثلثي .

الأهرامات المنتظمة
ديجونال	مثلثي	مربع	خماسي	سداسي الشكل	سباعي	...
غير لائق	عادي	متساوي الأضلاع		متساوي الساقين
						...
						...

يمكن رؤية رباعي السطوح المنتظم على أنه متعدد السطوح منحط، وهو عبارة عن منشور مضاد ثنائي الأضلاع موحد ، حيث تكون المضلعات القاعدية عبارة عن ثنائيات أضلاع مخفضة .

عائلة من المنشورات المضادة المنتظمة ذات n -gonal
ف
ت
هـ
اسم المنشور المضاد	منشور مضاد ثنائي الزوايا	(ثلاثي) منشور مضاد مثلثي	( مربع رباعي الزوايا) منشور مضاد	منشور مضاد خماسي	منشور مضاد سداسي	منشور مضاد سباعي	...	منشور مضاد شبه دائري
صورة متعدد السطوح							...
صورة بلاط كروية							صورة بلاط مستوية
تكوين الرأس.	2.3.3.3	3.3.3.3	4.3.3.3	5.3.3.3	6.3.3.3	7.3.3.3	...	∞.3.3.3

يمكن رؤية رباعي السطوح المنتظم على أنه متعدد السطوح منحط، وهو عبارة عن شبه منحرف ثنائي السطوح موحد ، يحتوي على 6 رؤوس، في مجموعتين من الحواف المتوازية.

عائلة من الأشكال شبه المنحرفة ذات *النقطتين*
اسم شبه المنحرف	شبه منحرف رقمي (رباعي السطوح)	شبه منحرف ثلاثي الأضلاع	شبه منحرف رباعي السطوح	شبه منحرف خماسي	شبه منحرف سداسي	...	شبه منحرف شبه منحرف
صورة متعدد السطوح						...
صورة بلاط كروية						صورة بلاط مستوية
تكوين الوجه	الإصدار 2.3.3.3	الإصدار 3.3.3.3	الإصدار 4.3.3.3	الإصدار 5.3.3.3	الإصدار 6.3.3.3	...	ف∞.3.3.3

تنتج عملية القطع المطبقة على رباعي السطوح سلسلة من متعددات السطوح المنتظمة . يؤدي قطع الحواف إلى نقاط إلى إنتاج ثماني السطوح على هيئة رباعي سطوح مصحح. تكتمل العملية على هيئة تصحيح ثنائي، مما يقلل من الوجوه الأصلية إلى نقاط، وينتج رباعي السطوح المزدوج مرة أخرى.

عائلة من الأشكال الرباعية السطوح المنتظمة
التماثل : [3,3] ، (*332)							[3,3] ⁺ , (332)


{3,3}	ت{3،3}	ر{3،3}	ت{3،3}	{3,3}	ر{3،3}	تر{3،3}	س{3،3}
ثنائيات إلى متعددات السطوح المنتظمة

الإصدار 3.3.3	الإصدار 3.6.6	الإصدار 3.3.3.3	الإصدار 3.6.6	الإصدار 3.3.3	الإصدار 3.4.3.4	الإصدار 4.6.6	الإصدار 3.3.3.3.3.3

يرتبط هذا متعدد السطوح طوبولوجيًا كجزء من تسلسل متعددات السطوح المنتظمة ذات رموز شليفلي {3، n }، ويستمر في المستوى الزائدي .

* n 32 طفرة تماثل البلاط المنتظم: {3، n } ف ت هـ
كروي				إقليدس.	مضغوط للغاية.		باراكو.	قطع زائد غير مضغوط

3.3	33	3 ⁴	3 ⁵	3 ⁶	3 ⁷	3 ⁸	3 ^∞	3 ¹²ⁱ	3 ⁹ⁱ	3 ^6اي	3 ^3اي

يرتبط رباعي السطوح طوبولوجيًا بسلسلة من متعددات السطوح المنتظمة والبلاطات ذات أشكال الرؤوس من الدرجة الثالثة .

* n 32 طفرة تماثل البلاط المنتظم: { n ،3} ف ت هـ
كروي				إقليدي	هايبر ب مضغوط.		باراكو.	قطع زائد غير مضغوط

{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}	{12ي،3}	{9أ،3}	{6ي،3}	{3ي،3}

يمكن إنشاء متعدد السطوح مثير للاهتمام من خمسة رباعيات السطوح متقاطعة . هذا المركب من خمسة رباعيات السطوح معروف منذ مئات السنين. يظهر بانتظام في عالم الأوريجامي . إن ضم الرؤوس العشرين سيشكل مجسمًا اثني عشري السطوح منتظمًا . هناك أشكال يسارية ويمنى ، وهي صور معكوسة لبعضها البعض . يؤدي تراكب كلا الشكلين إلى الحصول على مركب من عشرة رباعيات السطوح ، حيث يتم ترتيب رباعيات السطوح العشرة على شكل خمسة أزواج من ثماني الزوايا . ثماني الزوايا هو مركب من اثنين من رباعيات السطوح في وضع مزدوج ورؤوسه الثمانية تحدد المكعب كغلاف محدب.

المجسم المربع هو شكل آخر من أشكال متعدد السطوح له أربعة أوجه، ولكنه لا يحتوي على وجوه مثلثة.

إن متعدد السطوح Szilassi والرباعي السطوح هما الشكلان الوحيدان المعروفان حيث يشترك كل وجه في حافة مع وجه آخر. علاوة على ذلك، فإن متعدد السطوح Császár (وهو في حد ذاته ثنائي متعدد السطوح Szilassi) والرباعي السطوح هما الشكلان الوحيدان المعروفان حيث يقع كل قطر على الجانبين.

التطبيقات

التحليل العددي

في التحليل العددي ، يتم تقسيم الأشكال ثلاثية الأبعاد المعقدة عادةً إلى شبكة متعددة الأضلاع من رباعيات السطوح غير المنتظمة أو تقريبها باستخدامها في عملية إعداد معادلات تحليل العناصر المحدودة وخاصة في الحل العددي للمعادلات التفاضلية الجزئية . هذه الطرق لها تطبيقات واسعة في التطبيقات العملية في ديناميكيات الموائع الحسابية ، والديناميكا الهوائية ، والحقول الكهرومغناطيسية ، والهندسة المدنية ، والهندسة الكيميائية ، والهندسة المعمارية والهندسة البحرية ، والمجالات ذات الصلة.

الهندسة الإنشائية

إن رباعي السطوح ذو الحواف الصلبة يكون صلبًا بطبيعته. ولهذا السبب غالبًا ما يستخدم لتقوية الهياكل الإطارية مثل الإطارات الفضائية .

التحصين

تُستخدم الأشكال الرباعية السطوح في المجسمات الحجرية لتوفير سلاح لإنكار المنطقة . ويرجع هذا إلى طبيعتها المتمثلة في وجود زاوية حادة تشير دائمًا إلى الأعلى.

تم استخدام رباعيات السطوح الخرسانية الكبيرة كإجراءات مضادة للدبابات ، أو كرباعيات الأرجل لكسر الأمواج على السواحل.

الطيران

في بعض المطارات ، يتم تثبيت إطار كبير على شكل رباعي السطوح ذو جانبين مغطيين بمادة رقيقة على محور دوار ويشير دائمًا إلى الريح. يتم بناؤه بشكل كبير بما يكفي لرؤيته من الجو وأحيانًا يكون مضاءً. الغرض منه هو أن يكون بمثابة مرجع للطيارين للإشارة إلى اتجاه الريح. ^[38]

كيمياء

يظهر شكل رباعي السطوح في الطبيعة في الجزيئات المرتبطة تساهميًا . جميع الذرات ^{المهجنة} sp3 محاطة بذرات (أو أزواج إلكترون وحيدة ) عند الزوايا الأربع لرباعي السطوح. على سبيل المثال في جزيء الميثان ( CH3)
₄) أو أيون الأمونيوم ( NH⁺
₄)، تحيط أربع ذرات هيدروجين بذرة كربون أو نيتروجين مركزية بتناظر رباعي السطوح. ولهذا السبب، تُسمى إحدى المجلات الرائدة في الكيمياء العضوية تيتراهيدرون . الزاوية المركزية بين أي رأسين لرباعي السطوح المثالي هي قوس (− )1/3⁠ )، أو ما يقرب من 109.47 درجة. ^[39]

الماء , ح
₂يحتوي O أيضًا على بنية رباعية السطوح، مع ذرتين من الهيدروجين وزوجين منفردين من الإلكترونات حول ذرات الأكسجين المركزية. ومع ذلك، فإن تناسقه الرباعي السطوح ليس مثاليًا، لأن الأزواج المنفردة تتنافر أكثر من الروابط O–H المفردة.

يتم تمثيل مخططات الطور الرباعي لمخاليط المواد الكيميائية بيانياً على شكل رباعي السطوح.

ومع ذلك، يتم تمثيل مخططات الطور الرباعي في هندسة الاتصالات بيانياً على مستوى ثنائي الأبعاد.

توجد جزيئات ذات شكل يعتمد على أربع ذرات قريبة تشكل روابطها جوانب بنية رباعية السطوح، مثل متآصل الفوسفور الأبيض ^[40] وتيترا -ت -بوتيل تيتراهيدران، وهو مشتق معروف من رباعي السطوح الافتراضي .

الكهرباء والالكترونيات

إذا تم لحام ستة مقاومات متساوية معًا لتشكيل رباعي السطوح، فإن المقاومة المقاسة بين أي رأسين تكون نصف مقاومة واحدة. ^[41]

نظرًا لأن السيليكون هو أشباه الموصلات الأكثر شيوعًا المستخدمة في الإلكترونيات ذات الحالة الصلبة ، ولأن السيليكون له تكافؤ أربعة، فإن الشكل الرباعي السطوح للروابط الكيميائية الأربعة في السيليكون له تأثير قوي على كيفية تشكل بلورات السيليكون والأشكال التي تتخذها.

مساحة اللون

تُستخدم رباعيات السطوح في خوارزميات تحويل مساحة اللون على وجه التحديد في الحالات التي يقسم فيها محور السطوع مساحة اللون قطريًا (على سبيل المثال RGB وCMY). ^[42]

ألعاب

كانت لعبة أور الملكية ، التي يعود تاريخها إلى عام 2600 قبل الميلاد، تُلعب بمجموعة من النرد رباعي السطوح.

وخاصة في لعب الأدوار ، يُعرف هذا الجسم الصلب باسم النرد رباعي الأوجه ، وهو أحد أكثر النرد متعدد السطوح شيوعًا ، حيث يظهر الرقم الذي تم رميه حول الجزء السفلي أو على الرأس العلوي. بعض الألغاز التي تشبه مكعب روبيك رباعية السطوح، مثل Pyraminx و Pyramorphix .

الجيولوجيا

كانت فرضية رباعي السطوح ، التي نشرها في الأصل ويليام لوثيان جرين لشرح تشكل الأرض، ^[43] شائعة في أوائل القرن العشرين. ^[44]^[45]

الثقافة الشعبية

الأجسام الرباعية السطوح

كان ستانلي كوبريك ينوي في الأصل أن يكون المونوليث في فيلم 2001: ملحمة الفضاء على شكل رباعي السطوح، وفقًا لما ذكره مارفن مينسكي ، وهو عالم إدراكي وخبير في الذكاء الاصطناعي نصح كوبريك بشأن جهاز الكمبيوتر هال 9000 وجوانب أخرى من الفيلم. تخلى كوبريك عن فكرة استخدام رباعي السطوح لأن الزائر الذي شاهد لقطات منه لم يتعرف على ماهيته ولم يكن يريد أي شيء في الفيلم لا يفهمه الأشخاص العاديون. ^[46]

الشكل الرباعي السطوح ذو الوجوه المنتظمة هو حل لغز قديم يطلب تكوين أربعة مثلثات متساوية الأضلاع باستخدام ستة أعواد ثقاب غير مكسورة. الحل يضع أعواد الثقاب على طول حواف الشكل الرباعي السطوح. ^[47]

الرسم البياني رباعي السطوح

يشكل هيكل رباعي السطوح (المكون من الرؤوس والحواف) رسمًا بيانيًا ، به 4 رؤوس و6 حواف. وهو حالة خاصة من الرسم البياني الكامل ، K ₄ ، ورسم بياني للعجلة ، W ₄ . ^[48] وهو أحد الرسوم البيانية الأفلاطونية الخمسة ، كل منها عبارة عن هيكل لجسمه الأفلاطوني .

التماثل الثلاثي

انظر أيضا

حلزون بورديك-كوكستر
تكوين موبيوس
كالتروب
نظائر المكعبات شبه الفائقة والمكعبات البسيطة ذات الأبعاد n
الخماسي – نظير رباعي الأبعاد
التآزر (فولر)
طائرة ورقية رباعية السطوح
رقم رباعي السطوح
رباعي السطوح
التعبئة الرباعية السطوح
هرم ثنائي الشكل مثلثي الشكل – تم بناؤه عن طريق ربط شكلين رباعيي السطوح على طول وجه واحد
رباعي السطوح ثلاثي المستطيلات
مخطط أورثوسكي

ملحوظات

^ وهي أيضًا الزاوية بين حدود الهضبة عند الرأس. وفي الكيمياء، تسمى زاوية الرابطة الرباعية السطوح. هذه الزاوية (بالراديان) هي أيضًا طول القوس الدائري على الكرة الوحدوية الناتج عن إسقاط أحد حواف رباعي السطوح مركزيًا على الكرة.
^ يستخدم (Coxeter 1973) الحرف اليوناني 𝝓 (phi) لتمثيل إحدى الزوايا المميزة الثلاث 𝟀 و𝝓 و𝟁 لمتعدد السطوح المنتظم. ولأن 𝝓 يُستخدم عادةً لتمثيل ثابت النسبة الذهبية ≈ 1.618، والذي يستخدم له Coxeter 𝝉 (tau)، فإننا نعكس اتفاقيات Coxeter، ونستخدم 𝝉 لتمثيل الزاوية المميزة.

مراجع

^ ab Weisstein, Eric W. "رباعي السطوح". MathWorld .
^ فورد، والتر بيرتون؛ أميرمان، تشارلز (1913)، الهندسة المستوية والصلبة، ماكميلان، ص 294-295
^ كاندي 1952.
^ شافينينا 2013، ص 333.
^ كرومويل 1997، ص 55.
^ abc Coxeter 1948، الجدول الأول (i).
^ كولر ، يورغن، “رباعي الاسطح”، Mathematische Basteleien2001
^ السينا ونيلسن 2015، ص. 68.
^
- كوكستر 1948 الجدول الأول (i).
- بريتين 1945
^ بارك 2016.
^ "أقسام رباعي السطوح".
^ Coxeter, HSM (1989). "Trisecting an Orthoscheme". Computers Math. Applic . 17 (1–3): 59–71. doi : 10.1016/0898-1221(89)90148-X .
^ ab Coxeter 1973، ص 71-72، §4.7 رباعي السطوح المميز.
^ Coxeter 1973، ص 292-293، الجدول I(i)؛ "رباعي السطوح، 𝛼 ₃ ".
^ Coxeter 1973، ص 33-34، §3.1 التحولات المتطابقة.
^ Coxeter 1973، ص 63، §4.3 مجموعات الدوران في بعدين؛ مفهوم المنطقة الأساسية .
^ Trujillo-Pino, Agustín; Suárez, Jose Pablo; Padrón, Miguel A. (2024). "عدد محدود من فئات التشابه في أطول حافة ثنائية السطوح لرباعي السطوح المتساوي الأضلاع تقريبًا". الرياضيات التطبيقية والحوسبة . 472 : 128631. doi : 10.1016/j.amc.2024.128631 . hdl : 10553/129894 . ISSN 0096-3003.
^ السينا ونيلسن 2015، ص. 67.
^ فيكيتي 1985، ص 68.
^ "أحجام السيمبليكس ومحدد كايلي-مينجر"، MathPages.com
^ ab Kahan 2012، ص 11.
^ بوتيما 1969.
^ موراكامي ويانو 2005.
^ هافليتشيك، هانز؛ فايس، جونتر (2003). "ارتفاعات رباعي السطوح والأشكال التربيعية التي لا تتبع مسارًا" (PDF) . المجلة الرياضية الأمريكية . 110 (8): 679–693. arXiv : 1304.0179 . doi :10.2307/3647851. JSTOR 3647851.
^ Leung, Kam-tim; and Suen, Suk-nam; "Vectors, matrices and geometry", Hong Kong University Press, 1994, pp. 53–54
^ Outudee, Somluck; New, Stephen. The Various Kinds of Centres of Simplices (PDF) . قسم الرياضيات، جامعة شولالونغكورن، بانكوك. مؤرشف من الأصل في 27 فبراير 2009.{{cite book}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)
^ أوديت ، دانيال (مايو 2011). "المحددات الكروية والقطع الزائد لكايلي مينجر" (PDF) . نشرة AMQ.
^ ليندلوف ، إل. (1867). "على الحد الأقصى والحد الأدنى من وظيفة الأشعة الموجهة أقل من نقطة متنقلة إلى أكثر من مركز ثابت". Acta Societatis Scientiarum Fennicae . 8 (الجزء الأول): 189-203.
^ Senechal, Marjorie (1981). "أي رباعي السطوح يملأ الفضاء؟". مجلة الرياضيات . 54 (5). الجمعية الرياضية الأمريكية: 227-243. doi :10.2307/2689983. JSTOR 2689983.
^ راسات، أندريه؛ فاولر، باتريك دبليو. (2004). "هل يوجد "رباعي السطوح الأكثر كايرالية"؟". الكيمياء: مجلة أوروبية . 10 (24): 6575-6580. doi :10.1002/chem.200400869. PMID 15558830.
^ لي 1997.
^ ABCD عدم المساواة المقترحة في “ Crux Mathematicorum ” ، [1].
^ كريل ، آل (1821). "Einige Bemerkungen über die Dreiseitige Pyramide". عالم الرياضيات الصغير يستمتع بك. Bemerkungen 1 (بالألمانية). برلين: ماورر. ص 105-132 . تم الاسترجاع في 7 أغسطس 2018 .
^ تودهنتر، آي. (1886)، علم المثلثات الكروي: للاستخدام في الكليات والمدارس، ص 129( المادة 163 )
^ ليفي، برونو؛ ليو، يانغ (2010)، " تبليط فورونوي المركزي $L$ $p$ وتطبيقاته"، معاملات ACM للرسومات ، 29 (4): 119:1–119:11، doi :10.1145/1778765.1778856
^ “مشكلة 930” (PDF) ، الحلول، Crux Mathematicorum ، 11 (5): 162–166، مايو 1985
^ Wacław Sierpiński ، مثلثات فيثاغورس ، منشورات دوفر، 2003 (الطبعة الأصلية 1962)، ص 107. لاحظ مع ذلك أن Sierpiński يكرر حسابًا خاطئًا لحجم مثال رباعي السطوح الهيروني أعلاه.
^ إدارة الطيران الفيدرالية (2009)، دليل الطيار للمعرفة الجوية، مكتب الطباعة الحكومي الأمريكي، ص 13-10، رقم ISBN 9780160876110.
^ Brittin, WE (1945). "زاوية التكافؤ لذرة الكربون رباعية السطوح". مجلة التعليم الكيميائي . 22 (3): 145. Bibcode :1945JChEd..22..145B. doi :10.1021/ed022p145.
^ "الفوسفور الأبيض". الجمعية الكيميائية الأمريكية . تم الاسترجاع في 26 مايو 2024 .
^ كلاين، دوغلاس ج. (2002). "قواعد مجموع المقاومة والمسافة" (PDF) . Croatica Chemica Acta . 75 (2): 633–649. مؤرشف من الأصل (PDF) في 10 يونيو 2007. تم الاسترجاع في 15 سبتمبر 2006 .
^ Vondran, Gary L. (April 1998). "Radial and Pruned Tetrahedral Interpolation Techniques" (PDF) . HP Technical Report . HPL-98-95: 1–32. مؤرشف من الأصل (PDF) في 7 يونيو 2011. تم الاسترجاع في 11 نوفمبر 2009 .
^ جرين، ويليام لوثيان (1875). بقايا الكرة المنصهرة، كما تظهر في شكل الأرض، والنشاط البركاني والجغرافيا الطبيعية. المجلد. الجزء الأول. لندن: إي. ستانفورد. رمز المكتبة : 1875vmge.book.....G. OCLC 3571917.
^ هولمز، آرثر (1965). مبادئ الجيولوجيا الفيزيائية . نيلسون. ص 32. ISBN 9780177612992.
^ هيتشكوك، تشارلز هنري (يناير 1900). وينشيل، نيوتن هوراس (محرر). "ويليام لوثيان جرين ونظريته في تطور سمات الأرض". الجيولوجي الأمريكي . المجلد الخامس والعشرون. شركة النشر الجيولوجي. ص 1-10.
^ "مارفن مينسكي: ستانلي كوبريك يتخلى عن الشكل الرباعي السطوح". موقع ويب أوف ستوريز . تم الاسترجاع في 20 فبراير 2012 .
^ بيل، ألكسندر جراهام (يونيو 1903). "مبدأ رباعي السطوح في بنية الطائرة الورقية". مجلة ساينتفك أمريكان . 55 (1432ملحق): ص2294-22950. doi :10.1038/scientificamerican06131903-22947ملحق.
^ Weisstein, Eric W. "الرسم البياني رباعي السطوح". MathWorld .

فهرس

ألسينا، سي؛ نيلسن، آر بي (2015). أوديسة الفضاء الرياضية: الهندسة الصلبة في القرن الحادي والعشرين . الرابطة الرياضية الأمريكية . رقم ISBN 978-1-61444-216-5.
بوتيما، أو. (1969). “نظرية بوبيلييه على رباعي الاسطح”. عنصر الرياضيات . 24 : 6-10.
كوكستر، إتش إس إم (1948). متعددات السطوح المنتظمة . ميثيون وشركاه.
كوكستر، إتش إس إم (1973). متعددات السطوح المنتظمة (الطبعة الثالثة). نيويورك: منشورات دوفر .
كرومويل، بيتر ر. (1997). متعدد السطوح. مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-55432-9.
كاندي، إتش مارتن (1952). "دلتاهدرا". الجريدة الرياضية . 36 (318): 263-266. doi :10.2307/3608204. JSTOR 3608204. S2CID 250435684.
فيكيت، الإمارات العربية المتحدة (1985). الجبر الخطي الحقيقي. شركة مارسيل ديكر ISBN 978-0-8247-7238-3.
كاهان، دبليو إم (2012). ما علاقة حجم رباعي السطوح بلغات البرمجة الحاسوبية؟ (ملف PDF) (أطروحة). ص 16-17.
كيبلر، يوهانس (1619). تناغم العالم . يوهان بلانك.
لي، جونج راي (1997). "قانون جيب التمام في رباعي السطوح". مجلة كوريا الاجتماعية للرياضيات التربوية، سلسلة ب: الرياضيات التطبيقية البحتة . 4 (1): 1-6.
موراكامي، جون؛ يانو، ماساكازو (2005). "حول حجم رباعي السطوح الزائدي والكروي". الاتصالات في التحليل والهندسة . 13 (2): 379-400. doi : 10.4310/cag.2005.v13.n2.a5 . ISSN 1019-8385. MR 2154824.
بارك، بو سونغ (2016). "مسافات متعددات السطوح المنتظمة" (PDF) . المنتدى الهندسي . 16 : 227-232.
شافينينا، لاريسا ف. (2013). دليل روتليدج الدولي للتعليم المبتكر . روتليدج. رقم ISBN 978-0-203-38714-6.

روابط خارجية

وايسشتاين، إريك دبليو. "رباعي السطوح". MathWorld .
نماذج ورقية مجانية لرباعي السطوح والعديد من الأشكال المتعددة السطوح الأخرى
رباعي السطوح غير منتظم، يملأ الفراغ، ويتضمن أيضًا وصفًا لـ "حلقة دوارة من رباعي السطوح"، والمعروفة أيضًا باسم حلقة الكاليدو .

ف ت هـ متعددات السطوح المنتظمة والمنتظمة الأساسية في أبعاد 2-10
عائلة	أ _ن	ب _ن	أنا ₂ (ص) / د _ن	ع ₆ / ع ₇ / ع ₈ / ف ₄ / ج ₂	ح _ن
مضلع منتظم	مثلث	مربع	ب-غون	مسدس	البنتاغون
متعدد السطوح المنتظم	رباعي السطوح	ثماني السطوح • مكعب	ديميكيوب		اثني عشر وجهًا • عشرين وجهًا
متعدد الألوان موحد	خماسي	16 خلية • تيسيراكت	ديميتسيراكت	24 خلية	120 خلية • 600 خلية
متعدد السطوح الخماسي الموحد	5-بسيط	5-أورثوبلكس • 5-مكعب	5-ديميكوب
متعدد السطوح موحد ذو ستة أوجه	6-بسيط	6-أورثوبلكس • 6-مكعب	6- ديميكوب	1 ₂₂ • 2 ₂₁
متعدد السطوح الموحد ذو السبعة أوجه	7-بسيط	7-أورثوبلكس • 7-مكعب	7- ديميكوب	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
متعدد السطوح الموحد ذو الثمانية	8-بسيط	8-أورثوبلكس • 8-مكعب	8-ديميكوب	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
متعدد السطوح الموحد ذو التسعة أوجه	9-بسيط	9-أورثوبلكس • 9-مكعب	9-ديميكوب
متعدد السطوح موحد ذو 10 أوجه	10-بسيط	10-أورثوبلكس • 10-مكعب	10-ديميكوب
متعدد السطوح موحد n	ن - بسيط	ن - أورثوبليكس • ن - مكعب	ن - ديميكوبي	1 _ك2 • 2 _ك1 • ك ₂₁	ن - متعدد السطوح الخماسي
المواضيع: عائلات متعددات السطوح • متعددات السطوح المنتظمة • قائمة متعددات السطوح المنتظمة والمركبات

Original text

Rate this translation

Your feedback will be used to help improve Google Translate

[9] وهي أيضًا الزاوية بين حدود الهضبة عند الرأس. وفي الكيمياء، تسمى زاوية الرابطة الرباعية السطوح. هذه الزاوية (بالراديان) هي أيضًا طول القوس الدائري على الكرة الوحدوية الناتج عن إسقاط أحد حواف رباعي السطوح مركزيًا على الكرة.

[reversed_greek_symbols-16] يستخدم (Coxeter 1973) الحرف اليوناني 𝝓 (phi) لتمثيل إحدى الزوايا المميزة الثلاث 𝟀 و𝝓 و𝟁 لمتعدد السطوح المنتظم. ولأن 𝝓 يُستخدم عادةً لتمثيل ثابت النسبة الذهبية ≈ 1.618، والذي يستخدم له Coxeter 𝝉 (tau)، فإننا نعكس اتفاقيات Coxeter، ونستخدم 𝝉 لتمثيل الزاوية المميزة.

[MW-1] Weisstein, Eric W. "رباعي السطوح". MathWorld .

[2] فورد، والتر بيرتون؛ أميرمان، تشارلز (1913)، الهندسة المستوية والصلبة، ماكميلان، ص 294-295

[FOOTNOTECundy1952-3] كاندي 1952.

[FOOTNOTEShavinina2013[httpsbooksgooglecombooksidJcPd_JRc4FgCpgPA333_333]-4] شافينينا 2013، ص 333.

[FOOTNOTECromwell1997[httpsarchiveorgdetailspolyhedra0000crompage55_55]-5] كرومويل 1997، ص 55.

[FOOTNOTECoxeter1948Table_I(i)-6] Coxeter 1948، الجدول الأول (i).

[7] كولر ، يورغن، “رباعي الاسطح”، Mathematische Basteleien2001

[FOOTNOTEAlsinaNelsen2015[httpsbooksgooglecombooksidFEl2CgAAQBAJpgPA68_68]-8] السينا ونيلسن 2015، ص. 68.

[10] 
كوكستر 1948 الجدول الأول (i).
بريتين 1945

[12] كوكستر 1948 الجدول الأول (i).

[13] بريتين 1945

[FOOTNOTEPark2016-11] بارك 2016.

[12] "أقسام رباعي السطوح".

[13] Coxeter, HSM (1989). "Trisecting an Orthoscheme". Computers Math. Applic . 17 (1–3): 59–71. doi : 10.1016/0898-1221(89)90148-X .

[FOOTNOTECoxeter197371–72§4.7_Characteristic_tetrahedra-14] Coxeter 1973، ص 71-72، §4.7 رباعي السطوح المميز.

[FOOTNOTECoxeter1973292–293Table_I(i);_"Tetrahedron,_𝛼<sub>3</sub>"-15] Coxeter 1973، ص 292-293، الجدول I(i)؛ "رباعي السطوح، 𝛼 ₃ ".

[FOOTNOTECoxeter197333–34§3.1_Congruent_transformations-17] Coxeter 1973، ص 33-34، §3.1 التحولات المتطابقة.

[FOOTNOTECoxeter197363§4.3_Rotation_groups_in_two_dimensions;_notion_of_a_''fundamental_region''-18] Coxeter 1973، ص 63، §4.3 مجموعات الدوران في بعدين؛ مفهوم المنطقة الأساسية .

[19] Trujillo-Pino, Agustín; Suárez, Jose Pablo; Padrón, Miguel A. (2024). "عدد محدود من فئات التشابه في أطول حافة ثنائية السطوح لرباعي السطوح المتساوي الأضلاع تقريبًا". الرياضيات التطبيقية والحوسبة . 472 : 128631. doi : 10.1016/j.amc.2024.128631 . hdl : 10553/129894 . ISSN 0096-3003.

[FOOTNOTEAlsinaNelsen2015[httpsbooksgooglecombooksidFEl2CgAAQBAJpgPA67_67]-20] السينا ونيلسن 2015، ص. 67.

[FOOTNOTEFekete1985[httpsbooksgooglecombooksid3_AIXBO11bECpgPA68_68]-21] فيكيتي 1985، ص 68.

[22] "أحجام السيمبليكس ومحدد كايلي-مينجر"، MathPages.com

[FOOTNOTEKahan201211-23] Kahan 2012، ص 11.

[FOOTNOTEBottema1969-24] بوتيما 1969.

[FOOTNOTEMurakamiYano2005-25] موراكامي ويانو 2005.

[26] هافليتشيك، هانز؛ فايس، جونتر (2003). "ارتفاعات رباعي السطوح والأشكال التربيعية التي لا تتبع مسارًا" (PDF) . المجلة الرياضية الأمريكية . 110 (8): 679–693. arXiv : 1304.0179 . doi :10.2307/3647851. JSTOR 3647851.

[27] Leung, Kam-tim; and Suen, Suk-nam; "Vectors, matrices and geometry", Hong Kong University Press, 1994, pp. 53–54

[28] Outudee, Somluck; New, Stephen. The Various Kinds of Centres of Simplices (PDF) . قسم الرياضيات، جامعة شولالونغكورن، بانكوك. مؤرشف من الأصل في 27 فبراير 2009.{{cite book}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)

[29] أوديت ، دانيال (مايو 2011). "المحددات الكروية والقطع الزائد لكايلي مينجر" (PDF) . نشرة AMQ.

[30] ليندلوف ، إل. (1867). "على الحد الأقصى والحد الأدنى من وظيفة الأشعة الموجهة أقل من نقطة متنقلة إلى أكثر من مركز ثابت". Acta Societatis Scientiarum Fennicae . 8 (الجزء الأول): 189-203.

[31] Senechal, Marjorie (1981). "أي رباعي السطوح يملأ الفضاء؟". مجلة الرياضيات . 54 (5). الجمعية الرياضية الأمريكية: 227-243. doi :10.2307/2689983. JSTOR 2689983.

[32] راسات، أندريه؛ فاولر، باتريك دبليو. (2004). "هل يوجد "رباعي السطوح الأكثر كايرالية"؟". الكيمياء: مجلة أوروبية . 10 (24): 6575-6580. doi :10.1002/chem.200400869. PMID 15558830.

[FOOTNOTELee1997-33] لي 1997.

[Crux-34] ABCD عدم المساواة المقترحة في “ Crux Mathematicorum ” ، [1].

[35] كريل ، آل (1821). "Einige Bemerkungen über die Dreiseitige Pyramide". عالم الرياضيات الصغير يستمتع بك. Bemerkungen 1 (بالألمانية). برلين: ماورر. ص 105-132 . تم الاسترجاع في 7 أغسطس 2018 .

[36] تودهنتر، آي. (1886)، علم المثلثات الكروي: للاستخدام في الكليات والمدارس، ص 129( المادة 163 )

[37] ليفي، برونو؛ ليو، يانغ (2010)، " تبليط فورونوي المركزي $L$ $p$ وتطبيقاته"، معاملات ACM للرسومات ، 29 (4): 119:1–119:11، doi :10.1145/1778765.1778856

[38] “مشكلة 930” (PDF) ، الحلول، Crux Mathematicorum ، 11 (5): 162–166، مايو 1985

[Sierpinski-39] Wacław Sierpiński ، مثلثات فيثاغورس ، منشورات دوفر، 2003 (الطبعة الأصلية 1962)، ص 107. لاحظ مع ذلك أن Sierpiński يكرر حسابًا خاطئًا لحجم مثال رباعي السطوح الهيروني أعلاه.

[40] إدارة الطيران الفيدرالية (2009)، دليل الطيار للمعرفة الجوية، مكتب الطباعة الحكومي الأمريكي، ص 13-10، رقم ISBN 9780160876110.

[pubs.acs.org-41] Brittin, WE (1945). "زاوية التكافؤ لذرة الكربون رباعية السطوح". مجلة التعليم الكيميائي . 22 (3): 145. Bibcode :1945JChEd..22..145B. doi :10.1021/ed022p145.

[42] "الفوسفور الأبيض". الجمعية الكيميائية الأمريكية . تم الاسترجاع في 26 مايو 2024 .

[43] كلاين، دوغلاس ج. (2002). "قواعد مجموع المقاومة والمسافة" (PDF) . Croatica Chemica Acta . 75 (2): 633–649. مؤرشف من الأصل (PDF) في 10 يونيو 2007. تم الاسترجاع في 15 سبتمبر 2006 .

[44] Vondran, Gary L. (April 1998). "Radial and Pruned Tetrahedral Interpolation Techniques" (PDF) . HP Technical Report . HPL-98-95: 1–32. مؤرشف من الأصل (PDF) في 7 يونيو 2011. تم الاسترجاع في 11 نوفمبر 2009 .

[45] جرين، ويليام لوثيان (1875). بقايا الكرة المنصهرة، كما تظهر في شكل الأرض، والنشاط البركاني والجغرافيا الطبيعية. المجلد. الجزء الأول. لندن: إي. ستانفورد. رمز المكتبة : 1875vmge.book.....G. OCLC 3571917.

[46] هولمز، آرثر (1965). مبادئ الجيولوجيا الفيزيائية . نيلسون. ص 32. ISBN 9780177612992.

[47] هيتشكوك، تشارلز هنري (يناير 1900). وينشيل، نيوتن هوراس (محرر). "ويليام لوثيان جرين ونظريته في تطور سمات الأرض". الجيولوجي الأمريكي . المجلد الخامس والعشرون. شركة النشر الجيولوجي. ص 1-10.

[48] "مارفن مينسكي: ستانلي كوبريك يتخلى عن الشكل الرباعي السطوح". موقع ويب أوف ستوريز . تم الاسترجاع في 20 فبراير 2012 .

[49] بيل، ألكسندر جراهام (يونيو 1903). "مبدأ رباعي السطوح في بنية الطائرة الورقية". مجلة ساينتفك أمريكان . 55 (1432ملحق): ص2294-22950. doi :10.1038/scientificamerican06131903-22947ملحق.

[50] Weisstein, Eric W. "الرسم البياني رباعي السطوح". MathWorld .

ف ت هـ متعدد السطوح
مُدرجة حسب عدد الوجوه والنوع
1-10 وجوه	أحادي السطوح ثنائي السطوح شكل ثلاثي السطوح رباعي السطوح خماسي السطوح المكعب سباعي السطوح المجسم الثماني رباعي الوجوه عشري الوجوه
11-20 وجهًا	مجسم هندي اثني عشر وجها ثلاثي الوجوه رباعي عشري الوجوه خماسي الوجوه سداسي الوجوه سباعي السطوح ثماني السطوح إنياديكهيدرون عشريني الوجوه
>20 وجهًا	إيكوسيترايدرون (24) ثلاثي الوجوه (30) إيكوسيدوديكاهيدرون (32) سداسي ثماني السطوح (48) سداسي الوجوه (60) التاسوع السطوحي (90) هيكتوترياديوهيدرون (132) أبيروهيدرون (∞)
الأشياء الأساسية	وجه حافة قمة الرأس متعدد السطوح المنتظم (مجموعتان لانهائيتان و 75) متعدد السطوح المنتظم (9) متعدد السطوح شبه المنتظم (16) متعدد السطوح شبه المنتظم (مجموعتان لانهائيتان و50)
متعدد السطوح المحدب	الجسم الأفلاطوني (5) الجسم الأرخميدي (13) كاتالونية صلبة (13) جونسون صلب (92)
متعدد السطوح غير المحدب	متعدد السطوح كبلر-بوينسو (4) نجم متعدد السطوح (لانهائي) نجم متعدد السطوح موحد الشكل (57)
المنشورية	موشور منشور مضاد قطعة ناقصة قبة إسفين هرم متوازي السطوح

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗