المكعب (الجبر)

في الحساب والجبر ، مكعب العدد $ن هو$ قوته الثالثة ^، أي ناتج ضرب ثلاثة أعداد $ن$ معًا. يُرمز لمكعب العدد $ن$ $بالرمز$ $ن³$ ، باستخدام الرقم ³ كرمز ^علوي ، على سبيل المثال 2³ = 8. ^يمكن تعريف عملية التكعيب لأي تعبير رياضي آخر ، على سبيل المثال $($ $س$ $+ 1)$ $³$ .

المكعب هو أيضاً العدد المضروب في مربعه :

n 3 = n \times n 2 = n \times n \times n

.

دالة التكعيب هي الدالة $x \mapsto x³$ (ويُرمز لها غالبًا $بـ$ $y = x³)$ التي تُحوّل عددًا إلى مكعبه. وهي دالة فردية ، لأن

(- n) 3 = -(n 3)

.

حجم المكعب الهندسي هو مكعب طول ضلعه، ومن هنا جاءت تسميته. العملية العكسية ، التي تتمثل في إيجاد عدد مكعبه يساوي $n$ ، تُسمى استخراج الجذر التكعيبي لـ $n$ . وهي تُحدد طول ضلع المكعب ذي الحجم المُعطى. وهو أيضًا $n$ مرفوعًا للأس ثلث.

يُعرف الرسم البياني للدالة التكعيبية باسم القطع المكافئ التكعيبي . ولأن الدالة التكعيبية دالة فردية، فإن هذا المنحنى له مركز تناظر عند نقطة الأصل، ولكن ليس له محور تناظر .

بالأعداد الصحيحة

العدد المكعب ، أو المكعب الكامل ، أو أحيانًا المكعب فقط ، هو عدد يُمثل مكعب عدد صحيح . المكعبات الكاملة غير السالبة حتى 60³ ^هي ( التسلسل A000578 في OEIS ) :

0 ³ =	0
1 ³ =	1	11 ³ =	1331	21 ³ =	9261	31 ³ =	29,791	41 ³ =	68,921	51 ³ =	132,651
2 ³ =	8	12 ³ =	1728	22 ³ =	10,648	32 ³ =	32,768	42 ³ =	74,088	52 ³ =	140,608
3 ³ =	27	13 ³ =	2197	23 ³ =	12167	33 ³ =	35,937	43 ³ =	79,507	53 ³ =	148,877
4 ³ =	64	14 ³ =	2744	24 ³ =	13824	34 ³ =	39304	44 ³ =	85184	54 ³ =	157,464
5 ³ =	125	15 ³ =	3375	25 ³ =	15,625	35 ³ =	42,875	45 ³ =	91,125	55 ³ =	166,375
6 ³ =	216	16 ³ =	4096	26 ³ =	17,576	36 ³ =	46,656	46 ³ =	97,336	56 ³ =	175,616
7 ³ =	343	17 ³ =	4913	27 ³ =	19,683	37 ³ =	50,653	47 ³ =	103,823	57 ³ =	185,193
8 ³ =	512	18 ³ =	5832	28 ³ =	21,952	38 ³ =	54,872	48 ³ =	110,592	58 ³ =	195,112
9 ³ =	729	19 ³ =	6859	29 ³ =	24,389	39 ³ =	59,319	49 ³ =	117,649	59 ³ =	205,379
10 ³ =	1000	20 ³ =	8000	30 ³ =	27000	40 ³ =	64000	50 ³ =	125,000	60 ³ =	216,000

من الناحية الهندسية، يكون العدد الصحيح الموجب $m$ مكعبًا كاملًا إذا وفقط إذا أمكن ترتيب $m$ من المكعبات الصغيرة الصلبة لتكوين مكعب صلب أكبر. على سبيل المثال، يمكن ترتيب 27 مكعبًا صغيرًا لتكوين مكعب واحد أكبر يشبه مكعب روبيك ، لأن 3 × 3 × 3 = 27 .

يمكن التعبير عن الفرق بين مكعبات الأعداد الصحيحة المتتالية على النحو التالي:

n 3 - (n - 1) 3 = 3(n - 1) n + 1

.

أو

(n + 1) 3 - n 3 = 3(n + 1) n + 1

.

لا يوجد مكعب كامل أصغر، لأن مكعب أي عدد صحيح سالب هو عدد سالب. على سبيل المثال، (−4) × (−4) × (−4) = −64 .

النظام العشري

على عكس المربعات الكاملة ، لا تقتصر احتمالات الأرقام الأخيرة في المكعبات الكاملة على عدد قليل. فباستثناء المكعبات القابلة للقسمة على 5، حيث لا يمكن أن يكون الرقمان الأخيران إلا 25 و 75 و 00 ، يمكن لأي زوج من الأرقام، على أن يكون رقمه الأخير فرديًا ، أن يكونا الرقمين الأخيرين في المكعب الكامل. أما في حالة $المكعبات$ الزوجية ، فهناك قيود كبيرة، إذ لا يمكن أن يكون الرقمان الأخيران في المكعب الكامل إلا $00 و02 وe4 و06 وe8$ (حيث يرمز 0 $إلى$ أي $رقم$ فردي و e إلى $أي$ رقم $زوجي$ ). بعض المكعبات هي أيضًا مربعات؛ على سبيل المثال، 64 هو مربع (8 × 8) ومكعب (4 × 4 × 4) . ويحدث هذا فقط إذا كان العدد قوة سادسة كاملة (في هذه الحالة 2⁶ ⁾ .

الأرقام الأخيرة لكل قوة ثالثة هي:

0

1

8

7

4

5

6

3

2

9

ومع ذلك، من السهل إثبات أن معظم الأعداد ليست مكعبات كاملة، لأن جميع المكعبات الكاملة يجب أن يكون لها جذر رقمي 1 أو 8 أو 9. أي أن قيمها بتردد 9 قد تكون 0 أو 1 أو 8 فقط. علاوة على ذلك، يمكن تحديد الجذر الرقمي لأي مكعب عدد من خلال باقي قسمة العدد على 3.

إذا كان العدد x يقبل القسمة على 3، فإن مكعبه له جذر رقمي يساوي 9؛ أي
${\text{إذا}}\quad x\equiv 0{\pmod {3}}\quad {\text{فإن}}\quad x^{3}\equiv 0{\pmod {9}}{\text{ (في الواقع}}\quad 0{\pmod {27}}{\text{)}};$
إذا كان باقي قسمة عدد ما على 3 يساوي 1، فإن جذره الرقمي يساوي 1؛ أي
${\text{إذا}}\quad x\equiv 1{\pmod {3}}\quad {\text{فإن}}\quad x^{3}\equiv 1{\pmod {9}};$
إذا كان باقي قسمة عدد ما على 3 يساوي 2، فإن جذره الرقمي هو 8؛ أي
${\text{إذا}}\quad x\equiv 2{\pmod {3}}\quad {\text{فإن}}\quad x^{3}\equiv 8{\pmod {9}}.$

مجموع مكعبين

مجموع ثلاثة مكعبات

يُفترض أن كل عدد صحيح (موجب أو سالب) لا يتطابق مع $\pm4$ بتردد $9$ يمكن كتابته كمجموع ثلاثة مكعبات (موجبة أو سالبة) بعدد لا نهائي من الطرق. ^{[ 1 ]} على سبيل المثال، $6=2^{3}+(-1)^{3}+(-1)^{3}$ يتم استبعاد الأعداد الصحيحة المتطابقة مع $\pm4$ modulo $9$ لأنه لا يمكن كتابتها كمجموع ثلاثة مكعبات.

أصغر عدد صحيح من هذا النوع الذي لا يُعرف مجموعه هو 114. في سبتمبر 2019، تم العثور على أصغر عدد صحيح سابق من هذا النوع بدون مجموع مكعب ثلاثي معروف، وهو 42، والذي يحقق هذه المعادلة: ^{[ 2 ]}

42=(-80538738812075974)^{3}+80435758145817515^{3}+12602123297335631^{3}.

أحد الحلول لـ $x^{3}+y^{3}+z^{3}=n$ يُعطى في الجدول أدناه لـ $n \leq 78$ ، و $n$ غير متطابق مع $4$ أو $5$ بتردد $9.$ الحل المُختار هو الحل الأولي ( $قاسم مشترك أكبر لـ x و y و z يساوي 1$ )، وليس من الشكل $c^{3}+(-c)^{3}+n^{3}=n^{3}$ أو $(n+6nc^{3})^{3}+(n-6nc^{3})^{3}+(-6nc^{2})^{3}=2n^{3}$ (نظرًا لأنها عائلات لا نهائية من الحلول)، تحقق الشرط $0 \leq | x | \leq | y | \leq | z |$ ، ولها قيم دنيا لكل من $| z |$ و $| y |$ (تم اختبارها بهذا الترتيب). ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

يتم اختيار الحلول الأولية فقط، حيث يمكن استنتاج الحلول غير الأولية بسهولة من حلول قيمة أصغر لـ $n$ . على سبيل المثال، بالنسبة لـ $n = 24$ ، يكون الحل $2^{3}+2^{3}+2^{3}=24$ النتائج المستخلصة من الحل $1^{3}+1^{3}+1^{3}=3$ بضرب كل شيء في $8=2^{3}.$ لذا، هذا حل آخر تم اختياره. وبالمثل، بالنسبة لـ $n = 48$ ، تم استبعاد الحل $(x, y, z) = (-2, -2, 4)$ ، وتم اختيار الحل $(x, y, z) = (-23, -26, 31)$ .

الحلول الأولية لقيم n من 1 إلى 78
ن	x	y	z	ن	x	y	z
1	9	10	-12	39	117 367	134 476	-159 380
2	1 214 928	3 480 205	-3 528 875	42	12 602 123 297 335 631	80 435 758 145 817 515	-80 538 738 812 075 974
3	1	1	1	43	2	2	3
6	-1	-1	2	44	-5	-7	8
7	0	-1	2	45	2	-3	4
8	9	15	-16	46	-2	3	3
9	0	1	2	47	6	7	-8
10	1	1	2	48	-23	-26	31
11	-2	-2	3	51	602	659	-796
12	7	10	-11	52	23961292454	60 702 901 317	-61 922 712 865
15	-1	2	2	53	-1	3	3
16	-511	-1609	1626	54	-7	-11	12
17	1	2	2	55	1	3	3
18	-1	-2	3	56	-11	-21	22
19	0	-2	3	57	1	-2	4
20	1	-2	3	60	-1	-4	5
21	-11	-14	16	61	0	-4	5
24	-2 901 096 694	-15 550 555 555	15 584 139 827	62	2	3	3
25	-1	-1	3	63	0	-1	4
26	0	-1	3	64	-3	-5	6
27	-4	-5	6	65	0	1	4
28	0	1	3	66	1	1	4
29	1	1	3	69	2	-4	5
30	-283 059 965	-2 218 888 517	2 220 422 932	70	11	20	-21
33	-2 736 111 468 807 040	-8 778 405 442 862 239	8 866 128 975 287 528	71	-1	2	4
34	-1	2	3	72	7	9	-10
35	0	2	3	73	1	2	4
36	1	2	3	74	66 229 832 190 556	283 450 105 697 727	-284 650 292 555 885
37	0	-3	4	75	4 381 159	435 203 083	-435 203 231
38	1	-3	4	78	26	53	-55

نظرية فيرما الأخيرة للمكعبات

المعادلة $x³ + y³ = z³$ ليس لها حلول غير تافهة (أي $xyz \neq 0$ $)$ في الأعداد الصحيحة. في الواقع، ليس لها أي حلول في $مجموعة$ $أيزنشتاين$ للأعداد الصحيحة . ^{[ 6 ]}

كلا هذين البيانين صحيحان أيضًا بالنسبة للمعادلة ^{[ 7 ]} $x 3 + y 3 = 3 z 3$ .

مجموع أول n مكعب

مجموع أول $n$ مكعب يساوي مربع العدد المثلثي رقم $n$ :

1^{3}+2^{3}+\dots +n^{3}=(1+2+\dots +n)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.

البراهين. قدم تشارلز ويتستون ( 1854 ) اشتقاقًا بسيطًا للغاية، وذلك بتوسيع كل مكعب في المجموع إلى مجموعة من الأعداد الفردية المتتالية. بدأ بإعطاء المتطابقة

n^{3}=\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\left(n^{2}-n+1+2\right)+\left(n^{2}-n+1+4\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n{\text{ أعداد فردية متتالية}}}.

ترتبط هذه الهوية بالأعداد المثلثية $T_{n}$ على النحو التالي:

n^{3}=\sum _{k=T_{n-1}+1}^{T_{n}}(2k-1),

وبالتالي فإن الحدود المكونة $n^{3}$ ابدأ مباشرة بعد تلك التي تشكل جميع القيم السابقة $1^{3}$ حتى $(n-1)^{3}$ تطبيق هذه الخاصية، إلى جانب هوية أخرى معروفة:

n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1),

نحصل على الاشتقاق التالي:

{\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{3}&=1+8+27+64+\cdots +n^{3}\\&=\underbrace {1} _{1^{3}}+\underbrace {3+5} _{2^{3}}+\underbrace {7+9+11} _{3^{3}}+\underbrace {13+15+17+19} _{4^{3}}+\cdots +\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n^{3}}\\&=\underbrace {\underbrace {\underbrace {\underbrace {1} _{1^{2}}+3} _{2^{2}}+5} _{3^{2}}+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{\left({\frac {n^{2}+n}{2}}\right)^{2}}\\&=(1+2+\cdots +n)^{2}\\&={\bigg (}\sum _{k=1}^{n}k{\bigg )}^{2}.\end{aligned}}

في الأدبيات الرياضية الحديثة، استخدم شتاين (1971) تفسير عدّ المستطيلات لهذه الأعداد لتكوين برهان هندسي للهوية (انظر أيضًا بنجامين، كوين ، وورتز 2006 )؛ ولاحظ أنه يمكن إثباتها بسهولة (ولكن دون تقديم معلومات إضافية) بالاستقراء، وذكر أن توبليتز (1963) قدّم "برهانًا عربيًا قديمًا مثيرًا للاهتمام". وقدّم كانيم (2004) برهانًا بصريًا بحتًا، وقدّم بنجامين وأوريسون (2002) برهانين إضافيين، وقدّم نيلسن (1993) سبعة براهين هندسية.

على سبيل المثال، مجموع أول 5 مكعبات يساوي مربع العدد المثلثي الخامس.

1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=15^{2}

ويمكن التوصل إلى نتيجة مماثلة لمجموع أول $y$ مكعب فردي ،

1^{3}+3^{3}+\dots +(2y-1)^{3}=(xy)^{2}

لكن يجب أن تحقق $x$ و $y$ معادلة بيل السالبة $x² - 2y² = -1 .$ على سبيل المثال، عندما تكون $y = 5$ و $y$ $= 29$ ، فإن:

1^{3}+3^{3}+\dots +9^{3}=(7\cdot 5)^{2}

1^{3}+3^{3}+\dots +57^{3}=(41\cdot 29)^{2}

وهكذا دواليك. كذلك، كل عدد زوجي كامل ، باستثناء أصغرها، هو مجموع أول $2$ $⁠$ $p$ $-1$ $/$ $2$ $⁠$ المكعبات الفردية ( p = 3، 5، 7، ...):

28=2^{2}(2^{3}-1)=1^{3}+3^{3}

496=2^{4}(2^{5}-1)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}

8128=2^{6}(2^{7}-1)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3}

مجموع مكعبات الأعداد في المتتابعة الحسابية

توجد أمثلة على مكعبات الأعداد في متتابعة حسابية يكون مجموعها مكعبًا:

3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}

11^{3}+12^{3}+13^{3}+14^{3}=20^{3}

31^{3}+33^{3}+35^{3}+37^{3}+39^{3}+41^{3}=66^{3}

يُعرف الأول أحيانًا باسم عدد أفلاطون الغامض . الصيغة $F$ لإيجاد مجموع $n$ مكعبًا من الأعداد في متتابعة حسابية بفرق مشترك $d$ ومكعب ابتدائي $a³ ،$

F(d,a,n)=a^{3}+(a+d)^{3}+(a+2d)^{3}+\cdots +(a+dn-d)^{3}

يُعطى بواسطة

F(d,a,n)=(n/4)(2a-d+dn)(2a^{2}-2ad+2adn-d^{2}n+d^{2}n^{2})

حل بارامتري لـ

F(d,a,n)=y^{3}

تشتهر بالحالة الخاصة $d = 1$ ، أو المكعبات المتتالية ، كما وجدها باجلياني في عام 1829. ^{[ 8 ]}

المكعبات كمجموع أعداد فردية متتالية

في سلسلة الأعداد الفردية 1، 3، 5، 7، 9، 11، 13، 15، 17، 19، ...، يكون العدد الأول مكعبًا ( 1 = 1 ³ )؛ ومجموع العددين التاليين هو المكعب التالي ( 3 + 5 = 2 ³ )؛ ومجموع الأعداد الثلاثة التالية هو المكعب التالي ( 7 + 9 + 11 = 3 ³ )؛ وهكذا.

مشكلة وارينغ للمكعبات

يمكن كتابة كل عدد صحيح موجب على شكل مجموع تسعة مكعبات موجبة (أو أقل). ولا يمكن تقليل هذا الحد الأعلى البالغ تسعة مكعبات، لأنه على سبيل المثال، لا يمكن كتابة العدد 23 على شكل مجموع أقل من تسعة مكعبات موجبة.

23 = 2 ³ + 2 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³⁺ 1 ³ + 1 ³ .

في الأعداد النسبية

كل عدد نسبي موجب هو مجموع ثلاثة مكعبات نسبية موجبة، ^{[ 9 ]} وهناك أعداد نسبية ليست مجموع مكعبين نسبيين. ^{[ 10 ]}

في الأعداد الحقيقية، والحقول الأخرى، والحلقات

في الأعداد الحقيقية ، تحافظ دالة التكعيب على الترتيب: الأعداد الأكبر لها مكعبات أكبر. بعبارة أخرى، تتزايد المكعبات (بشكل صارم) $بشكل رتيب. كما أن مجالها المقابل هو خط الأعداد الحقيقية بأكمله: الدالة x \mapsto x³$ : R → R هي دالة $شاملة (تأخذ جميع القيم الممكنة)$ . ثلاثة أعداد فقط تساوي مكعباتها: -1 ، 0 ، و 1 . إذا كان $-1$ $< x < 0$ أو $1 < x$ ، فإن $x³ > x$ . إذا كان $x < -1 أو 0 < x < 1، فإن x³$ $< x$ . $تنطبق جميع الخصائص$ المذكورة $أعلاه أيضًا على$ أي قوة فردية أعلى ( $x⁵ ،$ $x⁷ ،$ ... ) من الأعداد الحقيقية. وتكون المساواة والمتباينات صحيحة أيضًا في أي حلقة مرتبة .

ترتبط أحجام الأجسام الإقليدية المتشابهة بمكعبات أحجامها الخطية.

في الأعداد المركبة ، يكون مكعب العدد التخيلي البحت عددًا تخيليًا بحتًا أيضًا. على سبيل المثال $،$ $i³ = -i$ .

مشتقة $x$ $3$ تساوي $3$ $x$ $2$ .

تتمتع المكعبات أحيانًا بخاصية الشمولية في حقول أخرى ، كما هو الحال في $الحقل F p$ لأي عدد أولي $p$ بحيث يكون $p \neq 1 (mod 3)$ ، ^{[ 11 ]} ولكن ليس بالضرورة: انظر المثال المضاد مع الأعداد النسبية أعلاه . أيضًا في $الحقل F 7$ ، ثلاثة عناصر فقط هي 0 و±1 مكعبات كاملة، من أصل سبعة. −1 و0 و1 مكعبات كاملة في أي مكان ، وهي العناصر الوحيدة في الحقل التي تساوي مكعباتها: $x 3 - x = x (x - 1)(x + 1)$ .

تاريخ

كان حساب مكعبات الأعداد الكبيرة شائعًا جدًا في العديد من الحضارات القديمة . فقد ابتكر علماء الرياضيات في بلاد ما بين النهرين ألواحًا مسمارية تحتوي على جداول لحساب المكعبات والجذور التكعيبية في العصر البابلي القديم (من القرن العشرين إلى القرن السادس عشر قبل الميلاد). ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]} وكانت المعادلات التكعيبية معروفة لدى عالم الرياضيات اليوناني القديم ديوفانتوس . ^{[ 14 ]} وابتكر هيرو الإسكندري طريقة لحساب الجذور التكعيبية في القرن الأول الميلادي. ^{[ 15 ]} وتظهر طرق حل المعادلات التكعيبية واستخراج الجذور التكعيبية في كتاب "الفصول التسعة في الفن الرياضي" ، وهو نص رياضي صيني جُمع حوالي القرن الثاني قبل الميلاد، وعلق عليه ليو هوي في القرن الثالث الميلادي. ^{[ 16 ]}

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ يتوفر أيضًاحرف Unicode العلوي ³ للطباعة : n ³.

مراجع

↑ هويسمان، ساندر ج. (27 أبريل 2016). "مجاميع أحدث لثلاثة مكعبات". arXiv : 1604.07746 [ math.NT ].
↑ بوكر، أندرو ر.؛ ساذرلاند، أندرو ف. (2021). "حول مسألة مورديل" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم . 118 (11) e2022377118. arXiv : 2007.01209 . Bibcode : 2021PNAS..11822377B . doi : 10.1073/ pnas.2022377118 . PMC 7980389. PMID 33692126 .
↑ التسلسلات A060465 و A060466 و A060467 في OEIS
↑ ثري كيوبز
↑ n=x^3+y^3+z^3
↑ هاردي ورايت، نظرية 227
↑ هاردي ورايت، ثوم. 232
↑ بينيت، مايكل أ.؛ باتيل، فانديتا؛ سيكسيك، سمير (2017)، "القوى الكاملة التي هي مجموع مكعبات متتالية"، مجلة الرياضيات ، 63 (1): 230-249 ، arXiv : 1603.08901 ، doi : 10.1112/S0025579316000231 ، MR 3610012
↑ هاردي ورايت، نظرية 234
↑ هاردي ورايت، نظرية 233
↑ إن المجموعة الضربية لـ $F p$ هي دورية من الرتبة $p - 1$ ، وإذا لم تكن قابلة للقسمة على 3، فإن المكعبات تحدد تشاكلًا ذاتيًا للمجموعة .
↑ كوك، روجر (8 نوفمبر 2012). تاريخ الرياضيات . جون وايلي وأولاده. ص 63. ISBN 978-1-118-46029-0.
↑ نيميت-نجات، كارين ريا (1998). الحياة اليومية في بلاد ما بين النهرين القديمة . دار غرينوود للنشر. ص 306. ISBN 978-0-313-29497-6.
^ فان دير وايردن، الهندسة والجبر في الحضارات القديمة، الفصل الرابع، زيورخ 1983 ISBN 0-387-12159-5
↑ سميلي، ج. جيلبارت (1920). "صيغة هيرون للجذر التكعيبي". هيرماثينا . 19 (42). كلية ترينيتي دبلن: 64-67 . JSTOR 23037103 .
↑ كروسلي، جون؛ و. س. لون، أنتوني (1999). الفصول التسعة في الفن الرياضي: دليل وتعليق . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 176، 213. ISBN 978-0-19-853936-0.

مصادر

بنيامين، آرثر ت.؛ أوريسون، مايكل إي. (نوفمبر 2002). "برهانان توافقيان سريعان لـ Σ k = 1 nk 3 = ( \smallmatrix n+1 2 \endsmallmatrix ) 2" (ملف PDF) . مجلة الرياضيات الجامعية . 33 (5): 406. doi : 10.2307/1559017 . JSTOR 1559017 .
بنيامين، آرثر ت.؛ كوين، جينيفر ج.؛ وورتز، كاليسا (1 نوفمبر 2006). "جمع المكعبات عن طريق عد المستطيلات" . مجلة الرياضيات الجامعية . 37 (5): 387-389 . doi : 10.2307/27646391 . JSTOR 27646391 .
هاردي، جي إتش ؛ رايت، إي إم (1980). مدخل إلى نظرية الأعداد ( الطبعة الخامسة). أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد . ISBN 978-0-19-853171-5.
كانيم، كاثرين (1 أكتوبر 2004). "برهان بلا كلمات: مجموع المكعبات: امتداد لمجموع مربعات أرخميدس". مجلة الرياضيات . 77 (4): 298-299 . doi : 10.2307/3219288 . JSTOR 3219288 .
نيلسن، روجر ب. (1993). براهين بلا كلمات : تمارين في التفكير البصري . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-88385-700-7.
شتاين، روبرت ج. (1 مايو 1971). "برهان توافقي على أن Σ k³ = (Σ k)²". مجلة الرياضيات . 44 (3): 161-162 . doi : 10.2307/2688231 . JSTOR 2688231 .
توبليتز، أوتو (1963). حساب التفاضل والتكامل: منهج وراثي . شيكاغو: مطبعة جامعة شيكاغو. ISBN 978-0-226-80667-9.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
ويتستون، سي. (1854). "حول تكوين القوى من المتتابعات الحسابية". وقائع الجمعية الملكية في لندن . 7 : 145-151 . Bibcode : 1854RSPS....7..145W . doi : 10.1098/rspl.1854.0036 . S2CID 121885197 .

[1] يتوفر أيضًاحرف Unicode العلوي ³ للطباعة : n ³.

[2] هويسمان، ساندر ج. (27 أبريل 2016). "مجاميع أحدث لثلاثة مكعبات". arXiv : 1604.07746 [ math.NT ].

[3] بوكر، أندرو ر.؛ ساذرلاند، أندرو ف. (2021). "حول مسألة مورديل" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم . 118 (11) e2022377118. arXiv : 2007.01209 . Bibcode : 2021PNAS..11822377B . doi : 10.1073/ pnas.2022377118 . PMC 7980389. PMID 33692126 .

[4] التسلسلات A060465 و A060466 و A060467 في OEIS

[5] ثري كيوبز

[6] =x^3+y^3+z^3

[7] هاردي ورايت، نظرية 227

[8] هاردي ورايت، ثوم. 232

[9] بينيت، مايكل أ.؛ باتيل، فانديتا؛ سيكسيك، سمير (2017)، "القوى الكاملة التي هي مجموع مكعبات متتالية"، مجلة الرياضيات ، 63 (1): 230-249 ، arXiv : 1603.08901 ، doi : 10.1112/S0025579316000231 ، MR 3610012

[10] هاردي ورايت، نظرية 234

[11] هاردي ورايت، نظرية 233

[12] إن المجموعة الضربية لـ $F p$ هي دورية من الرتبة $p - 1$ ، وإذا لم تكن قابلة للقسمة على 3، فإن المكعبات تحدد تشاكلًا ذاتيًا للمجموعة .

[13] كوك، روجر (8 نوفمبر 2012). تاريخ الرياضيات . جون وايلي وأولاده. ص 63. ISBN 978-1-118-46029-0.

[nen-14] نيميت-نجات، كارين ريا (1998). الحياة اليومية في بلاد ما بين النهرين القديمة . دار غرينوود للنشر. ص 306. ISBN 978-0-313-29497-6.

[15] فان دير وايردن، الهندسة والجبر في الحضارات القديمة، الفصل الرابع، زيورخ 1983 ISBN 0-387-12159-5

[16] سميلي، ج. جيلبارت (1920). "صيغة هيرون للجذر التكعيبي". هيرماثينا . 19 (42). كلية ترينيتي دبلن: 64-67 . JSTOR 23037103 .

[oxf-17] كروسلي، جون؛ و. س. لون، أنتوني (1999). الفصول التسعة في الفن الرياضي: دليل وتعليق . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 176، 213. ISBN 978-0-19-853936-0.

،

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗