السطح (الرياضيات)

في الرياضيات ، السطح هو نموذج رياضي للمفهوم الشائع للسطح . وهو تعميم للمستوى ، ولكنه، على عكس المستوى، قد يكون منحنيًا (وهذا مشابه لتعميم المنحنى للخط المستقيم ). ومن أمثلة الأسطح غير المستوية الكرة .

توجد عدة تعريفات أكثر دقة، بحسب السياق والأدوات الرياضية المستخدمة في الدراسة. أبسط الأسطح الرياضية هي المستويات والكرات في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد . عادةً، في الهندسة الجبرية ، قد يتقاطع السطح مع نفسه (وقد يحتوي على نقاط تفرد أخرى )، بينما في الطوبولوجيا والهندسة التفاضلية ، قد لا يتقاطع معه.

السطح هو فضاء طوبولوجي ثنائي الأبعاد ؛ وهذا يعني أن النقطة المتحركة على السطح يمكنها التحرك في اتجاهين (لها درجتا حرية ). بعبارة أخرى، يوجد حول كل نقطة تقريبًا رقعة إحداثيات يُعرَّف عليها نظام إحداثيات ثنائي الأبعاد . على سبيل المثال، يشبه سطح الأرض (نظريًا) كرة، وتوفر خطوط الطول والعرض إحداثيات ثنائية الأبعاد عليه (باستثناء القطبين وعلى طول خط الطول 180 ).

التعريفات

غالبًا ما يُعرَّف السطح بمعادلات تُحققها إحداثيات نقاطه . هذا هو الحال بالنسبة لمنحنى دالة متصلة لمتغيرين. مجموعة أصفار دالة لثلاثة متغيرات تُشكل سطحًا، ويُسمى هذا السطح بالسطح الضمني . ^{[ 1 ]} إذا كانت الدالة المُعرِّفة ذات الثلاثة متغيرات كثيرة حدود ، فإن السطح يُسمى سطحًا جبريًا . على سبيل المثال، تُعد كرة الوحدة سطحًا جبريًا، إذ يُمكن تعريفها بالمعادلة الضمنية.

x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0.

يمكن تعريف السطح أيضًا بأنه صورة ، في فضاء ذي بُعد لا يقل عن 3، لدالة متصلة لمتغيرين (مع اشتراطات إضافية لضمان ألا تكون الصورة منحنى ). في هذه الحالة، يُقال إن لدينا سطحًا وسيطيًا ، مُعَلمًا بهذين المتغيرين، ويُطلق عليهما اسم المعاملات . على سبيل المثال، يمكن تحديد سطح الكرة الوحدة باستخدام زوايا أويلر ، والتي تُسمى أيضًا خط الطول $u$ وخط العرض $v$ .

{\begin{aligned}x&=\cos(u)\cos(v)\\y&=\sin(u)\cos(v)\\z&=\sin(v)\,.\end{aligned}}

غالبًا ما تكون المعادلات البارامترية للأسطح غير منتظمة عند بعض النقاط. على سبيل المثال، جميع نقاط الكرة الوحدة، باستثناء نقطتين، هي صورة، وفقًا للبارامترية المذكورة أعلاه، لزوج واحد فقط من زوايا أويلر ( modulo $2π)$ . بالنسبة للنقطتين المتبقيتين ( القطبين الشمالي والجنوبي )، يكون $cos$ $v$ $= 0$ ، ويمكن أن يأخذ خط الطول $u$ أي قيم. كذلك، توجد أسطح لا يمكن أن توجد لها بارامترية واحدة تغطي السطح بأكمله. لذلك، غالبًا ما تُدرس الأسطح التي تُعطى بارامتريًا بعدة معادلات بارامترية، تغطي صورها السطح. يُصاغ هذا المفهوم رسميًا من خلال مفهوم المتشعب : في سياق المتشعبات، وخاصة في الطوبولوجيا والهندسة التفاضلية ، يُعد السطح متشعبًا ثنائي الأبعاد؛ وهذا يعني أن السطح هو فضاء طوبولوجي بحيث يكون لكل نقطة فيه جوار متماثل مع مجموعة فرعية مفتوحة من المستوى الإقليدي (انظر السطح (الطوبولوجيا) والسطح (الهندسة التفاضلية) ). يُتيح هذا تعريف الأسطح في فضاءات ذات أبعاد أعلى من ثلاثة، وحتى الأسطح المجردة التي لا تقع ضمن أي فضاء آخر. في المقابل، يستثني هذا الأسطح التي تحتوي على نقاط تفرد ، مثل رأس السطح المخروطي أو النقاط التي يتقاطع فيها السطح مع نفسه.

في الهندسة الكلاسيكية ، يُعرَّف السطح عمومًا بأنه المحل الهندسي لنقطة أو خط. على سبيل المثال، الكرة هي المحل الهندسي لنقطة تقع على مسافة معينة من نقطة ثابتة تُسمى المركز؛ والسطح المخروطي هو المحل الهندسي لخط يمر بنقطة ثابتة ويقطع منحنى ؛ وسطح الدوران هو المحل الهندسي لمنحنى يدور حول خط. أما السطح المسطر فهو المحل الهندسي لخط متحرك يحقق بعض الشروط؛ وفي المصطلحات الحديثة، السطح المسطر هو سطح يتكون من اتحاد خطوط.

مصطلحات

توجد أنواع عديدة من الأسطح التي تُدرس في الرياضيات. لذا، من الضروري استخدام مصطلحات واضحة لتمييزها عند الحاجة. السطح الطوبولوجي هو سطح متعدد الشعب ذو بُعد ثنائي (انظر § السطح الطوبولوجي ). السطح التفاضلي هو سطح متعدد الشعب قابل للتفاضل (انظر § السطح التفاضلي ). كل سطح قابل للتفاضل هو سطح طوبولوجي، ولكن العكس غير صحيح.

يُفترض ضمنيًا أن "السطح" موجود في فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد، عادةً $R³$ . يُسمى السطح الموجود في فضاء إسقاطي سطحًا إسقاطيًا (انظر § السطح الإسقاطي ). $أما$ السطح الذي لا يُفترض أن يكون موجودًا في فضاء آخر فيُسمى سطحًا مجردًا .

أمثلة

الرسم البياني لدالة متصلة لمتغيرين، معرفة على مجموعة جزئية مفتوحة متصلة من $R²$ $،$ هو سطح طوبولوجي . إذا كانت الدالة قابلة للتفاضل ، فإن الرسم البياني يكون سطحًا قابلاً للتفاضل .
المستوى هو سطح جبري وسطح قابل للتفاضل. وهو أيضاً سطح مُسطّر وسطح دوراني .
الأسطوانة الدائرية (أي المحل الهندسي لخط يتقاطع مع دائرة وموازٍ لاتجاه معين) هي سطح جبري وسطح قابل للتفاضل.
المخروط الدائري (وهو المحل الهندسي لخط يقطع دائرة ويمر بنقطة ثابتة، هي رأسه ، وتقع خارج مستوى الدائرة) هو سطح جبري غير قابل للتفاضل. إذا أزلنا الرأس، فإن الجزء المتبقي من المخروط هو اتحاد سطحين قابلين للتفاضل.
سطح متعدد السطوح هو سطح طوبولوجي، وهو ليس سطحًا قابلاً للتفاضل ولا سطحًا جبريًا.
السطح المكافئ الزائدي (الرسم البياني للدالة $z = xy$ ) هو سطح قابل للتفاضل وسطح جبري. وهو أيضًا سطح مُسطّر، ولهذا السبب، يُستخدم غالبًا في الهندسة المعمارية .
السطح الزائدي ذو الورقتين هو سطح جبري واتحاد سطحين قابلين للتفاضل غير متقاطعين.

سطح بارامتري

السطح البارامتري هو صورة لمجموعة فرعية مفتوحة من المستوى الإقليدي (عادةً $\mathbb {R} ^{2}$ ) بواسطة دالة متصلة ، في فضاء طوبولوجي ، عادةً ما يكون فضاءً إقليديًا ذا بُعد لا يقل عن ثلاثة. عادةً ما يُفترض أن تكون الدالة قابلة للتفاضل باستمرار ، وسيكون هذا هو الحال دائمًا في هذه المقالة.

على وجه التحديد، سطح بارامتري في $\mathbb {R} ^{3}$ يتم تحديدها بواسطة ثلاث دوال لمتغيرين $u$ و $v$ ، تسمى المعاملات

{\begin{aligned}x&=f_{1}(u,v),\\[4pt]y&=f_{2}(u,v),\\[4pt]z&=f_{3}(u,v)\,.\end{aligned}}

بما أن صورة هذه الدالة قد تكون منحنى (على سبيل المثال، إذا كانت الدوال الثلاث ثابتة بالنسبة إلى $v$ )، فإن شرطًا إضافيًا مطلوب، وهو عمومًا أنه بالنسبة لجميع قيم المعاملات تقريبًا، فإن مصفوفة جاكوبي

{\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial u}}&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial v}}\\[6pt]{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial u}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial v}}\\[6pt]{\dfrac {\partial f_{3}}{\partial u}}&{\dfrac {\partial f_{3}}{\partial v}}\end{bmatrix}}

لها رتبة اثنان. هنا، تعني عبارة "جميعها تقريبًا" أن قيم المعاملات التي رتبتها اثنان تحتوي على مجموعة فرعية مفتوحة كثيفة من نطاق المعلمة. بالنسبة للأسطح في فضاء ذي أبعاد أعلى، يكون الشرط نفسه، باستثناء عدد أعمدة مصفوفة جاكوبي.

المستوى المماس والمتجه العمودي

تُسمى النقطة $p التي تكون فيها مصفوفة جاكوبي المذكورة أعلاه من الرتبة اثنين$ منتظمة ، أو بشكل أدق، يُطلق على عملية تحديد المعلمات اسم منتظمة عند $النقطة p$ .

المستوى المماس عند نقطة منتظمة $p$ هو المستوى الوحيد الذي يمر عبر $p$ ويكون اتجاهه موازياً لمتجهي الصفين في مصفوفة جاكوبي. يُعد المستوى المماس مفهوماً تآلفياً ، لأن تعريفه مستقل عن اختيار المقياس . بعبارة أخرى، أي تحويل تآلفي يحول المستوى المماس إلى السطح عند النقطة p، ثم إلى صورة السطح عند تلك النقطة.

الخط العمودي عند نقطة من سطح ما هو الخط الوحيد الذي يمر عبر النقطة ويكون عموديًا على المستوى المماس؛ المتجه العمودي هو متجه موازٍ للخط العمودي.

للاطلاع على الثوابت التفاضلية الأخرى للأسطح، في جوار نقطة ما، انظر الهندسة التفاضلية للأسطح .

النقطة الشاذة والنقطة المفردة

النقطة غير المنتظمة على سطح وسيطي تُسمى نقطة غير منتظمة . وهناك أنواع عديدة من النقاط غير المنتظمة.

قد يحدث أن تصبح نقطة غير منتظمة منتظمة إذا تم تغيير المعاملات. هذا هو الحال بالنسبة للأقطاب في معامل الكرة الوحدة بزوايا أويلر : يكفي تبديل دور محاور الإحداثيات المختلفة لتغيير الأقطاب.

من ناحية أخرى، ضع في اعتبارك المخروط الدائري للمعادلة البارامترية

{\begin{aligned}x&=t\cos(u)\\y&=t\sin(u)\\z&=t\,.\end{aligned}}

رأس المخروط هو نقطة الأصل $(0، 0، 0)$ ، ويتم الحصول عليه عند الزمن $t = 0.$ وهي نقطة غير منتظمة تظل كذلك بغض النظر عن طريقة المعايرة المختارة (وإلا لكان هناك مستوى مماس وحيد). تُسمى هذه النقطة غير المنتظمة، حيث يكون مستوى المماس غير مُعرَّف، نقطة شاذة .

هناك نوع آخر من النقاط الشاذة، وهي نقاط التقاطع الذاتي ، أي النقاط التي يتقاطع فيها السطح مع نفسه. بعبارة أخرى، هذه هي النقاط التي يتم الحصول عليها لقيمتين مختلفتين (على الأقل) للمعاملات.

رسم بياني لدالة ثنائية المتغيرات

لتكن $z = f (x, y)$ دالة لمتغيرين حقيقيين، أي دالة ثنائية المتغيرات . هذا سطح وسيطي، مُعَلم على النحو التالي:

{\begin{aligned}x&=t\\y&=u\\z&=f(t,u)\,.\end{aligned}}

كل نقطة من هذا السطح منتظمة ، حيث يشكل العمودان الأولان من مصفوفة جاكوبي مصفوفة الوحدة من الرتبة الثانية.

السطح العقلاني

السطح الكسري هو سطح يمكن تمثيله بدوال كسرية لمتغيرين. أي، إذا كانت $fᵢ (t, u)$ كثيرات حدود في متغيرين، حيث i = 0، 1، 2، 3، فإن $السطح$ البارامتري $، المعرّف$ بـ

\displaystyle \begin{aligned}x&={\frac {f_{1}(t,u)}{f_{0}(t,u)}},\\[6pt]y&={\frac {f_{2}(t,u)}{f_{0}(t,u)}},\\[6pt]z&={\frac {f_{3}(t,u)}{f_{0}(t,u)}}\,,\end{aligned}}}

هو سطح عقلاني.

السطح العقلاني هو سطح جبري ، لكن معظم الأسطح الجبرية ليست عقلانية.

السطح الضمني

السطح الضمني في الفضاء الإقليدي (أو بشكل أعم، في الفضاء الأفيني ) ذي البعد 3 هو مجموعة الأصفار المشتركة لدالة قابلة للتفاضل لثلاثة متغيرات.

f(x,y,z)=0.

$يعني مصطلح "ضمني "$ أن المعادلة تُعرّف ضمنيًا أحد المتغيرات كدالة للمتغيرات الأخرى. ويُصبح هذا أكثر دقةً من خلال نظرية الدالة الضمنية : إذا كانت $f$ $(x₀, y₀, z₀) = 0$ $،$ $وكانت$ المشتقة الجزئية لـ f بالنسبة إلى $z$ $لا$ تساوي صفرًا عند $(x₀, y₀, z₀)$ $،$ فإنه توجد دالة قابلة $للتفاضل$ $φ ($ $x$ $,$ $y$ $)$ بحيث

f(x,y,\varphi (x,y))=0

في جوار النقطة $(x₀, y₀, z₀)$ . بعبارة أخرى، السطح الضمني هو تمثيل بياني لدالة بالقرب $من$ نقطة على السطح حيث تكون المشتقة الجزئية بالنسبة لـ $z$ $غير صفرية. وبالتالي$ $،$ يمتلك السطح الضمني تمثيلاً بارامترياً محلياً، باستثناء النقاط التي تكون عندها المشتقات الجزئية الثلاثة صفراً.

النقاط المنتظمة والمستوى المماس

تُسمى النقطة على السطح التي تكون عندها مشتقة جزئية واحدة على الأقل للدالة $f غير صفرية$ نقطة منتظمة . عند هذه النقطة $(x_{0},y_{0},z_{0})$ المستوى المماس واتجاه العمودي مُحددان جيدًا، ويمكن استنتاجهما، باستخدام نظرية الدالة الضمنية من التعريف المذكور أعلاه، في قسم " المستوى المماس ومتجه العمودي" . اتجاه العمودي هو التدرج ، أي المتجه .

\left[{\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0},z_{0}),{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0},z_{0}),{\frac {\partial f}{\partial z}}(x_{0},y_{0},z_{0})\right].

يُعرَّف المستوى المماس بمعادلته الضمنية

{\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0},z_{0})(x-x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0},z_{0})(y-y_{0})+{\frac {\partial f}{\partial z}}(x_{0},y_{0},z_{0})(z-z_{0})=0.

نقطة شاذة

نقطة مفردة لسطح ضمني (في $\mathbb {R} ^{3}$ النقطة الشاذة هي نقطة على السطح حيث تتحقق المعادلة الضمنية وتكون المشتقات الجزئية الثلاثة لدالتها المُعرِّفة لها جميعها صفرًا. لذلك، تُعدّ النقاط الشاذة حلولًا لنظام من أربع معادلات في ثلاث متغيرات. ولأن معظم هذه الأنظمة ليس لها حل، فإن العديد من الأسطح لا تحتوي على أي نقطة شاذة. يُطلق على السطح الذي لا يحتوي على نقطة شاذة اسم السطح المنتظم أو غير الشاذ .

تُعرف دراسة الأسطح بالقرب من نقاطها الشاذة وتصنيف هذه النقاط بنظرية الشذوذ . تُعتبر النقطة الشاذة معزولة إذا لم تكن هناك نقطة شاذة أخرى في جوارها. وإلا، فقد تُشكّل النقاط الشاذة منحنىً. وينطبق هذا بشكل خاص على الأسطح المتقاطعة ذاتيًا.

السطح الجبري

في الأصل، كان السطح الجبري سطحًا يمكن تعريفه بواسطة معادلة ضمنية

f(x,y,z)=0,

حيث $f$ عبارة عن متعددة حدود في ثلاثة متغيرات غير محددة ، بمعاملات حقيقية.

تم توسيع المفهوم في عدة اتجاهات، من خلال تعريف الأسطح على حقول عشوائية ، ومن خلال دراسة الأسطح في فضاءات ذات أبعاد عشوائية أو في فضاءات إسقاطية . كما يتم النظر في الأسطح الجبرية المجردة، التي لا يتم تضمينها صراحةً في فضاء آخر.

أسطح فوق حقول عشوائية

تُقبل كثيرات الحدود ذات المعاملات في أي حقل لتعريف سطح جبري. مع ذلك، فإن حقل معاملات كثيرة الحدود غير مُعرَّف بدقة، إذ يُمكن، على سبيل المثال، اعتبار كثيرة الحدود ذات المعاملات النسبية كثيرة حدود ذات معاملات حقيقية أو مركبة . لذا، تم تعميم مفهوم نقطة السطح على النحو التالي. ^{[ 2 ]}

بفرض وجود متعددة حدود $f (x, y, z)$ ، ولتكن $k$ أصغر حقل يحتوي على المعاملات، و $K$ امتدادًا جبريًا مغلقًا لـ $k$ ، من درجة تجاوز لانهائية . ^{[ 3 ]} عندئذٍ، $تكون$ نقطة على السطح عنصرًا من $K³$ وهو حل للمعادلة

f(x,y,z)=0.

إذا كانت معاملات كثيرة الحدود حقيقية، فإن الحقل $K$ هو الحقل المركب ، ونقطة على السطح تنتمي إلى $\mathbb {R} ^{3}$ تُسمى النقطة العادية نقطة حقيقية . وتُسمى النقطة التي تنتمي إلى $k 3$ نقطة نسبية على $k$ ، أو ببساطة نقطة نسبية ، إذا كان $k$ هو حقل الأعداد النسبية .

سطح إسقاطي

السطح الإسقاطي في فضاء إسقاطي ثلاثي الأبعاد هو مجموعة النقاط التي تكون إحداثياتها المتجانسة أصفارًا لكثير حدود متجانس واحد في أربعة متغيرات. وبشكل أعم، يُعد السطح الإسقاطي مجموعة جزئية من فضاء إسقاطي، وهو تنوع إسقاطي ثنائي الأبعاد .

ترتبط الأسطح الإسقاطية ارتباطًا وثيقًا بالأسطح الأفينية (أي الأسطح الجبرية العادية). يُمكن الانتقال من سطح إسقاطي إلى السطح الأفيني المقابل له بجعل أحد إحداثيات أو متغيرات كثيرات الحدود المُعرِّفة (عادةً ما يكون الأخير) يساوي واحدًا. وبالعكس، يُمكن الانتقال من سطح أفيني إلى سطحه الإسقاطي المرتبط به (ويُسمى الإكمال الإسقاطي ) بتجانس كثيرة الحدود المُعرِّفة (في حالة الأسطح في فضاء ثلاثي الأبعاد)، أو بتجانس جميع كثيرات حدود المثالي المُعرِّف (للأسطح في فضاء ذي أبعاد أعلى).

في الفضاءات ذات الأبعاد الأعلى

لا يمكن تعريف مفهوم السطح الجبري في فضاء ذي بُعد أكبر من ثلاثة دون تعريف عام للتنوع الجبري وبُعد التنوع الجبري . في الواقع، السطح الجبري هو تنوع جبري ذو بُعد اثنين .

بتعبير أدق، السطح الجبري في فضاء ذي بُعد $n$ هو مجموعة الأصفار المشتركة لـ $n - 2$ على الأقل من كثيرات الحدود، ولكن يجب أن تستوفي هذه كثيرات الحدود شروطًا إضافية قد لا يكون التحقق منها مباشرًا. أولًا، يجب ألا تُعرّف كثيرات الحدود مجموعةً أو مجموعةً جبريةً ذات بُعد أعلى، وهو ما يحدث عادةً إذا كانت إحدى كثيرات الحدود في المثالي المُوَلَّد من كثيرات الحدود الأخرى. عمومًا، تُعرّف $n - 2$ من كثيرات الحدود مجموعةً جبريةً ذات بُعد اثنين أو أعلى. إذا كان البُعد اثنين، فقد تحتوي المجموعة الجبرية على عدة مكونات غير قابلة للاختزال . إذا كان هناك مكون واحد فقط، فإن $n - 2$ من كثيرات الحدود تُعرّف سطحًا، وهو تقاطع كامل . أما إذا كان هناك عدة مكونات، فسيلزم استخدام كثيرات حدود إضافية لاختيار مكون مُحدد.

يعتبر معظم المؤلفين أن السطح الجبري هو فقط الأنواع الجبرية ذات البعد الثاني، لكن البعض يعتبر أيضًا أن جميع المجموعات الجبرية التي لها مكونات غير قابلة للاختزال ذات البعد الثاني هي أسطح.

في حالة الأسطح في فضاء ذي ثلاثة أبعاد، يكون كل سطح عبارة عن تقاطع كامل، ويتم تعريف السطح بواسطة متعدد حدود واحد، وهو غير قابل للاختزال أم لا، اعتمادًا على ما إذا كانت المجموعات الجبرية غير القابلة للاختزال ذات البعد اثنين تعتبر أسطحًا أم لا.

سطح طوبولوجي

في علم الطوبولوجيا ، يُعرَّف السطح عمومًا بأنه متعدد الشعب ذو بُعدين. وهذا يعني أن السطح الطوبولوجي هو فضاء طوبولوجي بحيث يكون لكل نقطة فيه جوار متماثل طوبولوجي مع مجموعة جزئية مفتوحة من مستوى إقليدي .

كل سطح طوبولوجي متماثل شكليًا مع سطح متعدد السطوح بحيث تكون جميع أوجهه مثلثات . وتُعدّ الدراسة التوافقية لمثل هذه الترتيبات من المثلثات (أو، بشكل أعم، للمجسمات البسيطة ذات الأبعاد الأعلى ) الهدف الأساسي للطوبولوجيا الجبرية . وهذا يسمح بتوصيف خصائص الأسطح بدلالة ثوابت جبرية بحتة ، مثل مجموعات الجنس والتماثل .

تم وصف فئات التشاكل المتماثل للأسطح بشكل كامل (انظر السطح (الطوبولوجيا) ).

سطح قابل للتفاضل

في الرياضيات ، تتناول الهندسة التفاضلية للأسطح الهندسة التفاضلية للأسطح الملساء ^[^أ^] مع هياكل إضافية متنوعة، غالباً ما تكون مقياس ريماني . ^[^ب^]

خضعت الأسطح لدراسات مستفيضة من زوايا نظر متعددة: خارجية ، تتعلق بتضمينها في الفضاء الإقليدي، وداخلية ، تعكس خصائصها المحددة فقط بالمسافة داخل السطح كما تُقاس على طول المنحنيات الموجودة عليه. ومن المفاهيم الأساسية التي دُرست انحناءة غاوس ، التي درسها كارل فريدريش غاوس [ ⁴^] بتعمق لأول مرة، ^حيث بيّن أن الانحناءة خاصية جوهرية للسطح، مستقلة عن تضمينه المتساوي القياس في الفضاء الإقليدي.

تنشأ الأسطح بشكل طبيعي كرسوم بيانية لدوال زوج من المتغيرات ، وتظهر أحيانًا في شكل وسيطي أو كمواضع مرتبطة بمنحنيات الفضاء . وقد لعبت زمر لي دورًا هامًا في دراستها (على غرار برنامج إرلانجن )، وتحديدًا زمر التناظر للمستوى الإقليدي ، والكرة ، والمستوى الزائدي . يمكن استخدام زمر لي هذه لوصف الأسطح ذات الانحناء الغاوسي الثابت؛ كما أنها تُشكل عنصرًا أساسيًا في المنهج الحديث للهندسة التفاضلية الجوهرية من خلال الاتصالات . من ناحية أخرى، دُرست الخصائص الخارجية التي تعتمد على تضمين سطح في الفضاء الإقليدي على نطاق واسع. ويتضح هذا جيدًا من خلال معادلات أويلر-لاغرانج غير الخطية في حساب التفاضل والتكامل : على الرغم من أن أويلر طور معادلات المتغير الواحد لفهم الجيوديسيات ، المعرفة بشكل مستقل عن التضمين، إلا أن أحد التطبيقات الرئيسية للاغرانج لمعادلات المتغيرين كان للأسطح الدنيا ، وهو مفهوم لا يمكن تعريفه إلا من حيث التضمين.

سطح كسري

يتم توليد سطح فركتلي باستخدام خوارزمية عشوائية مصممة لإنتاج سلوك فركتلي يحاكي مظهر التضاريس الطبيعية . بعبارة أخرى، السطح الناتج عن هذه العملية ليس سطحًا حتميًا، بل سطحًا عشوائيًا يُظهر سلوكًا فركتليًا. ^{[ 5 ]}

تُظهر العديد من الظواهر الطبيعية شكلاً من أشكال التشابه الذاتي الإحصائي الذي يمكن نمذجته باستخدام الأسطح الكسورية . ^{[ 6 ]} علاوة على ذلك، توفر الاختلافات في نسيج السطح إشارات بصرية مهمة لاتجاهات الأسطح وانحداراتها، ويمكن أن يساعد استخدام الأنماط الكسورية المتشابهة ذاتيًا تقريبًا في خلق تأثيرات بصرية طبيعية المظهر. ^{[ 7 ]} وقد اقترح بينوا ماندلبروت لأول مرة نمذجة الأسطح الخشنة للأرض عبر الحركة البراونية الكسرية . ^[⁸^]

ولأن النتيجة المقصودة من العملية هي إنتاج منظر طبيعي، وليس دالة رياضية، فإن العمليات التي يتم تطبيقها بشكل متكرر على هذه المناظر الطبيعية قد تؤثر على استقرار وحتى السلوك الفركتلي العام لمثل هذا السطح ، وذلك من أجل إنتاج منظر طبيعي أكثر إقناعًا.

بحسب آر آر شيرر ، شكّل ابتكار الأسطح والمناظر الطبيعية نقطة تحوّلٍ رئيسية في تاريخ الفن، حيث تلاشت الفروقات بين الصور الهندسية المُولّدة حاسوبيًا والفن الطبيعي من صنع الإنسان. ^{[ 9 ]} وكان أول استخدام لمنظر طبيعي مُولّد بتقنية الفراكتال في فيلم عام 1982 في فيلم " ستار تريك 2: غضب خان" . وقد طوّر لورين كاربنتر تقنيات ماندلبروت لإنشاء منظر طبيعي فضائي. ^{[ 10 ]}

في مجال رسومات الحاسوب

في التطبيقات التقنية للرسومات الحاسوبية ثلاثية الأبعاد ، مثل التصميم والتصنيع بمساعدة الحاسوب ، تُعدّ الأسطح إحدى طرق تمثيل الأجسام. أما الطرق الأخرى فهي الهياكل السلكية (الخطوط والمنحنيات) والمجسمات. كما تُستخدم سحب النقاط أحيانًا كطريقة مؤقتة لتمثيل الجسم، بهدف استخدام النقاط لإنشاء واحد أو أكثر من التمثيلات الدائمة الثلاثة.

انظر أيضاً

الحواشي

↑ السطح الأملس هو سطح يكون لكل نقطة فيه جوار متماثل مع مجموعة مفتوحة في E² .
↑ السطح الريماني هو سطح أملس مزود بمقياس ريماني.

ملحوظات

↑ هنا، لا تشير كلمة "ضمني" إلى خاصية من خواص السطح، والتي يمكن تعريفها بوسائل أخرى، بل إلى كيفية تعريفها. وبالتالي، فإن هذا المصطلح هو اختصار لعبارة "سطح مُعرَّف بمعادلة ضمنية ".
↑ ويل، أندريه (1946)، أسس الهندسة الجبرية ، منشورات ندوة الجمعية الرياضية الأمريكية، المجلد 29، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، الصفحات 1-363 ، رقم ISBN 9780821874622، MR 0023093 {{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
↑ إن درجة التجاوز اللانهائية هي شرط تقني، يسمح بتعريف دقيق لمفهوم النقطة العامة .
↑ غاوس 1902 .
↑ "الهندسة الكسورية للطبيعة" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 2002-06-05 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2008-09-04 .
↑ التطورات في نمذجة الوسائط المتعددة: المؤتمر الدولي الثالث عشر لنمذجة الوسائط المتعددة، بقلم تات-جين تشام، 2007، رقم ISBN 3-540-69428-5صفحة
↑ إدراك الإنسان للتناظر وتحليله الحسابي، بقلم كريستوفر دبليو تايلر، 2002، رقم ISBN 0-8058-4395-7الصفحات 173-177
↑ ديناميكيات الأسطح الكسورية ، تأليف فريدون فاميلي وتاماس فيسيك، 1991، رقم ISBN 981-02-0720-4الصفحة 45
↑ روندا رولاند شيرر "إعادة التفكير في الصور والاستعارات" في كتاب لغات الدماغ لألبرت إم. غالابوردا 2002 ISBN 0-674-00772-7الصفحات 351-359
↑ بريغز، جون (1992). الفراكتلات: أنماط الفوضى : جمالية جديدة للفن والعلم والطبيعة . سيمون وشوستر. ص 84. ISBN 978-0671742171تم الاطلاع عليه بتاريخ 15 يونيو 2014 .

مصادر

غاوس، كارل فريدريش (1902)، دراسات عامة للأسطح المنحنية لعامي 1825 و1827 ، مكتبة جامعة برينستون

[4] السطح الأملس هو سطح يكون لكل نقطة فيه جوار متماثل مع مجموعة مفتوحة في E² .

[5] السطح الريماني هو سطح أملس مزود بمقياس ريماني.

[1] هنا، لا تشير كلمة "ضمني" إلى خاصية من خواص السطح، والتي يمكن تعريفها بوسائل أخرى، بل إلى كيفية تعريفها. وبالتالي، فإن هذا المصطلح هو اختصار لعبارة "سطح مُعرَّف بمعادلة ضمنية ".

[2] ويل، أندريه (1946)، أسس الهندسة الجبرية ، منشورات ندوة الجمعية الرياضية الأمريكية، المجلد 29، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، الصفحات 1-363 ، رقم ISBN 9780821874622، MR 0023093 {{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )

[3] إن درجة التجاوز اللانهائية هي شرط تقني، يسمح بتعريف دقيق لمفهوم النقطة العامة .

[FOOTNOTEGauss1902-6] غاوس 1902 .

[7] "الهندسة الكسورية للطبيعة" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 2002-06-05 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2008-09-04 .

[Fractal_landscape_Cham-8] التطورات في نمذجة الوسائط المتعددة: المؤتمر الدولي الثالث عشر لنمذجة الوسائط المتعددة، بقلم تات-جين تشام، 2007، رقم ISBN 3-540-69428-5صفحة

[9] إدراك الإنسان للتناظر وتحليله الحسابي، بقلم كريستوفر دبليو تايلر، 2002، رقم ISBN 0-8058-4395-7الصفحات 173-177

[10] ديناميكيات الأسطح الكسورية ، تأليف فريدون فاميلي وتاماس فيسيك، 1991، رقم ISBN 981-02-0720-4الصفحة 45

[11] روندا رولاند شيرر "إعادة التفكير في الصور والاستعارات" في كتاب لغات الدماغ لألبرت إم. غالابوردا 2002 ISBN 0-674-00772-7الصفحات 351-359

[Fractal_landscape_ftpoc-12] بريغز، جون (1992). الفراكتلات: أنماط الفوضى : جمالية جديدة للفن والعلم والطبيعة . سيمون وشوستر. ص 84. ISBN 978-0671742171تم الاطلاع عليه بتاريخ 15 يونيو 2014 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[

[

4

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[

[ 9 ]

[ 10 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗