الشكل الطبيعي المتعارف عليه

يوجد 2 ^{^n} حدًا أدنى لـ n متغيرًا، حيث يمكن أن يكون المتغير في تعبير الحد الأدنى إما في شكله المباشر أو شكله المكمل - خياران لكل متغير. غالبًا ما يتم ترقيم الحدود الدنيا بواسطة ترميز ثنائي لنمط المكمل للمتغيرات، حيث تُكتب المتغيرات بترتيب قياسي، عادةً أبجدي. يُخصص هذا الاصطلاح القيمة 1 للشكل المباشر (${\displaystyle x_{i}}$) و 0 إلى الشكل المكمل (${\displaystyle x'_{i}}$); ثم يكون الحد الأدنى هو${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}2^{i-1}\operatorname {value} (x_{i})}$على سبيل المثال، minterm${\displaystyle abc'}$رقمها 110 ₂  =  6 ₁₀ ويرمز لها بـ${\displaystyle m_{6}}$.

بمعرفة جدول الحقيقة لدالة منطقية، يمكن كتابة الدالة على شكل "مجموع نواتج" أو "مجموع الحدود الصغرى". هذا شكل خاص من الصيغة المنطقية الانفصالية . على سبيل المثال، إذا عُلم جدول الحقيقة لبت الجمع الحسابي u لمنطق خانة بت واحدة في دائرة جمع، كدالة لـ x و y من الأعداد المضافة والحمل ci :

بملاحظة أن الصفوف التي يكون ناتجها 1 هي الصفوف الثاني والثالث والخامس والثامن، يمكننا كتابة u كمجموع حدود دنيا${\displaystyle m_{1},m_{2},m_{4},}$و${\displaystyle m_{7}}$إذا أردنا التحقق من ذلك:${\displaystyle u(ci,x,y)=m_{1}+m_{2}+m_{4}+m_{7}=(ci',x',y)+(ci',x,y')+(ci,x',y')+(ci,x,y)}$ستتطابق النتائج التي تم تقييمها لجميع التركيبات الثمانية للمتغيرات الثلاثة مع الجدول.

يوجد مجددًا 2 ^{^n} حدًا أقصى لـ n متغيرًا، حيث يمكن أن يكون المتغير في تعبير الحد الأقصى إما في صورته المباشرة أو صورته المكملة - خياران لكل متغير. تم اختيار الترقيم بحيث يكون مكمل الحد الأدنى هو الحد الأقصى المقابل. أي، يُخصص لكل حد أقصى فهرس بناءً على الترميز الثنائي التقليدي المعاكس المستخدم للحدود الدنيا. يُخصص اصطلاح الحد الأقصى القيمة 0 للصورة المباشرة.${\displaystyle (x_{i})}$و1 إلى الشكل المكمل${\displaystyle (x'_{i})}$على سبيل المثال، نُسند الفهرس 6 إلى الحد الأقصى${\displaystyle a'+b'+c}$(110) ونرمز إلى الحد الأقصى بـ M _6. المكمل${\displaystyle (a'+b'+c)'}$هو الحد الأدنى${\displaystyle abc'=m_{6}}$، باستخدام قانون دي مورغان .

إذا توفر لدينا جدول حقيقة لدالة منطقية، فمن الممكن كتابة الدالة على شكل "حاصل ضرب مجاميع" أو "حاصل ضرب حدود قصوى". هذا شكل خاص من الصيغة الاقترانية العادية . على سبيل المثال، إذا توفر لدينا جدول حقيقة لبت الحمل الخارج co لمنطق موضع بت واحد في دائرة جمع، كدالة لـ x و y من المضافات و ci :

بملاحظة أن الصفوف التي يكون ناتجها 0 هي الصفوف الأول والثاني والثالث والخامس، يمكننا كتابة co كحاصل ضرب حدود قصوى${\displaystyle M_{0},M_{1},M_{2}}$و${\displaystyle M_{4}}$إذا أردنا التحقق من ذلك:

${\displaystyle co(ci,x,y)=M_{0}M_{1}M_{2}M_{4}=(ci+x+y)(ci+x+y')(ci+x'+y)(ci'+x+y)}$

ستتطابق النتائج التي تم تقييمها لجميع التركيبات الثمانية للمتغيرات الثلاثة مع الجدول.

إن مجموعة من 8 بوابات NOR، إذا كانت مدخلاتها عبارة عن جميع تركيبات الأشكال المباشرة والمكملة لمتغيرات الإدخال الثلاثة ci و x و y ، فإنها تنتج دائمًا حدودًا دنيا، وليس حدودًا قصوى أبدًا - أي أنه من بين البوابات الثمانية المطلوبة لمعالجة جميع تركيبات متغيرات الإدخال الثلاثة، واحدة فقط لها قيمة خرج 1. وذلك لأن بوابة NOR، على الرغم من اسمها، يمكن اعتبارها بشكل أفضل (باستخدام قانون دي مورغان) بمثابة AND لمكملات إشارات الإدخال الخاصة بها.

والسبب في أن هذا ليس مشكلة هو ازدواجية الحدود الدنيا والحدود القصوى، أي أن كل حد أقصى هو مكمل الحد الأدنى ذي الفهرس المماثل، والعكس صحيح.

في مثال الحد الأدنى للاختبار أعلاه، كتبنا${\displaystyle u(ci,x,y)=m_{1}+m_{2}+m_{4}+m_{7}}$لكن لتنفيذ ذلك باستخدام بوابة NOR ذات 4 مداخل، نحتاج إلى إعادة صياغتها كحاصل ضرب مجاميع (PoS)، حيث تكون المجاميع هي الحدود القصوى المعاكسة. أي،

${\displaystyle u(ci,x,y)=\mathrm {AND} (M_{0},M_{3},M_{5},M_{6})=\mathrm {NOR} (m_{0},m_{3},m_{5},m_{6}).}$

في مثال الحد الأقصى أعلاه، كتبنا${\displaystyle co(ci,x,y)=M_{0}M_{1}M_{2}M_{4}}$لكن لتنفيذ ذلك باستخدام بوابة NOR ذات 4 مداخل، نحتاج إلى ملاحظة تساوي الحدود الصغرى نفسها مع بوابة NOR. أي،

${\displaystyle co(ci,x,y)=\mathrm {AND} (M_{0},M_{1},M_{2},M_{4})=\mathrm {NOR} (m_{0},m_{1},m_{2},m_{4}).}$

قد يظن المرء أن تصميم مرحلة الجمع قد اكتمل، لكننا لم نتطرق إلى ضرورة ظهور جميع متغيرات الإدخال الثلاثة بصيغتيها المباشرة والمكملة. لا توجد صعوبة في التعامل مع العددين x و y في هذا الصدد، لأنهما ثابتان طوال عملية الجمع، وبالتالي يُخزنان عادةً في دوائر مزلاج ذات مخرجات مباشرة ومكملة. (أبسط دائرة مزلاج مصنوعة من بوابات NOR هي زوج من البوابات متقاطعة لتكوين قلاب: يُوصل مخرج كل بوابة كمدخل للأخرى). كما لا حاجة لإنشاء الصيغة المكملة للمجموع u . مع ذلك، يجب تمرير قيمة الحمل الخارجة من خانة بت واحدة كحمل إلى خانة البت التالية بصيغتيها المباشرة والمكملة. أبسط طريقة للقيام بذلك هي تمرير co عبر بوابة NOR ذات مدخل واحد وتسمية المخرج co ′ ، لكن هذا سيضيف تأخيرًا للبوابة في أسوأ مكان ممكن، مما يبطئ انتقال الحمل من اليمين إلى اليسار. تقوم بوابة NOR إضافية ذات 4 مدخلات ببناء الشكل المتعارف عليه لـ co ′ (من الحدود الدنيا المعاكسة لـ co ) بحل هذه المشكلة.

${\displaystyle co'(ci,x,y)=\mathrm {AND} (M_{3},M_{5},M_{6},M_{7})=\mathrm {NOR} (m_{3},m_{5},m_{6},m_{7}).}$

إن المقايضة للحفاظ على السرعة الكاملة بهذه الطريقة تتضمن تكلفة غير متوقعة (بالإضافة إلى الحاجة إلى استخدام بوابة أكبر). لو استخدمنا تلك البوابة ذات المدخل الواحد لتكملة co ، لما كانت هناك حاجة إلى الحد الأدنى${\displaystyle m_{7}}$وكان من الممكن إزالة البوابة التي تسببت في ذلك. ومع ذلك، لا تزال صفقة جيدة.

كان بإمكاننا الآن تنفيذ هذه الوظائف بدقة وفقًا لصيغها المتعارف عليها في منطق مجموع المنتجات (SoP) ومنطق أجزاء المنتج (PoS)، وذلك بتحويل بوابات NOR إلى الوظائف المحددة. تُحوّل بوابة NOR إلى بوابة OR بتمرير مخرجها عبر بوابة NOR أحادية المدخل؛ وتُحوّل إلى بوابة AND بتمرير كل مدخل من مدخلاتها عبر بوابة NOR أحادية المدخل. مع ذلك، لا يزيد هذا الأسلوب عدد البوابات المستخدمة فحسب، بل يُضاعف أيضًا عدد فترات تأخير البوابات لمعالجة الإشارات، مما يُقلل سرعة المعالجة إلى النصف. بالتالي، عندما يكون الأداء بالغ الأهمية، فإن تجاوز الصيغ المتعارف عليها واستخدام الجبر البولياني لجعل بوابات NOR غير المُحسّنة تؤدي الغرض يُعدّ خيارًا مُجديًا للغاية.

لقد رأينا الآن كيف يمكن استخدام أدوات minterm/maxterm لتصميم مرحلة جمع في شكلها القياسي مع إضافة بعض العمليات الجبرية البوليانية، بتكلفة تأخير بوابتين فقط لكل مخرج. هذه هي الطريقة "التنازلية" لتصميم الدائرة الرقمية لهذه الوظيفة، ولكن هل هي الطريقة الأمثل؟ ركز النقاش على اعتبار "الأسرع" هو "الأفضل"، ويلبي الشكل القياسي المُعزز هذا المعيار تمامًا، ولكن في بعض الأحيان تطغى عوامل أخرى. قد يكون لدى المصمم هدف أساسي يتمثل في تقليل عدد البوابات، و/أو تقليل تفرعات الإشارات إلى البوابات الأخرى لأن التفرعات الكبيرة تقلل من مقاومة الدائرة لتدهور مصدر الطاقة أو العوامل البيئية الأخرى. في مثل هذه الحالة، قد يطور المصمم التصميم القياسي كأساس، ثم يجرب تطويرًا تصاعديًا، وأخيرًا يقارن النتائج.

يتضمن التطوير من الأسفل إلى الأعلى ملاحظة أن u = ci XOR ( x XOR y )، حيث تعني XOR عملية OR الحصرية [صحيح عندما يكون أحد المدخلين صحيحًا، وليس عندما يكون كلاهما صحيحًا]، وأن co = ci x + xy + y ci . يتطلب أحد هذه التطويرات اثنتي عشرة بوابة NOR: ست بوابات ذات مدخلين وبوابتان ذات مدخل واحد لإنتاج u في خمس فترات تأخير، بالإضافة إلى ثلاث بوابات ذات مدخلين وبوابة واحدة ذات ثلاثة مداخل لإنتاج co ′ في فترتي تأخير. أما التصميم الأساسي التقليدي، فقد تطلب ثماني بوابات NOR ذات ثلاثة مداخل بالإضافة إلى ثلاث بوابات NOR ذات أربعة مداخل لإنتاج u و co و co ′ في فترتي تأخير. إذا كانت مكونات الدائرة تتضمن بالفعل بوابات NOR ذات أربعة مداخل، فإن التصميم الأساسي من الأعلى إلى الأسفل يبدو متفوقًا من حيث عدد البوابات والسرعة. لكن إذا كانت الدوائر (على عكس افتراضنا المريح) عبارة عن بوابات NOR ثلاثية المدخلات، حيث يلزم اثنتان منها لكل وظيفة NOR رباعية المدخلات، فإن التصميم القياسي يتطلب 14 بوابة مقارنةً بـ 12 بوابة في طريقة التصميم من الأسفل إلى الأعلى، ولكنه مع ذلك يُنتج رقم المجموع u بشكل أسرع بكثير. يُوضح الجدول التالي مقارنة عدد البوابات:

يذكر وصف عملية التطوير من الأسفل إلى الأعلى co ′ كمخرج، لكنه لا يذكر co . هل يعني هذا أن هذا التصميم لا يحتاج أبدًا إلى الشكل المباشر لخرج الحمل؟ الإجابة هي نعم ولا. في كل مرحلة، يعتمد حساب co ′ فقط على ci ′ و x ′ و y ′ ، مما يعني أن انتشار الحمل ينتشر على طول مواضع البتات بنفس سرعة التصميم التقليدي دون الحاجة إلى حساب co . أما حساب u ، الذي يتطلب حساب ci من ci ′ باستخدام بوابة NOR أحادية المدخل، فهو أبطأ، ولكن لأي طول كلمة، لا يتحمل التصميم هذا العبء إلا مرة واحدة (عند حساب بت المجموع الأيسر). وذلك لأن هذه الحسابات تتداخل، كل منها في مسارها الخاص دون التأثير على وقت حساب بت المجموع لموضع البت التالي. وبالتأكيد، من المحتمل أن يتم عكس co ′ الخارج من موضع البت الأيسر كجزء من المنطق الذي يحدد ما إذا كان الجمع قد تجاوز الحد المسموح به. لكن باستخدام بوابات NOR ذات 3 مداخل، يكون التصميم من الأسفل إلى الأعلى سريعًا جدًا لإجراء عملية الجمع المتوازي على طول كلمة غير تافه، ويقلل من عدد البوابات، ويستخدم عددًا أقل من المخارج ... لذا فهو يفوز إذا كان عدد البوابات و/أو عدد المخارج هو الأهم!

سنترك تفاصيل الدائرة الدقيقة للتصميم التصاعدي الذي تنطبق عليه جميع هذه العبارات كتمرين للقارئ المهتم، بمساعدة صيغة جبرية أخرى: u = ci ( x XOR y ) + ci ′ ( x XOR y ) ′ ] ′ . إن فصل عملية نقل الحمل عن عملية تكوين المجموع بهذه الطريقة هو ما يرفع أداء جامع الحمل المسبق مقارنةً بجامع الحمل المتموج .