Boolean algebra

In mathematics and mathematical logic, Boolean algebra is a branch of algebra. It differs from elementary algebra in two ways. First, the values of the variables are the truth valuestrue and false, usually denoted by 1 and 0, whereas in elementary algebra the values of the variables are numbers. Second, Boolean algebra uses logical operators such as conjunction (and) denoted as $\land$ , disjunction (or) denoted as $\lor$ , and negation (not) denoted as $\neg$ . Elementary algebra, on the other hand, uses arithmetic operators such as addition, multiplication, subtraction, and division. Boolean algebra is therefore a formal way of describing logical operations in the same way that elementary algebra describes numerical operations.

Boolean algebra was introduced by George Boole in his first book The Mathematical Analysis of Logic (1847),^[1] and set forth more fully in his An Investigation of the Laws of Thought (1854).^[2] According to Huntington, the term Boolean algebra was first suggested by Henry M. Sheffer in 1913,^[3] although Charles Sanders Peirce gave the title "A Boolian[sic] Algebra with One Constant" to the first chapter of his "The Simplest Mathematics" in 1880.^[4] Boolean algebra has been fundamental in the development of digital electronics, and is provided for in all modern programming languages. It is also used in set theory and statistics.^[5]

History

A precursor of Boolean algebra was Gottfried Wilhelm Leibniz's algebra of concepts. The usage of binary in relation to the I Ching was central to Leibniz's characteristica universalis. It eventually created the foundations of algebra of concepts.^[6] Leibniz's algebra of concepts is deductively equivalent to the Boolean algebra of sets.^[7]

سبقت جبر بول التطورات الحديثة في الجبر المجرد والمنطق الرياضي ؛ ومع ذلك ، يُنظر إليه على أنه مرتبط بأصول كلا المجالين. ^{[ 8 ]} في سياق مجرد، تم تطوير جبر بول في أواخر القرن التاسع عشر على يد جيفونز وشرودر وهانتينغتون وآخرين، حتى وصل إلى المفهوم الحديث للبنية الرياضية (المجردة) . ^[⁸^] على سبيل المثال، تُفسَّر الملاحظة التجريبية التي تفيد بإمكانية معالجة التعبيرات في جبر المجموعات ، عن طريق ترجمتها إلى تعبيرات في جبر بول، بمصطلحات حديثة بالقول إن جبر المجموعات هو جبر بول (لاحظ أداة التنكير ). في الواقع، أثبت إم إتش ستون في عام 1936 أن كل جبر بول متماثل مع حقل من المجموعات . ^[⁹^]^[¹⁰^]

في ثلاثينيات القرن العشرين، وأثناء دراسته لدوائر التبديل ، لاحظ كلود شانون إمكانية تطبيق قواعد جبر بول في هذا السياق أيضًا، ^{[ 11 ]} وقدم جبر التبديل كطريقة لتحليل وتصميم الدوائر باستخدام الوسائل الجبرية من حيث البوابات المنطقية . كان شانون يمتلك بالفعل الأدوات الرياضية المجردة، لذا صاغ جبر التبديل الخاص به على أنه جبر بول ثنائي العناصر . في هندسة الدوائر الحديثة، لا حاجة تُذكر للنظر في أنواع أخرى من جبر بول، ولذلك يُستخدم مصطلحا "جبر التبديل" و"جبر بول" غالبًا بشكل متبادل. ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}

يُعدّ التنفيذ الفعال للدوال المنطقية مشكلة أساسية في تصميم دوائر المنطق التوافقي . وتعتمد أدوات أتمتة التصميم الإلكتروني الحديثة لدوائر التكامل واسع النطاق (VLSI) غالبًا على تمثيل فعال للدوال المنطقية يُعرف باسم مخططات القرار الثنائية (BDD) ( المرتبة المختزلة) لتوليف المنطق والتحقق الرسمي . ^{[ 15 ]}

الجمل المنطقية التي يمكن التعبير عنها في حساب القضايا الكلاسيكي لها تعبير مكافئ في الجبر البولياني. ولذلك، يُستخدم مصطلح المنطق البولياني أحيانًا للدلالة على حساب القضايا الذي يُجرى بهذه الطريقة. ^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}^{[ 18 ]} ولا يكفي الجبر البولياني وحده لاستيعاب الصيغ المنطقية التي تستخدم المُكمِّمات ، كتلك المستخدمة في منطق الرتبة الأولى .

على الرغم من أن تطور المنطق الرياضي لم يتبع برنامج بول، إلا أن الصلة بين جبره والمنطق ترسخت لاحقًا في سياق المنطق الجبري ، الذي يدرس أيضًا الأنظمة الجبرية للعديد من أنواع المنطق الأخرى. ^{[ 8 ]} تُعرف مشكلة تحديد ما إذا كان من الممكن تعيين متغيرات صيغة منطقية (قضوية) معينة بطريقة تجعل الصيغة صحيحة بمشكلة الإرضاء المنطقي (SAT)، وهي ذات أهمية في علوم الحاسوب النظرية ، إذ تُعد أول مشكلة ثبت أنها من فئة NP-كاملة . ويربط نموذج الحوسبة ذو الصلة الوثيقة، والمعروف باسم الدائرة المنطقية، بين التعقيد الزمني (للخوارزمية ) وتعقيد الدائرة .

قيم

بينما تُشير التعبيرات في الجبر الابتدائي إلى الأعداد بشكل أساسي، فإنها في الجبر البولياني تُشير إلى قيمتي الصواب والخطأ . تُمثَّل هاتان القيمتان بالبتات 0 و1 . لا تتصرفان كالأعداد الصحيحة 0 و1، حيث $1 + 1 = 2$ ، ولكن يمكن تعريفهما بعناصر الحقل الثنائي $GF(2)$ ، أي العمليات الحسابية للأعداد الصحيحة بتردد 2 ، حيث $1 + 1 = 0.$ يلعب الجمع والضرب في هذه الحالة دوري XOR (الجمع الحصري) وAND (الربط) في الجبر البولياني، على التوالي، مع تعريف الفصل $x$ $\lor$ $y$ (الجمع الشامل) على أنه $x$ $+$ $y$ $-$ $xy،$ $والنفي \negx$ على $أنه$ 1 $-$ $x$ . في $GF(2)$ ، يمكن استبدال − بـ + ، لأنهما يُشيران إلى العملية نفسها. ومع ذلك، فإن هذه الطريقة في كتابة العمليات المنطقية تسمح بتطبيق العمليات الحسابية المعتادة للأعداد الصحيحة (قد يكون هذا مفيدًا عند استخدام لغة برمجة لا يتم فيها تنفيذ $GF(2) ).$

Boolean algebra also deals with functions which have their values in the set ${0,1}$ . A sequence of bits is a commonly used example of such a function. Another common example is the totality of subsets of a set $E$ : to a subset $F$ of $E$ , one can define the indicator function that takes the value $1$ on $F$ , and $0$ outside $F$ . The most general example is the set elements of a Boolean algebra, with all of the foregoing being instances thereof.

As with elementary algebra, the purely equational part of the theory may be developed, without considering explicit values for the variables.^[19]

Operations

Basic operations

While elementary algebra has four operations (addition, subtraction, multiplication, and division), the Boolean algebra has only three basic operations: conjunction, disjunction, and negation, expressed with the corresponding binary operatorsAND ( $\land$ ) and OR ( $\lor$ ) and the unary operatorNOT ( $\neg$ ), collectively referred to as Boolean operators.^[20] Variables in Boolean algebra that store the logical value of 0 and 1 are called the Boolean variables. They are used to store either true or false values.^[21] The basic operations on Boolean variables x and y are defined as follows:

Logical operation	Operator	Notation	Alternative notations	Definition
Conjunction	AND	$x \land y$	$x AND y, K xy$	$x \land y = 1 if x = y = 1, x \land y = 0 otherwise$
Disjunction	OR	$x \lor y$	$x OR y, A xy$	$x \lor y = 0 if x = y = 0, x \lor y = 1 otherwise$
Negation	NOT	¬x	$NOT x, N x, x̅, x',! x$	$\neg x = 0 if x = 1, \neg x = 1 if x = 0$

بدلاً من ذلك، يمكن التعبير عن قيم $x \land y$ و $x \lor y$ و ¬ x عن طريق جدولة قيمها باستخدام جداول الحقيقة كما يلي: ^{[ 22 ]}

$x$	$y$	$x\wedge y$	$x\vee y$
0	0	0	0
1	0	0	1
0	1	0	1
1	1	1	1

$x$	$\neg x$
0	1
1	0

عند استخدامها في التعبيرات، تُطبَّق المعاملات وفقًا لقواعد الأسبقية. وكما هو الحال في الجبر الابتدائي، تُقيَّم التعبيرات الموجودة بين قوسين أولًا، وفقًا لقواعد الأسبقية. ^{[ 23 ]}

إذا تم تفسير قيمتي الصواب 0 و 1 على أنهما عددان صحيحان، فيمكن التعبير عن هذه العمليات باستخدام العمليات الحسابية العادية (حيث يستخدم x + y الجمع ويستخدم xy الضرب)، أو باستخدام دوال الحد الأدنى/الحد الأقصى:

{\begin{aligned}x\wedge y&=xy=\min(x,y)\\x\vee y&=x+y-xy=x+y(1-x)=\max(x,y)\\\neg x&=1-x\end{aligned}}

قد يعتبر المرء أن النفي وواحدة من العمليتين الأخريين فقط هما العمليتان الأساسيتان بسبب الهويات التالية التي تسمح بتعريف الاقتران من حيث النفي والفصل، والعكس صحيح ( قوانين دي مورغان ): ^{[ 24 ]}

{\begin{aligned}x\wedge y&=\neg (\neg x\vee \neg y)\\x\vee y&=\neg (\neg x\wedge \neg y)\end{aligned}}

العمليات الثانوية

تتضمن العمليات المكونة من العمليات الأساسية، من بين أمور أخرى، ما يلي:

المادة مشروطة :	${\textstyle x\rightarrow y=\neg {x}\vee y}$
الشرط المزدوج للمادة :	${\textstyle x\leftrightarrow y=(x\land y)\lor (\neg x\land \neg y)=(x\lor \neg y)\land (\neg x\lor y)}$
أو الحصرية ( XOR ):	${\textstyle x\oplus y=\neg (x\leftrightarrow y)=(x\vee y)\wedge \neg (x\wedge y)=(x\vee y)\wedge (\neg x\vee \neg y)=(x\wedge \neg y)\vee (\neg x\wedge y)}$

تؤدي هذه التعريفات إلى جداول الحقيقة التالية التي توضح قيم هذه العمليات لجميع المدخلات الأربعة الممكنة.

العمليات الثانوية. الجدول 1
$x$	$y$	$x\rightarrow y$	$x\oplus y$	$x\leftrightarrow y,x\equiv y$
0	0	1	0	1
1	0	0	1	0
0	1	1	1	0
1	1	1	0	1

المادة مشروطة

تُسمى العملية الأولى، x → y أو C xy ، بالاستلزام المادي . إذا كانت x صحيحة، فإن نتيجة التعبير x → y تُعتبر نتيجة y (مثلاً، إذا كانت x صحيحة و y خاطئة، فإن x → y خاطئة أيضاً). أما إذا كانت x خاطئة، فيمكن تجاهل قيمة y ؛ ومع ذلك، يجب أن تُرجع العملية قيمة منطقية ، ولا يوجد سوى خيارين. لذا، بحسب التعريف، تكون x → y صحيحة عندما تكون x خاطئة ( يرفض منطق الصلة هذا التعريف، إذ يعتبر الاستلزام ذو المقدمة الخاطئة شيئاً آخر غير الصواب أو الخطأ).

أو الحصرية ( XOR )

العملية الثانية، x ⊕ y ، أو J xy ، تُسمى " أو الحصرية " (أو اختصارًا XOR) لتمييزها عن الفصل باعتبارها عملية شاملة. تستبعد هذه العملية إمكانية أن تكون كل من x و y صحيحة (انظر الجدول مثلاً): إذا كانت كلتاهما صحيحتين، فإن النتيجة تكون خاطئة. وتُعرَّف حسابيًا بأنها عملية جمع يكون فيها باقي قسمة الناتج على 2 هو 1 + 1 = 0.

التكافؤ المنطقي

العملية الثالثة، وهي مكمل عملية "أو الحصرية"، هي التكافؤ أو المساواة المنطقية: x ≡ y ، أو E xy ، تكون صحيحة فقط عندما يكون لـ x و y نفس القيمة. وبالتالي، يمكن فهم x ⊕ y كمكمل لها على أنها x ≠ y ، أي أنها صحيحة فقط عندما يكون x و y مختلفين. ومن ثم، فإن نظيرتها في الحساب بتردد 2 هي x + y . أما نظير التكافؤ في الحساب بتردد 2 فهو x + y + 1.

القوانين

قانون الجبر البولياني هو متطابقة مثل $x$ $\lor ($ $y$ $\lor$ $z$ $) = ($ $x$ $\lor$ $y$ ) $\lor$ $z$ بين حدين بوليانيين، حيث يُعرَّف الحد البولياني بأنه تعبير مُكوَّن من متغيرات وثوابت 0 و1 باستخدام العمليات ∧ و∨ و¬. يمكن توسيع هذا المفهوم ليشمل حدودًا تتضمن عمليات بوليانية أخرى مثل ⊕ و→ و≡، لكن هذه التوسعات غير ضرورية للأغراض التي وُضعت من أجلها هذه القوانين. وتشمل هذه الأغراض تعريف الجبر البولياني على أنه أي نموذج للقوانين البوليانية، وكوسيلة لاشتقاق قوانين جديدة من قوانين قديمة كما في اشتقاق $x$ $\lor ($ $y$ $\land$ $z$ $) =$ $x$ $\lor ($ $z$ $\land$ $y$ $)$ من $y$ $\land$ $z$ $=$ $z$ $\land$ $y$ (كما هو موضح في § وضع بديهيات الجبر البولياني ).

قوانين الرتابة

تُحقق الجبر البولياني العديد من القوانين نفسها التي تُحققها الجبر العادي عند ربط الرمز ∨ بالجمع والرمز ∧ بالضرب. وعلى وجه الخصوص، تشترك كلا النوعين من الجبر في القوانين التالية: ^{[ 25 ]}^{[ 26 ]}

خاصية التجميع $لـ \lor$ :	$x\vee (y\vee z)$	$=(x\vee y)\vee z$
خاصية التجميع $لـ \land$ :	$x\wedge (y\wedge z)$	$=(x\wedge y)\wedge z$
خاصية التبديل $لـ \lor$ :	$x\vee y$	$=y\vee x$
خاصية التبديل لـ $\land$ :	$x\wedge y$	$=y\wedge x$
خاصية التوزيع لـ $\land$ على $\lor$ :	$x\wedge (y\vee z)$	$=(x\wedge y)\vee (x\wedge z)$
هوية لـ $\lor$ :	$x\vee 0$	$=x$
هوية لـ $\land$ :	$x\wedge 1$	$=x$
المبيد لـ $\land$ :	$x\wedge 0$	$=0$

تنطبق القوانين التالية في الجبر البولياني، ولكنها لا تنطبق في الجبر العادي:

المبيد لـ $\lor$ :	$x\vee 1$	$=1$
خاصية التكرار $لـ \lor$ :	$x\vee x$	$=x$
خاصية التكرار $لـ \land$ :	$x\wedge x$	$=x$
الامتصاص 1:	$x\wedge (x\vee y)$	$=x$
الامتصاص 2:	$x\vee (x\wedge y)$	$=x$
خاصية التوزيع لـ $\lor$ على $\land$ :	$x\vee (y\wedge z)$	$=(x\vee y)\wedge (x\vee z)$

بوضع $x = 2$ في القانون الثالث أعلاه، يتضح أنه ليس قانونًا جبريًا عاديًا، لأن $2 \times 2 = 4.$ ويمكن دحض القوانين الخمسة المتبقية جبريًا عاديًا بجعل جميع المتغيرات تساوي 1. على سبيل المثال، في قانون الامتصاص الأول، يكون الطرف الأيسر $1(1 + 1) = 2$ ، بينما يكون الطرف الأيمن 1 (وهكذا).

جميع القوانين التي تم تناولها حتى الآن تخص العطف والفصل. تتميز هذه العمليات بخاصية أن تغيير أي من الوسيطين إما لا يُغير الناتج، أو يُغيره بنفس طريقة تغير المدخل. وبالمثل، فإن تغيير أي متغير من 0 إلى 1 لا يؤدي أبدًا إلى تغيير الناتج من 1 إلى 0. تُسمى العمليات التي تتمتع بهذه الخاصية بالعمليات الرتيبة . وبالتالي، فإن جميع البديهيات حتى الآن تخص المنطق البولياني الرتيب. أما اللارتدادية فتظهر عبر المتمم ¬ كما يلي. ^{[ 5 ]}

قوانين غير رتيبة

تُعرَّف عملية المتممة بالقوانين التاليين.

{\begin{aligned}&{\text{Complementation 1}}&x\wedge \neg x&=0\\&{\text{Complementation 2}}&x\vee \neg x&=1\end{aligned}}

جميع خصائص النفي، بما في ذلك القوانين أدناه، تنبع من القانونين السابقين فقط. ^{[ 5 ]}

في كل من الجبر العادي والجبر البولياني، يعمل النفي عن طريق تبادل أزواج من العناصر، وبالتالي في كلا النوعين من الجبر فإنه يحقق قانون النفي المزدوج (يسمى أيضًا قانون الانعكاس).

{\begin{aligned}&{\text{Double negation}}&\neg {(\neg {x})}&=x\end{aligned}}

لكن في حين أن الجبر العادي يفي بالقانونين

{\begin{aligned}(-x)(-y)&=xy\\(-x)+(-y)&=-(x+y)\end{aligned}}

الجبر البولياني يحقق قوانين دي مورغان :

{\begin{aligned}&{\text{De Morgan 1}}&\neg x\wedge \neg y&=\neg {(x\vee y)}\\&{\text{De Morgan 2}}&\neg x\vee \neg y&=\neg {(x\wedge y)}\end{aligned}}

اكتمال

تُعرّف القوانين المذكورة أعلاه الجبر البولياني، بمعنى أنها تستلزم بقية هذا الموضوع. يكفي قانونا المكمل 1 و2، بالإضافة إلى قوانين الرتابة، لهذا الغرض، وبالتالي يمكن اعتبارهما مجموعة كاملة محتملة من القوانين أو البديهيات للجبر البولياني. كل قانون من قوانين الجبر البولياني يتبع منطقيًا من هذه البديهيات. علاوة على ذلك، يمكن تعريف الجبر البولياني على أنه نماذج لهذه البديهيات كما هو موضح في قسم الجبر البولياني .

إن تدوين المزيد من قوانين الجبر البولياني لا يُفضي إلى أي نتائج جديدة لهذه البديهيات، ولا يستبعد أي نموذج لها. في المقابل، في قائمة تضم بعض القوانين نفسها دون غيرها، قد توجد قوانين بوليانية لا تترتب على تلك الموجودة في القائمة، بل قد توجد نماذج للقوانين المدرجة لا تُمثل جبرًا بوليانيًا.

لا يُعدّ هذا التبسيط البديهي الوحيد بأي حال من الأحوال، ولا حتى الأكثر طبيعية بالضرورة، نظرًا لعدم الاهتمام بما إذا كانت بعض البديهيات تتبع من غيرها، بل كان هناك ببساطة خيار التوقف عند ملاحظة عدد كافٍ من القوانين، وهو ما سيتم تناوله بمزيد من التفصيل في قسم "تبسيط الجبر البولياني" . أو يمكن تجاوز المفهوم الوسيط للبديهية تمامًا بتعريف القانون البولياني مباشرةً على أنه أي تحصيل حاصل ، يُفهم على أنه معادلة صحيحة لجميع قيم متغيراته بين 0 و1. ^{[ 27 ]}^{[ 28 ]} ويمكن إثبات تكافؤ جميع هذه التعريفات للجبر البولياني.

مبدأ الازدواجية

المبدأ: إذا كانت ${X, R}$ مجموعة مرتبة جزئيًا ، فإن ${X, R(inverse)}$ هي أيضًا مجموعة مرتبة جزئيًا.

لا يوجد شيء مميز في اختيار الرموز لقيم الجبر البولياني. يمكن إعادة تسمية 0 و1 إلى α و β ، وطالما تم ذلك بشكل متسق، فسيظل جبرًا بوليانيًا، وإن كان مع بعض الاختلافات الشكلية الواضحة.

لكن لنفترض أن 0 و1 أُعيد تسميتهما إلى 1 و0 على التوالي. سيظل هذا جبرًا منطقيًا، بل وسيُطبق على القيم نفسها. مع ذلك، لن يكون مطابقًا للجبر المنطقي الأصلي، لأن الرمز ∨ سيتصرف الآن كما كان يتصرف الرمز ∧، والعكس صحيح. لذا، لا تزال هناك بعض الاختلافات الشكلية التي تُظهر تغيير الترميز، على الرغم من استمرار استخدام 0 و1.

لكن إذا تم تبديل أسماء العمليتين الثنائيتين بالإضافة إلى أسماء القيم، فلن يبقى أي أثر لما تم فعله. فالناتج النهائي لا يمكن تمييزه إطلاقًا عما بدأنا به. صحيح أن أعمدة $x \land y$ و $x \lor y$ في جداول الحقيقة قد تبادلت مواقعها، لكن هذا التبديل غير ذي أهمية.

عندما يمكن إقران القيم والعمليات بطريقة لا تُغير أي شيء مهم عند تبديل جميع الأزواج في آنٍ واحد، يُطلق على عناصر كل زوج اسم " ثنائيات" . لذا، فإن 0 و1 ثنائيان، وكذلك ∧ و∨ ثنائيان. ينص مبدأ الازدواجية ، المعروف أيضًا باسم ازدواجية دي مورغان ، على أن الجبر البولياني لا يتغير عند تبديل جميع الأزواج الثنائية.

أحد التغييرات غير الضرورية في هذا التبادل هو عملية المكمل. المكمل عملية ذاتية التناظر . عملية التطابق أو عملية عدم القيام بأي شيء x (نسخ المدخلات إلى المخرجات) هي أيضًا عملية ذاتية التناظر. مثال أكثر تعقيدًا على العملية ذاتية التناظر هو $(x \land y) \lor (y \land z) \lor (z \land x)$ . لا توجد عملية ثنائية ذاتية التناظر تعتمد على كلا وسيطيها. تركيب العمليات ذاتية التناظر هو عملية ذاتية التناظر. على سبيل المثال، إذا كانت $f (x, y, z) = (x \land y) \lor (y \land z) \lor (z \land x)$ ، فإن $f (f (x, y, z), x, t)$ هي عملية ذاتية التناظر لأربعة وسائط x ، y ، z ، t .

يمكن تفسير مبدأ الازدواجية من منظور نظرية الزمر، حيث توجد أربع دوال فقط تمثل تحويلات أحادية ( تشاكلات ذاتية ) لمجموعة كثيرات الحدود البوليانية إلى نفسها: دالة التطابق، ودالة المتممة، والدالة الثنائية، ودالة التناقض (الدالة الثنائية المتممة). تشكل هذه الدوال الأربع زمرةً تحت تركيب الدوال ، متماثلةً مع زمرة كلاين الرباعية ، وتؤثر على مجموعة كثيرات الحدود البوليانية. وقد لاحظ والتر غوتشالك أن الاسم الأنسب لهذه الظاهرة هو مبدأ (أو مربع ) الرباعية . ^{[ 5 ]}^{: 21-22}

التمثيلات التخطيطية

مخططات فين

يمكن استخدام مخطط فين ^{[ 29 ]} لتمثيل عملية منطقية باستخدام مناطق متداخلة مظللة. توجد منطقة واحدة لكل متغير، وجميعها دائرية في الأمثلة المذكورة هنا. يتوافق الجزء الداخلي والخارجي من المنطقة x مع القيمتين 1 (صحيح) و0 (خطأ) للمتغير x على التوالي . يشير التظليل إلى قيمة العملية لكل تركيبة من المناطق، حيث يدل اللون الداكن على 1 واللون الفاتح على 0 (يستخدم بعض المؤلفين اصطلاحًا معاكسًا).

تمثل مخططات فين الثلاثة في الشكل أدناه على التوالي الاقتران $x \land y$ ، والفصل $x \lor y$ ، والمكمل ¬ x .

الشكل 2. مخططات فين للوصل والفصل والمكمل

بالنسبة للاقتران، يتم تظليل المنطقة داخل كلتا الدائرتين للإشارة إلى أن $x \land y$ يساوي 1 عندما يكون كلا المتغيرين يساوي 1. أما المناطق الأخرى فتترك بدون تظليل للإشارة إلى أن $x \land y$ يساوي 0 بالنسبة للتركيبات الثلاثة الأخرى.

يمثل الرسم البياني الثاني الفصل $x \lor y$ بتظليل المناطق الواقعة داخل إحدى الدائرتين أو كلتيهما. أما الرسم البياني الثالث فيمثل المتمم ¬ x بتظليل المنطقة غير الواقعة داخل الدائرة.

على الرغم من أننا لم نعرض مخططات فين للثابتين 0 و1، إلا أنها بسيطة، إذ يُمثل كل منهما مربعًا أبيض ومربعًا داكنًا على التوالي، ولا يحتوي أي منهما على دائرة. مع ذلك، يُمكننا وضع دائرة لـ x في هذين المربعين، وفي هذه الحالة، يُمثل كل منهما دالة ذات وسيط واحد، x ، تُعيد القيمة نفسها بغض النظر عن x ، وتُسمى دالة ثابتة. أما بالنسبة لمخرجاتها، فالثوابت والدوال الثابتة متطابقة؛ الفرق هو أن الثابت لا يأخذ أي وسيط، ويُسمى عملية صفرية ، بينما تأخذ الدالة الثابتة وسيطًا واحدًا تتجاهله، وتُسمى عملية أحادية .

تُعدّ مخططات فين مفيدة في تصوّر القوانين. ويمكن ملاحظة قوانين التبديل للعمليتين ∧ و ∨ من خلال تناظر المخططات: فالعملية الثنائية غير التبديلية لن يكون لها مخطط متناظر، لأن تبديل x و y سيؤدي إلى انعكاس المخطط أفقيًا، وأي خلل في التبديل سيظهر حينها على أنه خلل في التناظر.

يمكن تصور خاصية التكرار لـ ∧ و ∨ عن طريق تحريك الدائرتين معًا وملاحظة أن المنطقة المظللة تصبح بعد ذلك الدائرة بأكملها، لكل من ∧ و ∨.

لفهم قانون الامتصاص الأول، $x \land (x \lor y) = x$ ، ابدأ بالرسم البياني الأوسط لـ x ∨ y ولاحظ أن الجزء المظلل المشترك مع دائرة x هو دائرة x بأكملها . أما بالنسبة لقانون الامتصاص الثاني، $x \lor (x \land y) = x$ ، فابدأ بالرسم البياني الأيسر لـ $x \land y$ ولاحظ أن تظليل دائرة x بأكملها ينتج عنه تظليل دائرة x فقط ، لأن التظليل السابق كان داخل دائرة x .

يمكن رؤية قانون النفي المزدوج من خلال استكمال التظليل في الرسم البياني الثالث لـ ¬ x ، والذي يظلل دائرة x .

لتوضيح قانون دي مورغان الأول، $(\neg x) \land (\neg y) = \neg(x \lor y)$ ، ابدأ بالرسم البياني الأوسط لـ $x \lor y$ ، وأكمل تظليله بحيث تُظلل المنطقة الواقعة خارج الدائرتين فقط، وهو ما يصفه الطرف الأيمن من القانون. والنتيجة هي نفسها كما لو ظللنا المنطقة الواقعة خارج كل من دائرة x ودائرة y ، أي منطقة التقاء حدودهما الخارجية، وهو ما يصفه الطرف الأيسر من القانون.

يعمل قانون دي مورغان الثاني، $(\neg x) \lor (\neg y) = \neg(x \land y)$ ، بنفس الطريقة مع تبديل الرسمين البيانيين.

ينص قانون المتمم الأول، $x \land \neg x = 0$ ، على أن داخل وخارج دائرة x لا يتقاطعان. أما قانون المتمم الثاني، $x \lor \neg x = 1$ ، فينص على أن كل شيء إما داخل دائرة x أو خارجها .

البوابات المنطقية الرقمية

المنطق الرقمي هو تطبيق الجبر البولياني للصفر والواحد على الأجهزة الإلكترونية التي تتكون من بوابات منطقية متصلة لتشكيل مخطط دائرة . تُنفذ كل بوابة عملية بوليانية، ويتم تمثيلها تخطيطيًا بشكل يُشير إلى العملية. الأشكال المرتبطة ببوابات الوصل (بوابات AND)، والفصل (بوابات OR)، والمكمل (العاكسات) هي كما يلي: ^{[ 30 ]}

من اليسار إلى اليمين: بوابات AND و OR و NOT .

تمثل الخطوط الموجودة على يسار كل بوابة أسلاك أو منافذ الإدخال . وتُحدد قيمة الإدخال بجهد كهربائي على السلك. في منطق "الفعالية العالية"، يُمثل الصفر بجهد قريب من الصفر أو "الأرضي"، بينما يُمثل الواحد بجهد قريب من جهد التغذية؛ أما في منطق "الفعالية المنخفضة"، فينعكس هذا. يمثل الخط الموجود على يمين كل بوابة منفذ الإخراج، والذي يتبع عادةً نفس اصطلاحات الجهد الكهربائي لمنافذ الإدخال.

تُنفَّذ عملية المكمل باستخدام بوابة عاكسة. يرمز المثلث إلى عملية نسخ المدخل إلى المخرج، بينما ترمز الدائرة الصغيرة على المخرج إلى عملية عكس الإشارة الفعلية التي تُكمل المدخل. ويعني وضع هذه الدائرة على أي منفذ أن الإشارة المارة عبر هذا المنفذ تُكمل أثناء مرورها، سواء كان منفذ إدخال أو إخراج.

يمكن فهم مبدأ الازدواجية ، أو قوانين دي مورغان ، على أنه ينص على أن عكس جميع منافذ بوابة AND الثلاثة يحولها إلى بوابة OR والعكس صحيح، كما هو موضح في الشكل 4 أدناه. أما عكس منفذي العاكس فلا يغير من وظيفتها.

بشكلٍ أعم، يمكن استكمال أيٍّ من المجموعات الفرعية الثمانية للمنافذ الثلاثة لبوابة AND أو OR. ينتج عن ذلك ست عشرة احتمالاً، تُفضي إلى ثماني عمليات منطقية فقط، وهي تلك التي تحتوي على عدد فردي من الآحاد في جدول الحقيقة الخاص بها. يوجد ثمانية من هذه العمليات لأن "البت الفردي" يمكن أن يكون إما 0 أو 1، ويمكن وضعه في أيٍّ من أربعة مواضع في جدول الحقيقة. وبما أن هناك ست عشرة عملية منطقية ثنائية، فلا بد أن يتبقى ثماني عمليات تحتوي على عدد زوجي من الآحاد في جدول الحقيقة الخاص بها. اثنتان من هذه العمليات هما الثابتان 0 و1 (كعمليات ثنائية تتجاهل كلا مدخليها)؛ وأربع عمليات تعتمد بشكلٍ غير بديهي على أحد مدخليها فقط، وهي x و y و¬ x و¬ y ؛ والعمليتان المتبقيتان هما x ⊕ y (XOR) ومكملها x ≡ y .

الجبر البولياني

يشير مصطلح "الجبر" إلى كلٍّ من موضوع، وهو موضوع الجبر ، وجسم، وهو بنية جبرية . وبينما تناول ما سبق موضوع الجبر البولياني، يتناول هذا القسم كائنات رياضية تُسمى الجبر البولياني، والذي يُعرَّف بشكل عام بأنه أي نموذج لقوانين المنطق البولياني. نبدأ بحالة خاصة من المفهوم قابلة للتعريف دون الرجوع إلى القوانين، وهي الجبر البولياني الملموس، ثم نقدم التعريف الرسمي للمفهوم العام.

الجبر البولياني الملموس

الجبر البولياني الملموس أو حقل المجموعات هو أي مجموعة غير فارغة ^من^{المجموعات} الجزئية لمجموعة معينة X مغلقة تحت عمليات المجموعة للاتحاد والتقاطع والمكمل بالنسبة إلى X. [ ⁵ ]

(تاريخيًا، كان يُشترط أن تكون المجموعة X غير فارغة أيضًا لاستبعاد الجبر البولياني المنحط أو أحادي العنصر، وهو الاستثناء الوحيد لقاعدة أن جميع الجبر البولياني تُحقق نفس المعادلات، لأن الجبر المنحط يُحقق كل معادلة. ومع ذلك، يتعارض هذا الاستبعاد مع التعريف المُفضّل للجبر البولياني القائم على المعادلات فقط، إذ لا توجد طريقة لاستبعاد الجبر أحادي العنصر باستخدام المعادلات وحدها - فالمعادلة 0 ≠ 1 لا تُحتسب، لأنها معادلة منفية. لذا، يسمح المؤلفون المعاصرون بالجبر البولياني المنحط، ويجعلون المجموعة X فارغة.)

مثال 1. مجموعة القوى 2 ^X من X ، والتي تتكون من جميع المجموعات الجزئية من X. هنا يمكن أن تكون X أي مجموعة: فارغة، أو منتهية، أو غير منتهية، أو حتى غير قابلة للعد .

المثال الثاني: المجموعة الفارغة و X. يُظهر هذا الجبر الثنائي العناصر أن الجبر البولياني الملموس يمكن أن يكون منتهيًا حتى عندما يتكون من مجموعات جزئية من مجموعة غير منتهية. يتضح أن كل حقل من المجموعات الجزئية لـ X يجب أن يحتوي على المجموعة الفارغة و X. وبالتالي، لا يوجد مثال أصغر ممكن، باستثناء الجبر المنحط الذي يتم الحصول عليه بجعل X فارغة بحيث تتطابق المجموعة الفارغة و X.

مثال 3. مجموعة المجموعات المنتهية والمنتهية جزئيًا من الأعداد الصحيحة، حيث المجموعة المنتهية جزئيًا هي مجموعة تستثني عددًا منتهيًا فقط من الأعداد الصحيحة. من الواضح أن هذه المجموعة مغلقة تحت عملية المتمم، ومغلقة أيضًا تحت عملية الاتحاد لأن اتحاد مجموعة منتهية جزئيًا مع أي مجموعة أخرى هو مجموعة منتهية جزئيًا، بينما اتحاد مجموعتين منتهيتين هو مجموعة منتهية. تتصرف عملية التقاطع كما لو كانت عملية اتحاد مع تبديل مصطلحي "منتهية" و"منتهية جزئيًا". هذا المثال قابل للعد اللانهائي لأن عدد المجموعات المنتهية من الأعداد الصحيحة هو عدد قابل للعد فقط.

مثال 4. لتوضيح الفكرة الواردة في المثال 2 بشكل أكثر تفصيلًا، لنفترض مخطط فين مكونًا من n منحنى مغلق يقسم المخطط إلى 2 ^{^n} منطقة، ولتكن X المجموعة (اللامتناهية) لجميع النقاط في المستوى التي لا تقع على أي منحنى، ولكنها تقع في مكان ما داخل المخطط. بالتالي، فإن باطن كل منطقة هو مجموعة جزئية لانهائية من X ، وكل نقطة في X تقع في منطقة واحدة فقط. عندئذٍ، تكون مجموعة جميع الاتحادات الممكنة للمناطق ( 2 ^{^ ⁿ⁾} (بما في ذلك المجموعة الفارغة الناتجة عن اتحاد المجموعة الفارغة من المناطق و X الناتجة عن اتحاد جميع المناطق 2 ^{^n} ) مغلقة تحت عمليات الاتحاد والتقاطع والمتممة بالنسبة إلى X، وبالتالي تُشكل جبرًا منطقيًا ملموسًا. مرة أخرى، يوجد عدد محدود من المجموعات الجزئية لمجموعة لانهائية تُشكل جبرًا منطقيًا ملموسًا، حيث يظهر المثال 2 كحالة n = 0، أي عدم وجود منحنيات.

المجموعات الفرعية كمتجهات ثنائية

يمكن تعريف مجموعة جزئية Y من X بمجموعة بتات مفهرسة بمجموعة الفهارس X ، حيث تكون قيمة البت المفهرس بواسطة $x \in X إما 1 أو 0 وفقًا لما إذا كان$ $x \in Y$ أم لا . (هذا ما يُسمى بمفهوم الدالة المميزة للمجموعة الجزئية). على سبيل المثال، تتكون كلمة حاسوبية من 32 بت من 32 بت مفهرسة بالمجموعة {0، 1، 2، ...، 31}، حيث يشير 0 و31 إلى البتات ذات الرتبة الأدنى والأعلى على التوالي. ولمثال أبسط، إذا ... $X=\{a,b,c\}$ حيث تُعتبر $a و b و c$ مواقع بتات بهذا الترتيب من اليسار إلى اليمين، يمكن تحديد المجموعات الفرعية الثمانية {} و { c } و { b } و { b , c } و { a } و { a , c } و { a , b } و { a , b , c } من X بمتجهات البتات المقابلة 000 و 001 و 010 و 011 و 100 و 101 و 110 و 111. متجهات البتات المفهرسة بمجموعة الأعداد الطبيعية هي سلاسل لا نهائية من البتات، بينما تلك المفهرسة بالأعداد الحقيقية في الفترة [0,1] تكون مضغوطة للغاية بحيث لا يمكن كتابتها بشكل تقليدي، ولكنها مع ذلك تشكل عائلات مفهرسة محددة جيدًا (تخيل تلوين كل نقطة من الفترة [0,1] إما باللون الأسود أو الأبيض بشكل مستقل؛ تشكل النقاط السوداء بعد ذلك مجموعة فرعية عشوائية من [0,1]).

من وجهة نظر متجه البت هذه، يمكن تعريف الجبر البولياني الملموس بشكل مكافئ على أنه مجموعة غير فارغة من متجهات البت ذات الطول نفسه (بشكل عام، مفهرسة بنفس المجموعة) ومغلقة تحت عمليات متجه البت ∧ و ∨ و ¬، كما في $1010\land0110 = 0010$ و $1010\lor0110 = 1110$ و $\neg1010 = 0101$ ، وهي تمثيلات متجه البت للتقاطع والاتحاد والمكمل على التوالي.

الجبر البولياني النموذجي

يمكن فهم المجموعة {0,1} وعملياتها المنطقية المذكورة أعلاه على أنها حالة خاصة من متجهات البتات ذات الطول واحد، والتي يمكن فهمها أيضًا، من خلال تعريف متجهات البتات بالمجموعات الجزئية، على أنها المجموعتان الجزئيتان لمجموعة مكونة من عنصر واحد. يُطلق على هذا اسم الجبر البولياني النموذجي ، وهو ما تبرره الملاحظة التالية.

تتطابق القوانين التي تحققها جميع الجبر البولياني الملموس غير المنحط مع تلك التي يحققها الجبر البولياني النموذجي.

تُثبت هذه الملاحظة كما يلي: من المؤكد أن أي قانون تحققه جميع الجبر البولياني الملموس يتحقق أيضًا في الجبر البولياني النموذجي، لأنه ملموس. وعلى العكس، فإن أي قانون لا يتحقق في جبر بولياني ملموس ما، لا بد أنه فشل عند موضع بت معين، وفي هذه الحالة، يُقدم هذا الموضع بحد ذاته مثالًا مضادًا من بت واحد لهذا القانون. ويضمن عدم الانحلال وجود موضع بت واحد على الأقل، لأنه لا يوجد سوى متجه بت فارغ واحد.

يمكن فهم الهدف النهائي للقسم التالي على أنه استبعاد كلمة "ملموس" من الملاحظة السابقة. ويتحقق هذا الهدف من خلال الملاحظة الأقوى التي مفادها أن جميع الجبر البولياني، حتى التشاكل، هي جبر ملموس.

الجبر البولياني: التعريف

جميع الجبر البولياني حتى الآن كانت ملموسة، وتتألف من متجهات ثنائية أو ما يعادلها من مجموعات جزئية من مجموعة ما. يتكون هذا الجبر البولياني من مجموعة وعمليات على تلك المجموعة يمكن إثبات أنها تحقق قوانين الجبر البولياني.

بدلاً من إثبات تحقق قوانين الجبر البولياني، يمكننا افتراض مجموعة X ، وعمليتين ثنائيتين عليها ، وعملية أحادية، مع اشتراط أن تحقق هذه العمليات قوانين الجبر البولياني. لا يشترط أن تكون عناصر X متجهات ثنائية أو مجموعات جزئية، بل يمكن أن تكون أي شيء. وهذا يقودنا إلى التعريف المجرد الأكثر عمومية .

الجبر البولياني هو أي مجموعة تحتوي على عمليات ثنائية ∧ و ∨ وعملية أحادية ¬ عليها تحقق قوانين البوليان. ^{[ 31 ]}

لأغراض هذا التعريف، لا يهم كيف أصبحت العمليات تُحقق القوانين، سواءً بالفرض أو بالبرهان. فجميع الجبر البولياني الملموس يُحقق القوانين (بالبرهان لا بالفرض)، ومن ثم فإن كل جبر بولياني ملموس هو جبر بولياني وفقًا لتعريفاتنا. هذا التعريف البديهي للجبر البولياني كمجموعة وعمليات معينة تُحقق قوانين أو بديهيات معينة بالفرض يُشابه تمامًا التعريفات المجردة للمجموعة ، والحلقة ، والحقل، وما إلى ذلك، التي تُميز الجبر الحديث أو المجرد .

بالنظر إلى أي نظام بديهي كامل للجبر البولياني، مثل بديهيات الشبكة التوزيعية المكملة ، فإن الشرط الكافي لكي يحقق هيكل جبري من هذا النوع جميع قوانين الجبر البولياني هو أن يحقق تلك البديهيات فقط. وبالتالي، فإن التعريف التالي هو تعريف مكافئ.

الجبر البولياني هو شبكة توزيعية مكملة.

يسرد القسم الخاص بالبديهيات بديهيات أخرى، يمكن أن يكون أي منها أساسًا لتعريف مكافئ.

الجبر البولياني القابل للتمثيل

على الرغم من أن كل جبر بولياني ملموس هو جبر بولياني، إلا أنه ليس بالضرورة أن يكون كل جبر بولياني ملموسًا. ليكن n عددًا صحيحًا موجبًا خاليًا من المربعات ، أي لا يقبل القسمة على مربع عدد صحيح، مثل 30 وليس 12. يمكن إثبات أن عمليات القاسم المشترك الأكبر ، والمضاعف المشترك الأصغر ، والقسمة على n (أي ¬x = n / x ) تحقق جميع قوانين الجبر البولياني عندما تشمل وسائطها القواسم الموجبة لـ n . وبالتالي، تُشكل هذه القواسم جبرًا بوليانيًا. هذه القواسم ليست مجموعات جزئية من مجموعة، مما يجعل قواسم n جبرًا بوليانيًا غير ملموس وفقًا لتعريفاتنا.

مع ذلك، إذا مُثِّل كل قاسم للعدد n بمجموعة عوامله الأولية، فإن هذا الجبر البولياني غير الملموس يكون متماثلًا مع الجبر البولياني الملموس الذي يتكون من جميع مجموعات العوامل الأولية للعدد n ، حيث يمثل الاتحاد المضاعف المشترك الأصغر، والتقاطع القاسم المشترك الأكبر، والمتمم القسمة على n . لذا، فإن هذا المثال، وإن لم يكن ملموسًا من الناحية الفنية، إلا أنه ملموس "بشكل ضمني" على الأقل من خلال هذا التمثيل، الذي يُسمى تماثلًا . هذا المثال هو حالة من حالات المفهوم التالي.

يُطلق على الجبر البولياني اسم قابل للتمثيل عندما يكون متماثلاً مع جبر بولياني ملموس.

والإجابة على السؤال التالي هي بالإيجاب كما يلي.

Every Boolean algebra is representable.

That is, up to isomorphism, abstract and concrete Boolean algebras are the same thing. This result depends on the Boolean prime ideal theorem, a choice principle slightly weaker than the axiom of choice. This strong relationship implies a weaker result strengthening the observation in the previous subsection to the following easy consequence of representability.

The laws satisfied by all Boolean algebras coincide with those satisfied by the prototypical Boolean algebra.

It is weaker in the sense that it does not of itself imply representability. Boolean algebras are special here, for example a relation algebra is a Boolean algebra with additional structure but it is not the case that every relation algebra is representable in the sense appropriate to relation algebras.

Axiomatizing Boolean algebra

The above definition of an abstract Boolean algebra as a set together with operations satisfying "the" Boolean laws raises the question of what those laws are. A simplistic answer is "all Boolean laws", which can be defined as all equations that hold for the Boolean algebra of 0 and 1. However, since there are infinitely many such laws, this is not a satisfactory answer in practice, leading to the question of it suffices to require only finitely many laws to hold.

In the case of Boolean algebras, the answer is "yes": the finitely many equations listed above are sufficient. Thus, Boolean algebra is said to be finitely axiomatizable or finitely based.

Moreover, the number of equations needed can be further reduced. To begin with, some of the above laws are implied by some of the others. A sufficient subset of the above laws consists of the pairs of associativity, commutativity, and absorption laws, distributivity of ∧ over ∨ (or the other distributivity law—one suffices), and the two complement laws. In fact, this is the traditional axiomatization of Boolean algebra as a complemented distributive lattice.

By introducing additional laws not listed above, it becomes possible to shorten the list of needed equations yet further; for instance, with the vertical bar representing the Sheffer stroke operation, the single axiom $((a\mid b)\mid c)\mid (a\mid ((a\mid c)\mid a))=c$ is sufficient to completely axiomatize Boolean algebra. It is also possible to find longer single axioms using more conventional operations; see Minimal axioms for Boolean algebra.^[32]

Propositional logic

المنطق الافتراضي هو نظام منطقي يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالجبر البولياني.^{[ 5 ]} تنتقل العديد من المفاهيم التركيبية للجبر البولياني إلى المنطق الافتراضي مع تغييرات طفيفة فقط في الترميز والمصطلحات، بينما يتم تعريف دلالات المنطق الافتراضي من خلال الجبر البولياني بطريقة تتوافق فيها التكرارات (النظريات) للمنطق الافتراضي مع النظريات المعادلة للجبر البولياني.

من الناحية التركيبية، يُقابل كل مصطلح منطقي صيغةً افتراضيةً في منطق القضايا. في هذا التحويل بين الجبر البولياني ومنطق القضايا، تتحول المتغيرات البوليانية x، y، ... إلى متغيرات افتراضية (أو ذرات ) P، Q ، ... . وتُصبح المصطلحات البوليانية مثل x ∨ y صيغًا افتراضيةً P ∨ Q ؛ ويُصبح 0 خطأً أو ⊥ ، ويُصبح 1 صحيحًا أو ⊤ . ومن المُلائم عند الإشارة إلى القضايا العامة استخدام الأحرف اليونانية Φ، Ψ، ... كمتغيرات فوقية (متغيرات خارج لغة حساب القضايا، تُستخدم عند الحديث عن حساب القضايا) للدلالة على القضايا.

تعتمد دلالات المنطق الافتراضي على تعيينات الصدق . وتتلخص الفكرة الأساسية لتعيين الصدق في ربط متغيرات القضية بعناصر جبر بولياني ثابت، ثم تُحدد قيمة الصدق لصيغة القضية باستخدام هذه العناصر من خلال حساب قيمة الحد البولياني المقابل للصيغة. في الدلالات الكلاسيكية، يُستخدم فقط الجبر البولياني ذو العنصرين، بينما في الدلالات ذات القيم البوليانية، تُؤخذ جميع أنواع الجبر البولياني في الاعتبار. والتكرار المنطقي هو صيغة قضية تُعيّن لها قيمة صدق 1 عند كل تعيين صدق لمتغيراتها إلى أي جبر بولياني (أو، بصورة مكافئة، عند كل تعيين صدق للجبر البولياني ذي العنصرين).

تسمح هذه الدلالات بالترجمة بين التكرارات المنطقية في منطق القضايا والنظريات المعادلة في الجبر البولياني. يمكن التعبير عن كل تكرار منطقي Φ في منطق القضايا بالمعادلة البوليانية Φ = 1، والتي ستكون نظرية في الجبر البولياني. وعلى العكس، فإن كل نظرية Φ = Ψ في الجبر البولياني تقابل التكرارات المنطقية (Φ ∨ ¬Ψ) ∧ (¬Φ ∨ Ψ) و (Φ ∧ Ψ) ∨ (¬Φ ∧ ¬Ψ). إذا كان الرمز → موجودًا في اللغة، فيمكن أيضًا كتابة هذه التكرارات المنطقية الأخيرة على النحو التالي: (Φ → Ψ) ∧ (Ψ → Φ)، أو كنظريتين منفصلتين Φ → Ψ و Ψ → Φ. إذا كان ≡ متاحًا، فيمكن استخدام التكرار الأحادي Φ ≡ Ψ.

التطبيقات

من التطبيقات المحفزة لحساب القضايا تحليل القضايا والحجج الاستنتاجية في اللغة الطبيعية. ^{[ 33 ]} فبينما تعتمد القضية "إذا كان س = 3، فإن س + 1 = 4" على معاني رموز مثل + و1، فإن القضية "إذا كان س = 3، فإن س = 3" لا تعتمد على ذلك؛ فهي صحيحة بمجرد بنيتها، وتبقى صحيحة سواء استُبدلت " س = 3" بـ " س = 4" أو "القمر مصنوع من الجبن الأخضر". والصيغة العامة أو المجردة لهذه التكرارية هي "إذا كان ص ، فإن ص "، أو بلغة الجبر البولياني، ص → ص .

استبدال P بـ x = 3 أو أي عبارة أخرى يُسمى تجسيد P بتلك العبارة. وتُسمى نتيجة تجسيد P في عبارة مجردة حالةً من تلك العبارة. بالتالي، فإن x = 3 → x = 3 هو تحصيل حاصل لكونه حالة من التحصيل الحاصل المجرد P → P. يجب تجسيد جميع حالات المتغير المُجسد بنفس العبارة، لتجنب حالات غير منطقية مثل P → x = 3 أو x = 3 → x = 4.

يركز حساب القضايا على القضايا المجردة، تلك المبنية من متغيرات القضايا باستخدام العمليات المنطقية. لا يزال التجسيد ممكنًا ضمن حساب القضايا، ولكن فقط عن طريق تجسيد متغيرات القضايا بواسطة قضايا مجردة، مثل تجسيد Q بواسطة Q → P في P → ( Q → P ) لإنتاج المثال P → (( Q → P ) → P ).

(إن توفر خاصية التجسيد كجزء من آلية حساب القضايا يُغني عن الحاجة إلى المتغيرات الفوقية ضمن لغة حساب القضايا، إذ يمكن اعتبار متغيرات القضايا العادية ضمن هذه اللغة دلالةً على قضايا عشوائية. أما المتغيرات الفوقية نفسها فهي خارج نطاق التجسيد، إذ لا تُعد جزءًا من لغة حساب القضايا، بل جزءًا من اللغة نفسها المستخدمة في التعبير عنها، وهي اللغة التي كُتبت بها هذه الجملة، حيث تبرز الحاجة إلى التمييز بين متغيرات القضايا وتجسيداتها باعتبارها كيانات نحوية متميزة.)

أنظمة استنتاجية لمنطق القضايا

An axiomatization of propositional calculus is a set of tautologies called axioms and one or more inference rules for producing new tautologies from old. A proof in an axiom system A is a finite nonempty sequence of propositions each of which is either an instance of an axiom of A or follows by some rule of A from propositions appearing earlier in the proof (thereby disallowing circular reasoning). The last proposition is the theorem proved by the proof. Every nonempty initial segment of a proof is itself a proof, whence every proposition in a proof is itself a theorem. An axiomatization is sound when every theorem is a tautology, and complete when every tautology is a theorem.^[34]

Sequent calculus

Propositional calculus is commonly organized as a Hilbert system, whose operations are just those of Boolean algebra and whose theorems are Boolean tautologies, those Boolean terms equal to the Boolean constant 1. Another form is sequent calculus, which has two sorts, propositions as in ordinary propositional calculus, and pairs of lists of propositions called sequents, such as $A \lor B, A \land C, ... ⊢ A, B \to C, ....$ The two halves of a sequent are called the antecedent and the succedent respectively. The customary metavariable denoting an antecedent or part thereof is Γ, and for a succedent Δ; thus Γ, A⊢ Δ would denote a sequent whose succedent is a list Δ and whose antecedent is a list Γ with an additional proposition A appended after it. The antecedent is interpreted as the conjunction of its propositions, the succedent as the disjunction of its propositions, and the sequent itself as the entailment of the succedent by the antecedent.

يختلف الاستلزام عن الاستلزام المنطقي في أن الأخير عملية ثنائية تُرجع قيمة في الجبر البولياني، بينما الأول علاقة ثنائية إما صحيحة أو خاطئة. وبهذا المعنى، يُعد الاستلزام شكلاً خارجياً من الاستلزام المنطقي، أي خارج الجبر البولياني، مع اعتبار قارئ المتتالية خارجياً أيضاً، حيث يقوم بتفسير ومقارنة المقدمات والمتتاليات في جبر بولياني. التفسير الطبيعي لـ ⊢ هو أنه ≤ في الترتيب الجزئي للجبر البولياني المُعرَّف بـ x ≤ y عندما $x \lor y = y$ . تُعد هذه القدرة على دمج الاستلزام الخارجي ⊢ والاستلزام الداخلي → في منطق واحد من بين الفروق الجوهرية بين حساب المتتاليات وحساب القضايا. ^{[ 35 ]}

التطبيقات

يُعد الجبر البولياني، باعتباره حسابًا لقيمتين، أساسيًا لدوائر الحاسوب وبرمجة الحاسوب والمنطق الرياضي، كما يُستخدم أيضًا في مجالات أخرى من الرياضيات مثل نظرية المجموعات والإحصاء. ^{[ 5 ]}

أجهزة الكمبيوتر

في أوائل القرن العشرين، أدرك العديد من مهندسي الكهرباء بشكل بديهي أن الجبر البولياني يُشابه سلوك أنواع معينة من الدوائر الكهربائية. وقد أثبت كلود شانون رسميًا أن هذا السلوك مكافئ منطقيًا للجبر البولياني في أطروحته للماجستير عام 1937 بعنوان " تحليل رمزي لدوائر المرحلات والتحويل" .

اليوم، تؤدي جميع الحواسيب الحديثة متعددة الأغراض وظائفها باستخدام منطق ثنائي القيمة؛ أي أن دوائرها الكهربائية هي تجسيد مادي لهذا المنطق. وتحقق ذلك بطرق متنوعة: كالفولتية على الأسلاك في الدوائر عالية السرعة وأجهزة التخزين السعوية، وكتوجيهات المجال المغناطيسي في أجهزة التخزين المغناطيسية الحديدية، وكثقوب في البطاقات المثقبة أو الشريط الورقي ، وما إلى ذلك. (استخدمت بعض الحواسيب القديمة دوائر أو آليات عشرية بدلاً من دوائر المنطق ثنائي القيمة).

بالطبع، من الممكن ترميز أكثر من رمزين في أي وسيط. على سبيل المثال، يمكن استخدام 0 و1 و2 و3 فولتات على التوالي لترميز أربعة رموز على سلك، أو ثقوب بأحجام مختلفة في بطاقة مثقبة. عمليًا، تجتمع القيود الصارمة للسرعة العالية والحجم الصغير والطاقة المنخفضة لتجعل التشويش عاملًا رئيسيًا. هذا يجعل من الصعب التمييز بين الرموز عندما يكون هناك عدة رموز محتملة في موقع واحد. بدلًا من محاولة التمييز بين أربعة فولتات على سلك واحد، استقر مصممو الدوائر الرقمية على فولتين لكل سلك، عالي ومنخفض.

Computers use two-value Boolean circuits for the above reasons. The most common computer architectures use ordered sequences of Boolean values, called bits, of 32 or 64 values, e.g. 01101000110101100101010101001011. When programming in machine code, assembly language, and certain other programming languages, programmers work with the low-level digital structure of the data registers. These registers operate on voltages, where zero volts represents Boolean 0, and a reference voltage (often +5 V, +3.3 V, or +1.8 V) represents Boolean 1. Such languages support both numeric operations and logical operations. In this context, "numeric" means that the computer treats sequences of bits as binary numbers (base two numbers) and executes arithmetic operations like add, subtract, multiply, or divide. "Logical" refers to the Boolean logical operations of disjunction, conjunction, and negation between two sequences of bits, in which each bit in one sequence is simply compared to its counterpart in the other sequence. Programmers therefore have the option of working in and applying the rules of either numeric algebra or Boolean algebra as needed. A core differentiating feature between these families of operations is the existence of the carry operation in the first but not the second.

Two-valued logic

Other areas where two values is a good choice are the law and mathematics. In everyday relaxed conversation, nuanced or complex answers such as "maybe" or "only on the weekend" are acceptable. In more focused situations such as a court of law or theorem-based mathematics, however, it is deemed advantageous to frame questions so as to admit a simple yes-or-no answer—is the defendant guilty or not guilty, is the proposition true or false—and to disallow any other answer. However limiting this might prove in practice for the respondent, the principle of the simple yes–no question has become a central feature of both judicial and mathematical logic, making two-valued logic deserving of organization and study in its own right.

A central concept of set theory is membership. An organization may permit multiple degrees of membership, such as novice, associate, and full. With sets, however, an element is either in or out. The candidates for membership in a set work just like the wires in a digital computer: each candidate is either a member or a nonmember, just as each wire is either high or low.

Algebra being a fundamental tool in any area amenable to mathematical treatment, these considerations combine to make the algebra of two values of fundamental importance to computer hardware, mathematical logic, and set theory.

يمكن توسيع المنطق الثنائي القيم ليشمل المنطق متعدد القيم ، لا سيما باستبدال المجال البولياني {0، 1} بفترة الوحدة [0، 1]، حيث يمكن افتراض أي قيمة بين 0 و1، بما في ذلك 0، بدلاً من القيمتين 0 أو 1 فقط. جبريًا، يُستبدل النفي (NOT) بـ 1 − x ، ويُستبدل العطف (AND) بالضرب ( xy )، ويُعرّف الفصل (OR) وفقًا لقانون دي مورغان . يؤدي تفسير هذه القيم كقيم منطقية صحيحة إلى منطق متعدد القيم، والذي يُشكّل أساس المنطق الضبابي والمنطق الاحتمالي . في هذه التفسيرات، تُفسّر القيمة على أنها "درجة" الصدق - أي مدى صحة القضية، أو احتمال صحتها.

العمليات المنطقية

كان التطبيق الأصلي للعمليات البوليانية هو المنطق الرياضي ، حيث يجمع بين قيم الصواب أو الخطأ للصيغ الفردية.

اللغة الطبيعية

تحتوي اللغات الطبيعية، كالإنجليزية، على كلماتٍ تُعبّر عن العديد من العمليات المنطقية، ولا سيما الربط ( و )، والفصل ( أو )، والنفي ( ليس )، والاستلزام ( يستلزم ). لكن كلمة "ليس" مرادفة لكلمة "ليس ". عند استخدامها لربط عباراتٍ ظرفية مثل "المكعب على الطاولة" و"القطط تشرب الحليب"، والتي تُعتبر ببساطة إما صحيحة أو خاطئة، فإن معاني هذه الروابط المنطقية غالبًا ما تكون متطابقة مع معاني نظائرها المنطقية. مع ذلك، عند وصف سلوكٍ ما، مثل "دخل جيم من الباب"، يبدأ المرء بملاحظة اختلافاتٍ كعدم وجود خاصية التبادل، فمثلاً، لا يُكافئ الربط بين "فتح جيم الباب" و"دخل جيم من الباب" بهذا الترتيب الربط بينهما بالترتيب الآخر، لأن " و" تعني عادةً "ثم" في مثل هذه الحالات. يمكن أن تكون الأسئلة مشابهة: فالترتيب "هل السماء زرقاء، ولماذا السماء زرقاء؟" يكون أكثر منطقية من الترتيب العكسي. تُشبه الأوامر الربطية المتعلقة بالسلوك العبارات السلوكية، مثل " ارتدِ ملابسك واذهب إلى المدرسة" . تميل أوامر الفصل، مثل "أحبني" أو "اتركني" أو "اصطد" أو "اقطع الطعم"، إلى أن تكون غير متناظرة، إذ توحي بأن أحد البدائل أقل تفضيلاً. وتصف الأسماء المركبة، مثل " شاي" و"حليب" ، التجميع عمومًا كما في اتحاد المجموعات، بينما يُعد "شاي" أو "حليب " خيارًا. مع ذلك، قد يعكس السياق هذه المعاني، كما في " خياراتك هي قهوة وشاي" ، والتي تعني عادةً نفس معنى " خياراتك هي قهوة أو شاي " (بدائل). أما النفي المزدوج، كما في "أنا لا أحب الحليب"، فنادرًا ما يعني حرفيًا "أنا أحب الحليب"، بل ينقل نوعًا من التحوط، كما لو كان يُلمح إلى وجود احتمال ثالث. ويمكن تفسير "ليس ليس P" بشكل فضفاض على أنها "بالتأكيد P"، وعلى الرغم من أن P يستلزم بالضرورة "ليس ليس P "، إلا أن العكس مشكوك فيه في اللغة الإنجليزية، تمامًا كما هو الحال مع المنطق الحدسي . ونظرًا للاستخدام الفردي للغاية لحروف العطف في اللغات الطبيعية، لا يمكن اعتبار الجبر البولياني إطارًا موثوقًا لتفسيرها.

المنطق الرقمي

تُستخدم العمليات المنطقية في المنطق الرقمي لدمج البتات المحمولة على الأسلاك الفردية، وبالتالي تفسيرها على المجموعة {0،1}. عندما يتم استخدام متجه من n بوابة ثنائية متطابقة لدمج متجهين من البتات، كل منهما مكون من n بت، يمكن فهم عمليات البت الفردية بشكل جماعي على أنها عملية واحدة على القيم من جبر منطقي يحتوي على 2 ^{^n} عنصر.

نظرية المجموعات الساذجة

تفسر نظرية المجموعات البسيطة العمليات المنطقية على أنها تعمل على مجموعات جزئية من مجموعة معينة X. وكما رأينا سابقًا، فإن هذا السلوك يوازي تمامًا تركيبات متجهات البتات على مستوى الإحداثيات، حيث يتوافق اتحاد مجموعتين مع فصل متجهي بتات، وهكذا.

بطاقات الفيديو

تُستخدم الجبر البولياني الحر ذو الـ 256 عنصرًا على ثلاثة مولدات في شاشات الحاسوب القائمة على الرسومات النقطية ، والتي تستخدم نقل البتات لمعالجة مناطق كاملة تتكون من وحدات بكسل ، معتمدةً على العمليات البوليانية لتحديد كيفية دمج منطقة المصدر مع منطقة الوجهة، عادةً بمساعدة منطقة ثالثة تُسمى القناع . توفر بطاقات الفيديو الحديثة جميع العمليات الثلاثية ^{البالغ ^عددها} 256 عملية لهذا الغرض، حيث يكون اختيار العملية مُعاملًا من بايت واحد (8 بت). تسمح الثوابت SRC = 0xaa أو 0b10101010 ، و DST = 0xcc أو 0b11001100 ، و MSK = 0xf0 أو 0b11110000 بكتابة العمليات المنطقية (أي XOR بين المصدر والوجهة ثم AND بين النتيجة والقناع) مباشرةً كثابت يُشير إلى بايت محسوب في وقت الترجمة، 0x80 في المثال، 0x88 إذا كان فقط ، إلخ. في وقت التشغيل، تُفسر بطاقة الفيديو البايت على أنه عملية المسح الضوئي المشار إليها في التعبير الأصلي بطريقة موحدة تتطلب القليل من الأجهزة وتستغرق وقتًا مستقلًا تمامًا عن تعقيد التعبير.(SRC^DST)&MSK(SRC^DST)&MSKSRC^DST

النمذجة والتصميم بمساعدة الحاسوب

توفر أنظمة النمذجة الصلبة للتصميم بمساعدة الحاسوب طرقًا متنوعة لبناء الأجسام من أجسام أخرى، ومنها دمجها باستخدام العمليات المنطقية. في هذه الطريقة، يُفهم الفضاء الذي توجد فيه الأجسام على أنه مجموعة S من وحدات البكسل ثلاثية الأبعاد (المكافئ ثلاثي الأبعاد للبكسلات في الرسومات ثنائية الأبعاد)، وتُعرَّف الأشكال على أنها مجموعات فرعية من S ، مما يسمح بدمج الأجسام كمجموعات عبر الاتحاد والتقاطع، وما إلى ذلك. من الاستخدامات الواضحة لهذه الطريقة بناء شكل معقد من أشكال بسيطة ببساطة عن طريق اتحاد هذه الأشكال. كما تُستخدم أيضًا في النحت الذي يُفهم على أنه إزالة للمادة: أي عملية طحن أو تفريز أو توجيه أو حفر يمكن إجراؤها باستخدام آلات مادية على مواد مادية، يمكن محاكاتها على الحاسوب باستخدام العملية المنطقية $x \land \negy$ أو $x - y$ ، والتي تُعرف في نظرية المجموعات باسم فرق المجموعات، حيث تُزال عناصر y من عناصر x . وبالتالي، عند إعطاء شكلين، أحدهما يُراد تشكيله والآخر المادة المراد إزالتها، فإن نتيجة تشكيل الأول لإزالة الثاني تُوصف ببساطة بأنها فرق مجموعتيهما.

عمليات البحث المنطقية

تستخدم استعلامات محركات البحث أيضًا المنطق البولياني. في هذا التطبيق، يمكن اعتبار كل صفحة ويب على الإنترنت "عنصرًا" من "مجموعة". تستخدم الأمثلة التالية صيغةً تدعمها جوجل . ^{[ ملاحظة 1 ]}

تُستخدم علامات الاقتباس المزدوجة لدمج الكلمات المفصولة بمسافات بيضاء في مصطلح بحث واحد. ^{[ ملاحظة 2 ]}
تُستخدم المسافات البيضاء لتحديد عملية "و" المنطقية، لأنها العامل الافتراضي لربط مصطلحات البحث:

"مصطلح البحث 1" "مصطلح البحث 2"

تُستخدم الكلمة المفتاحية OR للدلالة على عملية OR المنطقية:

"مصطلح البحث 1" أو "مصطلح البحث 2"

تُستخدم علامة الطرح المسبقة للدلالة على النفي المنطقي:

"مصطلح البحث 1" - "مصطلح البحث 2"

يمكن أن تساعد الأقواس في توسيع نطاق البحث: عندما يكون المصطلحان 2 و3 مصطلحين متشابهين/مرادفين:

"مصطلح البحث 1" و ("مصطلح البحث 2" أو "مصطلح البحث 3")

انظر أيضاً

ملحوظات

↑ لا تدعم جميع محركات البحث نفس صيغة الاستعلام. بالإضافة إلى ذلك، توفر بعض المؤسسات (مثل جوجل) محركات بحث "متخصصة" تدعم صيغًا بديلة أو موسعة. (انظر: دليل الصيغ ). كان محرك بحث جوجل البرمجي، الذي توقف عن العمل الآن، يدعم التعابير النمطية ولكنه لم يعد موجودًا.
↑ تُسمى مصطلحات البحث المحددة بعلامات اقتباس مزدوجة "عمليات بحث العبارة المطابقة" في وثائق جوجل.

مراجع

↑ بول، جورج (2011-07-28). التحليل الرياضي للمنطق - مقال نحو حساب الاستدلال الاستنتاجي .
↑ بول، جورج (2003) [1854]. بحث في قوانين الفكر . كتب بروميثيوس . ISBN 978-1-59102-089-9.
↑ "يبدو أن اسم الجبر البولياني (أو 'الجبر البولياني') للحساب الذي ابتكره بول، ووسعه شرودر، وأتقنه وايتهيد، قد اقترحه شيفر لأول مرة في عام 1913." إدوارد فيرميلي هنتنغتون ، " مجموعات جديدة من المسلمات المستقلة لجبر المنطق، مع إشارة خاصة إلى كتاب وايتهيد وراسل Principia mathematica "، في معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية 35 (1933)، 274-304؛ الحاشية، الصفحة 278.
↑ بيرس، تشارلز س. (1931). الأوراق المجمعة . المجلد 3. مطبعة جامعة هارفارد . ص 13. ISBN 978-0-674-13801-8.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
1 2 3 4 5 6 7 جيفانت، ستيفن ر.؛ هالموس، بول ريتشارد (2009). مقدمة في الجبر البولياني . نصوص جامعية في الرياضيات، سبرينغر . ص 21-22 . ISBN 978-0-387-40293-2.
↑ نيلسون، إريك س. (2011). "كتاب التغييرات والفلسفة: من لايبنتز إلى دريدا" . مجلة الفلسفة الصينية . 38 (3): 377-396 . doi : 10.1111/j.1540-6253.2011.01661.x .
^ لينزن، وولفغانغ. "لايبنيز: المنطق" . في فيزر، جيمس؛ دودن، برادلي (محرران). موسوعة الإنترنت للفلسفة . ISSN 2161-0002 . او سي ال سي 37741658 .
1 2 3 دان، ج. مايكل؛ هاردغري، غاري م. (2001). الأساليب الجبرية في المنطق الفلسفي . مطبعة جامعة أكسفورد . ص 2. ISBN 978-0-19-853192-0.
↑ بيمبو، كاتالين؛ دان، ج. مايكل (2008). منطق غالوا المعمم: الدلالات العلائقية للحسابات المنطقية غير الكلاسيكية . منشورات CSLI. ISBN 978-1-57586-573-7.
↑ ستون، إم إتش (1936). "نظرية التمثيل للجبر البولياني" . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 40 (1): 37-111 . doi : 10.2307/1989664 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1989664 .
↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "الجبر البولياني" . mathworld.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2020-09-02 .
↑ بالابانيان، نورمان؛ كارلسون، برادلي (2001). مبادئ تصميم المنطق الرقمي . جون وايلي. ص 39-40 . ISBN 978-0-471-29351-4.عينة عبر الإنترنت
↑ راجارامان؛ رادهاكريشنان (1 مارس 2008). مقدمة في تصميم الحاسوب الرقمي . دار نشر PHI Learning Pvt. Ltd.، صفحة 65. ISBN 978-81-203-3409-0.
↑ كامارا، جون أ. (2010). دليل مرجعي في الهندسة الكهربائية والإلكترونية لامتحان مهندس محترف في الهندسة الكهربائية والحاسوب . www.ppi2pass.com. ص 41. ISBN 978-1-59126-166-7.
↑ شين-إيتشي ميناتو، سابورو موروغا (2007). "الفصل 29: مخططات القرار الثنائي". في تشين، واي-كاي (محرر). دليل VLSI ( الطبعة الثانية). مطبعة CRC . ISBN 978-0-8493-4199-1.
↑ باركس، آلان (2002). مقدمة في اللغات والآلات والمنطق: اللغات القابلة للحوسبة، والآلات المجردة، والمنطق الصوري . سبرينغر. ص 276. ISBN 978-1-85233-464-2.
↑ باروايز، جون ؛ إتشيمندي، جون ؛ ألوين، جيرارد؛ باركر-بلامر، ديف؛ ليو، ألبرت (1999). اللغة، البرهان، والمنطق . منشورات CSLI. ISBN 978-1-889119-08-3.
↑ غورتزل، بن (1994). المنطق الفوضوي: اللغة والفكر والواقع من منظور علم الأنظمة المعقدة . سبرينغر. ص 48. ISBN 978-0-306-44690-0.
↑ هالموس، بول ريتشارد (1963). محاضرات في الجبر البولياني. فان نوستراند.
↑ بيكون، جيسون و. (2011). "ملاحظات محاضرات علوم الحاسوب 315" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 2021-10-02 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2021-10-01 .
↑ "الجبر البولياني - التعبيرات والقواعد والنظريات والأمثلة" . GeeksforGeeks . 2021-09-24 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2024-06-03 .
↑ "العمليات المنطقية البوليانية" (ملف PDF) .
↑ "عمليات الجبر البولياني" . bob.cs.sonoma.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2024-06-03 .
↑ "الجبر البولياني" (ملف PDF) .
↑ أوريجان، جيرارد (2008). تاريخ موجز للحوسبة . سبرينغر. ص 33. ISBN 978-1-84800-083-4.
↑ "مبادئ الجبر البولياني" . www.ee.surrey.ac.uk . مؤرشف من الأصل بتاريخ 21 يوليو 2020. تم الاطلاع عليه بتاريخ 2 سبتمبر 2020 .
↑ ماكجي، فان، إعادة النظر في حساب الجمل: الجبر البولياني (ملف PDF)
↑ جودستين، روبن لويس (2012)، "الفصل 4: منطق الجملة"، الجبر البولياني ، منشورات كوريير دوفر، رقم ISBN 978-0-48615497-8
↑ فين، جون (يوليو 1880). "أولًا: حول التمثيل التخطيطي والميكانيكي للقضايا والاستدلالات" (ملف PDF) . مجلة لندن وإدنبرة ودبلن الفلسفية ومجلة العلوم . 5. 10 (59): 1-18 . رمز Bibcode : 1880LEDPM..10....1V . doi : 10.1080/14786448008626877 . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 16 مايو 2017.
↑ شانون، كلود (1949). "توليف دوائر التبديل ثنائية الأطراف". مجلة بيل سيستم التقنية . 28 : 59-98 . Bibcode : 1949BSTJ...28...59S . doi : 10.1002/j.1538-7305.1949.tb03624.x .
↑ كوبلبرغ، سابين (1989). "النظرية العامة للجبر البولياني". دليل الجبر البولياني، المجلد 1 (تحرير ج. دونالد مونك مع روبرت بونيه) . أمستردام، هولندا: نورث هولاند . ISBN 978-0-444-70261-6.
↑ ماكيون، ويليام ؛ فيروف، روبرت؛ فيتلسون، براندن ؛ هاريس، كينيث؛ فيست، أندرو؛ ووس، لاري (2002)، "مسلمات مفردة قصيرة للجبر البولياني"، مجلة الاستدلال الآلي ، 29 (1): 1-16 ، doi : 10.1023/A:1020542009983 ، MR 1940227 ، S2CID 207582048
^ ألوود، ينس. أندرسون، جونار-جونار؛ أندرسون، لارس غونار؛ دال ، أوستن (15/09/1977). المنطق في اللغويات . مطبعة جامعة كامبريدج . رقم ISBN 978-0-521-29174-3.
↑ هاوسمان، آلان؛ كاهان، هوارد؛ تيدمان، بول (2010) [2007]. المنطق والفلسفة: مدخل حديث . وادسوورث سينجيدج ليرنينج. ISBN 978-0-495-60158-6.
↑ جيرارد، جان إيف ؛ تايلور، بول؛ لافون، إيف (1990) [1989]. البراهين والأنواع . مطبعة جامعة كامبريدج (سلسلة كامبريدج في علوم الحاسوب النظرية، 7). ISBN 978-0-521-37181-0.

للمزيد من القراءة

مانو، موريس؛ سيليتي، مايكل د. (2013). التصميم الرقمي . بيرسون. ISBN 978-0-13-277420-8.
وايتسيت، ج. إلدون (1995). الجبر البولياني وتطبيقاته . منشورات كوريير دوفر . ISBN 978-0-486-68483-3.
دوينجر، فيليب (1971). مقدمة في الجبر البولياني . فورتسبورغ، ألمانيا: فيزيكا فيرلاغ.
سيكورسكي، رومان (1969). الجبر البوليني (3 ed.). برلين، ألمانيا: سبرينغر-فيرلاغ . رقم ISBN 978-0-387-04469-9.
بوتشينسكي، جوزيف ماريا (1959). موجز في المنطق الرياضي . ترجمة أوتو بيرد عن الطبعتين الفرنسية والألمانية. دوردريخت، جنوب هولندا: دي. ريدل.

منظور تاريخي

بول، جورج (1848). "حساب المنطق" . مجلة كامبريدج ودبلن الرياضية . المجلد الثالث : 183-198 .
هايلبيرين، ثيودور (1986). منطق بول والاحتمال: عرض نقدي من منظور الجبر والمنطق ونظرية الاحتمالات المعاصرة ( الطبعة الثانية). إلسيفير . ISBN 978-0-444-87952-3.
غاباي، دوف م.؛ وودز، جون، محرران. (2004). نشأة المنطق الحديث: من لايبنتز إلى فريجه . دليل تاريخ المنطق. المجلد 3. إلسيفير . ISBN 978-0-444-51611-4.بالإضافة إلى عدة فصول ذات صلة كتبها كل من هايلبيرين وفالنسيا وغراتان-غينيس.
باديسا، كاليستو (2004). "الفصل 1. جبر الفئات وحساب القضايا". ميلاد نظرية النموذج: نظرية لوفنهايم في إطار نظرية العلاقات . مطبعة جامعة برينستون . ISBN 978-0-691-05853-5.
ستانكوفيتش، رادومير س. [بالألمانية] ؛ أستولا، جاكو تابيو [بالفنلندية] (2011). كُتب في نيش، صربيا وتامبيري، فنلندا. من المنطق البولياني إلى دوائر التبديل والأتمتة: نحو تكنولوجيا المعلومات الحديثة . دراسات في الذكاء الحسابي. المجلد 335 (الطبعة الأولى ). برلين وهايدلبرغ، ألمانيا: سبرينغر-فيرلاغ . الصفحات: 212 + 18. doi : 10.1007/978-3-642-11682-7 . ISBN 978-3-642-11681-0. ISSN 1860-949X . إل سي سي إن 2011921126 . تم الاسترجاع 2022-10-25 .
مدخل "الجبر في تقليد المنطق"بقلم ستانلي بوريس، في موسوعة ستانفورد للفلسفة ، 21 فبراير 2012

روابط خارجية

[NB2-36] لا تدعم جميع محركات البحث نفس صيغة الاستعلام. بالإضافة إلى ذلك، توفر بعض المؤسسات (مثل جوجل) محركات بحث "متخصصة" تدعم صيغًا بديلة أو موسعة. (انظر: دليل الصيغ ). كان محرك بحث جوجل البرمجي، الذي توقف عن العمل الآن، يدعم التعابير النمطية ولكنه لم يعد موجودًا.

[NB3-37] تُسمى مصطلحات البحث المحددة بعلامات اقتباس مزدوجة "عمليات بحث العبارة المطابقة" في وثائق جوجل.

[Boole_2011-1] بول، جورج (2011-07-28). التحليل الرياضي للمنطق - مقال نحو حساب الاستدلال الاستنتاجي .

[Boole_1854-2] بول، جورج (2003) [1854]. بحث في قوانين الفكر . كتب بروميثيوس . ISBN 978-1-59102-089-9.

[Huntington_1933-3] "يبدو أن اسم الجبر البولياني (أو 'الجبر البولياني') للحساب الذي ابتكره بول، ووسعه شرودر، وأتقنه وايتهيد، قد اقترحه شيفر لأول مرة في عام 1913." إدوارد فيرميلي هنتنغتون ، " مجموعات جديدة من المسلمات المستقلة لجبر المنطق، مع إشارة خاصة إلى كتاب وايتهيد وراسل Principia mathematica "، في معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية 35 (1933)، 274-304؛ الحاشية، الصفحة 278.

[Peirce_1931-4] بيرس، تشارلز س. (1931). الأوراق المجمعة . المجلد 3. مطبعة جامعة هارفارد . ص 13. ISBN 978-0-674-13801-8.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )

[Givant-Halmos_2009-5] 1 2 3 4 5 6 7 جيفانت، ستيفن ر.؛ هالموس، بول ريتشارد (2009). مقدمة في الجبر البولياني . نصوص جامعية في الرياضيات، سبرينغر . ص 21-22 . ISBN 978-0-387-40293-2.

[6] نيلسون، إريك س. (2011). "كتاب التغييرات والفلسفة: من لايبنتز إلى دريدا" . مجلة الفلسفة الصينية . 38 (3): 377-396 . doi : 10.1111/j.1540-6253.2011.01661.x .

[Lenzen-7] لينزن، وولفغانغ. "لايبنيز: المنطق" . في فيزر، جيمس؛ دودن، برادلي (محرران). موسوعة الإنترنت للفلسفة . ISSN 2161-0002 . او سي ال سي 37741658 .

[Dunn-Hardegree_2001-8] 1 2 3 دان، ج. مايكل؛ هاردغري، غاري م. (2001). الأساليب الجبرية في المنطق الفلسفي . مطبعة جامعة أكسفورد . ص 2. ISBN 978-0-19-853192-0.

[9] بيمبو، كاتالين؛ دان، ج. مايكل (2008). منطق غالوا المعمم: الدلالات العلائقية للحسابات المنطقية غير الكلاسيكية . منشورات CSLI. ISBN 978-1-57586-573-7.

[10] ستون، إم إتش (1936). "نظرية التمثيل للجبر البولياني" . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 40 (1): 37-111 . doi : 10.2307/1989664 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1989664 .

[Weisstein-11] وايسشتاين، إريك دبليو. "الجبر البولياني" . mathworld.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2020-09-02 .

[Balabanian-Carlson_2001-12] بالابانيان، نورمان؛ كارلسون، برادلي (2001). مبادئ تصميم المنطق الرقمي . جون وايلي. ص 39-40 . ISBN 978-0-471-29351-4.عينة عبر الإنترنت

[Rajaraman-Radhakrishnan_2008-13] راجارامان؛ رادهاكريشنان (1 مارس 2008). مقدمة في تصميم الحاسوب الرقمي . دار نشر PHI Learning Pvt. Ltd.، صفحة 65. ISBN 978-81-203-3409-0.

[Camara_2010-14] كامارا، جون أ. (2010). دليل مرجعي في الهندسة الكهربائية والإلكترونية لامتحان مهندس محترف في الهندسة الكهربائية والحاسوب . www.ppi2pass.com. ص 41. ISBN 978-1-59126-166-7.

[Chen_2007-15] شين-إيتشي ميناتو، سابورو موروغا (2007). "الفصل 29: مخططات القرار الثنائي". في تشين، واي-كاي (محرر). دليل VLSI ( الطبعة الثانية). مطبعة CRC . ISBN 978-0-8493-4199-1.

[Parkes_2002-16] باركس، آلان (2002). مقدمة في اللغات والآلات والمنطق: اللغات القابلة للحوسبة، والآلات المجردة، والمنطق الصوري . سبرينغر. ص 276. ISBN 978-1-85233-464-2.

[Barwise-Etchemendy_1999-17] باروايز، جون ؛ إتشيمندي، جون ؛ ألوين، جيرارد؛ باركر-بلامر، ديف؛ ليو، ألبرت (1999). اللغة، البرهان، والمنطق . منشورات CSLI. ISBN 978-1-889119-08-3.

[Goertzel_1994-18] غورتزل، بن (1994). المنطق الفوضوي: اللغة والفكر والواقع من منظور علم الأنظمة المعقدة . سبرينغر. ص 48. ISBN 978-0-306-44690-0.

[Halmos_1963-19] هالموس، بول ريتشارد (1963). محاضرات في الجبر البولياني. فان نوستراند.

[Bacon-20] بيكون، جيسون و. (2011). "ملاحظات محاضرات علوم الحاسوب 315" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 2021-10-02 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2021-10-01 .

[21] "الجبر البولياني - التعبيرات والقواعد والنظريات والأمثلة" . GeeksforGeeks . 2021-09-24 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2024-06-03 .

[22] "العمليات المنطقية البوليانية" (ملف PDF) .

[23] "عمليات الجبر البولياني" . bob.cs.sonoma.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2024-06-03 .

[24] "الجبر البولياني" (ملف PDF) .

[ORegan_2008-25] أوريجان، جيرارد (2008). تاريخ موجز للحوسبة . سبرينغر. ص 33. ISBN 978-1-84800-083-4.

[EoBA-26] "مبادئ الجبر البولياني" . www.ee.surrey.ac.uk . مؤرشف من الأصل بتاريخ 21 يوليو 2020. تم الاطلاع عليه بتاريخ 2 سبتمبر 2020 .

[McGee_2005-27] ماكجي، فان، إعادة النظر في حساب الجمل: الجبر البولياني (ملف PDF)

[Goodstein_2012-28] جودستين، روبن لويس (2012)، "الفصل 4: منطق الجملة"، الجبر البولياني ، منشورات كوريير دوفر، رقم ISBN 978-0-48615497-8

[Venn_1880-29] فين، جون (يوليو 1880). "أولًا: حول التمثيل التخطيطي والميكانيكي للقضايا والاستدلالات" (ملف PDF) . مجلة لندن وإدنبرة ودبلن الفلسفية ومجلة العلوم . 5. 10 (59): 1-18 . رمز Bibcode : 1880LEDPM..10....1V . doi : 10.1080/14786448008626877 . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 16 مايو 2017.

[Shannon_1949-30] شانون، كلود (1949). "توليف دوائر التبديل ثنائية الأطراف". مجلة بيل سيستم التقنية . 28 : 59-98 . Bibcode : 1949BSTJ...28...59S . doi : 10.1002/j.1538-7305.1949.tb03624.x .

[Koppelberg_1989-31] كوبلبرغ، سابين (1989). "النظرية العامة للجبر البولياني". دليل الجبر البولياني، المجلد 1 (تحرير ج. دونالد مونك مع روبرت بونيه) . أمستردام، هولندا: نورث هولاند . ISBN 978-0-444-70261-6.

[McCune_2002-32] ماكيون، ويليام ؛ فيروف، روبرت؛ فيتلسون، براندن ؛ هاريس، كينيث؛ فيست، أندرو؛ ووس، لاري (2002)، "مسلمات مفردة قصيرة للجبر البولياني"، مجلة الاستدلال الآلي ، 29 (1): 1-16 ، doi : 10.1023/A:1020542009983 ، MR 1940227 ، S2CID 207582048

[Allwood_1977-33] ألوود، ينس. أندرسون، جونار-جونار؛ أندرسون، لارس غونار؛ دال ، أوستن (15/09/1977). المنطق في اللغويات . مطبعة جامعة كامبريدج . رقم ISBN 978-0-521-29174-3.

[Hausman-Tidman_2007-34] هاوسمان، آلان؛ كاهان، هوارد؛ تيدمان، بول (2010) [2007]. المنطق والفلسفة: مدخل حديث . وادسوورث سينجيدج ليرنينج. ISBN 978-0-495-60158-6.

[Girard-Tylor-Lafont_1989-35] جيرارد، جان إيف ؛ تايلور، بول؛ لافون، إيف (1990) [1989]. البراهين والأنواع . مطبعة جامعة كامبريدج (سلسلة كامبريدج في علوم الحاسوب النظرية، 7). ISBN 978-0-521-37181-0.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[ 8 ]

[

[

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[19]

[20]

[21]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[32]

[ 33 ]

[34]

[ 35 ]

[ ملاحظة 1 ]

[ ملاحظة 2 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗