دالة كوشي المتصلة

في الرياضيات ، الدالة المتصلة وفقًا لكوشي ، أو الدالة المنتظمة وفقًا لكوشي ، هي نوع خاص من الدوال المتصلة بين الفضاءات المترية (أو فضاءات أكثر عمومية). تتميز الدوال المتصلة وفقًا لكوشي بخاصية مفيدة، وهي إمكانية تمديدها دائمًا (بشكل فريد) إلى الإكمال الكوشي لمجالها.

يترك${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$لتكن فضاءات مترية ، ولتكن${\displaystyle f:X\to Y}$كن دالة من${\displaystyle X}$ل${\displaystyle Y.}$ثم${\displaystyle f}$تكون متصلة بالنسبة لكوشي إذا وفقط إذا، بالنظر إلى أي متتالية كوشي${\displaystyle \left(x_{1},x_{2},\ldots \right)}$في${\displaystyle X,}$التسلسل${\displaystyle \left(f\left(x_{1}\right),f\left(x_{2}\right),\ldots \right)}$هي متتالية كوشي في${\displaystyle Y.}$

كل دالة متصلة بانتظام تكون أيضًا متصلة وفقًا لكوشي. والعكس صحيح، إذا كان المجال${\displaystyle X}$إذا كانت الدالة محدودة تمامًا ، فإن كل دالة متصلة وفقًا لمعيار كوشي تكون متصلة بانتظام. وبشكل أعم، حتى لو${\displaystyle X}$ليست محدودة تمامًا، وهي دالة على${\displaystyle X}$تكون الدالة متصلة وفقًا لـ Cauchy إذا وفقط إذا كانت متصلة بانتظام على كل مجموعة جزئية محدودة كليًا من${\displaystyle X.}$

كل دالة متصلة وفقًا لشرط كوشي تكون متصلة . والعكس صحيح، إذا كان مجالها${\displaystyle X}$إذا كانت المجموعة كاملة ، فإن كل دالة متصلة تكون متصلة وفقًا لنظرية كوشي. وبشكل أعم، حتى لو${\displaystyle X}$غير مكتمل، طالما${\displaystyle Y}$إذا كانت كاملة، فإن أي دالة متصلة وفقًا لكوشي من${\displaystyle X}$ل${\displaystyle Y}$يمكن توسيعها لتصبح دالة متصلة (وبالتالي متصلة وفقًا لكوشي) معرفة على إكمال كوشي لـ${\displaystyle X;}$هذا الامتداد فريد بالضرورة.

بدمج هذه الحقائق، إذا${\displaystyle X}$إذا كانت متراصة ، فإن الخرائط المتصلة، والخرائط المتصلة وفقًا لكوشي، والخرائط المتصلة بانتظام على${\displaystyle X}$كلها متشابهة.

منذ الخط الحقيقي${\displaystyle \mathbb {R} }$وظائف كاملة ومستمرة على${\displaystyle \mathbb {R} }$هي متصلة وفقًا لكوشي. على الفضاء الجزئي${\displaystyle \mathbb {Q} }$أما بالنسبة للأعداد النسبية ، فالأمر مختلف. على سبيل المثال، عرّف دالة ثنائية القيم بحيث${\displaystyle f(x)}$يكون${\displaystyle 0}$متى${\displaystyle x^{2}}$أقل من${\displaystyle 2}$لكن${\displaystyle 1}$متى${\displaystyle x^{2}}$أكبر من${\displaystyle 2.}$(لاحظ أن${\displaystyle x^{2}}$لا يساوي أبدًا${\displaystyle 2}$لأي عدد نسبي${\displaystyle x.}$) هذه الدالة متصلة على${\displaystyle \mathbb {Q} }$لكنها ليست متصلة وفقًا لكوشي، لأنه لا يمكن تمديدها بشكل متصل إلى${\displaystyle \mathbb {R} .}$من ناحية أخرى، أي دالة متصلة بانتظام على${\displaystyle \mathbb {Q} }$يجب أن تكون متصلة وفقًا لـ Cauchy. للحصول على مثال غير منتظم، انظر${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$يترك${\displaystyle f(x)}$يكون${\displaystyle 2^{x}}$هذا ليس متصلاً بشكل منتظم (على جميع${\displaystyle \mathbb {Q} }$)، لكنها متصلة وفقًا لكوشي. (هذا المثال يعمل بشكل جيد بنفس القدر على${\displaystyle \mathbb {R} .}$)

تسلسل كوشي${\displaystyle \left(y_{1},y_{2},\ldots \right)}$في${\displaystyle Y}$يمكن تحديدها بدالة متصلة من نوع كوشي من${\displaystyle \left\{1,1/2,1/3,\ldots \right\}}$ل${\displaystyle Y,}$محدد بواسطة${\displaystyle f\left(1/n\right)=y_{n}.}$لو${\displaystyle Y}$إذا اكتمل ذلك، فيمكن توسيعه إلى${\displaystyle \left\{1,1/2,1/3,\ldots \right\}\cup \{0\};}$${\displaystyle f(0)}$سيكون هذا هو الحد الأقصى لمتتالية كوشي.

يُعدّ استمرار كوشي منطقيًا في حالات أعم من الفضاءات المترية، ولكن حينها يجب الانتقال من المتتاليات إلى الشبكات (أو ما يُكافئها من مرشحات ). ينطبق التعريف أعلاه طالما أن متتالية كوشي${\displaystyle \left(x_{1},x_{2},\ldots \right)}$يتم استبدالها بشبكة كوشي عشوائية . أو بعبارة أخرى، دالة${\displaystyle f}$تكون دالة كوشي متصلة إذا وفقط إذا، بالنظر إلى أي مرشح كوشي${\displaystyle {\mathcal {F}}}$على${\displaystyle X,}$ثم${\displaystyle f({\mathcal {F}})}$هو مرشح كوشي قائم على${\displaystyle Y.}$يتفق هذا التعريف مع التعريف أعلاه بشأن الفضاءات المترية، ولكنه يعمل أيضًا بالنسبة للفضاءات المنتظمة ، وبشكل عام، بالنسبة لفضاءات كوشي .

أي مجموعة موجهة${\displaystyle A}$يمكن تحويلها إلى فضاء كوشي. ثم يتم إعطاء أي فضاء${\displaystyle Y,}$شباك كوشي في${\displaystyle Y}$مفهرسة بواسطة${\displaystyle A}$وهي نفسها الدوال المتصلة وفقًا لقانون كوشي من${\displaystyle A}$ل${\displaystyle Y.}$لو${\displaystyle Y}$إذا اكتملت، فإن امتداد الدالة إلى${\displaystyle A\cup \{\infty \}}$ستعطي قيمة نهاية الشبكة. (هذا تعميم لمثال المتتاليات أعلاه، حيث يُفسر الصفر على أنه${\displaystyle {\frac {1}{\infty }}.}$)

• فضاء كوشي – مفهوم في الطوبولوجيا العامة والتحليل 
• نظرية هاين-كانتور

• إيفا لوين-كولبوندرز (1989). فئات الدوال للخرائط المتصلة لكوشي . ديكر، نيويورك.