مساحة مترية كاملة

في التحليل الرياضي ، يُطلق على الفضاء المتري M اسم الفضاء الكامل (أو فضاء كوشي ) إذا كان لكل متتالية كوشي من النقاط في M نهاية تقع أيضًا في M.

بشكل بديهي، يكون الفضاء كاملاً إذا لم تكن هناك "نقاط مفقودة" منه (داخله أو على حدوده). على سبيل المثال، مجموعة الأعداد النسبية ليست كاملة، لأن...${\displaystyle {\sqrt {2}}}$يُعتبر هذا العنصر "مفقودًا" منه، على الرغم من إمكانية بناء متتالية كوشي من الأعداد النسبية التي تتقارب إليه (انظر أمثلة إضافية أدناه). من الممكن دائمًا "ملء جميع الفراغات"، مما يؤدي إلى إكمال فضاء معين، كما هو موضح أدناه.

متتابعة كوشي

تسلسل​${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots }$من عناصر من${\displaystyle X}$في فضاء متري${\displaystyle (X,d)}$يُطلق عليه اسم كوشي إذا كان لكل عدد حقيقي موجب${\displaystyle r>0}$يوجد عدد صحيح موجب${\displaystyle N}$بحيث يكون ذلك لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة${\displaystyle m,n>N,}$$${\displaystyle d(x_{m},x_{n})<r.}$$

مساحة كاملة

فضاء متري${\displaystyle (X,d)}$تكتمل العملية إذا تحققت أي من الشروط المكافئة التالية:

1. كل تسلسل كوشي في${\displaystyle X}$يتقارب في${\displaystyle X}$(أي أن له حدًا موجودًا أيضًا في${\displaystyle X}$).
2. كل متتالية متناقصة من المجموعات الفرعية المغلقة غير الفارغة من${\displaystyle X,}$إذا كانت الأقطار تقترب من الصفر، فإن لها تقاطعًا  غير فارغ :${\displaystyle F_{n}}$مغلق وغير فارغ،${\displaystyle F_{n+1}\subseteq F_{n}}$لكل${\displaystyle n,}$و${\displaystyle \operatorname {diam} \left(F_{n}\right)\to 0,}$ثم هناك نقطة فريدة${\displaystyle x\in X}$مشترك بين جميع المجموعات${\displaystyle F_{n}.}$

المساحة${\displaystyle \mathbb {Q} }$إن متتالية الأعداد النسبية، التي يُعطى مقياسها القياسي بالقيمة المطلقة للفرق ، ليست كاملة. لنأخذ على سبيل المثال المتتالية المعرفة بـ

${\displaystyle x_{1}=1\;}$و${\displaystyle \;x_{n+1}={\frac {x_{n}}{2}}+{\frac {1}{x_{n}}}.}$

هذه متتالية كوشي من الأعداد النسبية، لكنها لا تتقارب نحو أي نهاية نسبية: لو كانت للمتتالية نهاية${\displaystyle x,}$ثم عن طريق الحل${\displaystyle x={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{x}}}$بالضرورة${\displaystyle x^{2}=2,}$ومع ذلك، لا يوجد عدد نسبي يمتلك هذه الخاصية. ولكن، إذا اعتبرنا هذه المتتالية من الأعداد الحقيقية ، فإنها تتقارب إلى عدد غير نسبي.${\displaystyle {\sqrt {2}}}$.

الفترة المفتوحة (0،1) ، باستخدام مقياس الفرق المطلق، ليست كاملة أيضًا. المتتالية المعرفة بواسطة${\displaystyle x_{n}={\tfrac {1}{n}}}$هي دالة كوشي، لكنها لا تملك نهاية في الفضاء المعطى. مع ذلك، فإن الفترة المغلقة [ 0,1 ] كاملة؛ فعلى سبيل المثال، المتتالية المعطاة لها نهاية في هذه الفترة، وهي الصفر.

المساحة${\displaystyle \mathbb {R} }$من الأعداد الحقيقية والفضاء${\displaystyle \mathbb {C} }$تُعتبر فضاءات الأعداد المركبة (ذات المقياس المُعطى بالفرق المطلق) كاملة، وكذلك الفضاء الإقليدي.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، باستخدام مقياس المسافة المعتاد . في المقابل، قد تكون فضاءات المتجهات المعيارية ذات الأبعاد اللانهائية كاملة أو غير كاملة؛ أما الفضاءات الكاملة فهي فضاءات باناخ .${\displaystyle C[a,b]}$فضاء الدوال الحقيقية المتصلة على فترة مغلقة ومحدودة هو فضاء باناخ، وبالتالي فهو فضاء متري كامل، بالنسبة لمعيار القيمة العليا . ومع ذلك، فإن معيار القيمة العليا لا يعطي معيارًا على هذا الفضاء.${\displaystyle C(a,b)}$من الدوال المتصلة على${\displaystyle (a,b),}$لأنها قد تحتوي على دوال غير محدودة . بدلاً من ذلك، مع طوبولوجيا التقارب المضغوط ،${\displaystyle C(a,b)}$يمكن إعطاؤها بنية فضاء فريشيه : فضاء متجهي طوبولوجي محدب محليًا يمكن استنتاج طوبولوجيته بواسطة مقياس كامل غير متغير مع الإزاحة .

المساحة${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$تُعتبر مجموعة الأعداد p -adic كاملة لأي عدد أولي${\displaystyle p.}$ هذا الفراغ يكمل${\displaystyle \mathbb {Q} }$باستخدام المقياس p -adic بنفس الطريقة التي${\displaystyle \mathbb {R} }$يكمل${\displaystyle \mathbb {Q} }$باستخدام المقياس المعتاد.

لو${\displaystyle S}$إذا كانت مجموعة عشوائية، فإن المجموعة${\displaystyle S^{\mathbb {N} }}$من بين جميع التسلسلات في${\displaystyle S}$يصبح فضاءً متريًا كاملاً إذا حددنا المسافة بين المتتاليات${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$و${\displaystyle \left(y_{n}\right)}$يكون${\displaystyle {\tfrac {1}{N}}}$أين${\displaystyle N}$هو أصغر مؤشر يكون فيه${\displaystyle x_{N}}$يختلف عن​${\displaystyle y_{N}}$أو${\displaystyle 0}$إذا لم يكن هناك مثل هذا الفهرس. هذا الفضاء متماثل شكليًا مع حاصل ضرب عدد قابل للعد من نسخ الفضاء المنفصل${\displaystyle S.}$

تُسمى المشعبات الريمانية الكاملة بالمشعبات الجيوديسية ؛ ويتبع الاكتمال من نظرية هوبف-رينو .

كل فضاء متري متراص هو فضاء كامل، مع أن الفضاءات الكاملة ليست بالضرورة متراصة. في الواقع، يكون الفضاء المتري متراصًا إذا وفقط إذا كان كاملًا ومحدودًا كليًا . هذا تعميم لنظرية هاين-بوريل ، التي تنص على أن أي فضاء جزئي مغلق ومحدود يكون متراصًا.${\displaystyle S}$ل${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$مضغوط وبالتالي كامل. ^{[ 1 ]}

يترك${\displaystyle (X,d)}$ليكن فضاءً متريًا كاملاً. إذا${\displaystyle A\subseteq X}$إذا كانت مجموعة مغلقة،${\displaystyle A}$مكتملة أيضًا. دع${\displaystyle (X,d)}$ليكن فضاءً متريًا. إذا${\displaystyle A\subseteq X}$إذا كان فضاءً جزئياً كاملاً،${\displaystyle A}$مغلق أيضاً.

لو${\displaystyle X}$هي مجموعة و${\displaystyle M}$إذا كان فضاءً متريًا كاملاً، فإن المجموعة${\displaystyle B(X,M)}$من بين جميع الدوال المحدودة${\displaystyle f}$من${\displaystyle X}$ل${\displaystyle M}$هي فضاء متري كامل. هنا نُعرّف المسافة في${\displaystyle B(X,M)}$من حيث المسافة في${\displaystyle M}$مع المعيار الأعلى$${\displaystyle d(f,g)\equiv \sup\{d[f(x),g(x)]:x\in X\}}$$

لو${\displaystyle X}$هو فضاء طوبولوجي و${\displaystyle M}$إذا كان فضاءً متريًا كاملاً، فإن المجموعة${\displaystyle C_{b}(X,M)}$تتألف من جميع الدوال المتصلة والمحدودة${\displaystyle f:X\to M}$هو فضاء جزئي مغلق من${\displaystyle B(X,M)}$وبالتالي فهي كاملة أيضاً.

تنص نظرية باير للفئات على أن كل فضاء متري كامل هو فضاء باير . أي أن اتحاد عدد لا نهائي من المجموعات الجزئية غير الكثيفة في أي مكان من الفضاء له باطن فارغ .

تنص نظرية باناخ للنقطة الثابتة على أن تطبيق الانكماش على فضاء متري كامل يقبل نقطة ثابتة . تُستخدم نظرية النقطة الثابتة غالبًا لإثبات نظرية الدالة العكسية على الفضاءات المترية الكاملة مثل فضاءات باناخ.

لأي فضاء متري${\displaystyle M,}$من الممكن إنشاء فضاء متري كامل${\displaystyle M'}$(والذي يُشار إليه أيضًا باسم${\displaystyle {\overline {M}}}$)، والذي يحتوي${\displaystyle M}$باعتبارها فضاءً جزئياً كثيفاً . ولها الخاصية العامة التالية : إذا${\displaystyle N}$أي فضاء متري كامل و${\displaystyle f}$هي أي دالة متصلة بانتظام من${\displaystyle M}$ل${\displaystyle N,}$إذن توجد دالة واحدة متصلة بانتظام${\displaystyle f'}$من${\displaystyle M'}$ل${\displaystyle N}$وهذا يمتد${\displaystyle f.}$ المساحة${\displaystyle M'}$يتم تحديدها حتى التساوي في القياس بواسطة هذه الخاصية (من بين جميع الفضاءات المترية الكاملة التي تحتوي على قياس متساوي).${\displaystyle M}$ويُطلق عليه إتمام${\displaystyle M.}$

إتمام${\displaystyle M}$يمكن بناؤها كمجموعة من فئات التكافؤ لمتتاليات كوشي في${\displaystyle M.}$لأي متتابعتين من متتابعات كوشي${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)}$و${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{n}\right)}$في${\displaystyle M,}$يمكننا تعريف المسافة بينهما على النحو التالي: $${\displaystyle d\left(x_{\bullet },y_{\bullet }\right)=\lim _{n}d\left(x_{n},y_{n}\right)}$$

(توجد هذه النهاية لأن الأعداد الحقيقية كاملة). هذا مجرد مقياس زائف ، وليس مقياسًا حقيقيًا بعد، إذ قد يكون لمتتاليتين مختلفتين من متتاليات كوشي المسافة صفر. لكن "امتلاك مسافة صفر" هو علاقة تكافؤ على مجموعة جميع متتاليات كوشي، ومجموعة فئات التكافؤ هي فضاء متري، وهو اكتمال${\displaystyle M.}$ يتم تضمين المساحة الأصلية في هذه المساحة من خلال تحديد عنصر ما${\displaystyle x}$ل${\displaystyle M'}$مع فئة التكافؤ للمتتاليات في${\displaystyle M}$يتقارب إلى${\displaystyle x}$(أي، فئة التكافؤ التي تحتوي على المتتالية ذات القيمة الثابتة)${\displaystyle x}$يُعرّف هذا تماثلًا على فضاء جزئي كثيف، كما هو مطلوب. مع ذلك، لاحظ أن هذا البناء يستخدم صراحةً اكتمال الأعداد الحقيقية، لذا فإن إكمال الأعداد النسبية يتطلب معالجة مختلفة بعض الشيء.

يُشابه بناء كانتور للأعداد الحقيقية البناء المذكور أعلاه؛ فالأعداد الحقيقية هي استكمال للأعداد النسبية باستخدام القيمة المطلقة العادية لقياس المسافات. ويكمن التحدي الإضافي في أنه لا يجوز منطقيًا استخدام اكتمال الأعداد الحقيقية في بنائها. ومع ذلك، تُعرَّف فئات التكافؤ لمتتاليات كوشي كما سبق، ويمكن إثبات أن مجموعة فئات التكافؤ هي حقلٌ يحتوي على الأعداد النسبية كحقل فرعي . هذا الحقل كامل، ويقبل ترتيبًا كليًا طبيعيًا ، وهو الحقل الكامل الوحيد المرتب كليًا (حتى التشاكل ). يُعرَّف هذا الحقل بأنه حقل الأعداد الحقيقية (انظر أيضًا بناء الأعداد الحقيقية لمزيد من التفاصيل). إحدى طرق تصور هذا التطابق مع الأعداد الحقيقية كما هو شائع هي أن فئة التكافؤ التي تتكون من متتاليات كوشي للأعداد النسبية التي "ينبغي" أن يكون لها حد حقيقي معين تُطابق ذلك العدد الحقيقي. وتُعطي عمليات اقتطاع التوسع العشري خيارًا واحدًا فقط لمتتالية كوشي في فئة التكافؤ ذات الصلة.

لـ${\displaystyle p,}$تنشأ الأعداد p -adic من خلال إكمال الأعداد النسبية بالنسبة لمقياس مختلف.

إذا تم تطبيق إجراء الإكمال السابق على فضاء متجه معياري، فإن النتيجة هي فضاء باناخ يحتوي على الفضاء الأصلي كفضاء فرعي كثيف، وإذا تم تطبيقه على فضاء الضرب الداخلي ، فإن النتيجة هي فضاء هيلبرت يحتوي على الفضاء الأصلي كفضاء فرعي كثيف.

الاكتمال خاصيةٌ للمقياس وليس للطوبولوجيا ، ما يعني أن فضاءً متريًا كاملًا قد يكون متماثلًا طوبولوجيًا مع فضاءٍ غير كامل. ومن الأمثلة على ذلك مجموعة الأعداد الحقيقية، فهي كاملة ولكنها متماثلة طوبولوجيًا مع الفترة المفتوحة (0,1) ، وهي غير كاملة.

في علم الطوبولوجيا، تُدرس الفضاءات القابلة للقياس التام ، وهي الفضاءات التي يوجد لها مقياس كامل واحد على الأقل يُنتج الطوبولوجيا المعطاة. يمكن تعريف الفضاءات القابلة للقياس التام بأنها تلك الفضاءات التي يمكن كتابتها كتقاطع لعدد قابل للعد من المجموعات الجزئية المفتوحة في فضاء متري كامل. ولأن نتيجة نظرية باير للفئات هي نتيجة طوبولوجية بحتة، فإنها تنطبق على هذه الفضاءات أيضًا.

تُسمى الفضاءات القابلة للقياس تمامًا غالبًا بالفضاءات الكاملة طوبولوجيًا . مع ذلك، يُعدّ هذا المصطلح الأخير تعسفيًا إلى حد ما، إذ إن القياس ليس البنية الأكثر عمومية على الفضاء الطوبولوجي التي يمكن الحديث فيها عن الاكتمال (انظر قسم البدائل والتعميمات ). في الواقع، يستخدم بعض المؤلفين مصطلح "كامل طوبولوجيًا" لفئة أوسع من الفضاءات الطوبولوجية، وهي الفضاءات القابلة للتوحيد التام . ^{[ 3 ]}

يُطلق على الفضاء الطوبولوجي المتماثل مع الفضاء المتري الكامل القابل للفصل اسم الفضاء البولندي .

بما أن متتابعات كوشي يمكن تعريفها أيضًا في الزمر الطوبولوجية العامة ، فإن استخدام بنية الزمرة يُعد بديلاً عن الاعتماد على بنية مترية لتحديد الاكتمال وبناء اكتمال الفضاء. ويُلاحظ هذا غالبًا في سياق فضاءات المتجهات الطوبولوجية ، ولكنه لا يتطلب سوى وجود عملية "طرح" مستمرة. في هذا السياق، تُقاس المسافة بين نقطتين.${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$لا يتم قياسه برقم حقيقي${\displaystyle \varepsilon }$عبر المقياس${\displaystyle d}$في المقارنة${\displaystyle d(x,y)<\varepsilon ,}$ولكن من خلال حي مفتوح${\displaystyle N}$ل${\displaystyle 0}$عن طريق الطرح في المقارنة${\displaystyle x-y\in N.}$

يمكن إيجاد تعميم شائع لهذه التعريفات في سياق الفضاء المنتظم ، حيث تكون المجموعة المحيطة عبارة عن مجموعة من جميع أزواج النقاط التي لا تزيد عن "مسافة" معينة من بعضها البعض.

من الممكن أيضًا استبدال متواليات كوشي في تعريف الاكتمال بشبكات كوشي أو مرشحات كوشي . إذا كانت لكل شبكة كوشي (أو ما يعادلها من مرشحات كوشي) نهاية في${\displaystyle X,}$ثم${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسم "كامل". ويمكن أيضًا إنشاء إكمال لأي فضاء منتظم، على غرار إكمال الفضاءات المترية. الحالة الأكثر عمومية التي تُطبَّق فيها شبكات كوشي هي فضاءات كوشي ؛ إذ تمتلك هذه الفضاءات أيضًا مفهومي الاكتمال والإكمال، تمامًا مثل الفضاءات المنتظمة.

• فضاء كوشي – مفهوم في الطوبولوجيا العامة والتحليل 
• الإكمال (الجبر) - في الجبر، الإكمال بالنسبة لقوى المثالي. صفحات تعرض أوصافًا موجزة لأهداف إعادة التوجيه 
• فضاء موحد كامل – فضاء طوبولوجي بمفهوم الخصائص الموحدة. صفحات تعرض أوصافًا موجزة لأهداف إعادة التوجيه. 
• فضاء المتجهات الطوبولوجي الكامل – البنية في التحليل الوظيفي 
• مبدأ إيكيلاند التبايني
• نظرية كناستر-تارسكي – نظرية في الترتيب ونظرية الشبكة 
• اكتمال كروي

• كيلي، جون ل. (1975). الطوبولوجيا العامة . سبرينغر. ISBN 0-387-90125-6.
• كريزيج، إروين ، التحليل الوظيفي التمهيدي مع التطبيقات (وايلي، نيويورك، 1978). ISBN 0-471-03729-X
• لانغ، سيرج ، "التحليل الحقيقي والوظيفي" ISBN 0-387-94001-4
• ميس، راينهولد؛ فوغت، ديتمار (1997). مقدمة في التحليل الوظيفي . رامانوجان، م.س. (مترجم). أكسفورد: مطبعة كلارندون؛ نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 0-19-851485-9.