مساحة كوشي

في علم الطوبولوجيا والتحليل العام ، يُعدّ فضاء كوشي تعميمًا للفضاءات المترية والفضاءات المنتظمة التي لا يزال مفهوم تقارب كوشي فيها ذا معنى. وقد قدّم إتش إتش كيلر فضاءات كوشي عام ١٩٦٨ كأداة بديهية مستمدة من فكرة مرشح كوشي ، وذلك لدراسة الاكتمال في الفضاءات الطوبولوجية . وتُعتبر فئة فضاءات كوشي وتطبيقات كوشي المتصلة فئة مغلقة ديكارتية ، وتحتوي على فئة فضاءات التقارب .

يترك${\displaystyle X}$كن مجموعة،${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$مجموعة القوى لـ${\displaystyle X}$، وافترض أن جميع المرشحات صحيحة ( أي أن المرشح قد لا يحتوي على المجموعة الفارغة).

مساحة كوشي هي زوج${\displaystyle (X,C)}$يتكون من مجموعة${\displaystyle X}$مع عائلة${\displaystyle C\subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X))}$من المرشحات (المناسبة) على${\displaystyle X}$يتمتع بجميع الخصائص التالية:

1. لكل${\displaystyle x\in X,}$المرشح الفائق المنفصل في${\displaystyle x,}$يرمز إليه بـ${\displaystyle U(x),}$هو في${\displaystyle C.}$
2. لو${\displaystyle F\in C,}$${\displaystyle G}$هو مرشح مناسب، و${\displaystyle F}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle G,}$ثم${\displaystyle G\in C.}$
3. لو${\displaystyle F,G\in C}$وإذا كان كل عضو من${\displaystyle F}$يتقاطع مع كل عضو من أعضاء${\displaystyle G,}$ثم${\displaystyle F\cap G\in C.}$

عنصر من${\displaystyle C}$يُطلق عليه اسم مرشح كوشي ، وخريطة${\displaystyle f}$بين مساحات كوشي${\displaystyle (X,C)}$و${\displaystyle (Y,D)}$تكون دالة كوشي متصلة إذا${\displaystyle \uparrow f(C)\subseteq D}$أي صورة كل مرشح كوشي في${\displaystyle X}$قاعدة مرشح كوشي في${\displaystyle Y.}$

أي فضاء كوشي هو أيضًا فضاء تقارب ، حيث يكون المرشح${\displaystyle F}$يتقارب إلى${\displaystyle x}$لو${\displaystyle F\cap U(x)}$هو فضاء كوشي. وعلى وجه الخصوص، يحمل فضاء كوشي طوبولوجيا طبيعية .

• أي فضاء منتظم (وبالتالي أي فضاء متري ، أو فضاء متجهي طوبولوجي ، أو مجموعة طوبولوجية ) هو فضاء كوشي؛ انظر مرشح كوشي للتعريفات.
• تحمل المجموعة المرتبة شبكياً بنية كوشي طبيعية.
• أي مجموعة موجهة${\displaystyle A}$يمكن تحويلها إلى مساحة كوشي عن طريق تعريف مرشح${\displaystyle F}$أن يكون العنصر كوشي إذا، بالنظر إلى أي عنصر${\displaystyle n\in A,}$هناك عنصر${\displaystyle U\in F}$بحيث${\displaystyle U}$إما أن يكون عنصرًا منفردًا أو مجموعة فرعية من الذيل${\displaystyle \{m:m\geq n\}.}$ثم بالنظر إلى أي مساحة كوشي أخرى${\displaystyle X,}$الدوال المتصلة وفقًا لقانون كوشي من${\displaystyle A}$ل${\displaystyle X}$وهي مماثلة لشبكات كوشي في${\displaystyle X}$مفهرسة بواسطة${\displaystyle A.}$لو${\displaystyle X}$إذا كانت الدالة مكتملة ، فيمكن توسيع هذه الدالة لتشمل إكمال${\displaystyle A,}$والتي يمكن كتابتها${\displaystyle A\cup \{\infty \};}$قيمة الامتداد عند${\displaystyle \infty }$سيكون هذا هو الحد الأقصى للشبكة. في الحالة التي${\displaystyle A}$هي المجموعة${\displaystyle \{1,2,3,\ldots \}}$من الأعداد الطبيعية (بحيث تكون شبكة كوشي مفهرسة بواسطة${\displaystyle A}$(وهو نفسه متتالية كوشي )، إذن${\displaystyle A}$يستقبل نفس بنية كوشي مثل الفضاء المتري${\displaystyle \{1,1/2,1/3,\ldots \}.}$

إن المفهوم الطبيعي للتشكل بين فضاءات كوشي هو مفهوم الدالة المتصلة بكوشي ، وهو مفهوم تمت دراسته سابقًا للفضاءات المنتظمة.

• توصيفات فئة الفضاءات الطوبولوجية – طرق متعددة متكافئة لتعريف الفضاء الطوبولوجي. صفحات تعرض أوصافًا موجزة لأهداف إعادة التوجيه. 
• فضاء التقارب – تعميم لمفهوم التقارب الموجود في الطوبولوجيا العامة 
• المرشحات في علم الطوبولوجيا – استخدام المرشحات لوصف وتوصيف جميع المفاهيم والنتائج الطوبولوجية الأساسية 
• الفضاء ما قبل الطوبولوجي – الفضاء الطوبولوجي المعمم 
• فضاء التقارب – بنية تصف مفهوم "القرب" بين المجموعات الفرعية 

• إيفا لوين-كولبوندرز (1989). فئات الدوال للخرائط المتصلة لكوشي . ديكر، نيويورك، 1989.
• شيشتر، إريك (1996). دليل التحليل وأسسه . سان دييغو، كاليفورنيا: دار النشر الأكاديمية. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 .