العدد المثلثي المركزي

الموسوعة الحرة

العدد المثلثي المركزي هو عدد شكلي مركزي يمثل مثلثًا متساوي الأضلاع مع نقطة في المركز وجميع النقاط الأخرى تحيط بالمركز في طبقات مثلثية متساوية الأضلاع متتالية .

وهذا هو أيضاً عدد نقاط الشبكة السداسية ذات اقتران الجوار الأقرب التي تكون المسافة بينها وبين نقطة معينة أقل من أو تساوين{\displaystyle n}.

تُظهر الصورة التالية بناء الأرقام المثلثية المركزية باستخدام الأشكال المرتبطة بها: في كل خطوة، يتم إحاطة المثلث السابق (الموضح باللون الأحمر) بطبقة مثلثة من النقاط الجديدة (باللون الأزرق).

بناء

الأعداد المثلثية الثمانية الأولى المتمركزة على شبكة سداسية

ملكيات

  • إنّ زنمان العدد المثلثي المركزي رقم n ، المقابل للطبقة المثلثية رقم ( n + 1)، هو:
ج3،ن+1-ج3،ن=3(ن+1).{\displaystyle C_{3,n+1}-C_{3,n}=3(n+1).}
  • يُعطى العدد المثلثي المركزي رقم n ، الذي يتوافق مع n طبقة بالإضافة إلى المركز، بالصيغة التالية:
ج3،ن=1+3ن(ن+1)2=3ن2+3ن+22.{\displaystyle C_{3,n}=1+3{\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {3n^{2}+3n+2}{2}}.}
  • كل عدد مثلثي مركزي يكون له باقي قسمة 1 عند قسمته على 3، ويكون ناتج القسمة (إذا كان موجبًا) هو العدد المثلثي المنتظم السابق.
  • كل عدد مثلثي مركزي من 10 فصاعدًا هو مجموع ثلاثة أعداد مثلثية منتظمة متتالية .
  • بالنسبة لـ n > 2، فإن مجموع أول n من الأعداد المثلثية المركزية هو الثابت السحري لمربع سحري عادي n × n .

العلاقة مع الأعداد المربعة المركزية

يمكن التعبير عن الأعداد المثلثية المركزية بدلالة الأعداد المربعة المركزية:

ج3،ن=3ج4،ن+14،{\displaystyle C_{3,n}={\frac {3C_{4,n}+1}{4}},}

أين

ج4،ن=ن2+(ن+1)2.{\displaystyle C_{4,n}=n^{2}+(n+1)^{2}.}

قوائم الأعداد المثلثية المركزية

الأعداد المثلثية المركزية الأولى ( C 3، n < 3000) هي:

1 ، 4 ، 10 ، 19 ، 31 ، 46 ، 64 ، 85 ، 109 ، 136 ، 166 ، 199 ، 235 ، 274 ، 316، 361، 409، 460، 514، 571، 631، 694، 760، 829، 901، 976، 1054، 1135، 1219، 1306، 1396، 1489، 1585، 1684، 1786، 1891، 1999، 2110، 2224، 2341، 2461، 2584، 2710، 2839 2971، ... (التسلسل A005448 في OEIS ) .

أول الأعداد المثلثية والمثلثية المركزية في آن واحد ( C 3، n = T N < 10 9 ) هي:

1، 10، 136، 1891، 26335، 366796، 5108806، 71156485، 991081981، ... (التسلسل A128862 في OEIS ) .

الدالة المولدة

إذا تم التعامل مع الأعداد المثلثية المركزية على أنها معاملات متسلسلة ماكلورين لدالة ما، فإن تلك الدالة تتقارب لجميع|x|<1{\displaystyle |x|<1}وفي هذه الحالة، يمكن التعبير عنها كدالة توليد ميرومورفية

1+4x+10x2+19x3+31x4+ ...=1-x3(1-x)4=x2+x+1(1-x)3 .{\displaystyle 1+4x+10x^{2}+19x^{3}+31x^{4}+~...={\frac {1-x^{3}}{(1-x)^{4}}}={\frac {x^{2}+x+1}{(1-x)^{3}}}~.}

مراجع