طريقة تشاكرافالا

استخدام هوية براهمغوبتا لتكوين الثلاثية${\displaystyle (a,b,k)}$مع نفسه:

${\displaystyle (a^{2}+Nb^{2})^{2}-N(2ab)^{2}=k^{2}}$${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle (2a^{2}-k)^{2}-N(2ab)^{2}=k^{2}}$

يمكن التعبير عن الثلاثية الجديدة على النحو التالي:${\displaystyle (2a^{2}-k,2ab,k^{2})}$.

الاستبدال${\displaystyle k=-1}$يقدم حلاً:

${\displaystyle x=2a^{2}+1,y=2ab}$

ل${\displaystyle k=1}$الأصل${\displaystyle (a,b)}$كان هذا حلاً بالفعل. استبدال${\displaystyle k=1}$ينتج عنه ثانية:

${\displaystyle x=2a^{2}-1,y=2ab}$

باستخدام المعادلة مرة أخرى،${\displaystyle (2a^{2}-k)^{2}-N(2ab)^{2}=k^{2}}$${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle \left({\frac {2a^{2}-k}{k}}\right)^{2}-N\left({\frac {2ab}{k}}\right)^{2}=1}$

الاستبدال${\displaystyle k=2}$،

${\displaystyle x=a^{2}-1,y=ab}$

الاستبدال${\displaystyle k=-2}$،

${\displaystyle x=a^{2}+1,y=ab}$

الاستبدال${\displaystyle k=4}$في المعادلة${\displaystyle \left({\frac {2a^{2}-k}{k}}\right)^{2}-N\left({\frac {2ab}{k}}\right)^{2}=1}$يُنشئ الثلاثي${\displaystyle \left({\frac {a^{2}-2}{2}},{\frac {ab}{2}},1\right),}$

وهو حل إذا${\displaystyle a}$زوجي:

${\displaystyle x={\frac {a^{2}-2}{2}},y={\frac {ab}{2}}.}$

إذا كان a فرديًا، فابدأ بالمعادلات${\displaystyle \left({\frac {a}{2}}\right)^{2}-N\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}=1}$و${\displaystyle \left({\frac {2a^{2}-4}{4}})^{2}-N({\frac {2ab}{4}}\right)^{2}=1}$.

مما يؤدي إلى الثلاثيات${\displaystyle \left({\frac {a}{2}},{\frac {b}{2}},1\right)}$و${\displaystyle \left({\frac {a^{2}-2}{2}},{\frac {ab}{2}},1\right)}$. يؤدي تكوين الثلاثيات إلى${\displaystyle \left({\frac {a}{2}}(a^{2}-3)\right)^{2}-N\left({\frac {b}{2}}(a^{2}-1)\right)^{2}=1}$

متى${\displaystyle a}$غريب،

${\displaystyle x={\frac {a}{2}}(a^{2}-3),y={\frac {b}{2}}(a^{2}-1)}$

متى${\displaystyle k=-4}$، ثم${\displaystyle \left({\frac {a}{2}}\right)^{2}-N\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}=-1}$إن التأليف مع نفسه ينتج${\displaystyle \left({\frac {a^{2}+Nb^{2}}{4}}\right)^{2}-N\left({\frac {ab}{2}}\right)^{2}=1}$${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle \left({\frac {a^{2}+2}{2}}\right)^{2}-N\left({\frac {ab}{2}}\right)^{2}=1}$.

ويعود الأمر إلى طبيعته مرة أخرى.${\displaystyle ({\frac {(a^{2}+2)^{2}+Na^{2}b^{2}}{4}})^{2}-N({\frac {ab(a^{2}+2)}{2}})^{2}=1}$${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle ({\frac {a^{4}+4a^{2}+2}{2}})^{2}-N({\frac {ab(a^{2}+2)}{2}})^{2}=1}$

وأخيرًا، انطلاقًا من المعادلات السابقة، قم بتكوين الثلاثيات.${\displaystyle ({\frac {a^{2}+2}{2}},{\frac {ab}{2}},1)}$و${\displaystyle ({\frac {a^{4}+4a^{2}+2}{2}},{\frac {ab(a^{2}+2)}{2}},1)}$للحصول على

${\displaystyle ({\frac {(a^{2}+2)(a^{4}+4a^{2}+2)+Na^{2}b^{2}(a^{2}+2)}{4}})^{2}-N({\frac {ab(a^{4}+4a^{2}+3)}{2}})^{2}=1}$${\displaystyle \Rightarrow }$

${\displaystyle ({\frac {(a^{2}+2)(a^{4}+4a^{2}+1)}{2}})^{2}-N({\frac {ab(a^{2}+3)(a^{2}+1)}{2}})^{2}=1}$${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle ({\frac {(a^{2}+2)[(a^{2}+1)(a^{2}+3)-2)]}{2}})^{2}-N({\frac {ab(a^{2}+3)(a^{2}+1)}{2}})^{2}=1}$.

وهذا يمنحنا الحلول

${\displaystyle x={\frac {(a^{2}+2)[(a^{2}+1)(a^{2}+3)-2]}{2}},\qquad y={\frac {ab(a^{2}+3)(a^{2}+1)}{2}}}$^{[ 11 ]}

(ملحوظة،${\displaystyle k=-4}$يُعدّ هذا مفيدًا لإيجاد حل لمعادلة بيل ، ولكنه ليس دائمًا أصغر زوج من الأعداد الصحيحة. على سبيل المثال${\displaystyle 36^{2}-52\cdot 5^{2}=-4}$ستعطيك المعادلة${\displaystyle x=1093435849,y=151632270}$والتي عند وضعها في معادلة بيل تعطي${\displaystyle 1195601955878350801-1195601955878350800=1}$وهذا ينجح، ولكن الأمر نفسه ينطبق على${\displaystyle x=649,y=90}$ل${\displaystyle N=52}$.

الحالة n  =  61 (تحديد حل صحيح يحقق${\displaystyle a^{2}-61b^{2}=1}$^{[ 9 ]} وقد طرح بهاسكارا هذا التحدي الذي أطلقه فيرما بعد قرون عديدة، كمثال.

نبدأ بالحل${\displaystyle a^{2}-61b^{2}=k}$لأي قيمة k يتم إيجادها بأي وسيلة. في هذه الحالة، يمكننا اعتبار b مساوية لـ 1، وبالتالي، بما أن${\displaystyle 8^{2}-61\cdot 1^{2}=3}$لدينا الثلاثية${\displaystyle (a,b,k)=(8,1,3)}$تأليفها مع${\displaystyle (m,1,m^{2}-61)}$يعطي الثلاثية${\displaystyle (8m+61,8+m,3(m^{2}-61))}$، والتي يتم تصغيرها (أو يتم استخدام ليمّة بهاسكارا مباشرة) للحصول على:

${\displaystyle \left({\frac {8m+61}{3}},{\frac {8+m}{3}},{\frac {m^{2}-61}{3}}\right).}$

لتقسيم 3${\displaystyle 8+m}$و${\displaystyle |m^{2}-61|}$لنكون في غاية البساطة، نختار${\displaystyle m=7}$لذلك لدينا الثلاثية${\displaystyle (39,5,-4)}$الآن وقد أصبح k يساوي -4، يمكننا استخدام فكرة براهمغوبتا: يمكن اختزالها إلى الحل الكسري.${\displaystyle (39/2,5/2,-1)\,}$، والتي ألفت مع نفسها ثلاث مرات، مع${\displaystyle m={7,11,9}}$على التوالي، عندما يصبح k مربعًا ويمكن تطبيق القياس، فإن هذا يعطي${\displaystyle (1523/2,195/2,1)\,}$وأخيرًا، يمكن تكرار هذا الإجراء حتى يتم التوصل إلى الحل (يتطلب ذلك 9 عمليات تركيب ذاتي إضافية و4 عمليات تحجيم مربعة إضافية):${\displaystyle (1766319049,\,226153980,\,1)}$هذا هو الحل الأمثل للأعداد الصحيحة.

لنفترض أننا بصدد حل${\displaystyle x^{2}-67y^{2}=1}$لـ x و y . ^{[ 12 ]}

نبدأ بالحل${\displaystyle a^{2}-67b^{2}=k}$لأي قيمة k يتم إيجادها بأي وسيلة؛ في هذه الحالة يمكننا أن نجعل b تساوي 1، وبالتالي ننتج${\displaystyle 8^{2}-67\cdot 1^{2}=-3}$في كل خطوة، نجد قيمة m  >  0 بحيث يكون k يقسم a  + bm ، ويكون | m² - 67| أصغر ما يمكن. ثم نُحدِّث a ^و b و k إلى   ${\displaystyle {\frac {am+Nb}{|k|}},{\frac {a+bm}{|k|}}}$و${\displaystyle {\frac {m^{2}-N}{k}}}$على التوالى.

التكرار الأول

لدينا${\displaystyle (a,b,k)=(8,1,-3)}$نريد عددًا صحيحًا موجبًا m بحيث يقسم k المقدار a  + bm ، أي أن 3 يقسم 8 + m، ويكون | ^m² - 67 | أصغر ما يمكن. الشرط الأول يعني أن m من الشكل 3t + 1 (أي 1، 4، 7، 10، ... إلخ)، ومن بين هذه القيم لـ m ، تُحقق أصغر قيمة عند m = 7. باستبدال ( a , b , k ) بـ     ${\displaystyle \left({\frac {am+Nb}{|k|}},{\frac {a+bm}{|k|}},{\frac {m^{2}-N}{k}}\right)}$، نحصل على القيم الجديدة${\displaystyle a=(8\cdot 7+67\cdot 1)/3=41,b=(8+1\cdot 7)/3=5,k=(7^{2}-67)/(-3)=6}$أي أن لدينا الحل الجديد:

${\displaystyle 41^{2}-67\cdot (5)^{2}=6.}$

عند هذه النقطة، تكون جولة واحدة من الخوارزمية الدورية قد اكتملت.

التكرار الثاني

نكرر الآن العملية. لقد${\displaystyle (a,b,k)=(41,5,6)}$نريد قيمة m  >  0 بحيث يقسم k المقدار a  + bm ، أي أن 6 يقسم المقدار 41 + 5m ، ويكون | m² - 67| أصغر ما يمكن. الشرط الأول يعني أن m من الشكل 6t + 5 (أي 5، 11، 17، ... إلخ)، ومن بين هذه القيم لـ m ، يكون | ^m² - 67 | أصغر ما يمكن عندما m = 5. وهذا يقودنا إلى الحل الجديد ^.           ${\displaystyle {\frac {41\cdot 5+61\cdot 5}{6}}}$

${\displaystyle 90^{2}-67\cdot 11^{2}=-7.}$

التكرار الثالث

لكي يقسم العدد 7 العدد 90 + 11 م ، يجب أن يكون لدينا م = 2  +  7 ت (أي 2، 9، 16، ... إلخ.) ومن بين هذه القيم م ، نختار م = 9.

${\displaystyle 221^{2}-67\cdot 27^{2}=-2.}$

الحل النهائي

عند هذه النقطة، يمكننا الاستمرار في استخدام الطريقة الدورية (وستنتهي بعد سبع تكرارات)، ولكن بما أن الطرف الأيمن يقع بين ±1، ±2، ±4، فيمكننا أيضًا استخدام ملاحظة براهمغوبتا مباشرةً. بتركيب الثلاثية (221، 27، -2 ) مع نفسها، نحصل على

${\displaystyle \left({\frac {221^{2}+67\cdot 27^{2}}{2}}\right)^{2}-67\cdot (221\cdot 27)^{2}=1,}$

أي أن لدينا الحل الصحيح:

${\displaystyle 48842^{2}-67\cdot 5967^{2}=1.}$

هذه المعادلة تقريبية${\displaystyle {\sqrt {67}}}$ مثل ${\displaystyle {\frac {48842}{5967}}}$في حدود هامش يبلغ حوالي${\displaystyle 2\times 10^{-9}}$.