بهاسكارا الثاني

This article should specify the language of its non-English content, using {{lang}}, {{transliteration}} for transliterated languages, and {{IPA}} for phonetic transcriptions, with an appropriate ISO 639 code. Wikipedia's multilingual support templates may also be used. See why. (March 2022)

بهاسكارا الثاني
تمثال بهاسكارا الثاني في باتناديفي
وُلِدّ	حوالي  1114 فيجادافيدا، ماهاراشترا (ربما باتان [1] [2] في خانديش أو بيد [3] [4] [5] في ماراثوادا )
مات	حوالي  1185 (1185-00-00)(70-71 سنة) أوجين ، ماديا براديش
أسماء أخرى	بهاسكاراشاريا
المهنة(المهن)	عالم فلك ورياضيات
العمل الأكاديمي
عصر	عصر شاكا
تأديب	عالم رياضيات، فلكي، هندسي
الاهتمامات الرئيسية	الجبر ، الحساب ، علم المثلثات
أعمال بارزة	سيدهانتا شيروماني ليلافاتي ، بيجاغانيتا ، كارانا-كاوتوهالا جراهاجانيتا وجولادهايا

بهاسكارا الثاني ^[أ] ( [bʰɑːskərə] ؛ حوالي 1114-1185)، والمعروف أيضًا باسم بهاسكاراشاريا ( حرفيًا " بهسكارا المعلم " )، كان عالم موسوعي هندي ورياضي وفلك ومهندس . من أبيات عمله الرئيسي، سيدهاما شيروماني، يمكن الاستدلال على أنه ولد عام 1114 في فيجادافيدا (فيجالافيدا) وعاش في سلاسل جبال ساتبودا في غاتس الغربية ، والتي يعتقد العلماء أنها مدينة باتانا في تشاليسجاون، الواقعة في منطقة خانديش الحالية في ماهاراشترا . ^[6] في معبد في ولاية ماهاراشترا، يوجد نقش من المفترض أن حفيده تشانغاديفا قد أنشأه، يسرد نسب بهسكاراتشاريا لعدة أجيال قبله وكذلك جيلين بعده. ^{[7] [8] يشير} هنري كولبروك الذي كان أول أوروبي يترجم (1817) الكلاسيكيات الرياضية لبهسكاراتشاريا الثاني إلى العائلة باعتبارها براهمة ماهاراشترا المقيمين على ضفاف نهر جودافاري . ^[9] 

وُلِد بهاسكارا الثاني في عائلة هندوسية من العلماء والرياضيين وعلماء الفلك، وكان زعيمًا لمرصد كوني في أوجين ، المركز الرياضي الرئيسي للهند القديمة. ^[10] يمثل بهاسكارا وأعماله مساهمة كبيرة في المعرفة الرياضية والفلكية في القرن الثاني عشر. وقد أُطلق عليه لقب أعظم عالم رياضيات في الهند في العصور الوسطى. ^[11] عمله الرئيسي Siddhānta - Śiromaṇi ( بالسنسكريتية : "تاج الأطروحات") ^[12] مقسم إلى أربعة أجزاء تسمى Līlāvatī و Bījagaṇita و Grahagaṇita و Golādhyāya ، ^[13] والتي تعتبر أحيانًا أيضًا أربعة أعمال مستقلة. ^[14] تتناول هذه الأقسام الأربعة الحساب والجبر ورياضيات الكواكب والمجالات على التوالي. وكتب أيضًا أطروحة أخرى بعنوان كارانا كاوتوهالا. ^[14]

يذكر بهاسكارا تاريخ ميلاده وتاريخ تأليف عمله الرئيسي في بيت من شعر آريا : ^[14]

راسا-غونا-بورنا-ماهي-ساما-ساكانربا-سامايي وبهافان -ماموتباتيه ।. راسا-غونا-فارشينا مايا سيدهانتا-سيروماني راسيتاه ॥ ^{[ بحاجة لمصدر ]}

يكشف هذا أنه ولد في عام 1036 من عصر شاكا (1114 م )، وأنه ألف كتاب سيدهانتا شيروماني عندما كان يبلغ من العمر 36 عامًا. ^[14] تم الانتهاء من كتاب سيدهانتا شيروماني خلال عام 1150 م. كما كتب عملاً آخر يسمى كارانا كوتوهالا عندما كان عمره 69 عامًا (في عام 1183). ^[14] تُظهر أعماله تأثير براهماجوبتا وسريدارا وماهافيرا وبادمانابها وغيرهم من الأسلاف. ^[14] عاش بهسكارا في باتناديفي الواقعة بالقرب من باتان (تشاليسجاون) بالقرب من ساهيادري. ^[15 ]

وُلِد في عائلة براهمية من ديشاستا ريجفيدي ^[16] بالقرب من فيجادافيدا (فيجالافيدا). أعطى مونيشفارا (القرن السابع عشر)، وهو أحد المعلقين على سيدهانتا شيروماني في بهسكارا، معلومات حول موقع فيجادافيدا في عمله ماريسي تيكا على النحو التالي: ^[3]

عجائب الطبيعة في ولاية مهاراشترا نلقي نظرة على جوداورز

بانتشكروشانتري فيزلفيدم.

يحدد هذا الوصف موقع فيجالافيدا في ولاية ماهاراشترا، بالقرب من منطقة فيداربا وعلى مقربة من ضفاف نهر جودافاري . ومع ذلك، يختلف العلماء حول الموقع الدقيق. وقد وضع العديد من العلماء المكان بالقرب من باتان في منطقة تشاليسجاون في منطقة جالجاون ^[17] بينما حدده قسم من العلماء بمدينة بيد الحديثة. ^[1] حددت بعض المصادر فيجالافيدا على أنها بيجابور أو بيدار في كارناتاكا . ^[18] كما تم اقتراح تحديد فيجالافيدا مع باسار في تيلانجانا . ^[19]

يُقال إن بهاسكارا كان رئيسًا لمرصد فلكي في أوجين ، المركز الرياضي الرائد في الهند في العصور الوسطى. يسجل التاريخ أن جده الأكبر كان يشغل منصبًا وراثيًا كعالم بلاط، كما فعل ابنه وأحفاده الآخرون. كان والده ماهيشوارا ^[15] (ماهشواروباديايا ^[14] ) عالم رياضيات وفلك ^[14] ومنجم، علمه الرياضيات، التي نقلها لاحقًا إلى ابنه لوكاسامودرا. ساعد ابن لوكاسامودرا في إنشاء مدرسة في عام 1207 لدراسة كتابات بهاسكارا. توفي عام 1185 م.

القسم الأول ليلافاتي (المعروف أيضًا باسم باتيغانيتا أو أنكاغانيتا )، والذي سمي على اسم ابنته، يتكون من 277 آية. ^[14] ويغطي الحسابات والتقدم والقياس والتباديل وموضوعات أخرى. ^[14]

القسم الثاني Bījagaṇita (الجبر) يحتوي على 213 آية. ^[14] يناقش الصفر، واللانهاية، والأعداد الموجبة والسالبة، والمعادلات غير المحددة بما في ذلك (ما يسمى الآن) معادلة بيل ، وحلها باستخدام طريقة كوتاكا . ^[14] على وجه الخصوص، حل أيضًا القضية التي كانت لتفلت من فيرما ومعاصريه الأوروبيين بعد قرون ${\displaystyle 61x^{2}+1=y^{2}}$

في القسم الثالث Grahagaṇita ، أثناء معالجته لحركة الكواكب، نظر في سرعاتها اللحظية. ^[14] وصل إلى التقريب: ^[20] يتكون من 451 آية

${\displaystyle \sin y'-\sin y\approx (y'-y)\cos y}$ل.

${\displaystyle y'}$قريب من ، أو في التدوين الحديث: ^[20]${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\frac {d}{dy}}\sin y=\cos y}$.

وفي قوله: ^[20]

بيمباردهاسيا كوتيجيا غوناستريجياهاراه فالام دورجيايورانتارام ^{[ بحاجة لمصدر ]}

وقد لوحظت هذه النتيجة أيضًا في وقت سابق بواسطة ماناسام موينجالاكاريا (أو مانيجولاكاريا)، في سياق جدول الجيوب. ^[20]

صرح بهاسكارا أيضًا أنه في أعلى نقطة تكون السرعة اللحظية للكوكب صفرًا. ^[20]

تتضمن بعض مساهمات بهسكارا في الرياضيات ما يلي:

• إثبات نظرية فيثاغورس عن طريق حساب نفس المساحة بطريقتين مختلفتين ثم إلغاء الحدود للحصول على أ ² + ب ² = ج ^{2. [21} ]
• في Lilavati ، تم شرح حلول المعادلات التربيعية والتكعيبية والرباعية غير المحددة. ^[22 ]
• حلول المعادلات التربيعية غير المحددة (من نوع ax ² + b = y ² ).
• الحلول الصحيحة للمعادلات غير المحددة الخطية والتربيعية ( كوتاكا ). القواعد التي يقدمها هي (في الواقع) نفس القواعد التي قدمها علماء الرياضيات الأوروبيون في عصر النهضة في القرن السابع عشر.
• طريقة تشاكرافالا الدورية لحل المعادلات غير المحددة من النموذج ax ² + bx + c = y . يُنسب حل هذه المعادلة تقليديًا إلى ويليام بروانكر في عام 1657، على الرغم من أن طريقته كانت أكثر صعوبة من طريقة تشاكرافالا .
• الطريقة العامة الأولى لإيجاد حلول للمشكلة x ² − ny ² = 1 (ما يسمى " معادلة بيل ") قدمها بهسكارا الثاني. ^[23]
• حلول معادلات ديوفانتين من الدرجة الثانية، مثل 61 × ² + 1 = y ^{2. طرح عالم الرياضيات الفرنسي} بيير دي فيرما هذه المعادلة كمشكلة في عام 1657 ، لكن حلها لم يكن معروفًا في أوروبا حتى زمن أويلر في القرن الثامن عشر. ^[22]
• حل المعادلات التربيعية التي تحتوي على أكثر من مجهول، وإيجاد حلول سلبية وغير نسبية . ^{[ بحاجة لمصدر ]}
• مفهوم أولي للتحليل الرياضي .
• مفهوم أولي لحساب التفاضل والتكامل اللامتناهي في الصغر ، إلى جانب مساهمات بارزة في حساب التكامل . ^[24]
• أفكار أولية حول حساب التفاضل والتكامل ومعامل التفاضل .
• ذكر نظرية رول ، وهي حالة خاصة لواحدة من أهم النظريات في التحليل، وهي نظرية القيمة المتوسطة . كما توجد آثار لنظرية القيمة المتوسطة العامة في أعماله.
• تم حساب مشتقات الدوال المثلثية والصيغ. (انظر قسم حساب التفاضل والتكامل أدناه.)
• في كتابه Siddhanta-Śiromaṇi ، قام بهسكارا بتطوير علم المثلثات الكروي إلى جانب عدد من النتائج المثلثية الأخرى . (انظر قسم علم المثلثات أدناه).

يغطي نص بهسكارا الحسابي Līlāvatī مواضيع التعريفات، والمصطلحات الحسابية، وحساب الفائدة، والتقدم الحسابي والهندسي ، والهندسة المستوية ، والهندسة الصلبة ، وظل العقرب ، وطرق حل المعادلات غير المحددة ، والتركيبات .

ينقسم كتاب ليلافاتي إلى 13 فصلاً ويغطي العديد من فروع الرياضيات والحساب والجبر والهندسة وقليلاً من علم المثلثات والقياس. وبشكل أكثر تحديدًا، يتضمن المحتوى ما يلي:

• التعاريف.
• خصائص الصفر (بما في ذلك القسمة ، وقواعد العمليات على الصفر).
• مزيد من العمل العددي الموسع، بما في ذلك استخدام الأرقام السالبة والجذور الصماء .
• تقدير π .
• المصطلحات الحسابية وطرق الضرب والتربيع .
• القاعدة العكسية للثلاثة ، وقواعد 3، 5، 7، 9، و11.
• مسائل تتعلق بالفائدة وحساب الفائدة.
• المعادلات غير المحددة ( كوتاكا )، والحلول الصحيحة (الدرجة الأولى والثانية). مساهماته في هذا الموضوع مهمة بشكل خاص، ^{[ بحاجة لمصدر ]} لأن القواعد التي وضعها هي (في الواقع) نفس القواعد التي وضعها علماء الرياضيات الأوروبيون في عصر النهضة في القرن السابع عشر، ومع ذلك كان عمله في القرن الثاني عشر. كانت طريقة بهسكارا في الحل تحسينًا للطرق الموجودة في أعمال أريابهاتا وعلماء الرياضيات اللاحقين.

إن أعماله متميزة بسبب تنظيمها وأساليبها المحسنة والموضوعات الجديدة التي قدمها. وعلاوة على ذلك، احتوى كتاب ليلافاتي على مشكلات ممتازة، ويُعتقد أن نية بهسكارا ربما كانت أن يهتم طالب "ليلافاتي" بالتطبيق الميكانيكي للطريقة. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

كان كتابه "البيجاجانيتا " (" الجبر ") عبارة عن عمل مكون من اثني عشر فصلاً. وكان أول نص يعترف بأن العدد الموجب له جذرين مربعين (جذر مربع موجب وجذر مربع سالب). ^[25] يعتبر كتابه "البيجاجانيتا" أطروحة في الجبر ويحتوي على الموضوعات التالية:

• الأرقام الموجبة والسلبية .
• 'المجهول' (يتضمن تحديد الكميات غير المعروفة).
• تحديد الكميات المجهولة.
• الجذور الصماء (تتضمن تقييم الجذور الصماء وجذورها التربيعية).
• كوتاكا (لحل المعادلات غير المحددة ومعادلات ديوفانتاين ).
• المعادلات البسيطة (غير المحددة من الدرجة الثانية والثالثة والرابعة).
• معادلات بسيطة تحتوي على أكثر من مجهول.
• المعادلات التربيعية غير المحددة (من النوع ax ² + b = y ² ).
• حلول المعادلات غير المعينة من الدرجة الثانية والثالثة والرابعة.
• المعادلات التربيعية.
• المعادلات التربيعية ذات أكثر من مجهول.
• العمليات التي تحتوي على منتجات ذات عدة مجهولات.

استنتج بهسكارا طريقة تشاكرافالا الدورية لحل المعادلات التربيعية غير المحددة من النموذج ax ² + bx + c = y. ^[25] طريقة بهسكارا لإيجاد حلول للمشكلة Nx ² + 1 = y ² (ما يسمى " معادلة بيل ") ذات أهمية كبيرة. ^[23]

يوضح كتاب Siddhānta Shiromani (الذي كُتب عام 1150) معرفة بهسكارا بعلم المثلثات، بما في ذلك جدول الجيب والعلاقات بين الدوال المثلثية المختلفة. كما طور أيضًا علم المثلثات الكروي ، إلى جانب نتائج مثلثية أخرى مثيرة للاهتمام . على وجه الخصوص، بدا بهسكارا أكثر اهتمامًا بعلم المثلثات لذاته من أسلافه الذين نظروا إليه فقط كأداة للحساب. من بين العديد من النتائج المثيرة للاهتمام التي قدمها بهسكارا، تشمل النتائج الموجودة في أعماله حساب جيب الزوايا 18 و 36 درجة، والصيغ المعروفة الآن لـ و . ${\displaystyle \sin \left(a+b\right)}$${\displaystyle \sin \left(a-b\right)}$

عمله، سيدهانتا شيروماني ، هو أطروحة فلكية ويحتوي على العديد من النظريات التي لم توجد في الأعمال السابقة. ^{[ بحاجة لمصدر ]} المفاهيم الأولية لحساب اللامتناهي في الصغر والتحليل الرياضي ، إلى جانب عدد من النتائج في علم المثلثات وحساب التفاضل والتكامل التي تم العثور عليها في العمل هي ذات أهمية خاصة.

تشير الأدلة إلى أن بهسكارا كان على دراية ببعض أفكار حساب التفاضل. ^[25] كما يتعمق بهسكارا في "حساب التفاضل" ويقترح أن معامل التفاضل يتلاشى عند قيمة متطرفة للدالة، مما يشير إلى معرفة مفهوم " اللانهائيات في الصغر ". ^[26]

• هناك دليل على شكل مبكر من نظرية رول في عمله. تنص الصيغة الحديثة لنظرية رول على أنه إذا ، فبالنسبة لبعض مع .${\displaystyle f\left(a\right)=f\left(b\right)=0}$${\displaystyle f'\left(x\right)=0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \ a<x<b}$
• في هذا العمل الفلكي، قدم إجراءً واحدًا يبدو وكأنه مقدمة للطرق اللانهائية في الصغر. من حيث أن هذا هو إذا، فإن هذا هو مشتق الجيب على الرغم من أنه لم يطور مفهوم المشتق. ^[27]${\displaystyle x\approx y}$${\displaystyle \sin(y)-\sin(x)\approx (y-x)\cos(y)}$
  • يستخدم بهسكارا هذه النتيجة لحساب زاوية موضع مسار الشمس ، وهي الكمية المطلوبة للتنبؤ بدقة بوقت الكسوف.
• عند حساب الحركة اللحظية لكوكب، لم يكن الفاصل الزمني بين المواضع المتعاقبة للكواكب أكبر من تروتي ، أو 1/33750 من الثانية ، وتم التعبير عن مقياسه للسرعة بهذه الوحدة اللانهائية من الزمن.
• لقد كان يدرك أنه عندما يصل المتغير إلى أقصى قيمة له فإن تفاضله يختفي.
• كما أظهر أنه عندما يكون الكوكب في أبعد نقطة له عن الأرض، أو في أقرب نقطة له، فإن معادلة المركز (مقياس مدى بعد الكوكب عن الموضع الذي من المتوقع أن يكون فيه، بافتراض أنه سيتحرك بشكل منتظم) تختفي. لذلك استنتج أنه بالنسبة لبعض المواضع الوسيطة فإن تفاضل معادلة المركز يساوي صفرًا. ^{[ بحاجة لمصدر ]} في هذه النتيجة، توجد آثار لنظرية القيمة المتوسطة العامة، وهي واحدة من أهم النظريات في التحليل، والتي تُشتق اليوم عادةً من نظرية رول. أسس باراميشفارا لاحقًا صيغة القيمة المتوسطة للاستيفاء العكسي للجيب في القرن الخامس عشر في ليلافاتي بهاسيا ، وهو تعليق على ليلافاتي بهاسكارا .

قام مادهافا (1340-1425) وعلماء الرياضيات في مدرسة كيرالا (بما في ذلك باراميشفارا ) من القرن الرابع عشر إلى القرن السادس عشر بتوسيع أعمال بهسكارا وتعزيز تطوير حساب التفاضل والتكامل في الهند. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

باستخدام نموذج فلكي طوره براهماجوبتا في القرن السابع، حدد بهاسكارا بدقة العديد من الكميات الفلكية، بما في ذلك على سبيل المثال، طول السنة النجمية ، وهو الوقت اللازم للأرض للدوران حول الشمس، بحوالي 365.2588 يومًا وهو نفس الوقت في سورياسيدانتا. ^[28] القياس المقبول الحديث هو 365.25636 يومًا ، بفارق 3.5 دقيقة. ^[29]

كتب نصه في علم الفلك الرياضي "سيدانتا شيروماني" في جزأين: الجزء الأول عن علم الفلك الرياضي والجزء الثاني عن الكرة .

وتغطي الفصول الإثني عشر للجزء الأول مواضيع مثل:

• متوسط ​​خطوط الطول للكواكب .
• خطوط الطول الحقيقية للكواكب.
• المشاكل الثلاث للدوران اليومي . تشير الحركة اليومية إلى الحركة اليومية الظاهرية للنجوم حول الأرض، أو بالأحرى حول القطبين السماويين. وهي تحدث بسبب دوران الأرض حول محورها، لذا فإن كل نجم يتحرك ظاهريًا على دائرة تسمى الدائرة اليومية.
• الاقترانات .
• خسوف القمر .
• كسوف الشمس .
• خطوط العرض الكواكب.
• معادلة شروق الشمس .
• هلال القمر .​​
• اقترانات الكواكب مع بعضها البعض.
• اقترانات الكواكب مع النجوم الثابتة .
• مسارات الشمس والقمر.

أما الجزء الثاني فيحتوي على ثلاثة عشر فصلاً عن الكرة، ويتناول موضوعات مثل:

• مدح دراسة المجال.
• طبيعة الكرة.
• علم الكون والجغرافيا .
• الحركة الكوكبية المتوسطة .
• نموذج ملحمي دوري غريب الأطوار للكواكب.
• الكرة الحربية .
• علم المثلثات الكروية .
• حسابات القطع الناقص . ^{[ بحاجة لمصدر ]}
• الرؤية الأولى للكواكب.
• حساب الهلال القمري.
• الأدوات الفلكية.
• المواسم .​
• مشاكل الحسابات الفلكية.

يرجع أقدم ذكر لآلة الحركة الدائمة إلى عام 1150، عندما وصف بهاسكارا الثاني عجلة ادعى أنها ستستمر إلى الأبد. ^[30]

اخترع بهاسكارا الثاني مجموعة متنوعة من الأدوات، أحدها ياستي يانترا . يمكن أن يتراوح هذا الجهاز من عصا بسيطة إلى عصي على شكل حرف V مصممة خصيصًا لتحديد الزوايا بمساعدة مقياس مُعاير. ^[31]

في كتابه ليلافاتي ، يقول: "في هذه الكمية أيضًا التي لها صفر كمقسوم لها، لا يوجد تغيير حتى عندما تدخل كميات كثيرة فيها أو تخرج منها، تمامًا كما في وقت التدمير والخلق عندما تدخل حشود من المخلوقات وتخرج منها، لا يوجد تغيير في [فيشنو] اللانهائي وغير المتغير". ^[32]

وقد ذكر العديد من المؤلفين أن بهسكارا الثاني أثبت نظرية فيثاغورس من خلال رسم مخطط وتقديم الكلمة الوحيدة "انظر!". ^{[33] [34]} في بعض الأحيان يتم حذف اسم بهسكارا ويشار إلى ذلك باسم الدليل الهندوسي ، المعروف جيدًا بين تلاميذ المدارس. ^[35]

ومع ذلك، كما يشير مؤرخ الرياضيات كيم بلوفكر، بعد تقديم مثال عملي، ينص بهسكارا الثاني على نظرية فيثاغورس:

ومن ثم، من أجل الاختصار، فإن الجذر التربيعي لمجموع مربعي الذراع والعمود هو الوتر: وهكذا يتم إثبات ذلك. ^[36]

ويتبع ذلك:

"وإلا فإذا وضع تلك الأجزاء من الصورة هناك [مجرد] رؤيتها [يكفي ذلك]. ^[36]"

ويشير بلوفكر إلى أن هذا البيان الإضافي قد يكون المصدر النهائي لأسطورة "انظر!" المنتشرة على نطاق واسع.

تم تسمية عدد من المعاهد والكليات في الهند باسمه، بما في ذلك بهسكاراتشاريا براتيشثانا في بوني، وكلية بهسكاراتشاريا للعلوم التطبيقية في دلهي، ومعهد بهسكاراتشاريا لتطبيقات الفضاء وعلوم المعلومات الجغرافية في غاندي ناجار.

في 20 نوفمبر 1981، أطلقت منظمة أبحاث الفضاء الهندية (ISRO) القمر الصناعي بهسكارا الثاني تكريمًا لعالم الرياضيات والفلك. ^[37]

أصدرت شركة Invis Multimedia فيلم Bhaskaracharya ، وهو فيلم وثائقي هندي قصير عن عالم الرياضيات في عام 2015. ^{[38] [39]}

• قائمة علماء الرياضيات الهنود
• كرسي العروس
• بيجابالافا

• بيرتون، ديفيد م. (2011)، تاريخ الرياضيات: مقدمة (الطبعة السابعة)، ماكجرو هيل، ISBN 978-0-07-338315-6
• إيفز، هوارد (1990)، مقدمة لتاريخ الرياضيات (الطبعة السادسة)، دار نشر سوندرز كوليدج، رقم ISBN 978-0-03-029558-4
• مازور، جوزيف (2005)، إقليدس في الغابة المطيرة ، بلوم، ISBN 978-0-452-28783-9
• ساركار، بينوي كومار (1918)، الإنجازات الهندوسية في العلوم الدقيقة: دراسة في تاريخ التطور العلمي ، لونجمانز، جرين وشركاه.
• سيل، السير براجيندراناث (1915)، العلوم الإيجابية للهندوس القدماء ، لونجمانز، جرين وشركاه.
• كولبروك، هنري ت. (1817)، الحساب والقياس لبراهميجوبتا وبهاسكارا
• وايت، لين تاونسند (1978)، "التبت والهند والمالايا كمصدر للتكنولوجيا الغربية في العصور الوسطى"، الدين والتكنولوجيا في العصور الوسطى: مقالات مجمعة، مطبعة جامعة كاليفورنيا، رقم ISBN 978-0-520-03566-9
• سيلين، هيلين ، محررة (2008)، "الأدوات الفلكية في الهند"، موسوعة تاريخ العلوم والتكنولوجيا والطب في الثقافات غير الغربية (الطبعة الثانية) ، دار سبرينغر للنشر، نيويورك، رقم ISBN 978-1-4020-4559-2
• شوكلا، كريبا شانكار (1984)، "استخدام حساب التفاضل والتكامل في الرياضيات الهندوسية"، المجلة الهندية لتاريخ العلوم ، 19 : 95-104
• بينجري، ديفيد إدوين (1970)، تعداد العلوم الدقيقة باللغة السنسكريتية، المجلد 146، الجمعية الفلسفية الأمريكية، رقم ISBN 9780871691460
• بلوفكر، كيم (2007)، "الرياضيات في الهند"، في كاتز، فيكتور جيه (محرر)، رياضيات مصر وبلاد ما بين النهرين والصين والهند والإسلام: كتاب مرجعي ، مطبعة جامعة برينستون، رقم ISBN 9780691114859
• بلوفكر، كيم (2009)، الرياضيات في الهند ، مطبعة جامعة برينستون، رقم ISBN 9780691120676
• كوك، روجر (1997)، "رياضيات الهندوس"، تاريخ الرياضيات: دورة مختصرة ، وايلي-إنترسايس، ص 213-215، ISBN 0-471-18082-3
• بولوز، كيه جي (1991)، كيه جي بولوز (محرر)، التراث العلمي للهند، الرياضيات ، رافيفارما سامسكريتا جرانثافالي، المجلد 22، كلية السنسكريتية الحكومية (تريبونيثورا، الهند)
• تشوبرا، بران ناث (1982)، الديانات والمجتمعات في الهند ، فيجن بوكس، رقم ISBN 978-0-85692-081-3
• جوناتيلاك، سوزانثا (1999)، نحو علم عالمي: استخراج المعرفة الحضارية ، مطبعة جامعة إنديانا، رقم ISBN 978-0-253-21182-8
• سيلين، هيلين ؛ دامبروسيو، أوبيراتان ، محرران (2001)، "الرياضيات عبر الثقافات: تاريخ الرياضيات غير الغربية"، العلوم عبر الثقافات ، 2 ، سبرينغر، رقم ISBN 978-1-4020-0260-1
• ستيلويل، جون (2002)، الرياضيات وتاريخها، نصوص جامعية في الرياضيات ، سبرينغر، ISBN 978-0-387-95336-6
• ساهني، مادو (2019)، علم أصول التدريس في الرياضيات، دار فيكاس للنشر، رقم ISBN 978-9353383275

• WW Rouse Ball. A Short Account of the History of Mathematics ، الطبعة الرابعة. منشورات دوفر، 1960.
• جورج جيفرجيز جوزيف. شعار الطاووس: الجذور غير الأوروبية للرياضيات ، الطبعة الثانية. دار نشر بنغوين ، 2000.
• أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند ف. ، "بهسكارا الثاني"، أرشيف تاريخ الرياضيات في ماكتوتور ، جامعة سانت أندروز جامعة سانت أندروز ، 2000.
• إيان بيرس. بهاسكاراتشاريا الثاني في أرشيف ماكتوتور. جامعة سانت أندروز، 2002.
• بينجري، ديفيد (1970-1980). "بهسكارا الثاني". قاموس السيرة العلمية . المجلد 2. نيويورك: أبناء تشارلز سكريبنر. ص 115-120. رقم ISBN 978-0-684-10114-9.

• سيرة 4to40