نظرية الأوتار المتقاطعة

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 9 صور
الموسوعة الحرة
|أS|⋅|Sج|=|بS|⋅|Sد|{\displaystyle |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|}
|أS|⋅|Sج|=|بS|⋅|Sد|=(ر+د)⋅(ر-د)=ر2-د2{\displaystyle {\begin{aligned}&|AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|\\={}&(r+d)\cdot (rd)=r^{2}-d^{2}\end{aligned}}}
△أSد∼△بSج{\displaystyle \triangle ASD\sim \triangle BSC}

في الهندسة الإقليدية ، تُعرف نظرية الأوتار المتقاطعة ، أو ببساطة نظرية الأوتار ، بأنها نصٌ يصف العلاقة بين القطع المستقيمة الأربعة الناتجة عن تقاطع وترين داخل دائرة . وتنص هذه النظرية على أن حاصل ضرب أطوال القطع المستقيمة على كل وتر متساوٍ. وهي القضية رقم 35 من الكتاب الثالث من كتاب الأصول لإقليدس .

وبشكل أدق، بالنسبة لوترين AC و BD يتقاطعان في نقطة S، فإن المعادلة التالية صحيحة: |أS|⋅|Sج|=|بS|⋅|Sد|{\displaystyle |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|}

والعكس صحيح أيضاً. أي: إذا تحققت المعادلة المذكورة أعلاه لقطعتين مستقيمتين AC وBD تتقاطعان في النقطة S، فإن نقاط نهايتهما الأربع A و B و C و D تقع على دائرة مشتركة . أو بعبارة أخرى ، إذا تقاطع قطرا الشكل الرباعي ABCD في النقطة S وحققا المعادلة المذكورة أعلاه، فإنه يكون شكلاً رباعياً دائرياً .

تعتمد قيمة حاصل ضرب الطرفين في نظرية الوتر فقط على بُعد نقطة التقاطع S من مركز الدائرة ، وتُسمى القيمة المطلقة لقوة S ؛ وبشكل أدق، يمكن القول إن: |أS|⋅|Sج|=|بS|⋅|Sد|=ر2-د2،{\displaystyle |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|=r^{2}-d^{2},} حيث r هو نصف قطر الدائرة، و d هي المسافة بين مركز الدائرة ونقطة التقاطع S. وتنتج هذه الخاصية مباشرة من تطبيق نظرية الوتر على وتر ثالث (قطر) يمر عبر S ومركز الدائرة M (انظر الرسم).

يمكن إثبات النظرية باستخدام المثلثات المتشابهة (عن طريق نظرية الزاوية المحيطية ). لننظر إلى زوايا المثلثين △ ASD و △ BSC : ∠أدS=∠بجS(الزوايا المحيطية فوق AB)∠دأS=∠جبS(زوايا محفورة على القرص المضغوط)∠أSد=∠بSج(الزوايا المتقابلة){\displaystyle {\begin{aligned}\angle ADS&=\angle BCS\,({\text{الزوايا المحيطية فوق AB}})\\\angle DAS&=\angle CBS\,({\text{الزوايا المحيطية فوق CD}})\\\angle ASD&=\angle BSC\,({\text{الزوايا المتقابلة}})\end{aligned}}} هذا يعني أن المثلثين △ ASD و △ BSC متشابهان، وبالتالي

أSSد=بSSج⇔|أS|⋅|Sج|=|بS|⋅|Sد|{\displaystyle {\frac {AS}{SD}}={\frac {BS}{SC}}\Leftrightarrow |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|}

إلى جانب نظرية المماس والقاطع ونظرية القواطع المتقاطعة ، تمثل نظرية الأوتار المتقاطعة إحدى الحالات الأساسية الثلاث لنظرية أكثر عمومية حول خطين متقاطعين ودائرة: نظرية قوة النقطة .

مراجع

  • بول غلايستر: نظرية الأوتار المتقاطعة: بعد 30 عامًا . الرياضيات في المدرسة، المجلد 36، العدد 1 (يناير 2007)، ص 22 ( JSTOR )
  • بروس شوير: استكشافات في الهندسة . دار النشر العالمية، 2010، رقم ISBN 9789813100947، ص 14
  • هانز شوب: الهندسة الأولية. شونينغ، بادربورن 1977، ISBN 3-506-99189-2، ص  149 (بالألمانية).
  • شولردودن - الرياضيات الأول . معهد الببليوغرافيا وFA بروكهاوس، 8. أوفلاج، مانهايم 2008، ISBN 978-3-411-04208-1، الصفحات  415-417 (بالألمانية)