وتر (هندسة)

الوتر (من الكلمة اللاتينية chorda ، والتي تعني " وتر القوس ") في الدائرة هو قطعة مستقيمة تقع كلتا نهايتيها على قوس دائري . إذا تم تمديد الوتر إلى ما لا نهاية في كلا الاتجاهين في خط مستقيم ، فإن الكائن هو خط قاطع . يسمى الخط العمودي الذي يمر عبر نقطة منتصف الوتر sagitta (كلمة لاتينية تعني "سهم").

بشكل عام، الوتر هو قطعة مستقيمة تصل بين نقطتين على أي منحنى ، على سبيل المثال، على شكل قطع ناقص . الوتر الذي يمر عبر نقطة مركز الدائرة هو قطر الدائرة .

ومن خصائص أوتار الدائرة ما يلي:

1. تكون الأوتار متساوية البعد عن المركز إذا وفقط إذا كانت أطوالها متساوية.
2. الأوتار المتساوية هي تلك التي تقابلها زوايا متساوية من مركز الدائرة.
3. يُطلق على الوتر الذي يمر عبر مركز الدائرة اسم القطر وهو أطول وتر في تلك الدائرة المحددة.
4. إذا تقاطعت امتدادات الخطوط (الخطوط القاطعة) للوترين AB وCD عند نقطة P، فإن أطوالهما تحقق AP·PB = CP·PD ( نظرية قوة النقطة ).

نقاط المنتصف لمجموعة من الأوتار المتوازية للمخروطي تكون متوازية ( نظرية نقطة المنتصف للمخروطيات ). ^[1]

استُخدمت الأوتار على نطاق واسع في التطور المبكر لعلم المثلثات . أول جدول مثلثي معروف، جمعه هيبارخوس في القرن الثاني قبل الميلاد، لم يعد موجودًا ولكنه سجل قيمة دالة الوتر لكل ⁠7+1/2⁠ درجات . في القرن الثاني الميلادي، جمع بطليموس جدولًا أكثر شمولاً للأوتار في كتابه عن علم الفلك ، حيث أعطى قيمة الوتر للزوايا التي تتراوح من ⁠1/2إلى 180 درجة بزيادات قدرها1/2⁠ درجة. استخدم بطليموس دائرة قطرها 120، وأعطى أطوال وتر دقيقة إلى رقمين ستينيين (القاعدة ستين) بعد الجزء الصحيح. ^[2]

يتم تعريف دالة الوتر هندسيًا كما هو موضح في الصورة. وتر الزاوية هو طول الوتر بين نقطتين على دائرة الوحدة مفصولة بتلك الزاوية المركزية . تؤخذ الزاوية θ بالمعنى الموجب ويجب أن تقع في الفاصل 0 < θ ≤ π (قياس راديان). يمكن ربط دالة الوتر بدالة الجيب الحديثة ، بأخذ إحدى النقطتين لتكون (1,0)، والنقطة الأخرى لتكون ( cos θ ، sin θ )، ثم استخدام نظرية فيثاغورس لحساب طول الوتر: ^[2]

${\displaystyle \operatorname {crd} \ \theta ={\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}+\sin ^{2}\theta }}={\sqrt {2-2\cos \theta }}=2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right).}$ ^[3]

تستخدم الخطوة الأخيرة صيغة نصف الزاوية . وكما أن علم المثلثات الحديث مبني على دالة الجيب، فإن علم المثلثات القديم مبني على دالة الوتر. ويقال إن هيبارخوس كتب عملاً من اثني عشر مجلداً عن الأوتار، وقد ضاعت جميعها الآن، لذا فمن المفترض أن الكثير كان معروفًا عنها. في الجدول أدناه (حيث c هو طول الوتر، و D هو قطر الدائرة) يمكن إظهار دالة الوتر لإرضاء العديد من الهويات المشابهة للهويات الحديثة المعروفة:

اسم	على أساس الجيب	مبني على الوتر
فيثاغورس	${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,}$	${\displaystyle \operatorname {crd} ^{2}\theta +\operatorname {crd} ^{2}(\pi -\theta )=4\,}$
نصف الزاوية	${\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\,}$	${\displaystyle \operatorname {crd} \ {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {2-\operatorname {crd} (\pi -\theta )}}\,}$
أبوثيم ( أ )	${\displaystyle c=2\sqrt {r^{2}-a^{2}}}}$	${\displaystyle c={\sqrt {D^{2}-4a^{2}}}}$
الزاوية ( θ )	${\displaystyle c=2r\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}$	${\displaystyle c={\frac {D}{2}}\operatorname {crd} \ \theta }$

توجد أيضًا الدالة العكسية: ^[4]

${\displaystyle \theta =2\arcsin {\frac {c}{2r}}}$

• القطعة الدائرية - هي الجزء المتبقي من القطاع بعد إزالة المثلث الذي يتكون من مركز الدائرة ونقطتي النهاية للقوس الدائري على الحدود.
• مقياس الأوتار
• جدول بطليموس للأوتار
• نظرية هولديتش ، لوتر يدور في منحنى مغلق محدب
• الرسم البياني الدائري
• المفصول والمفصول
• فيرسين وهافرسين - ( )${\displaystyle \operatorname {crd} \theta =2{\sqrt {\operatorname {haversin} \theta }}}$
• منحنى زيندلر (منحنى مغلق وبسيط حيث تكون جميع الأوتار التي تقسم طول القوس إلى نصفين لها نفس الطول)
• مفارقة برتراند (الاحتمالية) مفارقة متوسط ​​طول الوتر

• لمحة عن تاريخ علم المثلثات
• الدوال المثلثية أرشيف 2017-03-10 على موقع Wayback Machine ، مع التركيز على التاريخ
• وتر (دائرة) مع رسوم متحركة تفاعلية