قطري

في الهندسة ، القطر هو قطعة مستقيمة تصل بين رأسين لمضلع أو متعدد السطوح ، عندما لا تكون هذه الرؤوس على نفس الحافة . ​​بشكل غير رسمي، يُطلق على أي خط مائل اسم قطري. اشتُقت كلمة قطري من الكلمة اليونانية القديمة διαγώνιος diagonios ، ^[1] "من الزاوية إلى الزاوية" (من διά- dia- ، "من خلال"، "عبر" وγωνία gonia ، "زاوية"، مرتبطة بـ gony "ركبة")؛ وقد استخدمها كل من سترابو ^[2] وإقليدس ^[3] للإشارة إلى خط يربط بين رأسين من المعين أو المكعب ، ^[4] وتم تبنيها لاحقًا في اللاتينية باسم diagonus ("خط مائل").

عند تطبيقه على المضلع ، يكون القطر عبارة عن قطعة مستقيمة تصل بين رأسين غير متتاليين. لذلك، يحتوي الشكل الرباعي على قطرين يصلان بين أزواج متقابلة من الرؤوس. بالنسبة لأي مضلع محدب ، تكون جميع الأقطار داخل المضلع، ولكن بالنسبة للمضلعات التي يمكن إعادة دخولها ، تكون بعض الأقطار خارج المضلع.

أي مضلع ذو n ضلع ( n ≥ 3)، محدب أو مقعر ، له إجمالي أقطار، حيث أن كل رأس له أقطار لجميع الرؤوس الأخرى باستثناء نفسه والرأسين المجاورين له، أو n  − 3 أقطار، وكل قطر مشترك بين رأسين. ${\displaystyle {\tfrac {n(n-3)}{2}}}$

بشكل عام، يحتوي المضلع المنتظم المكون من n ضلع على أقطار مميزة في الطول، والتي تتبع النمط 1،1،2،2،3،3... بدءًا من المربع. ${\displaystyle \lfloor {\frac {n-2}{2}}\rfloor }$

الجوانب قطري 3 0 4 2 5 5 6 9 7 14 8 20 9 27 10 35

الجوانب قطري 11 44 12 54 13 65 14 77 15 90 16 104 17 119 18 135

الجوانب قطري 19 152 20 170 21 189 22 209 23 230 24 252 25 275 26 299

الجوانب قطري 27 324 28 350 29 377 30 405 31 434 32 464 33 495 34 527

الجوانب قطري 35 560 36 594 37 629 38 665 39 702 40 740 41 779 42 819

في مضلع محدب ، إذا لم يكن هناك ثلاثة أقطار متزامنة في نقطة واحدة في الداخل، فإن عدد المناطق التي تقسم الأقطار الداخل إليها يُعطى بواسطة ^[5]

${\displaystyle {\binom {n}{4}}+{\binom {n-1}{2}}={\frac {(n-1)(n-2)(n^{2}-3n+12)}{24}}.}$

بالنسبة لـ n -gons مع n = 3، 4، ... فإن عدد المناطق هو

1، 4، 11، 25، 50، 91، 154، 246...

هذا هو تسلسل OEIS A006522. ^[6]

إذا لم يكن هناك ثلاثة أقطار لمضلع محدب متزامنة عند نقطة في الداخل، فإن عدد التقاطعات الداخلية للأقطار يُعطى بواسطة . ^{[7] [8]} وهذا ينطبق، على سبيل المثال، على أي مضلع منتظم بعدد فردي من الأضلاع. تتبع الصيغة من حقيقة أن كل تقاطع يتم تحديده بشكل فريد من خلال النقاط النهائية الأربع للقطرين المتقاطعين: وبالتالي فإن عدد التقاطعات هو عدد مجموعات الرؤوس n أربعة في كل مرة. ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{4}}}$

على الرغم من أن عدد الأقطار المميزة في المضلع يتزايد مع زيادة عدد أضلاعه، إلا أنه من الممكن حساب طول أي قطر.

في مضلع منتظم مكون من n ضلع وطول ضلعه a ، يكون طول أقصر قطر مميز x هو:

${\displaystyle \sin({\frac {\pi (x+1)}{n}})\csc({\frac {\pi }{n}})*a}$

توضح هذه الصيغة أنه مع اقتراب عدد الأضلاع من اللانهاية، يقترب أقصر قطر x من الطول (x+1)a . بالإضافة إلى ذلك، يتم تبسيط صيغة أقصر قطر في حالة x = 1:

${\displaystyle \sin({\frac {2\pi }{n}})\csc({\frac {\pi }{n}})*a=2\cos({\frac {\pi }{n}})*a}$

إذا كان عدد الأضلاع زوجيًا، فسيكون أطول قطر معادلًا لقطر الدائرة المحيطة بالمضلع لأن الأقطار الطويلة تتقاطع جميعها مع بعضها البعض في مركز المضلع.

تشمل الحالات الخاصة ما يلي:

يحتوي المربع على قطرين متساويين في الطول ، يتقاطعان في مركز المربع. نسبة القطر إلى الضلع هي${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.414.}$

يحتوي الشكل الخماسي المنتظم على خمسة أقطار متساوية الطول. نسبة القطر إلى الضلع هي النسبة الذهبية ،${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618.}$

يحتوي السداسي المنتظم على تسعة أقطار: الأقطار الستة الأقصر متساوية في الطول؛ والأقطار الثلاثة الأطول متساوية في الطول وتتقاطع مع بعضها البعض في مركز السداسي. نسبة القطر الطويل إلى الضلع هي 2، ونسبة القطر القصير إلى الضلع هي . ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

يحتوي الشكل السباعي المنتظم على 14 قطرًا. الأقطار السبعة الأقصر متساوية مع بعضها البعض، والأقطار السبعة الأطول متساوية مع بعضها البعض. مقلوب الضلع يساوي مجموع مقلوبات القطر القصير والقطر الطويل.

قد يحتوي متعدد السطوح ( جسم صلب في فضاء ثلاثي الأبعاد ، محاط بأوجه ثنائية الأبعاد ) على نوعين مختلفين من الأقطار: أقطار وجهية على الوجوه المختلفة، تربط بين الرؤوس غير المتجاورة على نفس الوجه؛ وأقطار فضائية، تقع بالكامل داخل متعدد السطوح (باستثناء النقاط النهائية على الرؤوس).

يمكن حساب أطوال أقطار المكعب الفائق ذي الأبعاد n بالاستقراء الرياضي . أطول قطر لمكعب ذي أبعاد n هو . بالإضافة إلى ذلك، هناك من أقصر قطر x . على سبيل المثال، سيكون للمكعب ذي الخمسة أبعاد الأقطار التالية: ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$${\displaystyle 2^{n-1}{\binom {n}{x+1}}}$

الطول القطري عدد الأقطار ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 160 ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ 160 2 80 ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ 16

يبلغ إجمالي عدد أقطاره 416. بشكل عام، يحتوي المكعب n على إجمالي عدد الأقطار. يتبع هذا الشكل الأكثر عمومية الذي يصف العدد الإجمالي لأقطار الوجه والفضاء في متعددات السطوح المحدبة. ^[9] هنا، يمثل v عدد الرؤوس ويمثل e عدد الحواف. ${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-n-1)}$${\displaystyle {\frac {v(v-1)}{2}}-e}$

بالقياس، تسمى المجموعة الجزئية من حاصل الضرب الديكارتي X × X لأي مجموعة X مع نفسها، والتي تتكون من جميع الأزواج (x,x)، بالقطر، وهي الرسم البياني لعلاقة المساواة على X أو ما يعادله الرسم البياني لدالة الهوية من X إلى X. يلعب هذا دورًا مهمًا في الهندسة؛ على سبيل المثال، يمكن الحصول على النقاط الثابتة لتعيين F من X إلى نفسها عن طريق تقاطع الرسم البياني لـ F مع القطر.

في الدراسات الهندسية، فكرة تقاطع القطر مع نفسه شائعة، ليس بشكل مباشر، ولكن عن طريق إزعاجه داخل فئة التكافؤ . يرتبط هذا على مستوى عميق بخاصية أويلر وأصفار حقول المتجهات . على سبيل المثال، تحتوي الدائرة S ^{1 على} أرقام بيتي 1، 1، 0، 0، 0، وبالتالي خاصية أويلر 0. إحدى الطرق الهندسية للتعبير عن هذا هي النظر إلى القطر على الطورين S 1 ^xS 1 ^{وملاحظة} أنه يمكن أن يتحرك بعيدًا عن نفسه بالحركة الصغيرة (θ، θ) إلى (θ، θ + ε). بشكل عام، يمكن حساب رقم تقاطع رسم بياني لدالة مع القطر باستخدام التماثل عبر نظرية النقطة الثابتة ليفشيتز ؛ التقاطع الذاتي للقطر هو الحالة الخاصة للدالة المتطابقة.

• أقطار المضلع مع الرسوم المتحركة التفاعلية
• مضلع قطري من MathWorld .