التحديد (المنطقي)

يُعدّ التحديد منطقًا غير رتيب ابتكره جون مكارثي لصياغة الافتراض البديهي بأنّ الأمور تسير كما هو متوقع ما لم يُنصّ على خلاف ذلك. ^{[ 1 ] [ 2 ]} وقد استخدم مكارثي التحديد لاحقًا في محاولة لحلّ مشكلة الإطار . ولتطبيق التحديد في صيغته الأولية، قام مكارثي بتوسيع منطق الرتبة الأولى للسماح بتقليل امتداد بعض المسندات، حيث يُمثّل امتداد المسند مجموعة أزواج القيم التي يكون المسند صحيحًا عندها. ويُشبه هذا التقليل افتراض العالم المغلق القائل بأنّ ما ليس معروفًا بصحته فهو خاطئ. ^{[ 3 ]}

كانت المشكلة الأصلية التي تناولها مكارثي هي مشكلة المبشرين وآكلي لحوم البشر : ثلاثة مبشرين وثلاثة من آكلي لحوم البشر على ضفة نهر واحدة؛ عليهم عبور النهر بقارب لا يتسع إلا لشخصين، مع شرط إضافي ألا يتجاوز عدد آكلي لحوم البشر عدد المبشرين على أي من الضفتين (وإلا سيُقتل المبشرون، ويُفترض أنهم سيؤكلون). لم تكن المشكلة التي تناولها مكارثي هي إيجاد سلسلة من الخطوات للوصول إلى الهدف (تحتوي المقالة المتعلقة بمشكلة المبشرين وآكلي لحوم البشر على أحد هذه الحلول)، بل كانت بالأحرى استبعاد الشروط غير المذكورة صراحةً. على سبيل المثال، الحل "الذهاب نصف ميل جنوبًا وعبور النهر على الجسر" غير صحيح بديهيًا لأن نص المشكلة لا يذكر مثل هذا الجسر. من ناحية أخرى، فإن وجود هذا الجسر غير مستبعد في نص المشكلة أيضًا. إن عدم وجود الجسر هو نتيجة للافتراض الضمني بأن نص المشكلة يحتوي على كل ما يتعلق بحلها. إن القول صراحةً بأن الجسر غير موجود ليس حلاً لهذه المشكلة، حيث توجد العديد من الظروف الاستثنائية الأخرى التي يجب استبعادها (مثل وجود حبل لتقييد آكلي لحوم البشر، ووجود قارب أكبر في مكان قريب، وما إلى ذلك).

استخدم مكارثي لاحقًا مفهوم التحديد لإضفاء الطابع الرسمي على الافتراض الضمني للجمود : فالأشياء لا تتغير إلا إذا نُصَّ على خلاف ذلك. بدا التحديد مفيدًا لتجنب تحديد أن الشروط لا تتغير بفعل جميع الأفعال باستثناء تلك المعروفة صراحةً بتغييرها؛ وهذا ما يُعرف بمشكلة الإطار . مع ذلك، تبيّن لاحقًا أن الحل الذي اقترحه مكارثي يؤدي إلى نتائج خاطئة في بعض الحالات، كما في سيناريو مشكلة إطلاق النار في جامعة ييل . توجد حلول أخرى لمشكلة الإطار تُضفي الطابع الرسمي الصحيح على مشكلة إطلاق النار في جامعة ييل؛ بعضها يستخدم التحديد ولكن بطريقة مختلفة.

بينما تم تعريف التحديد في البداية في حالة منطق الرتبة الأولى، فإن التخصيص لحالة القضايا أسهل في التعريف. ^{[ 4 ]} بالنظر إلى صيغة قضايا${\displaystyle T}$، وحدودها هي الصيغة التي تحتوي فقط على نماذج من${\displaystyle T}$التي لا تُسند قيمة لمتغير إلى القيمة "صحيح" إلا عند الضرورة.

بصورة رسمية، يمكن تمثيل النماذج الافتراضية بمجموعات من المتغيرات الافتراضية ؛ أي أن كل نموذج يُمثَّل بمجموعة المتغيرات الافتراضية التي يُسند إليها القيمة "صحيح". على سبيل المثال، النموذج الذي يُسند القيمة "صحيح" إلى${\displaystyle a}$، خطأ لـ${\displaystyle b}$وصادقة لـ${\displaystyle c}$يتم تمثيلها بواسطة المجموعة${\displaystyle \{a,c\}}$، لأن${\displaystyle a}$و${\displaystyle c}$هي بالضبط المتغيرات التي يتم تعيينها إلى القيمة "صحيح" بواسطة هذا النموذج.

بافتراض وجود نموذجين${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$بهذه الطريقة، يتم تمثيل الحالة${\displaystyle N\subseteq M}$يعادل${\displaystyle M}$ضبط كل متغير على القيمة "صحيح"${\displaystyle N}$يتم تعيينها إلى صحيح. بعبارة أخرى،${\displaystyle \subseteq }$يُمثل هذا النموذج العلاقة بين "تعيين القيمة إلى صحيح مع تقليل عدد المتغيرات".${\displaystyle N\subset M}$هذا يعني أن${\displaystyle N\subseteq M}$لكن هذين النموذجين لا يتطابقان.

يُمكّننا هذا من تعريف نماذج لا تُسند قيمًا صحيحة للمتغيرات إلا عند الضرورة. نموذج${\displaystyle M}$نظرية​${\displaystyle T}$يُطلق عليه اسم الحد الأدنى ، إذا وفقط إذا لم يكن هناك نموذج ${\displaystyle N}$ل${\displaystyle T}$والتي${\displaystyle N\subset M}$.

يتم التعبير عن التحديد باختيار النماذج الدنيا فقط. ويُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle CIRC(T)=\{M~|~M{\mbox{ هو نموذج مصغر لـ }}T\}}$

أو يمكن تعريف${\displaystyle CIRC(T)}$كصيغة تحتوي على مجموعة النماذج المذكورة أعلاه تحديدًا؛ علاوة على ذلك، يمكن أيضًا تجنب تقديم تعريف لـ${\displaystyle CIRC}$واقتصر على تعريف الاستدلال الأدنى على${\displaystyle T\models _{M}Q}$إذا وفقط إذا كان كل نموذج مصغر من${\displaystyle T}$وهو أيضاً نموذج لـ${\displaystyle Q}$.

على سبيل المثال، الصيغة${\displaystyle T=a\land (b\lor c)}$يحتوي على ثلاثة نماذج:

1. ${\displaystyle a}$،${\displaystyle b}$،${\displaystyle c}$صحيح، أي${\displaystyle \{a,b,c\}}$؛
2. ${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$صحيح،${\displaystyle c}$هذا خطأ، أي${\displaystyle \{a,b\}}$؛
3. ${\displaystyle a}$و${\displaystyle c}$صحيح،${\displaystyle b}$هذا خطأ، أي${\displaystyle \{a,c\}}$.

النموذج الأول ليس نموذجًا بسيطًا في مجموعة المتغيرات التي يُسند إليها القيمة "صحيح". في الواقع، يُجري النموذج الثاني نفس الإسنادات باستثناء${\displaystyle c}$، وهو ما يُسند إلى خطأ وليس إلى صواب. لذلك، فإن النموذج الأول ليس نموذجًا أدنى. أما النموذجان الثاني والثالث فهما غير قابلين للمقارنة: فبينما يُسند النموذج الثاني صوابًا إلى${\displaystyle b}$أما الثالث فيُسند القيمة "صحيح" إلى${\displaystyle c}$بدلاً من ذلك. لذلك، فإن النماذج التي تحدد${\displaystyle T}$يمثل النموذجان الثاني والثالث في القائمة. الصيغة المنطقية التي تحتوي على هذين النموذجين تحديدًا هي الصيغة التالية:

${\displaystyle a\land \neg (b\leftrightarrow c)}$

بشكل بديهي، في التحديد، تُسند قيمة "صحيح" لمتغير ما فقط عند الضرورة. وبالمثل، إذا كان من الممكن أن تكون قيمة متغير ما "خطأ"، فيجب أن تكون "خطأ". على سبيل المثال، يجب أن يكون واحد على الأقل من${\displaystyle b}$و${\displaystyle c}$يجب تعيين القيمة إلى صحيح وفقًا لـ${\displaystyle T}$في هذا السياق، يجب أن يكون أحد المتغيرين صحيحًا. المتغير${\displaystyle a}$لا يمكن أن يكون خاطئًا في أي نموذج من${\displaystyle T}$ولا أي من التحديدين.

يعود الفضل في توسيع مفهوم التحديد باستخدام المسندات الثابتة والمتغيرة إلى فلاديمير ليفشيتز . ^{[ 5 ]} وتتلخص الفكرة في أنه لا ينبغي تقليل بعض الشروط. وبعبارة أخرى، لا ينبغي دحض بعض المتغيرات إن أمكن. وعلى وجه الخصوص، يمكن النظر في نوعين من المتغيرات:

متفاوت

هذه متغيرات لا ينبغي أخذها في الاعتبار على الإطلاق أثناء عملية التقليل؛

مُثَبَّت

هذه متغيرات تعتبر ثابتة أثناء إجراء عملية التقليل؛ بمعنى آخر، لا يمكن إجراء التقليل إلا من خلال مقارنة النماذج التي لها نفس قيم هذه المتغيرات.

يكمن الاختلاف في أن قيمة الشروط المتغيرة تُفترض ببساطة أنها غير مهمة. أما الشروط الثابتة فتصف حالة محتملة، لذا فإن مقارنة حالتين تختلف فيهما قيمة هذه الشروط لا معنى لها.

بصورة رسمية، يكون امتداد التحديد الذي يشمل المتغيرات المتغيرة والثابتة كما يلي، حيث${\displaystyle P}$هي مجموعة المتغيرات المراد تقليلها،${\displaystyle Z}$المتغيرات الثابتة، والمتغيرات المتغيرة هي تلك التي ليست في${\displaystyle P\cup Z}$:

${\displaystyle {\text{CIRC}}(T;P,Z)=\{M~|~M\models T{\text{ و }}\not \exists N{\text{ بحيث }}N\models T,~N\cap P\subset M\cap P{\text{ و }}N\cap Z=M\cap Z\}}$

بعبارة أخرى، يتم تقليل قيم المتغيرات المخصصة للقيمة "صحيح" فقط للمتغيرات الموجودة في${\displaystyle P}$علاوة على ذلك، لا تتم مقارنة النماذج إلا إذا كانت تُسند نفس القيم لمتغيرات${\displaystyle Z}$لا يتم أخذ جميع المتغيرات الأخرى في الاعتبار عند مقارنة النماذج.

يعتمد حل مشكلة الإطار الذي اقترحه مكارثي على التحديد دون شروط ثابتة. في الحالة الافتراضية، يمكن وصف هذا الحل كما يلي: بالإضافة إلى الصيغ التي تُشفّر مباشرةً ما هو معروف، يتم أيضًا تعريف متغيرات جديدة تُمثل التغيرات في قيم الشروط؛ ثم يتم تقليل هذه المتغيرات الجديدة.

على سبيل المثال، بالنسبة للمجال الذي يوجد فيه باب مغلق عند الزمن 0 والذي يتم فيه تنفيذ فعل فتح الباب عند الزمن 2، فإن ما هو معروف بشكل صريح يتم تمثيله بالصيغتين التاليتين:

${\displaystyle \neg {\text{open}}_{0}}$

${\displaystyle {\text{true}}\rightarrow {\text{open}}_{2}}$

تظهر مشكلة الإطار في هذا المثال على أنها المشكلة التي${\displaystyle \neg open_{1}}$لا يُعدّ هذا نتيجةً للصيغ المذكورة أعلاه، بينما من المفترض أن يبقى الباب مغلقًا حتى يتم فتحه. ويمكن استخدام التحديد لتحقيق هذا الهدف من خلال تعريف متغيرات جديدة.${\displaystyle change\_open_{t}}$لنمذجة التغييرات ثم تقليلها إلى الحد الأدنى:

${\displaystyle {\text{change open}}_{0}\equiv ({\text{open}}_{0}\not \equiv {\text{open}}_{1})}$

${\displaystyle {\text{change open}}_{1}\equiv ({\text{open}}_{1}\not \equiv {\text{open}}_{2})}$

...

كما يتضح من مشكلة إطلاق النار في جامعة ييل ، فإن هذا النوع من الحلول لا ينجح. على سبيل المثال،${\displaystyle \neg {\text{open}}_{1}}$لم يتم استنباط ذلك بعد من خلال تحديد الصيغ أعلاه: النموذج الذي فيه${\displaystyle {\text{change open}}_{0}}$صحيح و${\displaystyle {\text{تغيير الفتح}}_{1}}$إن الافتراض الخاطئ لا يمكن مقارنته بالنموذج ذي القيم المعاكسة. لذلك، فإن الحالة التي يُفتح فيها الباب عند الزمن 1 ثم يبقى مفتوحًا نتيجةً للفعل لا تُستبعد بالتقييد.

تم تطوير العديد من الصيغ الرسمية الأخرى للمجالات الديناميكية التي لا تعاني من هذه المشاكل (انظر مشكلة الإطار للاطلاع على نظرة عامة). يستخدم الكثير منها التقييد ولكن بطريقة مختلفة.

يُعنى التعريف الأصلي للتقييد الذي اقترحه مكارثي بمنطق الرتبة الأولى. في منطق الرتبة الأولى، تؤدي المسندات دور المتغيرات في منطق القضايا (أي ما يمكن أن يكون صحيحًا أو خاطئًا). بمعنى آخر، يمكن التعبير عن صيغة قضية في منطق الرتبة الأولى باستبدال كل متغير قضية بمسند ذي رتبة صفرية (أي مسند بدون وسائط). لذا، يتم تقليل عدد الوسائط في نسخة التقييد من منطق الرتبة الأولى: يتم الحصول على تقييد الصيغة بجعل المسندات خاطئة كلما أمكن ذلك. ^{[ 6 ]}

بافتراض صيغة منطقية من الدرجة الأولى${\displaystyle T}$يحتوي على مسند${\displaystyle P}$إن تحديد هذا المسند يعني اختيار نماذج فقط من${\displaystyle T}$في أي${\displaystyle P}$يتم تعيين القيمة إلى "صحيح" على مجموعة صغيرة من أزواج القيم.

بصورة رسمية، يُعرَّف امتداد المسند في نموذج الرتبة الأولى بأنه مجموعة أزواج القيم التي يُسندها هذا المسند إلى القيمة "صحيح" في النموذج. تتضمن نماذج الرتبة الأولى بالفعل تقييم كل رمز من رموز المسند؛ حيث يُحدد هذا التقييم ما إذا كان المسند صحيحًا أم خاطئًا لأي قيمة ممكنة من قيم وسيطاته. ^{[ 7 ]} وبما أن كل وسيط من وسائط المسند يجب أن يكون حدًا، وكل حد يُقيَّم إلى قيمة، فإن النموذج يُحدد ما إذا كان${\displaystyle P(v_{1},\ldots ,v_{n})}$ينطبق هذا على أي مجموعة قيم ممكنة${\displaystyle \langle v_{1},\ldots ,v_{n}\rangle }$امتداد${\displaystyle P}$في النموذج، تكون مجموعة أزواج الحدود بحيث${\displaystyle P(v_{1},\ldots ,v_{n})}$هذا صحيح في النموذج.

تحديد نطاق المسند${\displaystyle P}$في صيغة${\displaystyle T}$يتم الحصول على ذلك عن طريق اختيار نماذج فقط من${\displaystyle T}$مع امتداد طفيف لـ${\displaystyle P}$على سبيل المثال، إذا كانت الصيغة تحتوي على نموذجين فقط، يختلفان فقط بسبب${\displaystyle P(v_{1},\ldots ,v_{n})}$إذا كانت إحدى المعادلتين صحيحة والأخرى خاطئة، فسيتم اختيار النموذج الثاني فقط. وذلك لأن${\displaystyle \langle v_{1},\ldots ,v_{n}\rangle }$يقع في امتداد${\displaystyle P}$في النموذج الأول ولكن ليس في النموذج الثاني.

كان التعريف الأصلي الذي وضعه مكارثي تعريفًا نحويًا وليس دلاليًا. بالنظر إلى صيغة${\displaystyle T}$ومسند${\displaystyle P}$، تحديد${\displaystyle P}$في${\displaystyle T}$الصيغة التالية من الدرجة الثانية:

${\displaystyle T(P)\wedge \forall p\neg (T(p)\wedge p<P)}$

في هذه الصيغة${\displaystyle p}$هو محمول من نفس رتبة المعاملات مثل${\displaystyle P}$هذه صيغة من الدرجة الثانية لأنها تحتوي على تحديد كمي لمسند. الصيغة الفرعية${\displaystyle p<P}$هو اختصار لـ:

${\displaystyle \forall x(p(x)\rightarrow P(x))\wedge \neg \forall x(P(x)\rightarrow p(x))}$

في هذه الصيغة،${\displaystyle x}$هي مجموعة من n عنصر، حيث n هو عدد العناصر.${\displaystyle P}$تنص هذه الصيغة على أنه يجب إجراء تقليل الامتداد: من أجل تقييم الصدق على${\displaystyle P}$بالنسبة للنموذج قيد الدراسة، يجب ألا يكون هناك أي مسند آخر${\displaystyle p}$يمكن تعيين قيمة خاطئة لكل مجموعة بيانات${\displaystyle P}$يُسند إلى خطأ ومع ذلك يكون مختلفًا عن${\displaystyle P}$.

لا يسمح هذا التعريف إلا بتحديد محمول واحد. في حين أن التوسع ليشمل أكثر من محمول أمرٌ بسيط، فإن تقليل امتداد محمول واحد له تطبيق مهم: وهو تجسيد فكرة أن الأمور عادةً ما تكون كما هو متوقع. يمكن صياغة هذه الفكرة رسميًا بتقليل محمول واحد يعبر عن شذوذ المواقف. على وجه الخصوص، يتم التعبير عن كل حقيقة معروفة منطقيًا بإضافة حرف.${\displaystyle \neg غير طبيعي(...)}$ينص هذا على أن الحقيقة لا تصح إلا في الحالات العادية. ويسمح تقليل نطاق هذا المسند بالاستدلال بافتراض ضمني أن الأمور تسير كما هو متوقع (أي أنها ليست غير طبيعية)، وأن هذا الافتراض لا يُفترض إلا إذا كان ذلك ممكناً (لا يمكن افتراض عدم الطبيعية إلا إذا كان ذلك متسقاً مع الحقائق).

التحديد النقطي هو شكل من أشكال التحديد من الدرجة الأولى، وقد قدمه فلاديمير ليفشيتز . ^{[ 8 ]} ويكمن أساس التحديد النقطي في أنه يقلل قيمة المسند لكل مجموعة من القيم على حدة، بدلاً من تقليل امتداد المسند. على سبيل المثال، هناك نموذجان لـ${\displaystyle P(a)\equiv P(b)}$مع النطاق${\displaystyle \{a,b\}}$إعداد واحد${\displaystyle P(a)=P(b)=false}$والإعداد الآخر${\displaystyle P(a)=P(b)=true}$منذ امتداد${\displaystyle P}$النموذج الأول هو${\displaystyle \emptyset }$أما الامتداد للثاني فهو${\displaystyle \{a,b\}}$يقتصر التحديد على اختيار النموذج الأول فقط. في الحالة الافتراضية، يتطابق التحديد النقطي والتحديد المسند.

في التحديد النقطي، تُؤخذ كل مجموعة من القيم في الاعتبار بشكل منفصل. على سبيل المثال، في الصيغة${\displaystyle P(a)\equiv P(b)}$ينبغي للمرء أن ينظر في قيمة${\displaystyle P(a)}$بشكل منفصل عن${\displaystyle P(b)}$يكون النموذج بسيطًا فقط إذا لم يكن من الممكن تغيير أي قيمة من صحيحة إلى خاطئة مع الحفاظ على استيفاء الصيغة. ونتيجة لذلك، فإن النموذج الذي${\displaystyle P(a)=P(b)=true}$يتم اختيارها عن طريق التحديد النقطي لأن الدوران فقط${\displaystyle P(a)}$لا يحقق التحويل إلى خطأ الصيغة، وينطبق الشيء نفسه على${\displaystyle P(b)}$.

تعتمد صياغة سابقة لمفهوم التحديد، وضعها مكارثي، على تقليل نطاق نماذج الرتبة الأولى، بدلاً من توسيع نطاق المسندات. بمعنى آخر، يُعتبر نموذج ما أصغر من نموذج آخر إذا كان نطاقه أصغر، وتطابق النموذجان في تقييم القيم المشتركة. ويمكن اختزال هذه الصيغة من التحديد إلى تحديد المسندات.

كان تحديد نطاق الصيغة شكلاً شكلياً لاحقاً قدمه مكارثي. وهو تعميم لتحديد النطاق حيث يتم تقليل امتداد الصيغة، بدلاً من امتداد المسند. بعبارة أخرى، يمكن تحديد الصيغة بحيث تكون مجموعة قيم المجال التي تحقق الصيغة أصغر ما يمكن.

لا يُعالج التحديد دائمًا المعلومات المنفصلة بشكل صحيح. قدّم راي رايتر المثال التالي: تُرمى عملة معدنية فوق رقعة شطرنج، والنتيجة هي أن العملة إما على منطقة سوداء، أو على منطقة بيضاء، أو كليهما. ومع ذلك، هناك عدد كبير من الأماكن الأخرى المحتملة التي لا يُفترض أن تكون العملة عليها؛ على سبيل المثال، من البديهي أن العملة ليست على الأرض، أو على الثلاجة، أو على سطح القمر. لذلك، يمكن استخدام التحديد لتقليل امتداد${\displaystyle On}$المسند، بحيث${\displaystyle On({\text{coin}},{\text{moon}})}$هذا غير صحيح حتى لو لم يُذكر ذلك صراحةً.

من ناحية أخرى، فإن تقليل${\displaystyle On}$يؤدي الشرط إلى نتيجة خاطئة مفادها أن العملة إما على منطقة سوداء أو على منطقة بيضاء، ولكن ليس كليهما . وذلك لأن النماذج التي${\displaystyle On}$هذا صحيح فقط في${\displaystyle ({\text{coin}},{\text{white area}})}$وفقط على${\displaystyle ({\text{coin}},{\text{black area}})}$يجب أن يكون لها حد أدنى من الامتداد${\displaystyle On}$، بينما النموذج الذي يمتد فيه${\displaystyle On}$لا يُعدّ تكوين كلا الزوجين أمراً بسيطاً.

يُعدّ تقييد النظرية حلاً اقترحه توماس إيتر ، وجورج جوتلوب ، ويوري جوريفيتش . ^{[ 9 ]} وتتلخص الفكرة في أن النموذج الذي يفشل التحديد في اختياره، هو النموذج الذي فيه كل من${\displaystyle On({\text{coin}},{\text{white area}})}$و${\displaystyle On({\text{coin}},{\text{black area}})}$صحيح، هو نموذج للصيغة أكبر (بالنسبة لامتداد${\displaystyle On}$) من كلا النموذجين المُختارين. وبشكلٍ أدق، من بين نماذج الصيغة، يكون النموذج المُستبعد هو الحد الأدنى الأعلى للنموذجين المُختارين. يختار تقييد النظرية نماذج الحد الأدنى الأعلى هذه بالإضافة إلى تلك المُختارة عن طريق التحديد. ويستمر هذا الإدراج حتى تُصبح مجموعة النماذج مُغلقة، بمعنى أنها تشمل جميع الحدود الدنيا العليا لجميع مجموعات النماذج التي تحتويها.

• الاستدلال القابل للدحض – الاستدلال الذي يكون مقنعًا من الناحية العقلانية، وإن لم يكن صحيحًا من الناحية الاستنتاجية. 
• الاستقطاع التفضيلي

• التحديد – شكل من أشكال الاستدلال غير الرتيب ، ورقة بحثية لماكارثي.
• شرح في موسوعة ستانفورد للفلسفة