معادلة كليرو

في التحليل الرياضي ، معادلة كليروت (أو معادلة كليروت ) هي معادلة تفاضلية على الصورة التالية:

${\displaystyle y(x)=x{\frac {dy}{dx}}+f\left({\frac {dy}{dx}}\right)}$

أين${\displaystyle f}$قابلة للتفاضل باستمرار . وهي حالة خاصة من معادلة لاغرانج التفاضلية. وقد سميت نسبة إلى عالم الرياضيات الفرنسي ألكسيس كليروت ، الذي قدمها في عام 1734. ^{[ 1 ]}

لحل معادلة كليروت، يتم الاشتقاق بالنسبة إلى${\displaystyle x}$، مما يؤدي إلى

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dx}}+x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},}$

لذا

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\cdot \left[x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)\right]=0}$

وبالتالي، إما

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0}$، أو${\displaystyle \left[x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)\right]=0.}$

في الحالة الأولى،${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=C}$لبعض الثوابت${\displaystyle C}$وبتعويض هذا في معادلة كليروت، نحصل على عائلة دوال الخط المستقيم المعطاة بـ

${\displaystyle y(x)=Cx+f(C),\,}$

ما يسمى بالحل العام لمعادلة كليروت.

الحالة الأخيرة،

${\displaystyle \left[x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)\right]=0}$

لا يحدد سوى حل واحد${\displaystyle y(x)}$الحل المفرد ، الذي يمثل رسمه البياني غلافًا لرسوم الحلول العامة. وعادةً ما يُعبَّر عن الحل المفرد باستخدام الترميز البارامتري، كما يلي:${\displaystyle (x(p),y(p))}$، أين${\displaystyle p={\frac {dy}{dx}}}$.

يأخذ الوصف البارامتري للحل الشاذ الشكل التالي

${\displaystyle x(t)=-f'(t),\,}$

${\displaystyle y(t)=f(t)-tf'(t),\,}$

أين${\displaystyle t}$هو مُعامل.

تمثل المنحنيات التالية حلول معادلتين من معادلات كليروت:

• 
  ${\displaystyle f(p)=p^{2}}$
• 
  ${\displaystyle f(p)=p^{3}}$

في كل حالة، يتم تصوير الحلول العامة باللون الأسود بينما يتم تصوير الحل الفردي باللون البنفسجي.

وبالتالي، فإن المعادلة التفاضلية الجزئية من الدرجة الأولى على الشكل التالي

${\displaystyle \displaystyle u=xu_{x}+yu_{y}+f(u_{x},u_{y})}$

وتُعرف أيضاً باسم معادلة كليروت. ^{[ 2 ]}

• معادلة دالمبير
• معادلة كريستال
• تحول ليجندر

• Clairaut، Alexis Claude (1734)، “حل العديد من المشاكل المتعلقة بمشكلة العثور على Courbes لا تتكون الملكية من علاقة معينة بين فروعنا، يتم اختبارها من خلال معادلة محددة.” , تاريخ الأكاديمية الملكية للعلوم : 196–215.

• Kamke، E. (1944)، Differentialgleichungen: Lösungen und Lösungsmethoden (في المانيا)، المجلد.  2. جزئيات التفاضلية 1er Ordnung für eine ge suchte Funktion، Akad. فيرلاجسجيسيل.

• روزوف، ن. خ. (2001) [1994]، "معادلة كليروت" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS.