التماثل مع الدعم المدمج

تتضمن هذه المقالة قائمة بالمراجع أو القراءات ذات الصلة أو الروابط الخارجية ، لكن مصادرها تظل غير واضحة لأنها تفتقر إلى الاستشهادات المضمنة . يُرجى المساعدة في تحسين هذه المقالة من خلال تقديم استشهادات أكثر دقة. ( ديسمبر 2023 ) ( تعرف على كيفية ومتى تزيل هذه الرسالة )

في الرياضيات، يشير التماثل مع الدعم المدمج إلى بعض نظريات التماثل، عادةً مع بعض الشروط التي تتطلب أن يكون للحلقات المساعدة دعم مدمج.

ليكن فضاء طوبولوجيًا. إذن ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \displaystyle H_{c}^{\ast }(X;R):=\varinjlim _{K\subseteq X\,{\text{compact}}}H^{\ast }(X,X\setناقص K;R)}$

حسب التعريف، هذا هو التجانس للمجمع الفرعي للسلسلة الذي يتكون من جميع السلاسل المفردة التي لها دعم مضغوط بمعنى وجود بعض الدعم المضغوط بحيث يختفي في جميع السلاسل في . ${\displaystyle C_{c}^{\ast }(X;R)}$ ${\displaystyle \phi :C_{i}(X;R)\to R}$${\displaystyle K\subseteq X}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle X\setminus K}$

ليكن فضاء طوبولوجي والخريطة للنقطة. باستخدام الصورة المباشرة والصورة المباشرة مع المتجهات الداعمة المدمجة ، يمكن تعريف التماثل والتماثل مع الدعم المدمج لحزمة من المجموعات الإبيلية على النحو التالي ${\displaystyle X}$${\displaystyle p:X\to \star }$${\displaystyle p_{*},p_{!}:{\text{Sh}}(X)\to {\text{Sh}}(\star )={\text{Ab}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \displaystyle H^{i}(X,{\mathcal {F}})\ =\ R^{i}p_{*}{\mathcal {F}},}$

${\displaystyle \displaystyle H_{c}^{i}(X,{\mathcal {F}})\ =\ R^{i}p_{!}{\mathcal {F}}.}$

يؤدي أخذ الحزمة الثابتة مع المعاملات في الحلقة إلى استعادة التعريف السابق. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle R}$

بالنظر إلى متعدد الشعب X ، فليكن فضاء المتجه الحقيقي لـ k أشكال على X مع دعم مدمج، وليكن d المشتق الخارجي القياسي . عندئذٍ تكون مجموعات تجانس دي رام مع دعم مدمج هي تجانس المركب المتسلسل : ${\displaystyle \Omega _{\mathrm {c} }^{k}(X)}$${\displaystyle H_{\mathrm {c} }^{q}(X)}$ ${\displaystyle (\Omega _{\mathrm {c} }^{\bullet }(X),d)}$

${\displaystyle 0\to \Omega _{\mathrm {c} }^{0}(X)\to \Omega _{\mathrm {c} }^{1}(X)\to \Omega _{\mathrm {c} }^{2}(X)\to \cdots }$

أي أن فضاء المتجه للأشكال q المغلقة هو فضاء المتجه للأشكال q الدقيقة . ${\displaystyle H_{\mathrm {c} }^{q}(X)}$

على الرغم من تعريفها على أنها تشابه مركب صاعد، فإن مجموعات دي رام ذات الدعم المدمج تظهر سلوكًا متغايرًا ؛ على سبيل المثال، نظرًا لتعيين التضمين j لمجموعة مفتوحة U من X ، فإن تمديد الأشكال على U إلى X (من خلال تعريفها لتكون 0 على X - U ) هو خريطة تحفز خريطة ${\displaystyle j_{*}:\Omega _{\mathrm {c} }^{\bullet }(U)\to \Omega _{\mathrm {c} }^{\bullet }(X)}$

${\displaystyle j_{*}:H_{\mathrm {c} }^{q}(U)\to H_{\mathrm {c} }^{q}(X)}$.

كما أنها تظهر سلوكًا معاكسًا فيما يتعلق بالخرائط المناسبة - أي الخرائط التي تكون فيها الصورة العكسية لكل مجموعة مضغوطة مضغوطة. دع f : Y → X تكون مثل هذه الخريطة؛ ثم يكون السحب

${\displaystyle f^{*}:\Omega _{\mathrm {c} }^{q}(X)\to \Omega _{\mathrm {c} }^{q}(Y)\sum _{I}g_{I}\,dx_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge dx_{i_{q}}\mapsto \sum _{I}(g_{I}\circ f)\,d(x_{i_{1}}\circ f)\wedge \ldots \wedge d(x_{i_{q}}\circ f)}$

يؤدي إلى رسم خريطة

${\displaystyle H_{\mathrm {c} }^{q}(X)\to H_{\mathrm {c} }^{q}(Y)}$.

إذا كان Z متعدد شعب جزئي لـ X و U = X – Z هي المجموعة المفتوحة التكميلية، فهناك تسلسل دقيق طويل

${\displaystyle \cdots \to H_{\mathrm {c} }^{q}(U){\overset {j_{*}}{\longrightarrow }}H_{\mathrm {c} }^{q}(X){\overset {i^{*}}{\longrightarrow }}H_{\mathrm {c} }^{q}(Z){\overset {\delta }{\longrightarrow }}H_{\mathrm {c} }^{q+1}(U)\to \cdots }$

يُطلق عليها التسلسل الدقيق الطويل من التماثل مع الدعم المدمج. لها تطبيقات عديدة ، مثل نظرية منحنى جوردان ، والتي تم الحصول عليها لـ X = R ² و Z منحنى مغلق بسيط في X.

يلبي تجانس دي رام مع الدعم المدمج تسلسل ماير-فييتوريس المتغير : إذا كانت U و V عبارة عن مجموعات مفتوحة تغطي X ، إذن

${\displaystyle \cdots \to H_{\mathrm {c} }^{q}(U\cap V)\to H_{\mathrm {c} }^{q}(U)\oplus H_{\mathrm {c} }^{q}(V)\to H_{\mathrm {c} }^{q}(X){\overset {\delta }{\longrightarrow }}H_{\mathrm {c} }^{q+1}(U\cap V)\to \cdots }$

حيث يتم استحثاث جميع الخرائط عن طريق التمديد بواسطة الصفر أيضًا.

• تشابه بوريل-مور
• ثنائية بوانكاريه
• حزمة قابلة للبناء
• الفئة المشتقة

This article includes a list of references, related reading, or external links, but its sources remain unclear because it lacks inline citations. Please help improve this article by introducing more precise citations. (March 2016) (Learn how and when to remove this message)

• إيفيرسين، بيرجر (1986)، علم التماثل للحزم ، يونيفرسيتكست، برلين، نيويورك: سبرينغر فيرلاغ ، رقم ISBN 978-3-540-16389-3السيد 0842190 ​
• راؤول بوت ولورينج دبليو تو (1982)، الأشكال التفاضلية في الطوبولوجيا الجبرية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، دار نشر سبرينغر
• "التماثل مع الدعم وثنائية بوانكاريه". Stack Exchange .