الأشكال التفاضلية المغلقة والدقيقة

في الرياضيات ، وخاصةً في حساب المتجهات والطوبولوجيا التفاضلية ، تُعرف الصيغة المغلقة بأنها صيغة تفاضلية α يكون مشتقها الخارجي صفرًا ( dα = 0 )؛ أما الصيغة التامة فهي صيغة تفاضلية α تمثل المشتق الخارجي لصيغة تفاضلية أخرى β ، أي α = dβ . وبالتالي، تقع الصيغة التامة في صورة d ، بينما تقع الصيغة المغلقة في نواة d (المعروفة أيضًا بالفضاء الصفري) .

بالنسبة للصيغة التامة α ، فإن α = dβ لبعض الصيغ التفاضلية β من درجة أقل بواحد من درجة α . تُسمى الصيغة β "صيغة كامنة" أو "صيغة أولية" لـ α . بما أن المشتقة الخارجية للصيغة المغلقة تساوي صفرًا، فإن β ليست فريدة، ولكن يمكن تعديلها بإضافة أي صيغة مغلقة من درجة أقل بواحد من درجة α .

بما أن ^d² = 0 ، فإن كل شكل تام يكون مغلقًا بالضرورة. وتعتمد مسألة كون كل شكل مغلق تامًا على طوبولوجيا المجال محل الاهتمام. ففي المجال القابل للانكماش ، يكون كل شكل مغلق تامًا وفقًا لمبرهنة بوانكاريه . أما المسائل الأكثر عمومية من هذا النوع على أي مشعب قابل للتفاضل، فهي موضوع علم التماثل لـ دي رام ، الذي يسمح بالحصول على معلومات طوبولوجية بحتة باستخدام الطرق التفاضلية.

من الأمثلة البسيطة على الصيغة المغلقة ولكنها ليست دقيقة الصيغة 1${\displaystyle d\theta }$^{[ ملاحظة 1 ]} معطاة بمشتقةالمتغيرعلىالمستوى المثقوب${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{0\}}$. منذ${\displaystyle \theta }$ليست دالة في الواقع (انظر الفقرة التالية)${\displaystyle d\theta }$ليست صيغة دقيقة. مع ذلك،${\displaystyle d\theta }$لها مشتقة معدومة وبالتالي فهي مغلقة.

لاحظ أن الحجة${\displaystyle \theta }$يتم تعريفها فقط حتى مضاعف صحيح لـ${\displaystyle 2\pi }$منذ نقطة واحدة${\displaystyle p}$يمكن تعيين وسائط مختلفة${\displaystyle r}$،${\displaystyle r+2\pi }$إلخ . يمكننا تعيين الوسائط بطريقة متسقة محليًا حول${\displaystyle p}$لكن ليس بطريقة متسقة عالميًا. هذا لأنه إذا تتبعنا حلقة من${\displaystyle p}$عكس اتجاه عقارب الساعة حول نقطة الأصل والعودة إلى${\displaystyle p}$يزداد الجدل بمقدار${\displaystyle 2\pi }$بشكل عام ، الحجة${\displaystyle \theta }$التغييرات بواسطة

${\displaystyle \oint _{S^{1}}d\theta }$

فوق حلقة موجهة عكس اتجاه عقارب الساعة${\displaystyle S^{1}}$.

على الرغم من أن الحجة${\displaystyle \theta }$ليست دالة بالمعنى التقني، والتعريفات المحلية المختلفة لـ${\displaystyle \theta }$في نقطة${\displaystyle p}$تختلف عن بعضها البعض بثوابت. بما أن المشتقة عند${\displaystyle p}$يستخدم فقط البيانات المحلية، وبما أن الدوال التي تختلف بمقدار ثابت لها نفس المشتقة، فإن الوسيط له مشتقة محددة جيدًا على مستوى العالم .${\displaystyle d\theta }$[ ^{ملاحظة 2 ]}

والخلاصة هي أن${\displaystyle d\theta }$هو شكل واحد على${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{0\}}$هذا ليس في الواقع مشتقة أي دالة محددة جيدًا${\displaystyle \theta }$نقول ذلك${\displaystyle d\theta }$ليس دقيقاً . بشكل صريح،${\displaystyle d\theta }$يُعطى على النحو التالي:

${\displaystyle d\theta ={\frac {-y\,dx+x\,dy}{x^{2}+y^{2}}},}$

والتي، بالنظر إليها، مشتقتها تساوي صفرًا. لاحظ أنه إذا قصرنا المجال على النصف الأيمن من المستوى، فيمكننا كتابة${\displaystyle d\theta =d\left(\tan ^{-1}(y/x)\right)}$لكن دالة الزاوية${\displaystyle \theta =\tan ^{-1}(y/x)}$لا يكون سلسًا ولا متصلًا على${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{0\}}$(كما هو الحال مع أي اختيار لدالة الزاوية). لأن${\displaystyle d\theta }$إذا كانت مشتقتها معدومة، نقول إنها مغلقة .

من ناحية أخرى، بالنسبة للشكل الواحد

${\displaystyle \alpha =-y\,dx+x\,dy,}$

${\displaystyle d\alpha \neq 0}$. هكذا${\displaystyle \alpha }$ليس مغلقاً حتى، ناهيك عن كونه مغلقاً تماماً.

النموذج${\displaystyle d\theta }$يُنتج مجموعة التماثل دي رام${\displaystyle H_{dR}^{1}(\mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{0\})\cong \mathbb {R} ,}$بمعنى أن أي شكل مغلق${\displaystyle \omega }$هو مجموع ذو شكل دقيق${\displaystyle df}$ومضاعفات${\displaystyle d\theta }$:${\displaystyle \omega =df+k\ d\theta }$، أين${\textstyle k={\frac {1}{2\pi }}\oint _{S^{1}}\أوميغا }$ويفسر ذلك التكامل الكفافي غير التافه حول الأصل، وهو العائق الوحيد أمام الشكل المغلق على المستوى المثقوب (محلياً مشتق دالة كامنة ) كونه مشتق دالة معرفة عالميًا.

الأشكال التفاضلية في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$و${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$كانت هذه المفاهيم معروفة جيدًا في الفيزياء الرياضية في القرن التاسع عشر. في المستوى، الأشكال الصفرية هي مجرد دوال، والأشكال الثنائية هي دوال مضروبة في عنصر المساحة الأساسي.${\displaystyle dx\wedge dy}$بحيث تكون الأشكال من الدرجة الأولى

${\displaystyle \alpha =f(x,y)\,dx+g(x,y)\,dy}$

والتي لها أهمية حقيقية. صيغة المشتقة الخارجية${\displaystyle d}$هذا هو

${\displaystyle d\alpha =(g_{x}-f_{y})\,dx\wedge dy}$

حيث تشير الرموز السفلية إلى المشتقات الجزئية . وبالتالي فإن الشرط لـ${\displaystyle \alpha }$أن يكون مغلقًا هو

${\displaystyle f_{y}=g_{x}.}$

في هذه الحالة إذا${\displaystyle h(x,y)}$إذا كانت دالة

${\displaystyle dh=h_{x}\,dx+h_{y}\,dy.}$

وبالتالي، فإن الاستلزام من "دقيق" إلى "مغلق" هو ​​نتيجة لتناظر المشتقات الثانية ، بالنسبة إلى${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$.

تنص نظرية التدرج على أن الشكل 1 يكون دقيقًا إذا وفقط إذا كان التكامل الخطي للشكل يعتمد فقط على نقاط نهاية المنحنى، أو بشكل مكافئ، إذا كان التكامل حول أي منحنى مغلق أملس يساوي صفرًا.

تنص ليمّة بوانكاريه على أنه إذا كانت B كرة مفتوحة في R ⁿ ، فإن أي شكل p مغلق ω معرف على B يكون تامًا ، لأي عدد صحيح p حيث 1 ≤ p ≤ n . ^{[ 1 ]}

وبشكل أعم، تنص اللمة على أنه على مجموعة فرعية مفتوحة قابلة للانكماش من متعدد الشعب (على سبيل المثال،${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$)، وهي صيغة مغلقة من الرتبة p ، حيث p > 0، تكون تامة. ^{[ 2 ]}

عندما يكون الفرق بين صيغتين مغلقتين صيغةً تامة، يُقال إنهما متماثلتان . أي، إذا كانت ζ و η صيغتين مغلقتين، ويمكن إيجاد قيمة β بحيث

${\displaystyle \zeta -\eta =d\beta }$

عندئذٍ يُقال إنّ ζ و η متماثلتان. ويُقال أحيانًا إنّ الأشكال التامة متماثلة مع الصفر . تُسمى مجموعة جميع الأشكال المتماثلة مع شكل مُعطى (وبالتالي مع بعضها البعض) فئة تماثل دي رام ؛ وتُعرف الدراسة العامة لهذه الفئات باسم علم التماثل . ليس من المنطقي السؤال عمّا إذا كان الشكل الصفري (الدالة الملساء) تامًا، لأنّ d يزيد الدرجة بمقدار 1؛ لكنّ الدلائل من علم الطوبولوجيا تُشير إلى أنّه ينبغي تسمية الدالة الصفرية فقط بـ"التامّة". تُعرَّف فئات التماثل بالدوال الثابتة محليًا .

باستخدام عمليات التماثل المتقلصة المشابهة لتلك المستخدمة في برهان ليمّة بوانكاريه، يمكن إثبات أن علم التماثل لـ دي رام ثابت تحت تأثير التماثل. ^{[ 3 ]}

لنفترض نظامًا ديناميكيًا حراريًا تُحدد حالات توازنه بواسطة${\displaystyle n}$المتغيرات الديناميكية الحرارية،${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$يمكن صياغة القانون الأول للديناميكا الحرارية على النحو التالي: في أي عملية ينتج عنها تغير طفيف في حالة النظام، حيث تتغير الطاقة الداخلية للنظام بمقدار معين،${\displaystyle dU(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}$وكمية من العمل${\displaystyle dW(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$عند القيام بذلك على النظام، يجب أيضًا توفير كمية من الحرارة

${\displaystyle dU-dW.}$

القانون الثاني للديناميكا الحرارية هو قانون تجريبي للطبيعة ينص على أنه لا يوجد نظام ديناميكي حراري يكون فيه${\displaystyle dU=dW}$في كل الظروف، أو بعبارات رياضية أخرى، الشكل التفاضلي${\displaystyle dU-dW}$ليست مغلقة. وتنص نظرية كاراثيودوري ^{[ 4 ]} كذلك على وجود مقام تكاملي${\displaystyle T}$بحيث

${\displaystyle dS\equiv {\frac {dU-dW}{T}}}$

هي صيغة مغلقة من الدرجة الأولى. المقام التكاملي${\displaystyle T}$هي درجة الحرارة، ودالة الحالة${\displaystyle S(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$هي إنتروبيا التوازن.

في الديناميكا الكهربائية، حالة المجال المغناطيسي${\displaystyle {\vec {B}}(\mathbf {r} )}$يُعدّ الناتج عن تيار كهربائي ثابت أمرًا مهمًا. وهناك يتم التعامل مع الكمون الشعاعي.${\displaystyle {\vec {A}}(\mathbf {r} )}$من هذا المجال. تتوافق هذه الحالة مع k = 2 ، والمنطقة المحددة هي المنطقة الكاملة${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$متجه كثافة التيار هو${\displaystyle {\vec {j}}}$وهو يتوافق مع الشكل الثنائي الحالي

${\displaystyle \mathbf {I}$ :=j_{1}(x_{1},x_{2},x_{3})\,{\rm {d}}x_{2}\wedge {\rm {d}}x_{3}+j_{2}(x_{1},x_{2},x_{3})\,{\rm {d}}x_{3}\wedge {\rm {d}}x_{1}+j_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})\,{\rm {d}}x_{1}\wedge {\rm {d}}x_{2}.}

بالنسبة للمجال المغناطيسي${\displaystyle {\vec {B}}}$ يمكن الحصول على نتائج مماثلة: فهي تتوافق مع الشكل الثنائي للاستقراء${\displaystyle \Phi _{B}:=B_{1}{\rm {d}}x_{2}\wedge {\rm {d}}x_{3}+\cdots }$ويمكن اشتقاقها من الكمون الشعاعي${\displaystyle {\vec {A}}}$أو الشكل الواحد المقابل${\displaystyle \mathbf {A} }$،

${\displaystyle {\vec {B}}=\operatorname {curl} {\vec {A}}=\left\{{\frac {\partial A_{3}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial A_{2}}{\partial x_{3}}},{\frac {\partial A_{1}}{\partial x_{3}}}-{\frac {\partial A_{3}}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial A_{2}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial A_{1}}{\partial x_{2}}}\right\},{\text{ or }}\Phi _{B}={\rm {d}}\mathbf {A} .}$

وبالتالي فإن الجهد المتجهي${\displaystyle {\vec {A}}}$يتوافق مع الشكل الأحادي المحتمل

${\displaystyle \mathbf {A}$ :=A_{1}\,{\rm {d}}x_{1}+A_{2}\,{\rm {d}}x_{2}+A_{3}\,{\rm {d}}x_{3}.}

إن انغلاق الشكل الثنائي للحث المغناطيسي يتوافق مع خاصية المجال المغناطيسي بأنه خالٍ من المصادر:${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {B}}\equiv 0}$أي أنه لا توجد أقطاب مغناطيسية أحادية .

في مقياس خاص،${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {A}}{~{\stackrel {!}{=}}~}0}$وهذا يعني أنه بالنسبة لـ i = 1، 2، 3

${\displaystyle A_{i}({\vec {r}})=\int {\frac {\mu _{0}j_{i}\left({\vec {r}}'\right)\,\,dx_{1}'\,dx_{2}'\,dx_{3}'}{4\pi |{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}}\,.}$

(هنا${\displaystyle \mu _{0}}$( الثابت المغناطيسي ).

تُعد هذه المعادلة لافتة للنظر، لأنها تتوافق تمامًا مع صيغة معروفة للمجال الكهربائي .${\displaystyle {\vec {E}}}$أي بالنسبة لجهد كولوم الكهروستاتيكي${\displaystyle \varphi (x_{1},x_{2},x_{3})}$كثافة الشحنة${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2},x_{3})}$في هذا المكان، يمكن للمرء أن يخمن بالفعل أن

• ${\displaystyle {\vec {E}}}$و${\displaystyle {\vec {B}},}$
• ${\displaystyle \rho }$و${\displaystyle {\vec {j}},}$
• ${\displaystyle \varphi }$و${\displaystyle {\vec {A}}}$

يمكن توحيدها إلى كميات ذات ستة مكونات غير تافهة، على التوالي، وهو أساس الثبات النسبي لمعادلات ماكسويل .

إذا تم الإبقاء على شرط الاستقرار، فيجب إضافة ما يلي إلى الجانب الأيسر من المعادلة المذكورة أعلاه، في معادلات لـ${\displaystyle A_{i}}$، إلى إحداثيات الفضاء الثلاثة، كمتغير رابع أيضًا هو الزمن t ، بينما على الجانب الأيمن، في${\displaystyle j_{i}'}$، ما يسمى بـ "الوقت المتأخر"،${\displaystyle t':=t-{\frac {|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|}{c}}}$يجب استخدام ، أي أنه يُضاف إلى وسيط كثافة التيار. وأخيرًا، كما في السابق، يتم إجراء التكامل على إحداثيات الفضاء الثلاثة المميزة بعلامة. (وكما هو معتاد، c هي سرعة الضوء في الفراغ).

• تشاندراسيكار، س. (1939). مقدمة لدراسة بنية النجوم . دوفر.
• فلاندرز، هارلي (1989) [1963]. الأشكال التفاضلية مع تطبيقات في العلوم الفيزيائية . نيويورك: منشورات دوفر . ISBN 978-0-486-66169-8..
• لي، جون م. (2013). مقدمة في المشعبات الملساء (  الطبعة الثانية). سبرينغر.
• وارنر، فرانك دبليو. (1983)، أسس المشعبات التفاضلية ومجموعات لي ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  94، سبرينغر، ISBN 0-387-90894-3
• نابيير، تيرينس؛ راماتشاندران، موهان (2011)، مقدمة في أسطح ريمان ، بيركهاوزر، ISBN 978-0-8176-4693-6
• سينغر، آي إم ؛ ثورب، جيه إيه (1976)، محاضرات في الطوبولوجيا والهندسة الابتدائية ، مطبعة جامعة بنغالور، رقم ISBN 0721114784