مشتق خارجي

المشتق الخارجي${\displaystyle d}$يُعرَّف بأنه فريد${\displaystyle \mathbb {R} }$التحويل الخطي من${\displaystyle k}$- نماذج إلى${\displaystyle (k+1)}$- نماذج لها الخصائص التالية:

• المشغل${\displaystyle d}$ينطبق على${\displaystyle 0}$-استمارة${\displaystyle f}$هو التفاضل${\displaystyle df}$ل${\displaystyle f}$
• لو${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta }$اثنان${\displaystyle k}$-أشكال، ثم${\displaystyle d(a\alpha +b\beta )=ad\alpha +bd\beta }$لأي عناصر حقل${\displaystyle a,b}$
• لو${\displaystyle \alpha }$هو${\displaystyle k}$-form و${\displaystyle \beta }$هو${\displaystyle \ell }$-form، ثم${\displaystyle d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta }$( قاعدة المنتج المتدرج )
• لو${\displaystyle \alpha }$هو${\displaystyle k}$-form، ثم${\displaystyle d(d\alpha )=0}$

لو${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$اثنان${\displaystyle 0}$- الأشكال (الدوال)، ثم من الخاصية الثالثة للكمية${\displaystyle d(f\wedge g)}$وهو ببساطة${\displaystyle d(fg)}$قاعدة الضرب المألوفة${\displaystyle d(fg)=g\,df+f\,dg}$يتم استعادتها. يمكن تعميم الخاصية الثالثة، على سبيل المثال، إذا${\displaystyle \alpha }$هو${\displaystyle k}$-استمارة،${\displaystyle \beta }$هو${\displaystyle \ell }$-form و${\displaystyle \gamma }$هو${\displaystyle m}$-form، ثم

$${\displaystyle d(\alpha \wedge \beta \wedge \gamma )=d\alpha \wedge \beta \wedge \gamma +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta \wedge \gamma +(-1)^{k+\ell }\alpha \wedge \beta \wedge d\gamma .}$$

أو بدلاً من ذلك، يمكن للمرء أن يعمل بالكامل في نظام إحداثيات محلي${\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{n})}$التفاضلات الإحداثية${\displaystyle {\text{d}}x^{1},\ldots ,{\text{d}}x^{n}}$تشكل أساسًا لفضاء الأشكال التفاضلية من الدرجة الأولى، يرتبط كل منها بإحداثي. بالنظر إلى مؤشر متعدد${\displaystyle I=(i_{1},\ldots ,i_{k})}$مع${\displaystyle 1\leq i_{p}\leq n}$ل${\displaystyle 1\leq p\leq k}$(ويدل على${\displaystyle {\text{d}}x^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge {\text{d}}x^{i_{k}}}$مع${\displaystyle {\text{d}}x^{I}}$), المشتق الخارجي لـ (بسيط)${\displaystyle k}$-استمارة $${\displaystyle \varphi =g\,dx^{I}=g\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}$$ زيادة${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يُعرَّف بأنه $${\displaystyle d{\varphi }=dg\wedge dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}={\frac {\partial g}{\partial x^{j}}}\,dx^{j}\wedge \,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}$$ (باستخدام اصطلاح جمع أينشتاين ). يتم توسيع تعريف المشتقة الخارجية خطيًا إلى تعريف عام${\displaystyle k}$-form (الذي يمكن التعبير عنه كتركيبة خطية من الأساسيات البسيطة${\displaystyle k}$-أشكال) $${\displaystyle \omega =f_{I}\,dx^{I},}$$ حيث كل مكون من مكونات المؤشر المتعدد${\displaystyle I}$قم بتكرار العملية على جميع القيم في${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$لاحظ أنه كلما${\displaystyle j}$يساوي أحد مكونات المؤشر المتعدد${\displaystyle I}$ثم${\displaystyle {\text{d}}x^{j}\wedge {\text{d}}x^{I}=0}$(انظر المنتج الخارجي ).

يُستنتج تعريف المشتقة الخارجية في الإحداثيات المحلية من التعريف السابق بدلالة البديهيات . في الواقع، مع${\displaystyle k}$-استمارة${\displaystyle \varphi }$كما هو موضح أعلاه، $${\displaystyle {\begin{aligned}d{\varphi }&=d\left(g\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\\&=dg\wedge \left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)+g\,d\left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\\&=dg\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}+g\sum _{p=1}^{k}(-1)^{p-1}\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{p-1}}\wedge d^{2}x^{i_{p}}\wedge dx^{i_{p+1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\&=dg\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\\&={\frac {\partial g}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\end{aligned}}}$$

هنا، قمنا بتفسير${\displaystyle g}$كـ${\displaystyle 0}$-form، ثم تم تطبيق خصائص المشتق الخارجي.

تمتد هذه النتيجة مباشرة إلى العام${\displaystyle k}$-استمارة${\displaystyle \omega }$مثل $${\displaystyle d\omega ={\frac {\partial f_{I}}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{I}.}$$

على وجه الخصوص، بالنسبة لـ${\displaystyle 1}$-استمارة${\displaystyle \omega }$، مكونات${\displaystyle d\omega }$في الإحداثيات المحلية$${\displaystyle (d\omega )_{ij}=\partial _{i}\omega _{j}-\partial _{j}\omega _{i}.}$$

تنبيه : هناك اصطلاحان فيما يتعلق بمعنى${\displaystyle dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}$يتبنى معظم المؤلفين المعاصرين العرف القائل بأن $${\displaystyle \left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\left({\frac {\partial }{\partial x^{i_{1}}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{i_{k}}}}\right)=1.}$$ بينما في النصوص القديمة مثل كوباياشي ونوميزو أو هيلجاسون $${\displaystyle \left(dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}\right)\left({\frac {\partial }{\partial x^{i_{1}}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x^{i_{k}}}}\right)={\frac {1}{k!}}.}$$

بدلاً من ذلك، يمكن تقديم صيغة صريحة ^{[ 1 ]} للمشتقة الخارجية لـ a${\displaystyle k}$-استمارة${\displaystyle \omega }$، عند اقترانها بـ${\displaystyle k+1}$حقول متجهة سلسة عشوائية${\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{k}}$: $${\displaystyle d\omega (V_{0},\ldots ,V_{k})=\sum _{i}(-1)^{i}V_{i}(\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}))+\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,{\widehat {V}}_{j},\ldots ,V_{k})}$$

أين${\displaystyle [V_{i},V_{j}]}$يشير الرمز إلى قوس لي، بينما يشير الرمز ' إلى حذف ذلك العنصر: $${\displaystyle \omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k})=\omega (V_{0},\ldots ,V_{i-1},V_{i+1},\ldots ,V_{k}).}$$

على وجه الخصوص، عندما${\displaystyle \omega }$هو${\displaystyle 1}$-form، لدينا ذلك${\displaystyle (d\omega )(X,Y)={\mathcal {L}}_{X}(\omega (Y))-{\mathcal {L}}_{Y}(\omega (X))-\omega ([X,Y])}$.

ملاحظة: تختلف الصيغة بمعامل معين، وذلك وفقًا لاتفاقيات مثل كوباياشي-نوميزو وهيلغاسون.${\textstyle {\frac {1}{k+1}}}$: $${\displaystyle d\omega (V_{0},\ldots ,V_{k})={\frac {1}{k+1}}\left(\sum _{i}(-1)^{i}V_{i}(\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}))+\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,{\widehat {V}}_{j},\ldots ,V_{k})\right).}$$

يعتبر${\displaystyle \sigma =u\ {\text{d}}x^{1}\wedge {\text{d}}x^{2}}$أكثر من${\displaystyle 1}$-شكل أساسي${\displaystyle {\text{d}}x^{1},\ldots ,{\text{d}}x^{n}}$بالنسبة للحقل القياسي${\displaystyle u}$المشتق الخارجي هو: $${\displaystyle {\begin{aligned}d\sigma &=du\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\\&=\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\right)\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\\&=\sum _{i=3}^{n}\left({\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{1}\wedge dx^{2}\right)\end{aligned}}}$$

الصيغة الأخيرة، حيث يبدأ الجمع عند${\displaystyle i=3}$وينتج ذلك بسهولة من خصائص المنتج الخارجي . أي،${\displaystyle {\text{d}}x^{i}\wedge {\text{d}}x^{i}=0}$.

يترك${\displaystyle \sigma =u\ {\text{d}}x+v\ {\text{d}}y}$كن${\displaystyle 1}$-form مُعرّف على${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$بتطبيق الصيغة المذكورة أعلاه على كل حد (ضع في اعتبارك${\displaystyle x^{1}=x}$و${\displaystyle x^{2}=y}$) لدينا المجموع $${\displaystyle {\begin{aligned}d\sigma &=\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {\partial u}{\partial x^{i}}}dx^{i}\wedge dx\right)+\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {\partial v}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dy\right)\\&=\left({\frac {\partial {u}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dx+{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\,dy\wedge dx\right)+\left({\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dy+{\frac {\partial {v}}{\partial {y}}}\,dy\wedge dy\right)\\&=0-{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\,dx\wedge dy+{\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}\,dx\wedge dy+0\\&=\left({\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}-{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\right)\,dx\wedge dy\end{aligned}}}$$

أ${\displaystyle k}$-استمارة${\displaystyle \omega }$يُطلق عليه اسم مغلق إذا${\displaystyle d\omega =0}$; الصيغ المغلقة هي جوهر${\displaystyle d}$.${\displaystyle \omega }$يُطلق عليه اسم دقيق إذا${\displaystyle \omega =d\alpha }$بالنسبة للبعض${\displaystyle (k-1)}$-استمارة${\displaystyle \alpha }$; الأشكال الدقيقة هي صورة لـ${\displaystyle d}$. لأن${\displaystyle d^{2}=0}$كل شكل دقيق مغلق. تنص مبرهنة بوانكاريه على أنه في منطقة قابلة للانكماش، يكون العكس صحيحًا.

لأن المشتق الخارجي${\displaystyle d}$يمتلك الخاصية التي${\displaystyle d^{2}=0}$ويمكن استخدامه كدالة تفاضلية (حدود مشتركة) لتعريف علم التماثل دي رام على مشعب.${\displaystyle k}$علم التماثل من الرتبة -th de Rham (المجموعة) هو الفضاء المتجهي المغلق${\displaystyle k}$-forms modulo the exact${\displaystyle k}$-forms؛ كما ذُكر في القسم السابق، تنصّ مبرهنة بوانكاريه على أن هذه الفضاءات المتجهة تافهة بالنسبة لمنطقة قابلة للانكماش، لـ${\displaystyle k>0}$بالنسبة للمشعبات الملساء ، يُعطي تكامل الأشكال تشاكلاً طبيعياً من علم التماثل دي رام إلى علم التماثل المفرد فوق${\displaystyle \mathbb {R} }$تُبين نظرية دي رام أن هذه الدالة هي في الواقع تماثل، وهو تعميم واسع النطاق لنظرية بوانكاريه. وكما تشير إليه نظرية ستوكس المعممة، فإن المشتقة الخارجية هي "المقابلة" لدالة الحدود على الأشكال البسيطة الشاذة.

المشتق الخارجي طبيعي بالمعنى التقني: إذا${\displaystyle f:M\rightarrow N}$هي خريطة سلسة و${\displaystyle \Omega ^{k}}$هو المؤثر الأملس المتغاير الذي يُسند إلى كل متشعب فضاء${\displaystyle k}$إذا كانت الأشكال على المتشعب، فإن المخطط التالي يتبادل

لذا${\displaystyle d(f^{*}\omega )=f^{*}d\omega }$، أين${\displaystyle f^{*}}$يشير إلى تراجع${\displaystyle f}$ويترتب على ذلك${\displaystyle f^{*}\omega (\cdot )}$هو، بحسب التعريف${\displaystyle \omega (f_{*}(\cdot ))}$،${\displaystyle f_{*}}$كونها القوة الدافعة لـ${\displaystyle f}$. هكذا${\displaystyle d}$هو تحول طبيعي من${\displaystyle \Omega ^{k}}$ل${\displaystyle \Omega ^{k+1}}$.

وظيفة سلسة${\displaystyle f:M\rightarrow \mathbb {R} }$على مشعب تفاضلي حقيقي${\displaystyle M}$هو${\displaystyle 0}$-form. المشتق الخارجي لهذا${\displaystyle 0}$-form هو${\displaystyle 1}$-استمارة${\displaystyle df}$.

عندما يكون المنتج الداخلي${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$يتم تعريف التدرج${\displaystyle \nabla f}$دالة${\displaystyle f}$يُعرَّف بأنه المتجه الفريد في${\displaystyle V}$بحيث يكون ناتج ضربها الداخلي مع أي عنصر من${\displaystyle V}$هي المشتقة الاتجاهية لـ${\displaystyle f}$على طول المتجه، أي بحيث $${\displaystyle \langle \nabla f,\cdot \rangle =df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}.}$$

إنه، $${\displaystyle \nabla f=(df)^{\sharp }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,\left(dx^{i}\right)^{\sharp },}$$ أين${\displaystyle \sharp }$يشير إلى التماثل الموسيقي${\displaystyle \sharp :V^{*}\rightarrow V}$كما ذكرنا سابقاً، فإن ذلك ناتج عن المنتج الداخلي.

ال${\displaystyle 1}$-استمارة${\displaystyle df}$هو جزء من حزمة الظل التمام ، والذي يعطي تقريبًا خطيًا محليًا لـ${\displaystyle f}$في فضاء الظل التمام عند كل نقطة.

حقل متجهي${\displaystyle V=(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})}$على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$له ما يقابله${\displaystyle (n-1)}$-استمارة $${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{V}&=v_{1}\left(dx^{2}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)-v_{2}\left(dx^{1}\wedge dx^{3}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)+\cdots +(-1)^{n-1}v_{n}\left(dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n-1}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{(i-1)}v_{i}\left(dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{i-1}\wedge {\widehat {dx^{i}}}\wedge dx^{i+1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right)\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle {\widehat {dx^{i}}}}$يشير إلى حذف ذلك العنصر.

(على سبيل المثال، عندما${\displaystyle n=3}$أي في الفضاء ثلاثي الأبعاد،${\displaystyle 2}$-استمارة${\displaystyle \omega _{V}}$محليًا، هو حاصل الضرب الثلاثي القياسي مع${\displaystyle V}$.) تكامل${\displaystyle \omega _{V}}$يمثل التدفق فوق سطح فائق${\displaystyle V}$فوق ذلك السطح الفائق.

المشتق الخارجي لهذا${\displaystyle (n-1)}$-form هو${\displaystyle n}$-استمارة $${\displaystyle d\omega _{V}=\operatorname {div} V\left(dx^{1}\wedge dx^{2}\wedge \cdots \wedge dx^{n}\right).}$$

حقل متجهي${\displaystyle V}$على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$وله أيضًا ما يقابله${\displaystyle 1}$-استمارة $${\displaystyle \eta _{V}=v_{1}\,dx^{1}+v_{2}\,dx^{2}+\cdots +v_{n}\,dx^{n}.}$$

محليا،${\displaystyle \eta _{V}}$هو حاصل الضرب النقطي مع${\displaystyle V}$تكامل${\displaystyle \eta _{V}}$العمل الذي يتم إنجازه ضد مسار معين هو العمل الذي يتم إنجازه ضد${\displaystyle -V}$على طول ذلك المسار.

متى${\displaystyle n=3}$في الفضاء ثلاثي الأبعاد، المشتق الخارجي لـ${\displaystyle 1}$-استمارة${\displaystyle \eta _{V}}$هو${\displaystyle 2}$-استمارة $${\displaystyle d\eta _{V}=\omega _{\operatorname {curl} V}.}$$

يمكن تعميم عوامل حساب المتجهات القياسية لأي مشعب شبه ريماني ، وكتابتها في تدوين خالٍ من الإحداثيات على النحو التالي: $${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\operatorname {grad} f&\equiv &\nabla f&=&\left(df\right)^{\sharp }\\\operatorname {div} F&\equiv &\nabla \cdot F&=&{\star d{\star }{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}}\\\operatorname {curl} F&\equiv &\nabla \times F&=&\left({\star }d{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}\right)^{\sharp }\\\Delta f&\equiv &\nabla ^{2}f&=&{\star }d{\star }df\\&&\nabla ^{2}F&=&\left(d{\star }d{\star }{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}-{\star }d{\star }d{\mathord {\left(F^{\flat }\right)}}\right)^{\sharp },\\\end{array}}}$$ أين${\displaystyle \star }$هو مشغل النجمة هودج ،${\displaystyle \flat }$و${\displaystyle \sharp }$هي التماثلات الموسيقية ،${\displaystyle f}$هو حقل قياسي و${\displaystyle F}$هو حقل متجهي .

لاحظ أن التعبير لـ${\displaystyle \operatorname {curl} }$يتطلب${\displaystyle \sharp }$للتصرف بناءً على${\displaystyle \star d(F^{\flat })}$وهو شكل من أشكال الدرجة العلمية${\displaystyle n-2}$تعميم طبيعي لـ${\displaystyle \sharp }$ل${\displaystyle k}$-تسمح الأشكال ذات الدرجة التعسفية لهذا التعبير بأن يكون منطقيًا لأي${\displaystyle n}$.