جبر كولومبو

في الرياضيات ، جبر كولومبو هو جبر من نوع معين يحتوي على فضاء توزيعات شوارتز . في حين أن الضرب العام للتوزيعات غير ممكن في نظرية التوزيعات الكلاسيكية، فإن جبر كولومبو يوفر إطارًا دقيقًا لذلك.

لطالما اعتُقد أن ضرب التوزيعات بهذه الطريقة مستحيل بسبب نتيجة الاستحالة التي توصل إليها ل. شوارتز، والتي تنص أساسًا على أنه لا يمكن وجود جبر تفاضلي يحتوي على فضاء التوزيعات ويحافظ على حاصل ضرب الدوال المتصلة. مع ذلك، إذا اقتصر الأمر على الحفاظ على حاصل ضرب الدوال الملساء، يصبح هذا البناء ممكنًا، كما أثبت كولومبو ذلك أولًا.

يمكن القول إن جبر كولومبو، كأداة رياضية، يجمع بين معالجة التفردات والتفاضل والعمليات غير الخطية في إطار واحد، مما يزيل قيود نظرية التوزيع. وقد وجدت هذه الجبر تطبيقات عديدة في مجالات المعادلات التفاضلية الجزئية، والجيوفيزياء، والتحليل الميكرولوكالي ، والنسبية العامة حتى الآن .

سُميت جبريات كولومبو نسبة إلى عالم الرياضيات الفرنسي جان فرانسوا كولومبو .

محاولة تضمين المساحة${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} )}$توزيعات على${\displaystyle \mathbb {R} }$إلى جبر ترابطي${\displaystyle (A(\mathbb {R} ),\circ ,+)}$، ويبدو أن المتطلبات التالية طبيعية:

1. ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} )}$يتم تضمينها خطيًا في${\displaystyle A(\mathbb {R} )}$بحيث تكون الدالة الثابتة${\displaystyle 1}$تصبح الوحدة في${\displaystyle A(\mathbb {R} )}$،
2. يوجد مؤثر تفاضلي جزئي${\displaystyle \partial }$على${\displaystyle A(\mathbb {R} )}$وهو خطي ويحقق قاعدة لايبنتز،
3. تقييد${\displaystyle \partial }$ل${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} )}$يتطابق مع المشتق الجزئي المعتاد،
4. تقييد${\displaystyle \circ }$ل${\displaystyle C(\mathbb {R} )\times C(\mathbb {R} )}$يتطابق مع حاصل الضرب النقطي.

مع ذلك، تشير نتيجة ل. شوارتز ^{[ 1 ]} إلى أن هذه المتطلبات لا يمكن أن تتحقق في آن واحد. وينطبق الأمر نفسه حتى لو استبدلنا في الفقرة 4${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$بواسطة${\displaystyle C^{k}(\mathbb {R} )}$، مساحة${\displaystyle k}$في حين أن هذه النتيجة غالباً ما تُفسَّر على أنها تعني أن الضرب العام للتوزيعات غير ممكن، إلا أنها في الواقع تُشير فقط إلى أنه لا يمكن الجمع بشكل غير مقيد بين التفاضل وضرب الدوال المتصلة ووجود كائنات شاذة مثل دالة ديراك دلتا.

تُبنى جبريات كولومبو لتلبية الشروط من 1 إلى 3، وشرط مشابه للشرط 4، ولكن مع${\displaystyle C(\mathbb {R} )\times C(\mathbb {R} )}$تم استبدالها بـ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )\times C^{\infty }(\mathbb {R} )}$أي أنها تحافظ على ناتج الدوال الملساء (القابلة للتفاضل إلى ما لا نهاية) فقط.

يُعرَّف جبر كولومبو ^{[ 2 ]} بأنه جبر القسمة

${\displaystyle C_{M}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})/C_{N}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).}$

هنا جبر الدوال المتوسطة${\displaystyle C_{M}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$هي جبر عائلات التنظيمات السلسة ( f _ε )

${\displaystyle {f:}\mathbb {R} _{+}\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$

وظائف سلسة على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (حيث R ₊  =  (0,∞) هو معامل " التنظيم " ε)، بحيث يكون لجميع المجموعات الفرعية المدمجة K من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ولكل المؤشرات المتعددة α، يوجد N > 0 بحيث

${\displaystyle \sup _{x\in K}\left|{\frac {\partial ^{|\alpha |}}{(\partial x_{1})^{\alpha _{1}}\cdots (\partial x_{n})^{\alpha _{n}}}}f_{\varepsilon }(x)\right|=O(\varepsilon ^{-N})\qquad (\varepsilon \to 0).}$

المثالي​${\displaystyle C_{N}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$يتم تعريف الدوال المهملة بنفس الطريقة ولكن مع المشتقات الجزئية التي تكون محدودة بـ O( ε ^+N ) لجميع N > 0.

يمكن تضمين فضاء (فضائ) توزيعات شوارتز في الجبر المبسط عن طريق الالتفاف (على مستوى المكونات) مع أي عنصر من عناصر الجبر الذي يمثله شبكة دلتا ، أي عائلة من الدوال الملساء${\displaystyle \varphi _{\varepsilon }}$بحيث${\displaystyle \varphi _{\varepsilon }\to \delta }$في D' عندما ε → 0.   

هذا التضمين غير قياسي، لأنه يعتمد على اختيار شبكة دلتا. مع ذلك، توجد نسخ من جبر كولومبو (ما يُسمى بالجبر الكامل ) تسمح بتضمينات قياسية للتوزيعات. تُحصل نسخة كاملة معروفة بإضافة المُنعِّمات كمجموعة فهرسة ثانية.

• الدالة المعممة

• كولومبو، جيه إف، الدوال المعممة الجديدة وضرب التوزيعات . نورث هولاند، أمستردام، 1984.
• كولومبو، جيه إف، مقدمة تمهيدية للدوال المعممة الجديدة . نورث هولاند، أمستردام، 1985.
• Nedeljkov, M., Pilipović, S. , Scarpalezos, D., Linear Theory of Colombeau's Generalized Functions , Addison Wesley, Longman, 1998.
• غروسر، م.، كونزينغر، م.، أوبيرغوغنبرغر، م.، شتاينباور، ر.؛ النظرية الهندسية للدوال المعممة مع تطبيقات في النسبية العامة ، سلسلة سبرينغر في الرياضيات وتطبيقاتها، المجلد 537، 2002؛ ISBN 978-1-4020-0145-1.