حلقة القسمة

في نظرية الحلقات ، وهي فرع من الجبر المجرد ، تُعد حلقة القسمة ، والمعروفة أيضًا بحلقة العامل ، أو حلقة الفرق ^{[ 1 ]،} أو حلقة فئة البقايا ، بناءً مشابهًا جدًا لمجموعة القسمة في نظرية الزمر ، وفضاء القسمة في الجبر الخطي . ^{[ 2 ] [ 3 ]} وهي مثال محدد على القسمة ، كما يُنظر إليها من منظور الجبر الشامل . نبدأ بحلقة${\displaystyle R}$ومثال ذو وجهين${\displaystyle I}$في​${\displaystyle R}$، حلقة جديدة ، حلقة القسمة${\displaystyle R\ /\ I}$، يتم إنشاؤها، وعناصرها هي مجموعات مشتركة لـ${\displaystyle I}$في${\displaystyle R}$رهناً بـ${\displaystyle +}$و${\displaystyle \cdot }$عمليات متوافقة مع${\displaystyle +}$و${\displaystyle \cdot }$في​${\displaystyle R}$تُرمز حلقات القسمة بكسر، وعادةً ما يُستخدم رمز الكسر المائل "${\displaystyle /}$يُستخدم أحيانًا بديل وضع الحلقة فوق المثالي باستخدام خط أفقي ( أي شريط الكسر) كفاصل إذا كانت تعابير الحلقة أو المثالي طويلة أو معقدة.

تختلف حلقات القسمة عن "حقل القسمة"، أو حقل الكسور ، لمجال تكاملي وكذلك عن "حلقات القسمة" الأكثر عمومية التي يتم الحصول عليها عن طريق التوطين .

خاتم${\displaystyle R}$ومثال ذو وجهين${\displaystyle I}$في​${\displaystyle R}$، يمكننا تعريف علاقة تكافؤ${\displaystyle \sim }$على${\displaystyle R}$على النحو التالي:

${\displaystyle a\sim b}$إذا وفقط إذا${\displaystyle ab}$موجود في${\displaystyle I}$⁠ .

باستخدام الخصائص المثالية، ليس من الصعب التحقق من ذلك.${\displaystyle \sim }$هي علاقة تطابق . في حالة${\displaystyle a\sim b}$نقول ذلك${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$متطابقة بتردد​${\displaystyle I.}$على سبيل المثال، في${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$${\displaystyle 16}$و${\displaystyle 10}$متطابقة بتردد${\displaystyle (3)}$، كما هو اختلافهم${\displaystyle 6}$هو عنصر من عناصر المثالية${\displaystyle (3)=3\mathbb {Z} .}$^{[ 4 ]}

توجد عدة رموز مختلفة لفئة التكافؤ للعنصر${\displaystyle a}$في${\displaystyle R}$:$${\displaystyle \left[a\right]={\overline {a}}=a\ \operatorname {mod} \ I=a+I:=\left\lbrace a+r:r\in I\right\rbrace }$$يُعدّ استخدام البادئة "mod" تعميمًا للترميز الخاص بفئات البواقي في الحساب النمطي، ويؤدي إلى مصطلح "فئة البواقي لـ${\displaystyle a}$modulo${\displaystyle I}$"لهذه الفئة المكافئة".

يُرمز إلى مجموعة جميع فئات التكافؤ هذه بالرمز ⁠${\displaystyle R\ /\ I}$⁠ ; تصبح حلقة، أو حلقة العوامل ، أو حلقة القسمة لـ${\displaystyle R}$modulo ⁠${\displaystyle I}$، إذا عرّف المرء

• ⁠${\displaystyle (a+I)+(b+I)=(a+b)+I}$⁠ ;
• ⁠${\displaystyle (a+I)(b+I)=(ab)+I}$⁠ .

(هنا يجب التحقق من أن هذه التعريفات محددة جيدًا . قارن بين المجموعة المشاركة ومجموعة القسمة .) العنصر الصفري لـ${\displaystyle R\ /\ I}$هو​${\displaystyle {\bar {0}}=0+I=I}$، والعنصر المحايد الضربي هو${\displaystyle {\bar {1}}=1+I}$⁠ .

الخريطة${\displaystyle p}$من${\displaystyle R}$ل${\displaystyle R\ /\ I}$محدد بواسطة${\displaystyle p(a)=a+I}$هو تماثل حلقي شامل ، ويسمى أحيانًا خريطة القسمة الطبيعية ، أو خريطة الإسقاط الطبيعية ، أو التماثل القانوني .

• حلقة القسمة${\displaystyle R\ /\ \lbrace 0\rbrace }$متماثل بشكل طبيعي مع ⁠${\displaystyle R}$، و${\displaystyle R/R}$هي الحلقة الصفرية${\displaystyle \lbrace 0\rbrace }$، لأنه، بحسب تعريفنا، لأي${\displaystyle r\in R}$لدينا ذلك​${\displaystyle \left[r\right]=r+R=\left\lbrace r+b:b\in R\right\rbrace }$، وهو ما يساوي${\displaystyle R}$نفسه. وهذا يتوافق مع القاعدة العامة التي تقول إن كلما كان الحجم أكبر، كان الحجم المثالي أكبر .${\displaystyle I}$كلما صغر حجم حلقة القسمة${\displaystyle R\ /\ I}$إذا​${\displaystyle I}$هو مثال مناسب لـ${\displaystyle R}$، أي​${\displaystyle I\neq R}$ثم​${\displaystyle R/I}$ليست الحلقة الصفرية.
• لنفترض حلقة الأعداد الصحيحة${\displaystyle \mathbb {Z} }$ومثال الأعداد الزوجية، الذي يرمز إليه بـ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ثم حلقة القسمة${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$يحتوي على عنصرين فقط، المجموعة المشتركة${\displaystyle 0+2\mathbb {Z} }$تتكون من الأعداد الزوجية ومجموعة المشاركة${\displaystyle 1+2\mathbb {Z} }$تتألف من الأعداد الفردية؛ بتطبيق التعريف ،${\displaystyle \left[z\right]=z+2\mathbb {Z} =\left\lbrace z+2y:2y\in 2\mathbb {Z} \right\rbrace }$، حيث${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$هو مثال الأعداد الزوجية. وهو متماثل طبيعياً مع الحقل المنتهي ذي العنصرين ،${\displaystyle F_{2}}$. بشكل بديهي: إذا فكرت في جميع الأعداد الزوجية على أنها ⁠${\displaystyle 0}$إذن ، كل عدد صحيح إما${\displaystyle 0}$(إذا كان العدد زوجيًا) أو${\displaystyle 1}$(إذا كان فرديًا وبالتالي يختلف عن عدد زوجي بمقدار${\displaystyle 1}$) . الحساب النمطي هو في الأساس حساب في حلقة القسمة${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$(الذي لديه${\displaystyle n}$عناصر).
• والآن، لننظر إلى حلقة كثيرات الحدود في المتغير${\displaystyle X}$بمعاملات حقيقية ،​​${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$، والمثالي${\displaystyle I=\left(X^{2}+1\right)}$يتكون من جميع مضاعفات متعددة الحدود${\displaystyle X^{2}+1}$حلقة القسمة${\displaystyle \mathbb {R} [X]\ /\ (X^{2}+1)}$متماثل طبيعياً مع حقل الأعداد المركبة${\displaystyle \mathbb {C} }$، مع الفصل${\displaystyle [X]}$لعب دور الوحدة الخيالية${\displaystyle i}$والسبب هو أننا "أجبرنا "${\displaystyle X^{2}+1=0}$، أي​${\displaystyle X^{2}=-1}$، وهي الخاصية المميزة لـ${\displaystyle i}$بما أن أي أس صحيح لـ${\displaystyle i}$يجب أن يكون إما${\displaystyle \pm i}$أو​${\displaystyle \pm 1}$وهذا يعني أن جميع كثيرات الحدود الممكنة تتبسط أساسًا إلى الشكل التالي :${\displaystyle a+bi}$( للتوضيح، حلقة القسمة )${\displaystyle \mathbb {R} [X]\ /\ (X^{2}+1)}$في الواقع ، هو متماثل طبيعياً مع حقل جميع كثيرات الحدود الخطية .${\displaystyle aX+b;a,b\in \mathbb {R} }$، حيث يتم تنفيذ العمليات بتردد ⁠${\displaystyle X^{2}+1}$في المقابل ، لدينا${\displaystyle X^{2}=-1}$وهذا مطابق${\displaystyle X}$إلى الوحدة التخيلية في الحقل المتماثل للأعداد المركبة.)
• بتعميم المثال السابق، تُستخدم حلقات القسمة غالبًا لإنشاء امتدادات الحقول . لنفترض${\displaystyle K}$هو مجال ما و${\displaystyle f}$هو متعدد حدود غير قابل للاختزال في${\displaystyle K[X]}$ثم​${\displaystyle L=K[X]\ /\ (f)}$هو حقل يكون متعدد الحدود الأدنى الخاص به على${\displaystyle K}$هو​${\displaystyle f}$، والذي يحتوي${\displaystyle K}$بالإضافة إلى عنصر${\displaystyle x=X+(f)}$⁠ .
• أحد الأمثلة المهمة على المثال السابق هو بناء الحقول المنتهية. لنأخذ على سبيل المثال الحقل${\displaystyle F_{3}=\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} }$بثلاثة عناصر. متعددة الحدود${\displaystyle f(X)=X^{2}+1}$لا يمكن اختزاله على${\displaystyle F_{3}}$(لأنها لا تملك جذرًا)، ويمكننا إنشاء حلقة القسمة ⁠${\displaystyle F_{3}[X]\ /\ (f)}$هذا حقل مع${\displaystyle 3^{2}=9}$العناصر، المشار إليها بـ${\displaystyle F_{9}}$. يمكن إنشاء الحقول المنتهية الأخرى بطريقة مماثلة.
• تُعد حلقات الإحداثيات للأصناف الجبرية أمثلة مهمة على حلقات القسمة في الهندسة الجبرية . كمثال بسيط، لننظر إلى الصنف الحقيقي${\displaystyle V=\left\lbrace (x,y)|x^{2}=y^{3}\right\rbrace }$كمجموعة فرعية من المستوى الحقيقي${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. حلقة الدوال متعددة الحدود ذات القيم الحقيقية المعرفة على${\displaystyle V}$يمكن تحديدها بحلقة القسمة${\displaystyle \mathbb {R} [X,Y]\ /\ (X^{2}-Y^{3})}$وهذه هي حلقة الإحداثيات لـ${\displaystyle V}$التنوع​${\displaystyle V}$يتم الآن دراستها من خلال دراسة حلقة الإحداثيات الخاصة بها.
• يفترض${\displaystyle M}$هو${\displaystyle \mathbb {C} ^{\infty }}$- متعدد الشعب ، و${\displaystyle p}$هي نقطة من${\displaystyle M}$. لننظر إلى الحلقة${\displaystyle R=\mathbb {C} ^{\infty }(M)}$من بين الجميع${\displaystyle \mathbb {C} ^{\infty }}$- الدوال المعرفة على${\displaystyle M}$ودع${\displaystyle I}$كن مثالياً في${\displaystyle R}$تتألف من تلك الوظائف${\displaystyle f}$والتي تساوي صفرًا تمامًا في جوار ما${\displaystyle U}$ل${\displaystyle p}$(أين${\displaystyle U}$قد يعتمد على${\displaystyle f}$ثم حلقة القسمة${\displaystyle R\ /\ I}$هي حلقة من جراثيم${\displaystyle \mathbb {C} ^{\infty }}$-وظائف على${\displaystyle M}$في​${\displaystyle p}$⁠ .
• تأمل في الخاتم${\displaystyle F}$من العناصر المحدودة لحقل فائق الواقعية${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$وهي تتكون من جميع الأعداد الفائقة الحقيقية التي تختلف عن العدد الحقيقي القياسي بمقدار متناهي الصغر، أو بصورة مكافئة: من جميع الأعداد الفائقة الحقيقية${\displaystyle x}$والتي يكون لها عدد صحيح قياسي${\displaystyle n}$مع${\displaystyle -n<x<n}$موجود. المجموعة${\displaystyle I}$من جميع الأعداد المتناهية الصغر في${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$، بالإضافة إلى${\displaystyle 0}$، هو مثال في${\displaystyle F}$وحلقة القسمة${\displaystyle F\ /\ I}$متماثل مع الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$. يتم استنباط التشاكل عن طريق ربط كل عنصر${\displaystyle x}$ل${\displaystyle F}$الجزء القياسي من​${\displaystyle x}$أي العدد الحقيقي الفريد الذي يختلف عن${\displaystyle x}$بمقدار متناهي الصغر. في الواقع، نحصل على النتيجة نفسها، وهي ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$، إذا بدأ المرء بالخاتم${\displaystyle F}$بالنسبة للأعداد النسبية الفائقة المحدودة (أي نسبة زوج من الأعداد الصحيحة الفائقة )، انظر بناء الأعداد الحقيقية .

من الواضح، إذا${\displaystyle R}$إذا كانت حلقة تبديلية ، فإن ⁠${\displaystyle R\ /\ I}$⁠ ; لكن العكس ليس صحيحاً بالضرورة.

خريطة القسمة الطبيعية${\displaystyle p}$لديه${\displaystyle I}$باعتبارها نواة لها ؛ بما أن نواة كل تشاكل حلقي هي مثالي ثنائي الجانب، فيمكننا القول إن المثالي ثنائي الجانب هو بالضبط نوى التشاكلات الحلقية.

يمكن تلخيص العلاقة الوثيقة بين تشاكلات الحلقات، والنوى، وحلقات القسمة على النحو التالي: تشاكلات الحلقات المعرفة على${\displaystyle R\ /\ I}$هي في الأساس متطابقة مع تشاكلات الحلقة المعرفة على${\displaystyle R}$التي تتلاشى (أي تساوي صفرًا) على${\displaystyle I}$. وبشكل أدق، بالنظر إلى مثالي ذي جانبين${\displaystyle I}$في${\displaystyle R}$وتماثل حلقي${\displaystyle f:R\to S}$التي تحتوي نواتها على${\displaystyle I}$يوجد تشاكل حلقي واحد فقط${\displaystyle g:R\ /\ I\to S}$مع${\displaystyle gp=f}$(أين${\displaystyle p}$(هي خريطة القسمة الطبيعية). الخريطة${\displaystyle g}$يتم تحديد ذلك من خلال قاعدة محددة جيدًا${\displaystyle g([a])=f(a)}$للجميع${\displaystyle a}$في​${\displaystyle 1R}$⁠ . في الواقع، يمكن استخدامهذه الخاصية العامة لتعريف حلقات القسمة وخرائط القسمة الطبيعية الخاصة بها.

ونتيجة لما سبق، نحصل على العبارة الأساسية: كل تشاكل حلقي${\displaystyle f:R\to S}$يُحدث تماثلًا حلقيًا بين حلقة القسمة${\displaystyle R\ /\ \ker(f)}$والصورة​${\displaystyle \mathrm {im} (f)}$. (انظر أيضًا: النظرية الأساسية حول التشاكلات .)

مُثُل${\displaystyle R}$و${\displaystyle R\ /\ I}$ترتبط هذه المفاهيم ارتباطًا وثيقًا: إذ توفر خريطة القسمة الطبيعية تقابلًا ثنائيًا بين المُثُل الثنائية لـ${\displaystyle R}$التي تحتوي${\displaystyle I}$والمُثُل ذات الجانبين لـ${\displaystyle R\ /\ I}$(وينطبق الأمر نفسه على المُثُل اليسرى واليمنى). تمتد هذه العلاقة بين المُثُل ذات الجانبين إلى علاقة بين حلقات القسمة المُناظرة: إذا${\displaystyle M}$هو مثال ذو وجهين في${\displaystyle R}$الذي يحتوي على${\displaystyle I}$ونكتب​${\displaystyle M\ /\ I}$للمثال المقابل في${\displaystyle R\ /\ I}$( أي${\displaystyle M\ /\ I=p(M)}$) ، حلقات القسمة${\displaystyle R\ /\ M}$و${\displaystyle (R/I)\ /\ (M/I)}$متماثلة بشكل طبيعي عبر عملية الربط (المحددة جيدًا )${\displaystyle a+M\mapsto (a+I)+M/I}$⁠ .

تُثبت الحقائق التالية فائدتها في الجبر التبادلي والهندسة الجبرية : لـ${\displaystyle R\neq \lbrace 0\rbrace }$تبادلي،${\displaystyle R\ /\ I}$يُعتبر حقلاً إذا وفقط إذا${\displaystyle I}$هو مثال أمثل أقصى ، بينما${\displaystyle R/I}$تكون منطقة تكاملية إذا وفقط إذا${\displaystyle I}$هو مثال أولي . ويرتبط عدد من العبارات المماثلة بخصائص هذا المثال.${\displaystyle I}$خصائص حلقة القسمة${\displaystyle R\ /\ I}$⁠ .

تنص نظرية الباقي الصينية على أنه إذا كان المثالي${\displaystyle I}$هو تقاطع (أو ما يعادله، حاصل ضرب) المثاليّات الأولية فيما بينها${\displaystyle I_{1},\ldots ,I_{k}}$ثم حلقة القسمة${\displaystyle R\ /\ I}$متماثل مع حاصل ضرب حلقات القسمة${\displaystyle R\ /\ I_{n},\;n=1,\ldots ,k}$⁠ .

الجبر الترابطي${\displaystyle A}$فوق حلقة تبديلية${\displaystyle R}$هو نفسه حلقة. إذا${\displaystyle I}$يُعدّ مثالاً يُحتذى به في${\displaystyle A}$(مغلق بموجب${\displaystyle A}$الضرب :${\displaystyle AI\subseteq I}$ثم​${\displaystyle A/I}$يرث بنية الجبر على${\displaystyle R}$وهو جبر القسمة .

• خاتم مصنف مرتبط
• حقل البقايا
• نظرية غولدي
• وحدة القسمة

• F. Kasch (1978) Moduln und Ringe ، ترجمة DAR Wallace (1982) Modules and Rings ، Academic Press ، صفحة 33.
• Neal H. McCoy (1948) Rings and Ideals , §13 Residue class rings, page 61, Carus Mathematical Monographs #8, Mathematical Association of America .
• جوزيف روتمان (1998). نظرية جالوا (الطبعة الثانية  ). سبرينغر. ص 21 – 23. ردمك  0-387-98541-7.
• بي إل فان دير واردن (1970) الجبر ، ترجمة فريد بلوم وجون آر شولنبرغر، دار نشر فريدريك أونغار، نيويورك. انظر الفصل 3.5، "المثاليات. حلقات فئة البقايا"، الصفحات 47-51.

• "حلقة القسمة" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
• المثاليات وحلقات العوامل من كتاب جون بيتشي للجبر المجرد على الإنترنت