الجبر الترابطي

يُعادل هذا التعريف القول بأن الجبر الترابطي الأحادي على R هو كائن أحادي في R -Mod ( الفئة الأحادية للوحدات على R ). وبحسب التعريف، فإن الحلقة هي كائن أحادي في فئة الزمر الأبيلية ؛ وبالتالي، يُستنتج مفهوم الجبر الترابطي باستبدال فئة الزمر الأبيلية بفئة الوحدات .

بتوسيع هذه الفكرة، قدّم بعض المؤلفين "حلقة معممة" ككائن أحادي في فئة أخرى، تتصرف كفئة الوحدات. في الواقع، يسمح هذا التفسير الجديد بتجنب الإشارة الصريحة إلى عناصر الجبر A. على سبيل المثال، يمكن التعبير عن خاصية التجميع كما يلي: بفضل الخاصية العامة للجداء الموتري للوحدات ، فإن عملية الضرب ( الخريطة الثنائية الخطية R ) تُقابل خريطة خطية R فريدة.

${\displaystyle m:A\otimes _{R}A\to A}$.

ثم تشير خاصية التجميع إلى الهوية:

${\displaystyle m\circ ({\operatorname {id} }\otimes m)=m\circ (m\otimes \operatorname {id} ).}$

الجبر الترابطي هو تشاكل حلقي تقع صورته في المركز . في الواقع، بدءًا من حلقة A وتشاكل حلقي η  : R → A تقع صورته في مركز A ، يمكننا جعل A جبرًا على R بتعريف

${\displaystyle r\cdot x=\eta (r)x}$

لكل r ∈ R و x ∈ A. إذا كانت A جبرًا على R ، مع أخذ x = 1 ، فإن الصيغة نفسها بدورها تحدد تشاكلًا حلقيًا η  : R → A تقع صورته في المركز.

إذا كانت الحلقة تبديلية فإنها تساوي مركزها، بحيث يمكن تعريف الجبر R التبديلي ببساطة على أنه حلقة تبديلية A مع تشاكل الحلقة التبديلية η  : R → A.

يُطلق على التماثل الحلقي η الظاهر أعلاه غالبًا اسم خريطة البنية . في الحالة التبادلية، يمكن اعتبار الفئة التي تكون عناصرها تماثلات حلقية R → A لقيمة R ثابتة ، أي الجبر التبادلي R ، وتكون تماثلاتها تماثلات حلقية A → A ′ تحت R ؛ أي أن R → A → A ′ هي R → A ′ (أي فئة الشريحة المشتركة لفئة الحلقات التبادلية تحت R ). ثم يُحدد مُؤثر الطيف الأولي Spec تكافؤًا عكسيًا لهذه الفئة مع فئة المخططات الأفينية فوق Spec R.

كيفية إضعاف فرضية التبديلية موضوعٌ في الهندسة الجبرية غير التبديلية ، ومؤخراً في الهندسة الجبرية المشتقة . انظر أيضاً: حلقة المصفوفات العامة .

• يمكن اعتبار أي حلقة A جبرًا من نوع Z. ويُحدد التماثل الحلقي الوحيد من Z إلى A بحقيقة أنه يجب أن يُرسل 1 إلى العنصر المحايد في A. لذلك، فإن الحلقات وجبر Z مفاهيم متكافئة، بنفس الطريقة التي تكون بها الزمر الأبيلية ووحدات Z متكافئة.
• أي حلقة ذات خاصية n هي جبر ( Z / nZ ) بنفس الطريقة.
• بالنظر إلى R -module M ، فإن حلقة التشكل الداخلي لـ M ، المشار إليها بـ End _R ( M ) هي جبر R من خلال تعريف ( r · φ )( x ) = r · φ ( x ) .
• أي حلقة من المصفوفات ذات المعاملات في حلقة تبديلية R تُشكّل جبرًا على R تحت عمليتي جمع وضرب المصفوفات. ويتطابق هذا مع المثال السابق عندما تكون M وحدة نمطية حرة منتهية التوليد على R.
  • على وجه الخصوص، تشكل المصفوفات المربعة n × n ذات المدخلات من الحقل K جبرًا ترابطيًا على K.
• تشكل الأعداد المركبة جبرًا تبادليًا ثنائي الأبعاد على الأعداد الحقيقية .
• تشكل الكواترنيونات جبرًا ترابطيًا رباعي الأبعاد على الأعداد الحقيقية (ولكن ليس جبرًا على الأعداد المركبة، لأن الأعداد المركبة ليست في مركز الكواترنيونات).
• كل حلقة متعددة الحدود R [ x1 , ..., xn ] هي جبر تبديلي على R. في الواقع، هذا هو الجبر التبديلي الحر على _R على المجموعة { x1 _{, ...} , xn _} .
• الجبر الحر R على مجموعة E هو جبر "كثيرات الحدود" ذات المعاملات في R والمتغيرات غير التبادلية المأخوذة من المجموعة E.
• إن جبر الموترات لوحدة R هو جبر R ترابطي بطبيعته . وينطبق الأمر نفسه على جبر القسمة، مثل الجبر الخارجي والجبر المتناظر . وبصورة عامة، فإن الدالة التي تربط وحدة R بجبر الموترات الخاص بها هي دالة مرافقة يسارية للدالة التي تربط جبر R بوحدة R الأساسية (مع إغفال البنية الضربية).
• بالنظر إلى وحدة نمطية M على حلقة تبديلية R ، فإن المجموع المباشر للوحدات النمطية R ⊕ M له بنية جبر R، وذلك بافتراض أن M تتكون من عناصر متناهية الصغر؛ أي أن عملية الضرب تُعطى على النحو التالي: ( a + x )( b + y ) = ab + ay + bx . يُطلق على هذا المفهوم أحيانًا اسم جبر الأعداد الثنائية .
• الجبر شبه الحر ، الذي قدمه كونتز وكويلين، هو نوع من التعميم للجبر الحر والجبر شبه البسيط على حقل مغلق جبريًا.

• إذا كانت R تبديلية و X أي مجموعة فإن A = R ^X = { f  : X → R } مع العمليات النقطية هي جبر تبديلي.

• الجبر الشامل الشامل لجبر لي هو جبر ترابطي يمكن استخدامه لدراسة جبر لي المعطى.
• إذا كانت G زمرة و R حلقة تبديلية، فإن مجموعة جميع الدوال من G إلى R ذات الدعم المحدود تُشكّل جبرًا على R، حيث يكون الالتفاف بمثابة الضرب. يُسمى هذا الجبر بجبر الزمرة G. ويُعدّ هذا البناء نقطة انطلاق لتطبيقه في دراسة الزمر (المنفصلة) .
• إذا كانت G زمرة جبرية (مثل زمرة لي المعقدة شبه البسيطة )، فإن حلقة الإحداثيات لـ G هي جبر هوبف A المقابل لـ G. العديد من بنى G تُترجم إلى بنى A.
• إن جبر السهم (أو جبر المسار) للرسم البياني الموجه هو الجبر الترابطي الحر على حقل يتم إنشاؤه بواسطة المسارات في الرسم البياني.

• بالنظر إلى أي فضاء باناخ X ، فإن المؤثرات الخطية المستمرة A : X → X تشكل جبرًا ترابطيًا (باستخدام تركيب المؤثرات كضرب)؛ هذا هو جبر باناخ . 
• بالنظر إلى أي فضاء طوبولوجي X ، فإن الدوال الحقيقية أو المركبة المستمرة على X تشكل جبرًا ترابطيًا حقيقيًا أو مركبًا؛ هنا يتم جمع الدوال وضربها نقطيًا.
• تشكل مجموعة شبه المارتينجالات المعرفة على فضاء الاحتمالية المُصفى (Ω، F ، ( F _t ) _{t ≥0} ، P) حلقة تحت التكامل العشوائي .
• جبر ويل
• جبر أزومايا

• جبر كليفورد ، وهو مفيد في الهندسة والفيزياء .
• تعتبر جبريات الوقوع للمجموعات المرتبة جزئياً ذات النهاية المحلية جبريات ترابطية يتم النظر فيها في علم التوافق .
• جبر التقسيم وجبره الفرعي، بما في ذلك جبر براور وجبر تمبرلي-ليب .
• الجبر التفاضلي المتدرج هو جبر ترابطي يتكون من تدرج وتفاضل. على سبيل المثال، جبر دي رام${\textstyle \Omega (M)=\bigoplus _{p=0}^{n}\Omega ^{p}(M)}$، أين${\textstyle \Omega ^{p}(M)}$يتكون من أشكال تفاضلية من الرتبة p على مشعب M ، وهو جبر متدرج تفاضلي.

• جبر بواسون هو جبر تبادلي ترابطي على حقل مع بنية جبر لي بحيث يحقق قوس لي {,} قاعدة لايبنيز؛ أي { fg , h } = f { g , h } + g { f , h } .
• بالنظر إلى جبر بواسون${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$، ضع في اعتبارك الفضاء المتجهي${\displaystyle {\mathfrak {a}}[\![u]\!]}$سلسلة القوى الرسمية على${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$. لو ${\displaystyle {\mathfrak {a}}[\![u]\!]}$له بنية جبر ترابطي مع الضرب${\displaystyle *}$بحيث يكون، من أجل${\displaystyle f,g\in {\mathfrak {a}}}$،

  ${\displaystyle f*g=fg-{\frac {1}{2}}\{f,g\}u+\cdots ,}$

ثم${\displaystyle {\mathfrak {a}}[\![u]\!]}$يُطلق عليه اسم تكميم التشوه لـ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$.

• جبر مغلف كمي . يتبين أن ثنائي هذا الجبر هو جبر ترابطي (انظر §  ثنائي الجبر الترابطي ) وهو، من الناحية الفلسفية، حلقة الإحداثيات (المكممة) لمجموعة كمومية .
• جبر جيرستنهاوبر

بما أن A أرتينية، فإذا كانت تبديلية، فإنها تكون ناتج ضرب منتهٍ لحلقات محلية أرتينية تكون حقولها المتبقية جبرًا على الحقل الأساسي k . الآن، الحلقة المحلية الأرتينية المختزلة هي حقل، وبالتالي فإن ما يلي متكافئ ^{[ 4 ].}

1. ${\displaystyle A}$قابل للفصل.
2. ${\displaystyle A\otimes {\overline {k}}}$يتم تقليله، حيث${\displaystyle {\overline {ك}}}$هو إغلاق جبري لـ k .
3. ${\displaystyle A\otimes {\overline {k}}={\overline {k}}^{n}}$لبعض n .
4. ${\displaystyle \dim _{k}A}$هو عدد${\displaystyle k}$تماثلات الجبر${\displaystyle A\to {\overline {k}}}$.

يترك${\displaystyle \Gamma =\operatorname {Gal} (k_{s}/k)=\varprojlim \operatorname {Gal} (k'/k)}$، المجموعة شبه المنتهية لامتدادات غالوا المنتهية لـ k . ثم${\displaystyle A\mapsto X_{A}=\{k{\text{-algebra homomorphisms }}A\to k_{s}\}}$هي تكافؤ عكسي لفئة الجبر k القابل للفصل ذي الأبعاد المحدودة مع فئة المجموعات المنتهية ذات الاستمرارية${\displaystyle \Gamma }$- الإجراءات. ^{[ 5 ]}

بما أن حلقة أرتين البسيطة هي حلقة مصفوفات (كاملة) فوق حلقة قسمة ، فإذا كانت A جبرًا بسيطًا، فإن A تكون جبر مصفوفات (كاملًا) فوق جبر قسمة D على k ؛ أي أن A = M _n ( D ) . وبشكل أعم، إذا كانت A جبرًا شبه بسيط، فإنها تكون ناتج ضرب منتهٍ لجبر المصفوفات (فوق جبر قسمة k- المختلفة )، وهي الحقيقة المعروفة باسم نظرية أرتين-ويدربورن .

إن كون A أرتيني يبسط مفهوم جذر جاكوبسون ؛ بالنسبة لحلقة أرتينية، فإن جذر جاكوبسون لـ A هو تقاطع جميع المُثُل القصوى (ذات الجانبين) (على النقيض من ذلك، بشكل عام، جذر جاكوبسون هو تقاطع جميع المُثُل القصوى اليسرى أو تقاطع جميع المُثُل القصوى اليمنى).

تنص نظرية ويدربورن الرئيسية على ما يلي: ^{[ 6 ]} بالنسبة لجبر A ذي بُعد منتهٍ يحتوي على مثالي نيلبوتنت I ، إذا كان البُعد الإسقاطي لـ A / I كوحدة نمطية على الجبر المُغلِّف ( A / I ) ^e لا يتجاوز واحدًا، فإن التطبيق الشامل الطبيعي p  : A → A / I ينقسم؛ أي أن A يحتوي على جبر جزئي B بحيث يكون p | _B  : B → A / I تشاكلًا. وباعتبار I هو جذر جاكوبسون ، تنص النظرية تحديدًا على أن جذر جاكوبسون مُكمَّل بجبر شبه بسيط. وتُعد هذه النظرية نظيرًا لنظرية ليفي لجبر لي .

يُعرَّف الجبر الترابطي على K بفضاء متجهي A على K مزود بتطبيق ثنائي الخطية A × A → A له مدخلان (المضروب والمضروب فيه) ومخرج واحد (الناتج)، بالإضافة إلى تشاكل K → A يُحدد المضاعفات العددية للعنصر المحايد الضربي. إذا أُعيد تفسير التطبيق الثنائي الخطية A × A → A كتطبيق خطي (أي تشاكل في فئة الفضاءات المتجهة على K ) A ⊗ A → A (باستخدام الخاصية العامة للجداء الموتري )، فيمكننا اعتبار الجبر الترابطي على K فضاءً متجهيًا A على K مزودًا بتشاكلين (أحدهما على الصورة A ⊗ A → A والآخر على الصورة K → A ) يحققان شروطًا معينة تُختزل إلى بديهيات الجبر. يمكن تحويل هذين الشكلين إلى شكلين ثنائيين باستخدام الازدواجية الفئوية عن طريق عكس جميع الأسهم في المخططات التبادلية التي تصف بديهيات الجبر ؛ وهذا يحدد بنية الجبر المشترك .

يوجد أيضاً مفهوم مجرد للجبر المشترك F ، حيث F دالة . ويرتبط هذا المفهوم بشكل غامض بمفهوم الجبر المشترك الذي نوقش أعلاه .

لنفترض، على سبيل المثال، تمثيلين σ  : A → End( V ) و τ  : A → End( W ) . قد يحاول المرء تكوين تمثيل ضرب موتر ρ  : x ↦ σ ( x ) ⊗ τ ( x ) وفقًا لكيفية تأثيره على فضاء متجه الضرب، بحيث

${\displaystyle \rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)(v))\otimes (\tau (x)(w)).}$

لكن مثل هذه الخريطة لن تكون خطية، إذ سيكون لدى المرء

${\displaystyle \rho (kx)=\sigma (kx)\otimes \tau (kx)=k\sigma (x)\otimes k\tau (x)=k^{2}(\sigma (x)\otimes \tau (x))=k^{2}\rho (x)}$

لكل k ∈ K. يمكن إنقاذ هذه المحاولة واستعادة الخطية بفرض بنية إضافية، وذلك بتعريف تشاكل جبري Δ  : A → A ⊗ A ، وتعريف تمثيل حاصل الضرب الموتري على النحو التالي:

${\displaystyle \rho =(\sigma \otimes \tau )\circ \Delta .}$

يُطلق على هذا التشاكل Δ اسم الضرب المشترك إذا حقق بديهيات معينة. ويُسمى التركيب الناتج جبرًا ثنائيًا . وللتوافق مع تعريفات الجبر الترابطي، يجب أن يكون الجبر المشترك ترابطيًا مشتركًا، وإذا كان الجبر أحاديًا، فيجب أن يكون الجبر المشترك أحاديًا مشتركًا أيضًا. جبر هوبف هو جبر ثنائي ذو بنية إضافية (ما يُسمى بالمضاد)، مما يسمح ليس فقط بتعريف حاصل الضرب الموتري لتمثيلين، بل أيضًا بتعريف وحدة Hom لتمثيلين (مرة أخرى، على غرار ما يتم في نظرية تمثيل المجموعات).

يمكن للمرء أن يحاول أن يكون أكثر ذكاءً في تعريف حاصل الضرب الموتري. لنأخذ على سبيل المثال،

${\displaystyle x\mapsto \rho (x)=\sigma (x)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)}$

بحيث يكون الفعل على فضاء حاصل الضرب الموتري معطى بواسطة

${\displaystyle \rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)v)\otimes w+v\otimes (\tau (x)w)}$.

هذه الدالة خطية بوضوح في x ، وبالتالي فهي لا تعاني من مشكلة التعريف السابق. ومع ذلك، فهي لا تحافظ على عملية الضرب.

${\displaystyle \rho (xy)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)}$.

لكن هذا لا يساوي بشكل عام

$//$.

يُظهر هذا أن تعريف جداء الموتر هذا ساذج للغاية؛ والحل الواضح هو تعريفه بحيث يكون مضادًا للتناظر، بحيث يلغي الحدّان الأوسطان بعضهما بعضًا. وهذا يقود إلى مفهوم جبر لي .