التقارب المضغوط

الموسوعة الحرة

في الرياضيات، يُعد التقارب المضغوط (أو التقارب المنتظم على المجموعات المضغوطة ) نوعًا من التقارب يُعمم فكرة التقارب المنتظم . وهو مرتبط بطوبولوجيا المجموعات المضغوطة المفتوحة .

تعريف

يترك(X،تي){\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}ليكن فضاءً طوبولوجياً و(Y،دY){\displaystyle (Y,d_{Y})}ليكن فضاءً متريًا . سلسلة من الدوال

ون:X→Y{\displaystyle f_{n}:X\to Y}،ن∈شمال،{\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}

يقال إنها تتقارب بشكل مضغوط عندمان→∞{\displaystyle n\to \infty }لبعض الوظائفو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}إذا، لكل مجموعة مضغوطةك⊆X{\displaystyle K\subseteq X}،

ون|ك→و|ك{\displaystyle f_{n}|_{K}\to f|_{K}}

بشكل موحدك{\displaystyle K}مثلن→∞{\displaystyle n\to \infty }وهذا يعني أنه بالنسبة لجميع الأحجام المدمجةك⊆X{\displaystyle K\subseteq X}،

ليمن→∞رشفةx∈كدY(ون(x)،و(x))=0.{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sup _{x\in K}d_{Y}\left(f_{n}(x),f(x)\right)=0.}

أمثلة

  • لوX=(0،1)⊆R{\displaystyle X=(0,1)\subseteq \mathbb {R} }وY=R{\displaystyle Y=\mathbb {R} }مع بنيتها الطوبولوجية المعتادة، معون(x):=xن{\displaystyle f_{n}(x):=x^{n}}، ثمون{\displaystyle f_{n}}يتقارب بشكل مضغوط إلى الدالة الثابتة ذات القيمة 0، لكن التقارب المنتظم لا يتحقق.
  • لوX=(0،1]{\displaystyle X=(0,1]}،Y=R{\displaystyle Y=\mathbb {R} }وون(x)=xن{\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}}، ثمون{\displaystyle f_{n}}يتقارب نقطيًا إلى الدالة التي تساوي صفرًا على(0،1){\displaystyle (0,1)}وواحد في1{\displaystyle 1}لكن المتتالية لا تتقارب بشكل مضغوط.
  • تُعدّ نظرية أرزيلا-أسكولي أداةً بالغة الأهمية لإثبات التقارب المدمج . ولها عدة صيغ، وتنص باختصار على أن كل متتالية من الدوال المتساوية الاستمرارية والمحدودة بانتظام تحتوي على متتالية جزئية تتقارب تقاربًا مدمجًا إلى دالة متصلة ما.

ملكيات

  • لوون→و{\displaystyle f_{n}\to f}بشكل موحد، إذنون→و{\displaystyle f_{n}\to f}بشكل مضغوط.
  • لو(X،تي){\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}مساحة صغيرة وون→و{\displaystyle f_{n}\to f}ثم بشكل مضغوطون→و{\displaystyle f_{n}\to f}بشكل موحد.
  • لو(X،تي){\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}إذا كانت مساحة مضغوطة محليًا ،ون→و{\displaystyle f_{n}\to f}مضغوطة إذا وفقط إذاون→و{\displaystyle f_{n}\to f}بشكل موحد محلياً.
  • لو(X،تي){\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}هو فضاء مُولّد بشكل مضغوط ،ون→و{\displaystyle f_{n}\to f}بشكل مضغوط، وكلون{\displaystyle f_{n}}إذا كانت متصلة ، فإنو{\displaystyle f}متصل.

انظر أيضاً

مراجع