التقارب المنتظم

في مجال التحليل الرياضي ، يُعد التقارب المنتظم نمطًا من أنماط تقارب الدوال أقوى من التقارب النقطي . سلسلة من الدوال${\displaystyle (f_{n})}$يتقارب بانتظام إلى دالة حدية${\displaystyle f}$إذا كانت، بشكل عام، تقارب الدالة بشكل منتظم${\displaystyle f}$على كامل المجال، مما يعني أن جميع دوال المتتالية تقريبًا تقع ضمن هامش خطأ منتظم للدالة الأصلية. بيانيًا، هذا يعني أنه عند إعطاء أي نطاق رفيع حول الرسم البياني لـ${\displaystyle f}$، الرسوم البيانية لجميع الدوال باستثناء عدد محدود منها${\displaystyle f_{n}}$تقع ضمن هذا النطاق الضيق. وهذا على عكس التقارب النقطي، حيث تقع جميع الدوال تقريبًا، باستثناء عدد محدود منها، ضمن نطاق ضيق عند كل نقطة، ولكن المجموعة المحدودة من الدوال التي يجب استبعادها لتحقيق ذلك تختلف من نقطة إلى أخرى.

تُعدّ قوة التقارب المنتظم مثاليةً في العديد من التطبيقات، حيث لا يكفي التقارب النقطي. على سبيل المثال، النهاية المنتظمة لمتتالية من الدوال المتصلة تكون متصلة تلقائيًا؛ والنهاية المنتظمة للدوال القابلة للتكامل وفقًا لريمان تكون قابلة للتكامل وفقًا لريمان تلقائيًا. مع فرضيات إضافية، يمكن نقل خاصية التفاضل إلى دالة النهاية أيضًا. لم يُدرك الفرق بين التقارب المنتظم والتقارب النقطي إدراكًا كاملًا في بدايات علم التفاضل والتكامل، مما أدى إلى حالات من الاستدلال الخاطئ. وقد صاغ كارل فايرشتراس هذا المفهوم رسميًا لأول مرة .

في عام 1821، نشر أوغستين لويس كوشي برهانًا على أن مجموع الدوال المتصلة المتقاربة يكون دائمًا متصلًا، وهو ما وجد نيلز هنريك أبيل في عام 1826 أمثلة مضادة مزعومة في سياق متسلسلات فورييه ، مجادلًا بأن برهان كوشي لا بد أن يكون خاطئًا. لم تكن المفاهيم القياسية للتقارب موجودة في ذلك الوقت، وقد تعامل كوشي مع التقارب باستخدام طرق التناقص في الصغر. وبصياغة حديثة، فإن ما أثبته كوشي هو أن متتالية الدوال المتصلة المتقاربة بانتظام لها نهاية متصلة. إن عدم تقارب نهاية الدوال المتصلة المتقاربة نقطيًا فقط إلى دالة متصلة يوضح أهمية التمييز بين أنواع التقارب المختلفة عند التعامل مع متتاليات الدوال. ^{[ 1 ]}

ربما استخدم كريستوف جودرمان مصطلح التقارب المنتظم لأول مرة في ورقة بحثية عام 1838 حول الدوال الإهليلجية ، حيث استخدم عبارة "التقارب بطريقة منتظمة" عندما كان "نمط التقارب" لسلسلة${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x,\phi ,\psi )}$مستقل عن المتغيرات${\displaystyle \phi }$و${\displaystyle \psi .}$على الرغم من أنه اعتبر تقارب المتسلسلة بهذه الطريقة "حقيقة لافتة للنظر"، إلا أنه لم يقدم تعريفًا رسميًا لها، ولم يستخدم هذه الخاصية في أي من براهينه. ^{[ 2 ]}

لاحقًا، صاغ كارل فايرشتراس ، تلميذ غودرمان الذي حضر دورته التدريبية حول الدوال الإهليلجية في الفترة 1839-1840، مصطلح " gleichmäßig konvergent " ( بالألمانية : gleichmäßig konvergent ) الذي استخدمه في بحثه " Zur Theorie der Potenzreihen" عام 1841 ، والذي نُشر عام 1894. وبشكل مستقل، صاغ فيليب لودفيغ فون سايدل ^{[ 3 ]} وجورج غابرييل ستوكس مفاهيم مماثلة . يقارن جي إتش هاردي بين التعريفات الثلاثة في بحثه "السير جورج ستوكس ومفهوم التقارب المنتظم" ويشير إلى أن: "اكتشاف فايرشتراس كان الأقدم، وهو وحده من أدرك تمامًا أهميته البالغة كأحد الأفكار الأساسية في التحليل."

تحت تأثير فايرشتراس وبرنهارد ريمان، تمت دراسة هذا المفهوم والأسئلة ذات الصلة بشكل مكثف في نهاية القرن التاسع عشر من قبل هيرمان هانكل ، وبول دو بوا-ريموند ، وأوليس ديني ، وسيزار أرزيلا، وآخرين.

نُعرّف أولاً التقارب المنتظم للدوال ذات القيم الحقيقية ، على الرغم من أن المفهوم يُمكن تعميمه بسهولة ليشمل الدوال التي تُسقط على الفضاءات المترية ، وبشكل أعم، على الفضاءات المنتظمة (انظر أدناه ). ^{[ 4 ]}

يفترض${\displaystyle E}$هي مجموعة و${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$هي متتالية من الدوال الحقيقية المعرفة عليها. نقول إن المتتالية${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$متقاربة بانتظام على${\displaystyle E}$مع حد${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$إذا لكل${\displaystyle \varepsilon >0,}$يوجد عدد طبيعي${\displaystyle N}$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle n\geq N}$وللجميع${\displaystyle x\in E}$

${\displaystyle {\bigl |}f_{n}(x)-f(x){\bigr |}<\varepsilon .}$

رمز التقارب المنتظم لـ${\displaystyle f_{n}}$ل${\displaystyle f}$ليست موحدة تمامًا، وقد استخدم مؤلفون مختلفون مجموعة متنوعة من الرموز، بما في ذلك (بترتيب تنازلي تقريبًا حسب شيوعها):

${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f,\quad {\underset {n\to \infty }{\mathrm {unif\ lim} }}f_{n}=f,\quad f_{n}{\overset {\mathrm {unif.} }{\longrightarrow }}f,\quad f=\mathrm {u} \!\!-\!\!\!\lim _ {n\to \infty}f_{n}.}$

في كثير من الأحيان، لا يتم استخدام أي رمز خاص، ويكتب المؤلفون ببساطة

${\displaystyle f_{n}\to f\quad \mathrm {uniformly} }$

للدلالة على أن التقارب منتظم. (على النقيض من ذلك، فإن التعبير${\displaystyle f_{n}\to f}$على${\displaystyle E}$بدون ظرف، يُفهم على أنه تقارب نقطي على${\displaystyle E}$للجميع${\displaystyle x\in E}$،${\displaystyle f_{n}(x)\to f(x)}$مثل${\displaystyle n\to \infty }$.)

منذ${\displaystyle \mathbb {R} }$إذا كانت فضاءً متريًا كاملاً ، فيمكن استخدام معيار كوشي لإعطاء صيغة بديلة مكافئة للتقارب المنتظم:${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$يتقارب بانتظام على${\displaystyle E}$(بالمعنى السابق) إذا وفقط إذا كان لكل${\displaystyle \varepsilon >0}$يوجد عدد طبيعي${\displaystyle N}$بحيث

${\displaystyle x\in E,m,n\geq N\implies {\bigl |}f_{m}(x)-f_{n}(x){\bigr |}<\varepsilon }$.

في صيغة مكافئة أخرى (مشتقة باستخدام تعريف النهاية والقيمة العليا )، إذا عرّفنا

${\displaystyle d_{n}=\sup _{x\in E}{\bigl |}f_{n}(x)-f(x){\bigr |},}$

ثم${\displaystyle f_{n}}$يتقارب إلى${\displaystyle f}$بشكل موحد إذا وفقط إذا${\displaystyle d_{n}\to 0}$مثل${\displaystyle n\to \infty }$وبالتالي، يمكننا وصف التقارب المنتظم لـ${\displaystyle \textstyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$على${\displaystyle E}$كتقارب (بسيط) لـ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$في فضاء الدوال${\displaystyle \mathbb {R} ^{E}}$فيما يتعلق بالمقياس الموحد (المعروف أيضًا باسم مقياس القيمة العليا )، المحدد بواسطة

${\displaystyle d(f,g)=\sup _{x\in E}{\bigl |}f(x)-g(x){\bigr |}.}$

رمزياً،

${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f\iff d(f_{n},f)\to 0}$.

التسلسل${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$يقال إنها متقاربة محليًا بشكل منتظم مع حد${\displaystyle f}$لو${\displaystyle E}$هو فضاء متري ولكل${\displaystyle x\in E}$يوجد${\displaystyle r>0}$بحيث${\displaystyle (f_{n})}$يتقارب بانتظام على${\displaystyle B(x,r)\cap E}$أين${\displaystyle B(x,r)}$هي كرة مركزها x ونصف قطرها r . من الواضح أن التقارب المنتظم يستلزم التقارب المنتظم المحلي، والذي يستلزم بدوره التقارب النقطي.

ل${\displaystyle x\in [0,1)}$يمكن توضيح مثال أساسي للتقارب المنتظم على النحو التالي: المتتالية${\displaystyle \textstyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{x+n}}$يتقارب بشكل منتظم، بينما${\displaystyle x^{n}}$لا يفعل. تحديداً، افترض${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{4}}}$كل وظيفة${\displaystyle \textstyle {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{x+n}}$أقل من أو يساوي${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$متى${\displaystyle n\geq 2}$بغض النظر عن قيمة${\displaystyle x}$. على الجانب الآخر،${\displaystyle x^{n}}$أقل من أو يساوي فقط${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$بقيم متزايدة باستمرار لـ${\displaystyle n}$عندما تكون قيم${\displaystyle x}$يتم اختيارها بشكل أقرب فأقرب إلى 1 (سيتم شرح ذلك بمزيد من التفصيل أدناه).

بفرض وجود فضاء طوبولوجي X ، يمكننا تزويد فضاء الدوال الحقيقية أو المركبة المحدودة ذات القيم على X بطوبولوجيا المعيار المنتظم ، مع تعريف المقياس المنتظم بواسطة

${\displaystyle d(f,g)={\|fg\|}_{\infty }=\sup _{x\in X}{\bigl |}f(x)-g(x){\bigr |}.}$

إذن، يعني التقارب المنتظم ببساطة التقارب في طوبولوجيا المعيار المنتظم :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\|f_{n}-f\|}_{\infty }=0}$.

تسلسل الوظائف${\displaystyle (f_{n})}$

${\displaystyle {\begin{cases}f_{n}:[0,1]\to [0,1]\\[3mu]f_{n}(x)=x^{n}\end{cases}}}$

يُعد مثالًا كلاسيكيًا على متتالية من الدوال التي تتقارب إلى دالة${\displaystyle f}$نقطيًا ولكن ليس بشكل منتظم. ولإثبات ذلك، نلاحظ أولًا أن النهاية النقطية لـ${\displaystyle (f_{n})}$مثل${\displaystyle n\to \infty }$هي الوظيفة${\displaystyle f}$، مقدمة من

${\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)={\begin{cases}0,&x\in [0,1);\\[3mu]1,&x=1.\end{cases}}}$

التقارب النقطي: التقارب بديهي بالنسبة لـ${\displaystyle x=0}$و${\displaystyle x=1}$، منذ${\displaystyle f_{n}(0)=f(0)=0}$و${\displaystyle f_{n}(1)=f(1)=1}$للجميع${\displaystyle n}$. ل${\displaystyle x\in (0,1)}$وبالنظر إلى${\displaystyle \varepsilon >0}$يمكننا ضمان ذلك${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon }$حينما${\displaystyle n\geq N}$باختيار${\displaystyle N=\lceil \log \varepsilon /\log x\rceil }$، وهو أصغر أس صحيح لـ${\displaystyle x}$وهذا يسمح له بالوصول إلى أو الانخفاض إلى ما دون${\displaystyle \varepsilon }$(هنا تشير الأقواس المربعة العلوية إلى التقريب لأعلى، انظر دالة السقف ). وبالتالي،${\displaystyle f_{n}\to f}$نقطة بنقطة للجميع${\displaystyle x\in [0,1]}$لاحظ أن اختيار${\displaystyle N}$يعتمد ذلك على قيمة${\displaystyle \varepsilon }$و${\displaystyle x}$علاوة على ذلك، بالنسبة لاختيار ثابت لـ${\displaystyle \varepsilon }$،${\displaystyle N}$(الذي لا يمكن تعريفه بأنه أصغر) ينمو بلا حدود مع${\displaystyle x}$الأساليب 1. هذه الملاحظات تستبعد إمكانية التقارب المنتظم.

عدم انتظام التقارب: التقارب غير منتظم، لأنه يمكننا إيجاد${\displaystyle \varepsilon >0}$بحيث بغض النظر عن حجم الاختيار${\displaystyle N,}$ستكون هناك قيم لـ${\displaystyle x\in [0,1]}$و${\displaystyle n\geq N}$بحيث${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\geq \varepsilon .}$ولرؤية ذلك، لاحظ أولاً أنه بغض النظر عن حجم${\displaystyle n}$يصبح، هناك دائماً${\displaystyle x_{0}\in [0,1)}$بحيث${\displaystyle f_{n}(x_{0})={\tfrac {1}{2}}.}$وبالتالي، إذا اخترنا${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{4}},}$لا يمكننا أبدًا العثور على${\displaystyle N}$بحيث${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon }$للجميع${\displaystyle x\in [0,1]}$و${\displaystyle n\geq N}$وبصراحة، أيًا كان المرشح الذي نختاره${\displaystyle N}$، ضع في اعتبارك قيمة${\displaystyle f_{N}}$في${\displaystyle \textstyle x_{0}={\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{1/N}}$. منذ

${\displaystyle {\bigl |}f_{N}(x_{0})-f(x_{0}){\bigr |}=\left|{{\Bigl (}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}^{1/N}{\Bigr )}{\vphantom {\big |}}^{N}\!-0}~\!\right|={\tfrac {1}{2}}>{\tfrac {1}{4}}=\varepsilon ,}$

يفشل المرشح لأننا وجدنا مثالاً على${\displaystyle x\in [0,1]}$التي "أفلتت" من محاولتنا "لحصر" كل منها${\displaystyle f_{n}\ (n\geq N)}$إلى الداخل${\displaystyle \varepsilon }$ل${\displaystyle f}$للجميع${\displaystyle x\in [0,1]}$في الواقع، من السهل أن نرى ذلك

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=1,}$

خلافًا للشرط الذي${\displaystyle \|f_{n}-f\|_{\infty }\to 0}$لو${\displaystyle f_{n}\rightrightarrows f}$.

في هذا المثال، يمكن للمرء أن يرى بسهولة أن التقارب النقطي لا يحافظ على قابلية التفاضل أو الاستمرارية. فبينما تكون كل دالة من دوال المتتالية سلسة، أي أنه بالنسبة لجميع قيم n ،${\displaystyle f_{n}\in C^{\infty }([0,1])}$الحد${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}}$إنها ليست متصلة حتى.

• كل متتالية متقاربة بشكل منتظم تكون متقاربة بشكل منتظم محلياً.
• كل متتالية متقاربة بشكل منتظم محلياً هي متتالية متقاربة بشكل مضغوط .
• بالنسبة للمساحات المدمجة محلياً، يتطابق التقارب المنتظم المحلي والتقارب المدمج.
• تكون سلسلة الدوال المتصلة على الفضاءات المترية، مع كون فضاء الصورة المترية كاملاً، متقاربة بشكل منتظم إذا وفقط إذا كانت متقاربة بشكل منتظم وفقًا لمعيار كوشي .
• لو${\displaystyle S}$هي فترة مضغوطة (أو بشكل عام فضاء طوبولوجي مضغوط)، و${\displaystyle (f_{n})}$هي متتالية متزايدة رتيبة (بمعنى${\displaystyle f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)}$لجميع قيم n و x ) للدوال المتصلة ذات النهاية النقطية${\displaystyle f}$إذا كانت الدالة متصلة أيضًا، فإن التقارب يكون منتظمًا بالضرورة ( نظرية ديني ). كما يُضمن التقارب المنتظم إذا${\displaystyle S}$هي فترة زمنية قصيرة و${\displaystyle (f_{n})}$هي متتالية متساوية الاستمرارية تتقارب نقطياً.

التقارب المنتظم هو معيار طوبولوجيا على العديد من فضاءات الدوال المهمة . على سبيل المثال، ليكن${\displaystyle C([0,1])}$يرمز إلى فضاء الدوال المتصلة ذات القيم الحقيقية أو المركبة على الفترة [0، 1]. مع معيار القيمة العليا$${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\sup _{x\in [0,1]}|f(x)|,}$$ هذا فضاء باناخ . متتالية${\displaystyle f_{n}}$في${\displaystyle C([0,1])}$يتقارب إلى${\displaystyle f}$في هذا المعيار تحديدا عندما $${\displaystyle \|f_{n}-f\|_{\infty }\to 0,}$$ وهو ما يمثل بالضبط التقارب المنتظم على${\displaystyle [0,1]}$.

اكتمال${\displaystyle C([0,1])}$وينتج ذلك عن اكتمال الأعداد الحقيقية أو المركبة. إذا${\displaystyle (f_{n})}$إذا كان كوشي في المعيار الأعلى، فعندئذٍ لكل${\displaystyle x\in [0,1]}$التسلسل${\displaystyle (f_{n}(x))}$هو كوشي، لأن $${\displaystyle |f_{n}(x)-f_{m}(x)|\leq \|f_{n}-f_{m}\|_{\infty }.}$$ هكذا${\displaystyle f_{n}(x)}$يتقارب نقطيًا إلى دالة${\displaystyle f(x)}$علاوة على ذلك، فإن التقارب منتظم: لكل${\displaystyle \varepsilon >0}$، هناك${\displaystyle N}$بحيث${\displaystyle \|f_{n}-f_{m}\|_{\infty }<\varepsilon }$حينما${\displaystyle n,m\geq N}$; السماح${\displaystyle m\to \infty }$أعطِ $${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|\leq \varepsilon }$$للجميع${\displaystyle x\in [0,1]}$وكل شيء${\displaystyle n\geq N}$بما أن النهاية المنتظمة للدوال المتصلة تكون متصلة،${\displaystyle f\in C([0,1])}$.

وبشكل أعم، إذا${\displaystyle X}$هو فضاء هاوسدورف مضغوط ، إذن${\displaystyle C(X)}$، مع المعيار الأعلى، هو فضاء باناخ. إذا${\displaystyle X}$إذا لم تكن المجموعة متراصة، فلا يلزم أن يكون معيار القيمة العليا محدودًا على جميع أجزائها.${\displaystyle C(X)}$في هذه الحالة، غالبًا ما يُستخدم مفهوم التقارب المنتظم على المجموعات الجزئية المدمجة، والذي يُسمى أيضًا مفهوم التقارب المفتوح المدمج في هذا السياق. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle X}$هي فضاء هاوسدورف مضغوط محليًا ، ومضغوط من النوع σ ، وتتولد هذه الطوبولوجيا بواسطة المعايير شبهية.

$${\displaystyle p_{K}(f)=\sup _{x\in K}|f(x)|,}$$

أين${\displaystyle K}$تتراوح على مجموعات فرعية مضغوطة من${\displaystyle X}$، تحضير${\displaystyle C(X)}$إلى مساحة فريشيه .

لأي مجموعة${\displaystyle X}$، المساحة${\displaystyle \ell ^{\infty }(X)}$جميع الدوال الحقيقية أو المركبة المحدودة على${\displaystyle X}$، مجهز بالمعيار الأعلى $${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\sup _{x\in X}|f(x)|,}$$ وهو أيضًا فضاء باناخ. التقارب في هذا المعيار هو بالضبط تقارب منتظم على${\displaystyle X}$المعيار الأعلى على${\displaystyle C(X)}$لمساحة صغيرة${\displaystyle X}$موروث من معيار${\displaystyle \ell ^{\infty }}$، لذا${\displaystyle C(X)\subset \ell ^{\infty }(X)}$هو فضاء فرعي مغلق.

لو${\displaystyle (X,\mu )}$هو مساحة قياس، الفضاء${\displaystyle L^{\infty }(X,\mu )}$من الدوال القابلة للقياس والمحدودة أساسًا على${\displaystyle X}$بالإضافة إلى المعيار الأعلى الأساسي${\displaystyle \|f\|=\operatorname {esssup} _{x\in X}|f(x)|}$بالنسبة للعديد من الفضاءات ذات الأهمية العملية، مثل المجموعات الفرعية المدمجة من الفضاء الإقليدي والفضاءات الطوبولوجية المدمجة، فإن مقياس بوريل الطبيعي يُضمّن${\displaystyle C(X)}$إلى فضاء فرعي مغلق من${\displaystyle L^{\infty }(X,\mu )}$في هذه الحالات، يكون المعيار الذي يُعطي التقارب المنتظم هو نفسه المعيار الذي يُعطي التقارب المنتظم.${\displaystyle L^{\infty }}$المعيار، ولذلك يُطلق عليه اسم${\displaystyle L^{\infty }}$معيار.

إذا كان مجال الدوال هو فضاء قياس E ، فيمكن تعريف المفهوم المرتبط به وهو التقارب شبه المنتظم . نقول إن متتالية من الدوال${\displaystyle (f_{n})}$يتقارب بشكل شبه منتظم على E إذا كان لكل${\displaystyle \delta >0}$توجد مجموعة قابلة للقياس${\displaystyle E_{\delta }}$بقياس أقل من${\displaystyle \delta }$بحيث يكون تسلسل الدوال${\displaystyle (f_{n})}$يتقارب بانتظام على${\displaystyle E\setminus E_{\delta }}$بمعنى آخر، يعني التقارب شبه المنتظم وجود مجموعات ذات قياس صغير بشكل تعسفي تتقارب فيها سلسلة الدوال بشكل منتظم على مكملها.

لاحظ أن التقارب شبه المنتظم لمتتالية لا يعني بالضرورة تقاربها المنتظم في كل مكان تقريبًا، كما قد يُفهم من الاسم. مع ذلك، تضمن نظرية إيغوروف أنه على فضاء قياس منتهٍ، فإن متتالية الدوال التي تتقارب في كل مكان تقريبًا تتقارب أيضًا بشكل شبه منتظم على المجموعة نفسها.

التقارب شبه المنتظم يعني التقارب في كل مكان تقريبًا والتقارب في القياس .

• التقارب المنتظم في الاحتمال
• أنماط التقارب (فهرس مشروح)
• نظرية ديني
• نظرية أرزيلا-أسكولي
• طوبولوجيا مفتوحة مضغوطة

• كونراد كنوب ، نظرية وتطبيق المتسلسلات اللانهائية ؛ بلاكي وأبناؤه، لندن، 1954، أعيد طبعه بواسطة منشورات دوفر، رقم ISBN 0-486-66165-2.
• جي إتش هاردي ، السير جورج ستوكس ومفهوم التقارب المنتظم ؛ وقائع الجمعية الفلسفية في كامبريدج ، 19 ، ص  148-156 (1918)
• بورباكي ؛ عناصر الرياضيات: الطوبولوجيا العامة. الفصول 5-10 (غلاف ورقي) ؛ رقم ISBN 0-387-19374-X
• والتر رودين ، مبادئ التحليل الرياضي ، الطبعة الثالثة، ماكجرو هيل، 1976.
• جيرالد فولاند ، التحليل الحقيقي: التقنيات الحديثة وتطبيقاتها، الطبعة الثانية، جون وايلي وأولاده، 1999، رقم ISBN 0-471-31716-0.
• ويليام ويد، مقدمة في التحليل ، الطبعة الثالثة، بيرسون، 2005

"التقارب المنتظم" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]

• أمثلة بيانية على التقارب المنتظم لمتسلسلات فورييه من جامعة كولورادو