مشعب كامل

في الرياضيات ، M هو مشعب كامل (أو مشعب كامل جيوديسيًا ) وهو مشعب ريماني ( شبه ) حيث توجد مسارات مستقيمة تمتد إلى ما لا نهاية في جميع الاتجاهات بدءًا من أي نقطة p من M.

بشكل رسمي، متعدد الشعب${\displaystyle M}$تكون كاملة (جيوديسياً) إذا كان لأي مسار جيوديسي أقصى${\displaystyle \ell :I\to M}$ويرى ذلك أن${\displaystyle I=(-\infty ,\infty )}$. ^{[ 1 ]} يكون المسار الجيوديسي أقصى ما يمكن إذا لم يكن من الممكن تمديد نطاقه.

وبعبارة أخرى،${\displaystyle M}$تكون كاملة (جيوديسياً) إذا كانت لجميع النقاط${\displaystyle p\in M}$، الخريطة الأسية عند${\displaystyle p}$يتم تعريفها على${\displaystyle T_{p}M}$، الفضاء المماسي بأكمله عند${\displaystyle p}$[ ^{1 ]​}

تُقدّم نظرية هوبف -رينو توصيفات بديلة للاكتمال. ليكن${\displaystyle (M,g)}$ليكن متعدد شعب ريماني متصل ، وليكن${\displaystyle d_{g}:M\times M\to [0,\infty )}$لتكن دالة المسافة الريمانية الخاصة بها .

تنص نظرية هوبف-رينو على أن${\displaystyle (M,g)}$تكون كاملة (جيوديسياً) إذا وفقط إذا كانت تحقق أحد الشروط المكافئة التالية: ^{[ 2 ]}

• الفضاء المتري${\displaystyle (M,d_{g})}$مكتمل ( كل${\displaystyle d_{g}}$- تتقارب متتالية كوشي ).
• جميع المجموعات الفرعية المغلقة والمحدودة من${\displaystyle M}$صغيرة الحجم .

الفضاء الإقليدي${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$الكرة​${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$والحلقات​${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$(مع مقاييسها الريمانية الطبيعية ) كلها متعددة الشعب كاملة.

جميع المشعبات الريمانية المدمجة وجميع المشعبات المتجانسة كاملة جيوديسياً. جميع الفضاءات المتناظرة كاملة جيوديسياً.

أمثلة مضادة

يُعد المستوى المثقوب مثالاً بسيطاً على التشعب غير الكامل${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \lbrace 0\rbrace }$(مع مقياسها المستحث). لا يمكن تعريف الخطوط الجيوديسية المتجهة إلى نقطة الأصل على كامل خط الأعداد الحقيقية. وبحسب نظرية هوبف-رينو، يمكننا بدلاً من ذلك ملاحظة أنه ليس فضاءً متريًا كاملاً: فأي متتالية في المستوى تتقارب إلى نقطة الأصل هي متتالية كوشي غير متقاربة في المستوى المثقوب.

توجد مشعبات شبه ريمانية مضغوطة غير كاملة جيوديسياً (ولكنها ليست ريمانية). ومن الأمثلة على ذلك طارة كليفتون-بول .

في نظرية النسبية العامة ، التي تصف الجاذبية بدلالة هندسة شبه ريمانية، تظهر أمثلة عديدة مهمة للفضاءات غير المكتملة جيوديسيًا، مثل الثقوب السوداء غير المشحونة وغير الدوارة، أو نماذج الكون التي تفترض الانفجار العظيم . وتُظهر نظريات بنروز-هوكينغ حول التفرد أن هذا النوع من عدم الاكتمال شائع إلى حد كبير في النسبية العامة .

لو${\displaystyle M}$إذا كانت كاملة جيوديسيًا، فإنها ليست متساوية القياس مع أي فضاء فرعي مفتوح مناسب لأي فضاء ريماني آخر. والعكس غير صحيح. ^{[ 3 ]}