فضاء متجانس

الموسوعة الحرة
الطارة . الطارة القياسية متجانسة تحت مجموعات التماثل التفاضلي والتماثل الموضعي ، والطارة المسطحة متجانسة تحت مجموعات التماثل التفاضلي والتماثل الموضعي والتماثل القياسي .

في الرياضيات ، يُعرَّف الفضاء المتجانس ، بشكل غير رسمي، بأنه فضاء يبدو متماثلاً في كل مكان عند التنقل فيه، حيث يكون هذا التنقل ناتجًا عن تأثير زمرة . تظهر الفضاءات المتجانسة في نظريات زمر لي ، والزمر الجبرية ، والزمر الطوبولوجية . وبشكل أدق، فإن الفضاء المتجانس لزمرة G هو فضاء طوبولوجي غير فارغ X تؤثر عليه G بشكل متعدٍّ . تُسمى عناصر G بتناظرات X.

تُعدّ حالة خاصة من هذا الأمر عندما تكون المجموعة G المعنية هي مجموعة التشاكل الذاتي للفضاء X - حيث يمكن أن تعني "مجموعة التشاكل الذاتي" مجموعة التماثل ، أو مجموعة التشاكل التفاضلي ، أو مجموعة التشاكل الموضعي . في هذه الحالة، يكون X متجانسًا إذا بدا X بديهيًا متطابقًا محليًا عند كل نقطة، سواء بمعنى التماثل (الهندسة الصلبة)، أو التشاكل التفاضلي ( الهندسة التفاضلية )، أو التشاكل الموضعي ( الطوبولوجيا ).

يصر بعض المؤلفين على أن يكون تأثير المجموعة G أمينًا (أي أن العناصر غير المطابقة تتصرف بطريقة غير تافهة)، على الرغم من أن هذه المقالة لا تتبنى هذا الرأي . وبالتالي، يوجد تأثير جماعي للمجموعة G على X يمكن اعتباره بمثابة الحفاظ على "بنية هندسية" معينة على X ، وتحويل X إلى مدار واحد للمجموعة G.

التعريف الرسمي

ليكن X مجموعة غير فارغة و G زمرة. يُطلق على X اسم فضاء- G إذا كان مزودًا بتأثير G عليه . [ 1 ] لاحظ أن G تؤثر تلقائيًا على المجموعة عن طريق التشاكلات الذاتية (التقابلات). إذا كانت X تنتمي أيضًا إلى فئة ما، يُفترض أن عناصر G تعمل كتشاكلات ذاتية في نفس الفئة. أي أن التطبيقات على X الناتجة عن عناصر G تحافظ على البنية المرتبطة بالفئة (على سبيل المثال، إذا كان X كائنًا في Diff، فيجب أن يكون التأثير عن طريق التشاكلات التفاضلية ). الفضاء المتجانس هو فضاء- G تؤثر عليه G بشكل متعدٍ.

إذا كان X كائنًا من الفئة C ، فإن بنية فضاء G هي تشاكل :

ρ:جي→أuتج(X){\displaystyle \rho :G\to \mathrm {Aut} _{\mathbf {C} }(X)}

إلى مجموعة التشاكلات الذاتية للكائن X في الفئة C. يحدد الزوج ( X ، ρ ) فضاءً متجانسًا بشرط أن تكون ρ ( G ) مجموعة متعدية من التناظرات للمجموعة الأساسية لـ X. 

أمثلة

على سبيل المثال، إذا كان X فضاءً طوبولوجيًا ، فمن المفترض أن عناصر المجموعة تعمل كتشاكلات تماثلية على X. بنية الفضاء G هي تشاكل مجموعة ρ  : G → Homeo( X ) إلى مجموعة التشاكلات التماثلية لـ X.    

وبالمثل، إذا كان X متعدد شعب قابل للتفاضل ، فإن عناصر المجموعة هي تشاكلات تفاضلية . بنية فضاء G هي تشاكل مجموعة ρ  : G → Diffeo( X ) إلى مجموعة التشاكلات التفاضلية لـ X. 

تُعد الفضاءات المتناظرة الريمانية فئة مهمة من الفضاءات المتجانسة، وتشمل العديد من الأمثلة المدرجة أدناه.

ومن الأمثلة الملموسة ما يلي:

أمثلة على الفضاءات المتجانسة
سبيس إكسالمجموعة Gمثبت H
الفضاء الكروي S n −1على )​O( n − 1)
S n −1 الموجهSO( n )SO( n − 1)
الفضاء الإسقاطي P R n −1PO( n )PO( n − 1)
الفضاء الإقليدي E nE( n )على )​
موجه نحو E NE + ( n )SO( n )
الفضاء الزائدي H nO + (1, n )على )​
H n الموجهSO + (1, n )SO( n )
فضاء مضاد دي سيتر AdS n +1O(2, n )O(1, n )
غراسمانيان Gr( r , n )على )​O( r ) × O( n − r )
الفضاء الأفيني A( n , K )Aff( n , K )GL( n , K )
مجموعات متساوية القياس
  • انحناء إيجابي:
    1. الكرة ( المجموعة المتعامدة ): S <sub>n -1 </sub> ≅ O( n ) / O( n -1) . هذا صحيح للأسباب التالية: أولًا، S <sub>n -1</sub> هي مجموعة المتجهات في R <sub>n</sub> ذات المعيار 1. إذا اعتبرنا أحد هذه المتجهات متجهًا أساسيًا، فيمكن إنشاء أي متجه آخر باستخدام تحويل متعامد. إذا اعتبرنا امتداد هذا المتجه فضاءً جزئيًا أحادي البعد من R <sub>n</sub> ، فإن المتمم هو فضاء متجهي ذو ( n -1) بُعد ثابت تحت تحويل متعامد من O( n -1) . هذا يوضح لنا سبب إمكانية إنشاء S <sub>n -1 </sub> كفضاء متجانس.
    2. الكرة الموجهة ( مجموعة متعامدة خاصة ): S n −1 ≅ SO( n ) / SO( n − 1)
    3. الفضاء الإسقاطي ( المجموعة المتعامدة الإسقاطية ): P n −1 ≅ PO( n ) / PO( n − 1)
  • مسطح (بدون انحناء):
    1. الفضاء الإقليدي ( المجموعة الإقليدية ، مثبت النقطة هو مجموعة متعامدة): E n ≅ E( n ) / O( n )
  • انحناء سلبي:
    1. الفضاء الزائدي ( مجموعة لورنتز المتزامنة ، مجموعة الاستقرار النقطي المتعامدة، المقابلة لنموذج القطع الزائد ): H n ≅ O + (1, n ) / O( n )
    2. الفضاء الزائدي الموجه: SO + (1, n ) / SO( n )
    3. مساحة مكافحة دي حاضنة : AdS n +1 = O(2, n ) / O(1, n )
آحرون

الهندسة

من وجهة نظر برنامج إرلانجن ، يمكن للمرء أن يفهم أن "جميع النقاط متماثلة" في هندسة X. وقد كان هذا صحيحًا بالنسبة لجميع الهندسات المقترحة قبل الهندسة الريمانية ، في منتصف القرن التاسع عشر.

وهكذا، على سبيل المثال، تُعتبر الفضاءات الإقليدية والفضاءات الأفينية والفضاءات الإسقاطية ، بطرق طبيعية، فضاءات متجانسة بالنسبة لمجموعات التناظر الخاصة بها . وينطبق الأمر نفسه على النماذج الموجودة للهندسة غير الإقليدية ذات الانحناء الثابت ، مثل الفضاء الزائدي .

ومن الأمثلة الكلاسيكية الأخرى فضاء الخطوط في الفضاء الإسقاطي ثلاثي الأبعاد (أو ما يكافئه، فضاء الفضاءات الجزئية ثنائية الأبعاد لفضاء متجهي رباعي الأبعاد ). من السهل إثبات أن GL 4 يؤثر بشكل متعدٍ على هذه الفضاءات باستخدام الجبر الخطي . يمكننا تمثيلها بإحداثيات الخطوط : وهي المحددات 2×2 للمصفوفة 4×2 التي تحتوي أعمدتها على متجهي أساس للفضاء الجزئي. هندسة الفضاء المتجانس الناتج هي هندسة الخطوط ليوليوس بلوكر .

الفضاءات المتجانسة كفضاءات مشتركة

بشكل عام، إذا كان X فضاءً متجانسًا لـ G ، وكان H₀ هو مُثبِّت نقطة مميزة o في X (اختيار نقطة الأصل )، فإن نقاط X تُقابل المجموعات المشاركة اليسرى G / H₀ ، وتُقابل النقطة المميزة o المجموعة المشاركة للعنصر المحايد. وعلى العكس، إذا كان لدينا فضاء مجموعات مشاركة G / H₀ ، فهو فضاء متجانس لـ G بنقطة مميزة، وهي المجموعة المشاركة للعنصر المحايد. وبالتالي، يمكن اعتبار الفضاء المتجانس فضاء مجموعات مشاركة دون الحاجة إلى اختيار نقطة أصل.

على سبيل المثال، إذا كانت H هي المجموعة الفرعية المحايد { e } ، فإن X هو G -torsor ، وهو ما يفسر سبب وصف G -torsor بشكل بديهي في كثير من الأحيان بأنها " G مع هوية منسية".

بشكل عام، سيؤدي اختيار أصل مختلف o إلى قسمة G على مجموعة فرعية مختلفة H o′ مرتبطة بـ H o عن طريق تشاكل داخلي لـ G. على وجه التحديد،  

حيث g هو أي عنصر من G بحيث يكون go = o ′ . لاحظ أن التشاكل الداخلي (1) لا يعتمد على أي عنصر g يتم اختياره؛ بل يعتمد فقط على g modulo H o . 

إذا كان تأثير المجموعة G على X متصلاً ، وكانت X مجموعة هاوسدورف ، فإن H زمرة جزئية مغلقة من G. وبالتحديد، إذا كانت G زمرة لي ، فإن H زمرة جزئية من لي وفقًا لنظرية كارتان . وبالتالي ، فإن G / H فضاء أملس ، ومن ثم فإن X يحمل بنية ملساء فريدة متوافقة مع تأثير المجموعة.

يمكن للمرء أن يذهب أبعد من ذلك إلى فضاءات المشاركة المزدوجة ، ولا سيما أشكال كليفورد-كلاين Γ\ G / H ، حيث Γ هي مجموعة فرعية منفصلة (من G ) تعمل بشكل غير متصل بشكل صحيح .

مثال

على سبيل المثال، في حالة هندسة الخطوط، يمكننا تحديد H كمجموعة فرعية ذات 12 بُعدًا من المجموعة الخطية العامة ذات 16 بُعدًا ، GL(4)، المعرفة بشروط على عناصر المصفوفة.

h 13 = h 14 = h 23 = h 24 = 0,

من خلال البحث عن مُثبِّت الفضاء الجزئي المُمتد بواسطة أول متجهين أساسيين قياسيين. وهذا يُثبت أن بُعد X هو 4.

بما أن الإحداثيات المتجانسة التي تُعطيها المحددات الصغرى هي ستة، فهذا يعني أن هذه المحددات ليست مستقلة عن بعضها البعض. في الواقع، تربط علاقة تربيعية واحدة بين المحددات الصغرى الستة، كما كان معروفًا لعلماء الهندسة في القرن التاسع عشر.

كان هذا المثال أول مثال معروف لفضاء غراسماني ، بخلاف الفضاء الإسقاطي. وهناك العديد من الفضاءات المتجانسة الأخرى للمجموعات الخطية الكلاسيكية شائعة الاستخدام في الرياضيات.

فضاءات المتجهات المتجانسة مسبقًا

تم تقديم فكرة الفضاء المتجهي المتجانس مسبقًا بواسطة ميكيو ساتو .

هو فضاء متجهي محدود الأبعاد V ذو تأثير زمرة جبرية G ، بحيث يوجد مدار لـ G مفتوح لطوبولوجيا زاريسكي (وبالتالي كثيف). مثال على ذلك هو GL(1) المؤثر على فضاء أحادي البعد.

إن التعريف أكثر تقييدًا مما يبدو عليه في البداية: تتمتع هذه الفضاءات بخصائص رائعة، وهناك تصنيف للفضاءات المتجهة غير القابلة للاختزال والمتجانسة مسبقًا، وصولاً إلى تحويل يُعرف باسم "التقليب".

الفضاءات المتجانسة في الفيزياء

بفرض وجود زمرة بوانكاريه G وزمرتها الجزئية زمرة لورنتز H ، فإن فضاء المشاركات G / H هو فضاء مينكوفسكي . [ 3 ] إلى جانب فضاء دي سيتر وفضاء دي سيتر المضاد ، تُعدّ هذه الفضاءات الزمكانية اللورنتزية ذات التناظر الأقصى . توجد أيضًا فضاءات متجانسة ذات أهمية في الفيزياء غير لورنتزية، مثل فضاءات غاليليو وكارول وأرسطو. [ 2 ]

تستخدم علم الكونيات الفيزيائي، الذي يعتمد على النظرية النسبية العامة، نظام تصنيف بيانكي . تمثل الفضاءات المتجانسة في النسبية الجزء المكاني من المقاييس الخلفية لبعض النماذج الكونية ؛ فعلى سبيل المثال، يمكن تمثيل الحالات الثلاث لمقياس فريدمان-لوميتر-روبرتسون-ووكر بمجموعات فرعية من أنواع بيانكي الأول (المسطح)، والخامس (المفتوح)، والسابع (المسطح أو المفتوح)، والتاسع (المغلق)، بينما يمثل كون ميكسماستر مثالًا غير متناحٍ لعلم الكونيات من نوع بيانكي التاسع. [ 4 ]

يقبل الفضاء المتجانس ذو الأبعاد N مجموعة من متجهات كيلينغ لا تقل عن N وتصل إلى 1/2 N ( N + 1) . [ 5 ] بالنسبة لثلاثة أبعاد، يعطي هذا ما يصل إلى ستة حقول متجهات كيلينغ مستقلة خطيًا؛ تتميز الفضاءات المتجانسة ثلاثية الأبعاد بخاصية أنه يمكن استخدام التراكيب الخطية لهذه الحقول لإيجاد ثلاثة حقول متجهات كيلينغ غير معدومة في كل مكان ξ ( a ) i .

ξ[أنا؛ك](أ)=ج بجأξأنا(ب)ξك(ج)،{\displaystyle \xi _{[i;k]}^{(a)}=C_{\ bc}^{a}\xi _{i}^{(b)}\xi _{k}^{(c)},}

حيث تُشكّل الثوابت البنيوية C <sub> abc</sub> موترًا ثابتًا من الرتبة الثالثة ، متناظرًا عكسيًا في مؤشريه السفليين (على الجانب الأيسر، تشير الأقواس إلى التناظر العكسي، و";" تُمثّل المؤثر التفاضلي المتغير ). في حالة الكون المسطح المتجانس ، يكون أحد الاحتمالات هو C <sub>abc </sub> = 0 (النوع الأول)، ولكن في حالة كون FLRW المغلق، يكون C <sub> abc </sub> = ε <sub> abc </sub> ، حيث ε <sub> abc </sub> هو رمز ليفي-سيفيتا .

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ نفترض أن الفعل يحدث على اليسار . هذا التمييز مهم فقط في وصف X كفضاء مشارك.
  2. 1 2 فيغيروا-أو فاريل، خوسيه؛ بروهازكا، ستيفان (31 يناير 2019). "زمكانات متجانسة متناحية مكانيًا" . مجلة فيزياء الطاقة العالية . 2019 (1): 229. arXiv : 1809.01224 . Bibcode : 2019JHEP...01..229F . doi : 10.1007/JHEP01(2019)229 . ISSN 1029-8479 . 
  3. ↑ روبرت هيرمان (1966) زمر لي للفيزيائيين ، صفحة 4، دبليو إيه بنجامين
  4. ↑ ليف لانداو وإيفجيني ليفشيتز (1980)، دورة في الفيزياء النظرية، المجلد 2: النظرية الكلاسيكية للحقول ، باتروورث-هاينمان، ISBN 978-0-7506-2768-9
  5. ↑ ستيفن واينبرغ (1972)، الجاذبية وعلم الكونيات ، جون وايلي وأولاده

مراجع