حقل متجه كيلينغ المطابق

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 56 صور
الموسوعة الحرة

في الهندسة المطابقة ، حقل متجه كيلينغ المطابق على مشعب ذي بُعد n مع مقياس ريماني (زائف).ز{\displaystyle g}(يُسمى أيضًا متجه كيلينغ المطابق، أو CKV، أو التوازي المطابق)، هو حقل متجهيX{\displaystyle X}الذي يحدد تدفقه (المحدد محليًا) التحويلات المطابقة ، أي يحافظ علىز{\displaystyle g}حتى الوصول إلى الحجم المطلوب والحفاظ على البنية المطابقة. توجد عدة صيغ مكافئة، تسمى معادلة كيلينغ المطابقة ، بدلالة مشتقة لي للتدفق، على سبيل المثاللXز=λز{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g} لبعض الوظائفλ{\displaystyle \lambda }على مشعب العادم. لـن≠2{\displaystyle n\neq 2}يوجد عدد محدود من الحلول، يحدد التناظر المطابق لهذا الفضاء، ولكن في بعدين، يوجد عدد لا نهائي من الحلول . يُشير اسم كيلينغ إلى فيلهلم كيلينغ ، الذي كان أول من درس حقول متجهات كيلينغ .

موتر القياس المكثف ومتجهات كيلينغ المطابقة

حقل متجهيX{\displaystyle X}يكون حقل متجهات كيلينغ إذا وفقط إذا حافظ تدفقه على موتر القياسز{\displaystyle g}(بالمعنى الدقيق للكلمة، بالنسبة لكل مجموعة فرعية مضغوطة من المتشعب، يكفي تعريف التدفق لفترة زمنية محدودة). صيغ رياضياً،X{\displaystyle X}القتل هو أن يكون مُرضيًا فقط إذا كان يُحقق الغاية.

لXز=0.{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=0.}

أينلX{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}هو مشتق لي.

وبشكل أعم، عرّف حقل متجه w -KillingX{\displaystyle X}كحقل متجه يحافظ تدفقه (المحلي) على المقياس المكثفزμزw{\displaystyle g\mu _{g}^{w}}، أينμز{\displaystyle \mu _{g}}هي كثافة الحجم المحددة بواسطةز{\displaystyle g}(أي محلياً)μز=|المحقق(ز)|دx1⋯دxن{\displaystyle \mu _{g}={\sqrt {|\det(g)|}}\,dx^{1}\cdots dx^{n}}) وw∈R{\displaystyle w\in \mathbf {R} }وزنها. لاحظ أن حقل متجه كيلينغ يحافظ علىμز{\displaystyle \mu _{g}}وبالتالي، فإنه يحقق تلقائيًا هذه المعادلة الأكثر عمومية. لاحظ أيضًا أنw=-2/ن{\displaystyle w=-2/n}الوزن الفريد هو ما يجعل هذا المزيجزμزw{\displaystyle g\mu _{g}^{w}}ثابت تحت تغيير مقياس القياس. لذلك، في هذه الحالة، يعتمد الشرط فقط على البنية المطابقة . الآنX{\displaystyle X}يكون حقل متجه w -Killing إذا وفقط إذا

لX(زμزw)=(لXز)μزw+wزμزw-1لXμز=0.{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\left(g\mu _{g}^{w}\right)=({\mathcal {L}}_{X}g)\mu _{g}^{w}+wg\mu _{g}^{w-1}{\mathcal {L}}_{X}\mu _{g}=0.}

منذلXμز=div⁡(X)μز{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\mu _{g}=\operatorname {div} (X)\mu _{g}}هذا يعادل

لXز=-wdiv⁡(X)ز.{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=-w\operatorname {div} (X)g.}

بعد أخذ آثار كلا الجانبين في الاعتبار، نستنتج2دأناv⁡(X)=-wنdiv⁡(X){\displaystyle 2\mathop {\mathrm {div} } (X)=-wn\operatorname {div} (X)}لذا بالنسبة لـw≠-2/ن{\displaystyle w\neq -2/n}بالضرورةdiv⁡(X)=0{\displaystyle \operatorname {div} (X)=0}وحقل متجه كيلينغ من النوع w هو مجرد حقل متجه كيلينغ عادي يحافظ تدفقه على المقياس. ومع ذلك، بالنسبة لـw=-2/ن{\displaystyle w=-2/n}، تدفقX{\displaystyle X}يجب أن يحافظ فقط على البنية المطابقة وهو، بحكم التعريف، حقل متجه كيلينج مطابق .

الصيغ المتكافئة

ما يلي متكافئ

  1. X{\displaystyle X}هو حقل متجه كيلينغ متطابق،
  2. التدفق (المحدد محليًا) لـX{\displaystyle X}يحافظ على البنية المطابقة،
  3. لX(زμز-2/ن)=0،{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(g\mu _{g}^{-2/n})=0,}
  4. لXز=2نdiv⁡(X)ز،{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g={\frac {2}{n}}\operatorname {div} (X)g,}
  5. لXز=λز{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g}لبعض الوظائفλ.{\displaystyle \lambda .}

تُثبت المناقشة أعلاه تكافؤ جميع الصيغ باستثناء الصيغة الأخيرة التي تبدو أكثر عمومية. ومع ذلك، فإن الصيغتين الأخيرتين متكافئتان أيضًا: فأخذ الآثار يُظهر بالضرورة أنλ=(2/ن)div⁡(X){\displaystyle \lambda =(2/n)\operatorname {div} (X)}.

يوضح الشكل الأخير أن أي متجه كيلينغ هو أيضًا متجه كيلينغ متطابق، معλ≅0.{\displaystyle \lambda \cong 0.}

معادلة كيلينغ المطابقة

باستخدام ذلكلXز=2(∇X♭)syمم{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=2\left(\nabla X^{\flat }\right)^{\mathrm {symm} }}أين∇{\displaystyle \nabla }ليفي سيفيتا هي مشتقة منز{\displaystyle g}(المعروف أيضًا باسم المشتق المتغير )، وX♭=ز(X،⋅){\displaystyle X^{\flat }=g(X,\cdot )}هو الشكل المزدوج 1 منX{\displaystyle X}(المعروف أيضًا باسم متجه التغاير المرتبط، أو المتجه ذو المؤشرات المنخفضة)، وsyمم{\displaystyle {}^{\mathrm {symm} }}إذا كان الإسقاط على الجزء المتناظر، فيمكن كتابة معادلة كيلينغ المطابقة في تدوين الفهرس المجرد على النحو التالي:

∇أXب+∇بXأ=2نزأب∇جXج.{\displaystyle \nabla _{a}X_{b}+\nabla _{b}X_{a}={\frac {2}{n}}g_{ab}\nabla _{c}X^{c}.}

هناك طريقة أخرى لكتابة معادلات كيلينغ المطابقة باستخدام الفهرسة وهي

Xأ؛ب+Xب؛أ=2نزأبXج؛ج.{\displaystyle X_{a;b}+X_{b;a}={\frac {2}{n}}g_{ab}X^{c}{}_{;c}.}

أمثلة

مساحة مسطحة

فين{\displaystyle n}في الفضاء المسطح ذي الأبعاد n، أي الفضاء الإقليدي أو الفضاء شبه الإقليدي ، توجد إحداثيات مسطحة عالميًا يكون لدينا فيها مقياس ثابتزμν=ημν{\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }}أين في الفضاء مع التوقيع(ص،q){\displaystyle (p,q)}لدينا مكونات(ημν)=التشخيص(+1،⋯،+1،-1،⋯،-1){\displaystyle (\eta _{\mu \nu })={\text{diag}}(+1,\cdots ,+1,-1,\cdots ,-1)}في هذه الإحداثيات، تتلاشى مكونات الاتصال، لذا فإن المشتقة المتغيرة هي مشتقة الإحداثيات. معادلة كيلينغ المطابقة في الفضاء المسطح هي ∂μXν+∂νXμ=2نημν∂ρXρ.{\displaystyle \partial _{\mu}X_{\nu}+\partial _{\nu }X_{\mu }={\frac {2}{n}}\eta _{\mu \nu }\partial _{\rho }X^{\rho }.} تتضمن حلول معادلة كيلينغ المطابقة للفضاء المسطح الحلول المذكورة في مقال حقول متجهات كيلينغ. وتولد هذه الحلول زمرة بوانكاريه للتناظرات في الفضاء المسطح. وبالنظر إلى الفرضيةXμ=مμνxν،{\displaystyle X^{\mu }=M^{\mu \nu }x_{\nu },}، نقوم بإزالة الجزء غير المتناظر منمμν{\displaystyle M^{\mu \nu }}لأن هذا يتوافق مع الحلول المعروفة، ونحن نبحث عن حلول جديدة. إذنمμν{\displaystyle M^{\mu \nu }}متناظر. ويترتب على ذلك أن هذا تمدد ، معمνμ=λدلتاνμ{\displaystyle M_{\nu }^{\mu }=\lambda \delta _{\nu }^{\mu }}لريال مدريدλ{\displaystyle \lambda }، ومتجه القتل المقابلXμ=λxμ{\displaystyle X^{\mu }=\lambda x^{\mu }}.

من الحل العام يوجدن{\displaystyle n}المزيد من المولدات، والمعروفة باسم التحويلات المطابقة الخاصة ، والتي تُعطى بواسطة

Xμ=جμνρxνxρ،{\displaystyle X_{\mu}=c_{\mu \nu \rho }x^{\nu }x^{\rho },}

حيث الجزء الذي لا أثر له منجμνρ{\displaystyle c_{\mu \nu \rho }}زيادةμ،ν{\displaystyle \mu ,\nu }يختفي، وبالتالي يمكن تحديده بواسطةجμμν=بν{\displaystyle c^{\mu }{}_{\mu \nu }=b_{\nu }}.

معًا،ن{\displaystyle n}الترجمات،ن(ن-1)/2{\displaystyle n(n-1)/2}تحويلات لورنتز،1{\displaystyle 1}توسع ون{\displaystyle n}تشمل التحويلات المطابقة الخاصة الجبر المطابق، الذي يولد المجموعة المطابقة للفضاء شبه الإقليدي.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ^ P. Di Francesco، P. Mathieu، and D. Sénéchal، نظرية المجال المطابقة ، 1997، ISBN 0-387-94785-X

للمزيد من القراءة

  • والد، آر إم (1984). النسبية العامة. مطبعة جامعة شيكاغو.