متجه الإحداثيات

في الجبر الخطي ، يُعرَّف متجه الإحداثيات بأنه تمثيل لمتجه ما على شكل قائمة مرتبة من الأرقام ( مجموعة ) تصف المتجه بدلالة أساس مرتب معين . ^{[ 1 ]} مثال بسيط على ذلك هو الموضع (5، 2، 1) في نظام إحداثيات ديكارتية ثلاثي الأبعاد ، حيث يُمثل الأساس محاور هذا النظام. تُحدد الإحداثيات دائمًا بالنسبة إلى أساس مرتب. تُمكّننا الأسس وتمثيلات الإحداثيات المرتبطة بها من تجسيد فضاءات المتجهات والتحويلات الخطية بشكل ملموس كمتجهات عمودية ، ومتجهات صفية ، ومصفوفات ؛ لذا فهي مفيدة في العمليات الحسابية.

يمكن أيضًا استخدام فكرة متجه الإحداثيات للفضاءات المتجهة ذات الأبعاد اللانهائية، كما هو موضح أدناه.

ليكن V فضاءً متجهيًا ذا بُعد n على حقل F ، وليكن

${\displaystyle B=\{b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}\}}$

لتكن أساسًا مرتبًا لـ V. عندئذٍ لكل${\displaystyle v\in V}$يوجد توليفة خطية فريدة من متجهات الأساس تساوي${\displaystyle v}$:

${\displaystyle v=\alpha _{1}b_{1}+\alpha _{2}b_{2}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}.}$

متجه الإحداثيات لـ${\displaystyle v}$بالنسبة إلى B هو تسلسل الإحداثيات

${\displaystyle [v]_{B}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}).}$

ويُطلق على هذا أيضًا اسم تمثيل${\displaystyle v}$فيما يتعلق بـ B ، أو تمثيل B لـ${\displaystyle v}$. ال${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}$تُسمى إحداثيات${\displaystyle v}$يصبح ترتيب الأساس مهمًا هنا، لأنه يحدد الترتيب الذي يتم به سرد المعاملات في متجه الإحداثيات.

يمكن تمثيل متجهات الإحداثيات في الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة بواسطة المصفوفات كمتجهات عمودية أو صفية . في الترميز أعلاه، يمكن كتابة

${\displaystyle [v]_{B}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}\\\vdots \\\alpha _{n}\end{bmatrix}}}$

و

${\displaystyle [v]_{B}^{T}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\cdots &\alpha _{n}\end{bmatrix}}}$

أين${\displaystyle [v]_{B}^{T}}$هي منقولة المصفوفة${\displaystyle [v]_{B}}$.

يمكننا ميكنة التحويل المذكور أعلاه عن طريق تعريف دالة${\displaystyle \phi _{B}}$، وهو ما يسمى التمثيل القياسي لـ V بالنسبة إلى B ، والذي يأخذ كل متجه إلى تمثيله الإحداثي:${\displaystyle \phi _{B}(v)=[v]_{B}}$. ثم${\displaystyle \phi _{B}}$هو تحويل خطي من V إلى F ⁿ . في الواقع، هو تماثل ، وعكسه${\displaystyle \phi _{B}^{-1}:F^{n}\to V}$هو ببساطة

${\displaystyle \phi _{B}^{-1}(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})=\alpha _{1}b_{1}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}.}$

أو بدلاً من ذلك، كان بإمكاننا أن نحدد${\displaystyle \phi _{B}^{-1}}$أن تكون الوظيفة المذكورة أعلاه منذ البداية، أدرك ذلك${\displaystyle \phi _{B}^{-1}}$هو تماثل، ومعرّف${\displaystyle \phi _{B}}$أن يكون عكسه.

ليكن B و C قاعدتين مختلفتين لفضاء متجهي V ، ولنرمز بـ${\displaystyle \lbrack M\rbrack _{C}^{B}}$المصفوفة التي تحتوي على أعمدة تتكون من تمثيل C لمتجهات الأساس b ₁ ، b ₂ ، … ، b _n :

${\displaystyle \lbrack M\rbrack _{C}^{B}={\begin{bmatrix}\lbrack b_{1}\rbrack _{C}&\cdots &\lbrack b_{n}\rbrack _{C}\end{bmatrix}}}$

تُعرف هذه المصفوفة باسم مصفوفة التحويل الأساسي من B إلى C. ويمكن اعتبارها تشاكلاً ذاتياً على${\displaystyle F^{n}}$يمكن تحويل أي متجه v ممثل في B إلى تمثيل في C على النحو التالي:

${\displaystyle \lbrack v\rbrack _{C}=\lbrack M\rbrack _{C}^{B}\lbrack v\rbrack _{B}.}$

في ظل تحويل الأساس، يكون الرمز العلوي على مصفوفة التحويل، M ، والرمز السفلي على متجه الإحداثيات، v ، متطابقين، ويبدو أنهما يلغيان بعضهما، تاركين الرمز السفلي المتبقي. مع أن هذا قد يُسهّل التذكر، فمن المهم التأكد من عدم حدوث أي عملية إلغاء أو عملية رياضية مماثلة.

لنفترض أن V فضاء متجهي لانهائي الأبعاد على حقل F. إذا كان البعد κ ، فإنه يوجد أساس مكون من κ عنصرًا لـ V. بعد اختيار رتبة، يمكن اعتبار الأساس أساسًا مرتبًا. عناصر V هي تراكيب خطية منتهية لعناصر الأساس، والتي تُنتج تمثيلات إحداثية فريدة تمامًا كما وُصف سابقًا. التغيير الوحيد هو أن مجموعة فهرسة الإحداثيات ليست منتهية. بما أن المتجه v هو تركيب خطي منتهٍ لعناصر الأساس، فإن المدخلات غير الصفرية الوحيدة لمتجه الإحداثيات لـ v ستكون معاملات التركيب الخطي غير الصفرية التي تُمثل v . وبالتالي، فإن متجه الإحداثيات لـ v يساوي صفرًا باستثناء عدد محدود من المدخلات.

يمكن نمذجة التحويلات الخطية بين فضاءات متجهة (ربما) ذات أبعاد لا نهائية، على غرار الحالة ذات الأبعاد المحدودة، باستخدام مصفوفات لانهائية . أما الحالة الخاصة للتحويلات من V إلى V ، فقد وُصفت في المقالة الكاملة حول الحلقة الخطية .

• تغيير الأساس
• مساحة الإحداثيات