التماثل الذاتي

في الرياضيات ، التشاكل الذاتي هو تماثل بين كائن رياضي ونفسه. وهو، بمعنى ما، تناظر للكائن، وطريقة لتحويل الكائن إلى نفسه مع الحفاظ على بنيته الكاملة. تشكل مجموعة جميع التشاكلات الذاتية لكائن ما زمرة تُسمى زمرة التشاكل الذاتي . وهي، بشكل عام، زمرة التناظر للكائن.

في بنية جبرية مثل الزمرة أو الحلقة أو الفضاء المتجهي ، يكون التشاكل الذاتي ببساطة تشاكلاً تقابلياً لكائن ما في نفسه. (يختلف تعريف التشاكل باختلاف نوع البنية الجبرية؛ انظر، على سبيل المثال، تشاكل الزمرة ، وتشاكل الحلقة ، والمؤثر الخطي ).

وبشكل أعم، بالنسبة لكائن ينتمي إلى فئة معينة ، فإن التشاكل الذاتي هو تشاكل الكائن مع نفسه وله تشاكل عكسي؛ أي تشاكل${\displaystyle f:X\to X}$يكون التشاكل ذاتيًا إذا كان هناك تشاكل${\displaystyle g:X\to X}$بحيث${\displaystyle g\circ f=f\circ g=\operatorname {id} _{X},}$أين${\displaystyle \operatorname {id} _{X}}$هو التشكل التطابقي لـ X. بالنسبة للهياكل الجبرية، يكون التعريفان متكافئين؛ في هذه الحالة، يكون التشكل التطابقي ببساطة هو دالة التطابق ، وغالبًا ما يسمى التشكل الذاتي التافه .

تشكل التشاكلات الذاتية للكائن X زمرة تحت تركيب التشاكلات ، والتي تسمى زمرة التشاكلات الذاتية لـ X. وينتج هذا بشكل مباشر من تعريف الفئة.

غالباً ما يُرمز إلى مجموعة التشاكل الذاتي للكائن X في الفئة C بالرمز Aut _C ( X ).أو ببساطة Aut( X ) إذا كانت الفئة واضحة من السياق.

• في نظرية المجموعات ، يُعتبر أي تبديل لعناصر مجموعة X تشاكلاً ذاتياً. وتُسمى مجموعة التشاكلات الذاتية لـ X أيضاً بالمجموعة المتناظرة على X.
• في الحساب الابتدائي ، مجموعة الأعداد الصحيحة ،${\displaystyle \mathbb {Z} }$عند اعتبارها زمرةً تحت عملية الجمع، تمتلك تشاكلاً ذاتياً فريداً غير تافه: النفي. أما عند اعتبارها حلقةً، فإنها لا تمتلك سوى التشاكل الذاتي التافه. وبشكل عام، يُعدّ النفي تشاكلاً ذاتياً لأي زمرة تبديلية ، ولكنه ليس كذلك بالنسبة للحلقة أو الحقل.
• التشاكل الذاتي للمجموعة هو تماثل بين مجموعة وأخرى. بعبارة أخرى، هو تبديل لعناصر المجموعة بحيث يبقى تركيبها دون تغيير. لكل مجموعة G يوجد تشاكل طبيعي G → Aut( G ) صورته هي مجموعة التشاكلات الذاتية الداخلية Inn( G)، ونواته هي مركز G. بالتالي ، إذا كان لـ G مركز تافه ، فيمكن تضمينها في مجموعة التشاكلات الذاتية الخاصة بها. ^{[ 1 ]}
• في الجبر الخطي ، يُعرَّف التشاكل الداخلي للفضاء المتجهي V بأنه مؤثر خطي V → V. أما التشاكل الذاتي فهو مؤثر خطي قابل للعكس على V. عندما يكون الفضاء المتجهي محدود الأبعاد، فإن زمرة التشاكل الذاتي لـ V هي نفسها الزمرة الخطية العامة GL( V ). (إن البنية الجبرية لجميع التشاكلات الداخلية لـ V هي في حد ذاتها جبر على نفس الحقل الأساسي لـ V ، وتتكون عناصره القابلة للعكس تحديدًا من GL( V )).
• التشاكل الذاتي للحقل هو تشاكل حلقي تقابلي من حقل إلى نفسه.
  • المجال${\displaystyle \mathbb {Q} }$لا يوجد لأي من الأعداد النسبية أي تماثل ذاتي آخر غير التماثل المحايد، لأن التماثل الذاتي يجب أن يثبت العنصر المحايد الجمعي 0 والعنصر المحايد الضربي 1 ؛ يجب أن يكون مجموع عدد محدود من 1 ثابتًا، وكذلك المعكوسات الجمعية لهذه المجاميع (أي أن التماثل الذاتي يثبت جميع الأعداد الصحيحة )؛ وأخيرًا، بما أن كل عدد نسبي هو خارج قسمة عددين صحيحين، فيجب أن تكون جميع الأعداد النسبية ثابتة بواسطة أي تماثل ذاتي.
  • المجال${\displaystyle \mathbb {R} }$لا يوجد لأي من الأعداد الحقيقية أي تشاكل ذاتي آخر غير المحايد. في الواقع، يجب أن تكون الأعداد النسبية ثابتة بواسطة كل تشاكل ذاتي، كما سبق ذكره؛ يجب أن يحافظ التشاكل الذاتي على المتباينات لأن${\displaystyle x<y}$يعادل${\displaystyle \exists z\mid yx=z^{2},}$ويتم الحفاظ على الخاصية الأخيرة بواسطة كل تماثل ذاتي؛ وأخيرًا يجب تثبيت كل عدد حقيقي لأنه الحد الأعلى الأدنى لتسلسل الأعداد النسبية.
  • المجال${\displaystyle \mathbb {C} }$يمتلك كل عدد من الأعداد المركبة تماثلاً ذاتياً فريداً غير تافه يثبت الأعداد الحقيقية. وهو الاقتران المركب الذي يحول${\displaystyle i}$ل${\displaystyle -i.}$تستلزم بديهية الاختيار وجود عدد لا يُحصى من التشاكلات الذاتية التي لا تُحدد الأعداد الحقيقية. ^{[ 2 ] [ 3 ]}
  • تُعد دراسة التشاكلات الذاتية لامتدادات الحقول الجبرية نقطة البداية والهدف الرئيسي لنظرية غالوا .
• مجموعة التشاكل الذاتي للأعداد الرباعية ( ⁠${\displaystyle \mathbb {H} }$( ) كحلقة هي التشاكلات الداخلية، وفقًا لنظرية سكوليم-نوثر : تطبيقات من الشكل a ↦ bab ⁻¹ . ^{[ 4 ]} هذه المجموعة متماثلة مع SO(3) ، وهي مجموعة الدورانات في الفضاء ثلاثي الأبعاد.
• مجموعة التشاكل الذاتي للأوكتونيونات ( ⁠${\displaystyle \mathbb {O} }$) هي مجموعة لي الاستثنائية G ₂ .
• في نظرية المخططات، يُعرف التشاكل الذاتي للمخطط بأنه تبديل للعقد يحافظ على الحواف والعناصر غير المتصلة بها. وبالتحديد، إذا كانت عقدتان متصلتين بحافة، فإن صورتيهما متصلتان أيضاً تحت هذا التبديل.
• في الهندسة ، قد يُطلق على التشاكل الذاتي اسم حركة الفضاء. كما تُستخدم مصطلحات متخصصة:
  • في الهندسة المترية، يُعرف التشاكل الذاتي بأنه تماثل ذاتي . وتُسمى مجموعة التشاكل الذاتي أيضاً بمجموعة التماثل .
  • في فئة أسطح ريمان ، يُعرف التشاكل الذاتي بأنه تطبيق ثنائي الشكل (يُسمى أيضًا تطبيقًا توافقيًا ) من سطح إلى نفسه. على سبيل المثال، التشاكلات الذاتية لكرة ريمان هي تحويلات موبيوس .
  • التشاكل الذاتي لمتشعب قابل للتفاضل M هو تشاكل تفاضلي من M إلى نفسه. ويُرمز أحيانًا إلى مجموعة التشاكل الذاتي بـ Diff( M ).
  • في علم الطوبولوجيا ، تُسمى التشكلات بين الفضاءات الطوبولوجية بالخرائط المتصلة ، ويُطلق على التشكل الذاتي للفضاء الطوبولوجي اسم التشكل الموضعي للفضاء مع نفسه، أو التشكل الموضعي الذاتي (انظر زمرة التشكل الموضعي ). في هذا المثال، لا يكفي أن يكون التشكل تقابليًا ليكون تماثليًا.

قدم عالم الرياضيات الأيرلندي ويليام روان هاميلتون في عام 1856، في حسابه الإيكوسياني ، أحد أقدم التشاكلات الذاتية للمجموعات (التشاكل الذاتي لمجموعة، وليس مجرد مجموعة من التشاكلات الذاتية للنقاط)، حيث اكتشف تشاكلاً ذاتياً من الرتبة الثانية، ^{[ 5 ]} وكتب:

لهذا السبب.${\displaystyle \mu }$هو جذر خامس جديد للوحدة، مرتبط بالجذر الخامس السابق${\displaystyle \lambda }$عن طريق علاقات التبادل التام.

في بعض الفئات - لا سيما المجموعات والحلقات وجبر لي - من الممكن فصل التشاكلات الذاتية إلى نوعين، يطلق عليهما التشاكلات الذاتية "الداخلية" و"الخارجية".

في حالة الزمر، تُعرف التشاكلات الذاتية الداخلية بأنها اقترانات عناصر الزمرة نفسها. لكل عنصر a من زمرة G ، يكون الاقتران بواسطة a هو العملية φa _: G  → G المعطاة بالعلاقة φa ₍ g ) = aga⁻¹ ⁽ أو a⁻¹ ga ؛ يختلف الاستخدام). يمكن التحقق بسهولة من أن الاقتران بواسطة a هو تشاكل ذاتي للزمرة. تُشكل التشاكلات الذاتية الداخلية زمرة جزئية طبيعية ^من Aut ( G )، ويُرمز لها بـ Inn( G )؛ وهذا ما يُعرف بمبرهنة غورسات .

تُسمى التشاكلات الذاتية الأخرى بالتشاكلات الذاتية الخارجية . ويُرمز عادةً إلى زمرة القسمة Aut( G ) / Inn( G ) بالرمز Out( G )؛ أما العناصر غير التافهة فهي المجموعات المشاركة التي تحتوي على التشاكلات الذاتية الخارجية.

ينطبق التعريف نفسه على أي حلقة أو جبر أحادي حيث يكون a أي عنصر قابل للعكس . أما بالنسبة لجبر لي، فيختلف التعريف قليلاً.

• مناهضة التشكل الذاتي
• التماثل الذاتي (في ألغاز سودوكو)
• المجموعة الفرعية المميزة
• حلقة التشكل الداخلي
• التماثل الذاتي لفروبينيوس
• المورفية
• التماثل الذاتي للترتيب (في نظرية الترتيب ).
• التماثل الذاتي الحافظ للعلاقات
• تحويل فورييه الجزئي

• التشاكل الذاتي في موسوعة الرياضيات
• فايستين، إريك دبليو. “التماثل الذاتي” . عالم الرياضيات .