تغيير الأساس

ينتج عن التركيب الخطي لمجموعة من المتجهات الأساسية (باللون البنفسجي) متجهات جديدة (باللون الأحمر). إذا كانت هذه المتجهات مستقلة خطيًا ، فإنها تُشكّل أساسًا جديدًا. تمتد التركيبات الخطية التي تربط الأساس الأولي بالأساس الآخر لتُشكّل تحويلًا خطيًا يُسمى تغيير الأساس.

متجه ممثل بقاعدتين مختلفتين (أسهم بنفسجية وحمراء).

في الرياضيات ، يسمح الأساس المرتب لفضاء متجهي ذي بُعد محدود n بتمثيل أي عنصر من عناصر هذا الفضاء بشكل فريد بواسطة متجه إحداثيات ، وهو عبارة عن سلسلة محدودة من n عدد قياسي تُسمى الإحداثيات . عند النظر في أساسين مختلفين، يكون متجه الإحداثيات الذي يُمثل المتجه v على أحد الأساسين مختلفًا، بشكل عام، عن متجه الإحداثيات الذي يُمثله على الأساس الآخر. ويتمثل تغيير الأساس في تحويل كل عبارة مُعبر عنها بدلالة الإحداثيات بالنسبة لأحد الأساسين إلى عبارة مُعبر عنها بدلالة الإحداثيات بالنسبة للأساس الآخر. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

ينتج هذا التحويل عن صيغة تغيير الأساس ، التي تعبر عن الإحداثيات بالنسبة إلى أساس معين بدلالة الإحداثيات بالنسبة إلى الأساس الآخر. باستخدام المصفوفات ، يمكن كتابة هذه الصيغة على النحو التالي:

${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {old} }=A~\mathbf {x} _{\mathrm {new} },}$

أين${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {old} }}$و${\displaystyle \mathbf {x} _{\mathrm {new} }}$هي متجهات الأعمدة لإحداثيات نفس المتجه على الأساس "القديم" (المحدد مبدئيًا) و"الجديد" (الآخر).${\displaystyle A}$هي مصفوفة تغيير الأساس (وتسمى أيضًا مصفوفة الانتقال )، وهي المصفوفة التي تكون أعمدتها إحداثيات متجهات الأساس "الجديدة" على الأساس "القديم".

يُطلق على تغيير الأساس أحيانًا اسم تغيير الإحداثيات ، على الرغم من أنه يستثني العديد من تحويلات الإحداثيات . في التطبيقات الفيزيائية ، وخاصة في الميكانيكا ، غالبًا ما ينطوي تغيير الأساس على تحويل أساس متعامد ، يُفهم على أنه دوران في الفضاء الفيزيائي ، وبالتالي يستثني الانتقالات .

تتناول هذه المقالة بشكل أساسي الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة. ومع ذلك، فإن العديد من المبادئ المعروضة صالحة أيضًا للفضاءات المتجهة ذات الأبعاد غير المحدودة.

يترك${\displaystyle B_{\mathrm {old} }=(v_{1},\ldots ,v_{n})}$^{[ ب} ] ليكن أساسًا لفضاء متجهي محدود ^{الأبعاد} V على حقل F.

بالنسبة لـ j = 1، ...، n ، يمكن تعريف المتجه w _j من خلال إحداثياته${\displaystyle a_{i,j}}$زيادة${\displaystyle B_{\mathrm {old} }\colon }$

${\displaystyle w_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}v_{i}.}$

يترك

${\displaystyle A=\left(a_{i,j}\right)_{i,j}}$

لتكن المصفوفة التي يتكون عمودها j من إحداثيات w _j . (هنا وفيما يلي، يشير الفهرس i دائمًا إلى صفوف المصفوفة A و${\displaystyle v_{i},}$بينما يشير الفهرس j دائمًا إلى أعمدة المصفوفة A و${\displaystyle w_{j};}$يُعد هذا الاتفاق مفيدًا لتجنب الأخطاء في العمليات الحسابية الصريحة.

جلسة${\displaystyle B_{\mathrm {new} }=(w_{1},\ldots ,w_{n}),}$يمتلك المرء ذلك${\displaystyle B_{\mathrm {new} }}$تُعتبر أساسًا للفضاء V إذا وفقط إذا كانت المصفوفة A قابلة للعكس ، أو بصورة مكافئة، إذا كان لها محدد غير صفري . في هذه الحالة، يُقال إن A هي مصفوفة تغيير الأساس من الأساس${\displaystyle B_{\mathrm {old} }}$إلى الأساس${\displaystyle B_{\mathrm {new} }.}$

بالنظر إلى متجه${\displaystyle u\in V,}$يترك${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$إحداثيات${\displaystyle u}$زيادة${\displaystyle B_{\mathrm {old} },}$و${\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{n})}$إحداثياتها فوق${\displaystyle B_{\mathrm {new} };}$إنه

${\displaystyle u=\sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i}=\sum _{j=1}^{n}y_{j}w_{j}.}$

(يمكن للمرء أن يأخذ نفس مؤشر الجمع للمجموعين، ولكن اختيار المؤشرات i للأساس القديم و j للأساس الجديد بشكل منهجي يجعل الصيغ اللاحقة أكثر وضوحًا، ويساعد على تجنب الأخطاء في البراهين والحسابات الصريحة.)

تُعبّر صيغة تغيير الأساس عن الإحداثيات على الأساس القديم بدلالة الإحداثيات على الأساس الجديد. باستخدام الرموز المذكورة أعلاه، تكون الصيغة كالتالي:

${\displaystyle x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}\qquad {\text{لـ }}i=1,\ldots ,n.}$

فيما يتعلق بالمصفوفات، فإن صيغة تغيير الأساس هي

${\displaystyle \mathbf {x} =A~\mathbf {y} ,}$

أين${\displaystyle \mathbf {x} }$و${\displaystyle \mathbf {y} }$هي متجهات عمودية لإحداثيات${\displaystyle u}$زيادة${\displaystyle B_{\mathrm {old} }}$و${\displaystyle B_{\mathrm {new} },}$على التوالي. (هذه المصطلحات العكسية مربكة، ولكنها معتمدة دوليًا.)

البرهان: باستخدام التعريف أعلاه لمصفوفة تغيير الأساس، يكون لدينا

${\displaystyle {\begin{aligned}u&=\sum _{j=1}^{n}y_{j}w_{j}\\&=\sum _{j=1}^{n}\left(y_{j}\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}v_{i}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}\right)v_{i}.\end{aligned}}}$

مثل${\displaystyle u=\textstyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i},}$تنتج صيغة تغيير الأساس من تفرد تحليل المتجه على أساس معين.

لنعتبر فضاء المتجهات الإقليدي${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$وأساسها القياسي ، الذي يتكون من المتجهات${\displaystyle v_{1}}$و${\displaystyle v_{2}}$باستخدام متجهات عمودية

${\displaystyle \mathbf {v_{1}} ={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\quad }$و${\displaystyle \quad \mathbf {v_{2}} ={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}.}$

تدويرها بزاوية${\displaystyle t}$يُعطي أساسًا "جديدًا"، يتكون من المتجهات${\displaystyle w_{1}}$و${\displaystyle w_{2}}$باستخدام متجهات عمودية

${\displaystyle \mathbf {w_{1}} ={\begin{bmatrix}\cos t\\\sin t\end{bmatrix}}\quad }$و${\displaystyle \quad \mathbf {w_{2}} ={\begin{bmatrix}-\sin t\\\cos t\end{bmatrix}}.}$

إذن، مصفوفة تغيير الأساس هي

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{bmatrix}}.}$

تنص صيغة تغيير الأساس على أنه بالنسبة لمتجه ذي إحداثيات "قديمة"${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$وإحداثيات "جديدة"${\displaystyle (y_{1},y_{2}),}$يمتلك المرء

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{bmatrix}}~{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}.}$

إنه،

${\displaystyle {\begin{cases}x_{1}=y_{1}\cos t-y_{2}\sin t\\x_{2}=y_{1}\sin t+y_{2}\cos t.\end{cases}}}$

ويمكن إثبات ذلك عن طريق الكتابة

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}w_{1}+y_{2}w_{2}&=y_{1}{\Big (}(\cos t)~v_{1}+(\sin t)~v_{2}{\Big )}+y_{2}{\Big (}\!-(\sin t)~v_{1}+(\cos t)~v_{2}{\Big )}\\&={\big (}y_{1}\cos t-y_{2}\sin t{\big )}v_{1}+{\big (}y_{1}\sin t+y_{2}\cos t{\big )}v_{2}\\&=x_{1}v_{1}+x_{2}v_{2}.\end{aligned}}}$

عادةً، تمثل المصفوفة تحويلاً خطياً ، ويمثل حاصل ضرب المصفوفة في متجه عمودي تطبيق الدالة على التحويل الخطي المقابل على المتجه الذي تشكل إحداثياته ​​المتجه العمودي. تُعد صيغة تغيير الأساس حالة خاصة من هذا المبدأ العام، على الرغم من أن هذا لا يتضح مباشرةً من تعريفها وبرهانها.

عندما يُقال إن مصفوفة ما تمثل تطبيقًا خطيًا، فإن ذلك يشير ضمنيًا إلى قواعد فضاءات المتجهات الضمنية، وإلى حقيقة أن اختيار قاعدة ما يُحدث تماثلًا خطيًا بين فضاء متجه و${\displaystyle F^{n}}$حيث F هو الحقل الأساسي للكميات القياسية. عندما يُؤخذ أساس واحد فقط في الاعتبار لكل فضاء متجهي، يكون من الملائم ترك هذا التشاكل ضمنيًا، والعمل تدريجيًا للوصول إلى تشاكل. ولأننا نأخذ في الاعتبار عدة أسس لنفس الفضاء المتجهي، فإن صياغة أكثر دقة مطلوبة.

ليكن F حقلاً ، مجموعة${\displaystyle F^{n}}$يُعدّ فضاء المتجهات F فضاءً متجهيًا من الرتبة n، حيث تُعرَّف عمليتا الجمع والضرب القياسي فيه على مستوى كل عنصر على حدة. أساسه القياسي هو الأساس الذي يكون فيه العنصر i هو المجموعة التي جميع عناصرها تساوي صفرًا باستثناء العنصر i الذي يساوي واحدًا .

أساس${\displaystyle B=(v_{1},\ldots ,v_{n})}$يُعرّف فضاء متجهي V من النوع F تماثلًا خطيًا${\displaystyle \varphi \colon F^{n}\to V}$بواسطة

${\displaystyle \varphi (x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i}.}$

وعلى العكس من ذلك، فإن هذا التشاكل الخطي يُعرّف أساسًا، وهو الصورة بواسطة${\displaystyle \varphi }$من الأساس القياسي لـ${\displaystyle F^{n}.}$

يترك${\displaystyle B_{\mathrm {old} }=(v_{1},\ldots ,v_{n})}$أن يكون الأساس "القديم" لتغيير الأساس، و${\displaystyle \varphi _{\mathrm {old} }}$التشاكل المرتبط. بالنظر إلى مصفوفة تغيير الأساس ( القابلة للعكس ) A ، يمكن اعتبارها مصفوفة تشاكل ذاتي ( تشاكل داخلي تقابلي ).${\displaystyle \psi _{A}}$ل${\displaystyle F^{n}.}$وأخيرًا، حدد

${\displaystyle \varphi _{\mathrm {new} }=\varphi _{\mathrm {old} }\circ \psi _{A}}$

(أين${\displaystyle \circ }$يرمز إلى تركيب الدوال )، و

${\displaystyle B_{\mathrm {new} }=\varphi _{\mathrm {new} }\left(\varphi _{\mathrm {old} }^{-1}(B_{\mathrm {old} })\right).}$

يُظهر التحقق المباشر أن هذا التعريف لـ${\displaystyle B_{\mathrm {new} }}$وهو نفسه ما ورد في القسم السابق.

الآن، من خلال تركيب المعادلة${\displaystyle \varphi _{\mathrm {new} }=\varphi _{\mathrm {old} }\circ \psi _{A}}$مع${\displaystyle \varphi _{\mathrm {old} }^{-1}}$على اليسار و${\displaystyle \varphi _{\mathrm {new} }^{-1}}$على اليمين، يحصل المرء

${\displaystyle \varphi _{\mathrm {old} }^{-1}=\psi _{A}\circ \varphi _{\mathrm {new} }^{-1}.}$

ويترتب على ذلك، بالنسبة لـ${\displaystyle v\in V,}$يمتلك المرء

${\displaystyle \varphi _{\mathrm {old} }^{-1}(v)=\psi _{A}\left(\varphi _{\mathrm {new} }^{-1}(v)\right),}$

وهي صيغة تغيير الأساس المعبر عنها بدلالة الخرائط الخطية بدلاً من الإحداثيات.

الدالة التي يكون مجالها فضاء متجهي تُعرف عادةً بأنها دالة متعددة المتغيرات تكون متغيراتها هي الإحداثيات على أساس ما للمتجه الذي تُطبق عليه الدالة .

عند تغيير الأساس، يتغير تعبير الدالة. ويمكن حساب هذا التغيير باستبدال الإحداثيات "القديمة" بتعبيراتها بدلالة الإحداثيات "الجديدة". بتعبير أدق، إذا كانت f ( x ) تعبير الدالة بدلالة الإحداثيات "القديمة"، وإذا كانت x = Ay هي صيغة تغيير الأساس، فإن f ( Ay ) هي تعبير الدالة نفسها بدلالة الإحداثيات "الجديدة " .

قد يبدو أن حقيقة أن صيغة تغيير الأساس تعبر عن الإحداثيات "القديمة" بدلالة الإحداثيات "الجديدة" غير طبيعية، ولكنها تبدو مفيدة، لأنه لا حاجة إلى عكس المصفوفة هنا.

بما أن صيغة تغيير الأساس لا تتضمن إلا الدوال الخطية ، فإن العديد من خصائص الدالة تبقى محفوظة بتغيير الأساس. وهذا يسمح بتعريف هذه الخصائص كخصائص لدوال متجه متغير لا ترتبط بأي أساس محدد. لذا، فإن الدالة التي يكون مجالها فضاءً متجهيًا أو مجموعة جزئية منه هي

• دالة خطية،
• دالة متعددة الحدود ،
• دالة متصلة ،
• دالة قابلة للتفاضل ،
• دالة سلسة ،
• دالة تحليلية ،

إذا كانت الدالة متعددة المتغيرات التي تمثلها على أساس معين - وبالتالي على كل أساس - لها نفس الخاصية.

يُعد هذا مفيدًا بشكل خاص في نظرية المتشعبات ، حيث يسمح هذا بتوسيع مفاهيم الدوال المستمرة، والقابلة للتفاضل، والناعمة، والتحليلية إلى الدوال المعرفة على المتشعب.

لنفترض وجود دالة خطية L : V → W من فضاء متجهي V ذي بُعد n إلى فضاء متجهي W ذي بُعد m . يتم تمثيلها على أساسات "قديمة" لكل من V و W بواسطة مصفوفة M من الرتبة m × n . يُعرَّف تغيير الأساس بواسطة مصفوفة تغيير الأساس P من الرتبة n × n للفضاء V ، ومصفوفة تغيير الأساس Q من الرتبة m × m للفضاء W.

على القواعد "الجديدة"، يكون التمثيل المصفوفي لـ L هو

${\displaystyle M'=Q^{-1}MP.}$

هذه نتيجة مباشرة لصيغة تغيير الأساس.

الشكل الثنائي الخطي على فضاء متجهي V فوق حقل F هو دالة${\displaystyle \varPhi \colon V\!\times V\to F}$وهو خطي في كلا المتغيرين. أي،${\displaystyle \varPhi }$تكون ثنائية الخطية إذا كانت الخرائط${\displaystyle v\mapsto \varPhi (v,w)}$و${\displaystyle v\mapsto \varPhi (w,v)}$تكون خطية لكل قيمة ثابتة${\displaystyle w\in V.}$

المصفوفة${\displaystyle \mathbf {\Phi } }$من شكل ثنائي الخطية${\displaystyle \varPhi }$على أساس${\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})}$(الأساس "القديم") هو المصفوفة التي يكون عنصر الصف i والعمود j فيها هو${\displaystyle \varPhi (v_{i},v_{j})}$ويترتب على ذلك أنه بالنسبة لمتجهين v و w ذوي متجهات عمودية إحداثية v و w ، يكون لدينا

${\displaystyle \varPhi (v,w)=\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}\mathbf {\Phi } \mathbf {w} ,}$

أين${\displaystyle \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}}$يشير إلى منقول متجه العمود v .

بالنسبة لتغيير الأساس باستخدام المصفوفة P ، تُظهر عملية حسابية مباشرة أن مصفوفة الشكل الثنائي الخطي على الأساس "الجديد" هي

${\displaystyle \mathbf {\Phi '} =P^{\mathsf {T}}\mathbf {\Phi } P.}$

الشكل الثنائي الخطي المتناظر هو شكل ثنائي خطي S بحيث${\displaystyle S(v,w)=S(w,v)}$لكل عنصرين v و w في V ، يترتب على ذلك أن مصفوفة S متناظرة على أي أساس . وهذا يعني أن خاصية التناظر يجب أن تُحفظ وفقًا لصيغة تغيير الأساس المذكورة أعلاه. ويمكن التحقق من ذلك أيضًا بملاحظة أن منقولة حاصل ضرب المصفوفات هي حاصل ضرب منقولاتها المحسوبة بترتيب عكسي. وبالتالي،

${\displaystyle (P^{\mathsf {T}}\mathbf {S} P)^{\mathsf {T}}=P^{\mathsf {T}}\mathbf {S} ^{\mathsf {T}}P;}$

وأخيرًا، بما أن المصفوفة S متناظرة،

${\displaystyle (P^{\mathsf {T}}\mathbf {S} P)^{\mathsf {T}}=P^{\mathsf {T}}\mathbf {S} P.}$

إذا لم تكن خاصية الحقل الأساسي F تساوي اثنين، فإنه لكل شكل ثنائي خطي متناظر، يوجد أساس تكون فيه المصفوفة قطرية . علاوة على ذلك، فإن العناصر غير الصفرية الناتجة على القطر تكون معرفة حتى الضرب في مربع. لذا، إذا كان الحقل الأساسي هو الحقل${\displaystyle \mathbb {R} }$بالنسبة للأعداد الحقيقية ، يمكن اختيار هذه المدخلات غير الصفرية لتكون إما 1 أو -1 . قانون سيلفستر للقصور الذاتي هو نظرية تنص على أن العددين 1 و -1 يعتمدان فقط على الشكل الثنائي الخطي، وليس على تغيير الأساس.

تُصادف الأشكال الثنائية الخطية المتناظرة على الأعداد الحقيقية بكثرة في الهندسة والفيزياء ، وخاصةً في دراسة الأسطح التربيعية وعزم القصور الذاتي للأجسام الصلبة . في هذه الحالات، تكون الأسس المتعامدة مفيدة بشكل خاص؛ وهذا يعني أنه يُفضل عمومًا حصر تغييرات الأساس بتلك التي لها مصفوفة تغيير أساس متعامدة ، أي مصفوفة بحيث${\displaystyle P^{\mathsf {T}}=P^{-1}.}$تتمتع هذه المصفوفات بخاصية أساسية، وهي أن صيغة تغيير الأساس تبقى نفسها لكل من الشكل الثنائي الخطي المتناظر والتشاكل الداخلي المُمثَّل بنفس المصفوفة المتناظرة. تنص نظرية الطيف على أنه، بالنظر إلى مصفوفة متناظرة كهذه، يوجد تغيير أساس متعامد بحيث تكون المصفوفة الناتجة (لكلا الشكل الثنائي الخطي والتشاكل الداخلي) مصفوفة قطرية تحتوي على القيم الذاتية للمصفوفة الأصلية على قطرها. ويترتب على ذلك أنه، على مجموعة الأعداد الحقيقية، إذا كانت مصفوفة التشاكل الداخلي متناظرة، فإنها قابلة للتقطير .

• التحول النشط والتحول السلبي
• التغاير والتغاير العكسي للمتجهات
• التحويل التكاملي ، وهو النظير المستمر لتغيير الأساس
• أوزان تشيرجوين-كولسون - تطبيقها في الكيمياء الحاسوبية 

• أنطون، هوارد (1987)، الجبر الخطي الابتدائي (  الطبعة الخامسة)، نيويورك: وايلي ، رقم ISBN 0-471-84819-0
• بوريجارد، ريموند أ.؛ فرالي، جون ب. (1973)، دورة تمهيدية في الجبر الخطي: مع مقدمة اختيارية للمجموعات والحلقات والحقول ، بوسطن: شركة هوتون ميفلين ، رقم ISBN 0-395-14017-X
• نيرينج، إيفار د. (1970)، الجبر الخطي ونظرية المصفوفات (الطبعة الثانية  )، نيويورك: وايلي ، LCCN 76091646 

• محاضرة في الجبر الخطي من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا حول تغيير الأساس ، من موقع MIT OpenCourseWare
• محاضرة أكاديمية خان حول تغيير الأساس ، من أكاديمية خان