معادلة نمو الشقوق

يوضح الشكل 1 رسمًا بيانيًا نموذجيًا لمعدل نمو الشقوق كدالة لشدة الإجهاد المتناوب أو قوة دفع طرف الشق${\displaystyle \Delta K}$تم رسمها على مقياس لوغاريتمي. يمكن تفسير سلوك معدل نمو الشقوق بالنسبة لشدة الإجهاد المتناوب في أنظمة مختلفة (انظر الشكل 1) على النحو التالي

النظام أ: عند معدلات نمو منخفضة، تؤثر الاختلافات في البنية المجهرية ، والإجهاد المتوسط ​​(أو نسبة الحمل)، والبيئة المحيطة تأثيرًا كبيرًا على معدلات انتشار الشقوق. ويُلاحظ عند نسب الحمل المنخفضة أن معدل النمو يكون أكثر حساسية للبنية المجهرية، وفي المواد ذات المقاومة المنخفضة يكون أكثر حساسية لنسبة الحمل. ^{[ 13 ]}

النظام ب: في نطاق متوسط ​​معدلات النمو، لا يكون للاختلافات في البنية المجهرية، والإجهاد المتوسط ​​(أو نسبة الحمل)، والسمك، والبيئة تأثيرات كبيرة على معدلات انتشار الشقوق.

النظام ج: عند معدلات النمو العالية، يكون انتشار الشقوق شديد الحساسية للتغيرات في البنية المجهرية، والإجهاد المتوسط ​​(أو نسبة الحمل)، والسماكة. أما التأثيرات البيئية فلها تأثير ضئيل للغاية نسبياً.

دورات ذات نسبة إجهاد أعلى${\displaystyle R=K_{\text{min}}}/{K_{\text{max}}\equiv P_{\text{min}}/{P_{\text{max}}}}$يؤدي ذلك إلى زيادة معدل نمو الشقوق. ^{[ 14 ]} يُفسَّر هذا التأثير غالبًا باستخدام مفهوم إغلاق الشقوق ، الذي يصف ملاحظة أن أسطح الشقوق يمكن أن تظل متلامسة مع بعضها البعض عند الأحمال التي تزيد عن الصفر. وهذا يقلل من نطاق معامل شدة الإجهاد الفعال ومعدل نمو شقوق الإجهاد. ^{[ 15 ]}

أ${\displaystyle da/dN}$تُعطي المعادلة معدل النمو لدورة واحدة، ولكن عندما لا يكون الحمل ثابت السعة، فإن التغيرات في الحمل قد تؤدي إلى زيادات أو انخفاضات مؤقتة في معدل النمو. وقد طُوّرت معادلات إضافية للتعامل مع بعض هذه الحالات. يتباطأ معدل النمو عند حدوث حمل زائد في تسلسل التحميل. تُولّد هذه الأحمال منطقة لدنة قد تُؤخر معدل النمو. من المعادلات البارزة لنمذجة التأخيرات التي تحدث أثناء نمو الشق عبر منطقة الحمل الزائد: ^{[ 16 ]}

نموذج ويلر (1972)

${\displaystyle \left({\frac {da}{dN}}\right)_{\text{VA}}=\beta \left({\frac {da}{dN}}\right)_{\text{CA}}}$مع${\displaystyle \beta =\left({\frac {r_{\text{pi}}}{r_{\text{max}}}}\right)^{k}}$

أين${\displaystyle r_{\text{pi}}}$هي المنطقة البلاستيكية المقابلة للدورة رقم i التي تحدث بعد التحميل الزائد و${\displaystyle r_{\text{max}}}$هي المسافة بين الشق ومدى المنطقة البلاستيكية عند التحميل الزائد.

نموذج ويلنبورغ

للتنبؤ بمعدل نمو الشقوق في منطقة العتبة القريبة، تم استخدام العلاقة التالية ^{[ 17 ]}

${\displaystyle {da \over dN}=A\left(\Delta K-\Delta K_{\text{th}}\right)^{p}.}$

للتنبؤ بمعدل نمو الشقوق في النظام الوسيط، يتم استخدام معادلة باريس-أردوغان ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {da \over dN}=C\left(\Delta K\right)^{m}.}$

في عام 1967، اقترح فورمان العلاقة التالية لتفسير معدلات النمو المتزايدة الناتجة عن نسبة الإجهاد وعند الاقتراب من مقاومة الكسر${\displaystyle K_{\text{c}}}$^{[ 18 ]}

${\displaystyle {da \over dN}={\frac {C(\Delta K)^{n}}{(1-R)K_{\text{c}}-\Delta K}}}$

اقترح ماك إيفيلي وغرويغر ^{[ 19 ]} العلاقة التالية لقانون القوة التي تأخذ في الاعتبار تأثيرات كل من القيم العالية والمنخفضة لـ${\displaystyle \Delta K}$

${\displaystyle {da \over dN}=A(\Delta K-\Delta K_{\text{th}})^{2}{\Big [}1+{\frac {\Delta K}{K_{\text{Ic}}-K_{\text{max}}}}{\Big ]}}$.

تُستخدم معادلة NASGRO في برامج نمو الشقوق AFGROW و FASTRAN وNASGRO. ^{[ 20 ]} وهي معادلة عامة تغطي معدل النمو المنخفض بالقرب من العتبة.${\displaystyle \Delta K_{\text{th}}}$ومعدل النمو المتزايد الذي يقترب من مقاومة الكسر${\displaystyle K_{\text{crit}}}$بالإضافة إلى مراعاة تأثير الإجهاد المتوسط ​​من خلال تضمين نسبة الإجهاد${\displaystyle R}$معادلة ناسجرو هي

${\displaystyle {\frac {da}{dN}}=C\left[\left({\frac {1-f}{1-R}}\right)\Delta K\right]^{n}{\left(1-{\frac {\Delta K_{\text{th}}}{\Delta K}}\right)^{p} \over \left(1-{\frac {K_{\max }}{K_{\text{crit}}}}\right)^{q}}}$

أين${\displaystyle C}$،${\displaystyle f}$،${\displaystyle n}$،${\displaystyle p}$،${\displaystyle q}$،${\displaystyle \Delta K_{\text{th}}}$و${\displaystyle K_{\text{crit}}}$هي معاملات المعادلة.

في عام 1967، وضع ماكلينتوك معادلة للحد الأعلى لنمو الشقوق بناءً على إزاحة فتح طرف الشق الدورية${\displaystyle \Delta {\text{CTOD}}}$^{[ 21 ]}

${\displaystyle {da \over dN}\propto \Delta {\text{CTOD}}\approx \beta {(\Delta K)^{2} \over {2\sigma _{0}E'}}}$

أين${\displaystyle \sigma _{0}}$ هو إجهاد التدفق ،${\displaystyle E'}$هو معامل يونغ و${\displaystyle \beta }$وهو ثابت يقع عادةً في النطاق 0.1–0.5.

ولأخذ تأثير نسبة الإجهاد في الاعتبار، اقترح ووكر شكلاً معدلاً لمعادلة باريس-إردوغان ^{[ 22 ].}

${\displaystyle {da \over dN}=C{\Big (}{\overline {\Delta K}}{\Big )}^{m}=C{\bigg (}{\frac {\Delta K}{(1-R)^{1-\gamma }}}{\bigg )}^{m}=C{\big (}K_{\text{max}}(1-R)^{\gamma }{\big )}^{m}}$

أين،${\displaystyle \gamma }$هو مُعامل مادي يُمثل تأثير نسبة الإجهاد على معدل نمو شقوق الإجهاد. عادةً،${\displaystyle \gamma }$تأخذ قيمة تقارب${\displaystyle 0.5}$، ولكن يمكن أن تختلف بين${\displaystyle 0.3-1.0}$بشكل عام، يُفترض أن الجزء الانضغاطي من دورة التحميل${\displaystyle {\big (}R<0{\big )}}$لا يؤثر ذلك على نمو الشقوق عند الأخذ في الاعتبار${\displaystyle \gamma =0,}$مما يعطي${\displaystyle {\overline {\Delta K}}=K_{\text{max}}.}$يمكن تفسير ذلك فيزيائيًا بالنظر إلى أن الشق ينغلق عند انعدام الحمل ولا يتصرف كشق تحت تأثير أحمال الضغط. في المواد شديدة المطيلية مثل فولاذ مان-تين، يساهم حمل الضغط في نمو الشق وفقًا لـ${\displaystyle \gamma =0.22}$[ ^{23 ]​}

قام إلبر بتعديل معادلة باريس-إردوغان للسماح بإغلاق الشقوق من خلال إدخال مستوى شدة الإجهاد المفتوح${\displaystyle K_{\text{op}}}$عند هذا المستوى يحدث التلامس. أسفل هذا المستوى، لا توجد حركة عند طرف الشق، وبالتالي لا يوجد نمو. وقد استُخدم هذا التأثير لتفسير تأثير نسبة الإجهاد وزيادة معدل النمو الملحوظ في الشقوق القصيرة. معادلة إلبر هي ^{[ 16 ]}

${\displaystyle \Delta K_{\text{eff}}=K_{\text{max}}-K_{\text{op}}}$

${\displaystyle {da \over dN}=C(\Delta K_{\text{eff}})^{m}}$

يتم إعطاء الشكل العام لمعدل نمو الشقوق الناتجة عن الإجهاد في المواد المطيلية والهشة بواسطة ^{[ 21 ]}

${\displaystyle {da \over dN}\propto (K_{\text{max}})^{n}(\Delta K)^{p},}$

أين،${\displaystyle n}$و${\displaystyle p}$هي معلمات مادية. بناءً على آليات تقدم الشقوق وحماية أطرافها المختلفة في المعادن والسيراميك والمركبات المعدنية البينية ، لوحظ أن معدل نمو شقوق الإجهاد في المعادن يعتمد بشكل كبير على${\displaystyle \Delta K}$مصطلح، في السيراميك${\displaystyle K_{\text{max}}}$وتعتمد المركبات بين الفلزية بشكل مماثل تقريبًا على${\displaystyle \Delta K}$و${\displaystyle K_{\text{max}}}$شروط.

^{توجد العديد من برامج الحاسوب التي تُطبّق معادلات نمو الشقوق ،} مثل Nasgro [ ^{24 ]} و AFGROW و Fastran . إضافةً إلى ذلك، توجد برامج أخرى تُطبّق منهجًا احتماليًا لنمو الشقوق، حيث تحسب احتمالية الفشل طوال عمر المكوّن. ^{[ 25 ] [ 26 ]}

تعمل برامج نمو الشقوق على زيادة حجم الشق من عيب أولي حتى يتجاوز مقاومة الكسر للمادة ويتسبب في انهيارها. ولأن مقاومة الكسر تعتمد على ظروف الحدود، فقد تتغير من ظروف الإجهاد المستوي لشق سطحي نصف دائري إلى ظروف الإجهاد المستوي لشق نافذ. وعادةً ما تكون مقاومة الكسر في ظروف الإجهاد المستوي ضعف مثيلتها في ظروف الإجهاد المستوي. ومع ذلك، ونظرًا لسرعة نمو الشق قرب نهاية عمره، فإن التغيرات في مقاومة الكسر لا تؤثر بشكل كبير على عمر المكون.

عادةً ما توفر برامج نمو الشقوق خيارات من:

• أساليب عد الدورات لاستخراج القيم القصوى للدورة
• العوامل الهندسية التي تحدد شكل الشق والحمل المطبق
• معادلة نمو الشقوق
• نماذج التسارع/التباطؤ
• خصائص المواد مثل قوة الخضوع وصلابة الكسر

يُعطى معامل شدة الإجهاد بالصيغة التالية

${\displaystyle K=\beta \sigma {\sqrt {\pi a}},}$

أين${\displaystyle \sigma }$يمثل الإجهاد الشدّي المنتظم المطبق على العينة في الاتجاه العمودي على مستوى الشق.${\displaystyle a}$هو طول الشق و${\displaystyle \beta }$هو مُعامل لا بُعدي يعتمد على هندسة العينة. وتصبح شدة الإجهاد المتناوب

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta K&={\begin{cases}\beta (\sigma _{\text{max}}-\sigma _{\text{min}}){\sqrt {\pi a}}=\beta \Delta \sigma {\sqrt {\pi a}},\qquad R\geq 0\\\beta \sigma _{\text{max}}{\sqrt {\pi a}},\qquad R<0\end{cases}},\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle \Delta \sigma }$يمثل نطاق سعة الإجهاد الدوري.

بافتراض أن حجم الشق الأولي هو${\displaystyle a_{0}}$حجم الشق الحرج${\displaystyle a_{c}}$يمكن حساب ذلك قبل فشل العينة باستخدام${\displaystyle {\big (}K=K_{\text{max}}=K_{\text{Ic}}{\big )}}$مثل

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\text{Ic}}&=\beta \sigma _{\text{max}}{\sqrt {\pi a_{c}}},\\\Rightarrow a_{c}&={\frac {1}{\pi }}{\bigg (}{\frac {K_{\text{Ic}}}{\beta \sigma _{\text{max}}}}{\bigg )}^{2}.\end{aligned}}}$

المعادلة أعلاه في${\displaystyle a_{c}}$وهي ضمنية بطبيعتها ويمكن حلها عددياً إذا لزم الأمر.

الحالة الأولى

ل${\displaystyle R\geq 0.7,}$لا يؤثر انغلاق الشقوق بشكل ملحوظ على معدل نمو الشقوق ^{[ 27 ]} ، ويمكن استخدام معادلة باريس-إردوغان لحساب عمر الإجهاد للعينة قبل أن تصل إلى حجم الشق الحرج.${\displaystyle a_{c}}$مثل

${\displaystyle {\begin{aligned}{da \over dN}&=C(\Delta K)^{m}=C{\bigg (}\beta \Delta \sigma {\sqrt {\pi a}}{\bigg )}^{m},\\\Rightarrow N_{f}&={\frac {1}{({\sqrt {\pi }}\Delta \sigma )^{m}}}\int _{a_{0}}^{a_{c}}{\frac {da}{(C{\sqrt {a}}\beta )^{m}}}.\end{aligned}}}$

نموذج نمو الشقوق بقيمة ثابتة لـ 𝛽 و R = 0

بالنسبة لنموذج نمو الشقوق غريفيث-إروين أو الشق المركزي بطول${\displaystyle 2a}$في صفيحة لانهائية كما هو موضح في الشكل 2، لدينا${\displaystyle \beta =1}$وهو مستقل عن طول الشق. كذلك، ${\displaystyle C}$يمكن اعتبارها مستقلة عن طول الشق. بافتراض${\displaystyle \beta ={\text{constant}},}$يتبسط التكامل أعلاه إلى

${\displaystyle N_{f}={\frac {1}{C({\sqrt {\pi }}\beta \Delta \sigma )^{m}}}\int _{a_{0}}^{a_{c}}{\frac {da}{({\sqrt {a}})^{m}}},}$

من خلال دمج التعبير أعلاه لـ${\displaystyle m\neq 2}$و${\displaystyle m=2}$في الحالات، إجمالي عدد دورات التحميل${\displaystyle N_{f}}$يتم تقديمها بواسطة

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{f}&={\frac {2}{(m-2)C({\sqrt {\pi }}\beta \Delta \sigma )^{m}}}{\Bigg [}{\frac {1}{(a_{0})^{\frac {m-2}{2}}}}-{\frac {1}{(a_{c})^{\frac {m-2}{2}}}}{\Bigg ]},\qquad m\neq 2,\\N_{f}&={\frac {1}{\pi C(\beta \Delta \sigma )^{2}}}\ln {\frac {a_{c}}{a_{0}}},\qquad m=2.\end{aligned}}}$

والآن، لـ${\displaystyle m>2}$ويكون حجم الشق الحرج كبيرًا جدًا مقارنة بحجم الشق الأولي${\displaystyle {\big (}a_{c}>>a_{0}{\big )}}$سوف يعطي

${\displaystyle N_{f}={\frac {2}{(m-2)C({\sqrt {\pi }}\Delta \sigma \beta )^{m}}}(a_{0})^{\frac {2-m}{2}}.}$

التعبيرات التحليلية المذكورة أعلاه لعدد دورات التحميل الكلي اللازمة للكسر${\displaystyle {\big (}N_{f}{\big )}}$يتم الحصول عليها بافتراض${\displaystyle Y={\text{constant}}}$في الحالات التي${\displaystyle \beta }$يعتمد ذلك على حجم الشق، مثل هندسة الشد أحادي الحافة (SENT) وهندسة الشد ذي الشق المركزي (CCT)، ويمكن استخدام التكامل العددي لحساب ذلك.${\displaystyle N_{f}}$.

يُعد هذا المخطط مفيدًا عندما${\displaystyle \beta }$يعتمد ذلك على حجم الشق${\displaystyle a}$يُعتبر حجم الشق الأولي هو${\displaystyle a_{0}}$معامل شدة الإجهاد عند حجم الشق الحالي${\displaystyle a}$يتم حسابها باستخدام أقصى إجهاد مطبق كـ

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{\text{max}}&=\beta \sigma _{\text{max}}{\sqrt {\pi a}}.\end{aligned}}}$لو${\displaystyle K_{\text{max}}}$أقل من مقاومة الكسر${\displaystyle K_{\text{Ic}}}$لم يصل الشق إلى حجمه الحرج${\displaystyle a_{c}}$وتستمر المحاكاة باستخدام حجم الشق الحالي لحساب شدة الإجهاد المتناوب كما

${\displaystyle \Delta K=\beta \Delta \sigma {\sqrt {\pi a}}.}$

الآن، من خلال استبدال عامل شدة الإجهاد في معادلة باريس-إردوغان، فإن الزيادة في حجم الشق${\displaystyle \Delta a}$يتم حسابها على النحو التالي

${\displaystyle \Delta a=C(\Delta K)^{m}\Delta N,}$

أين${\displaystyle \Delta N}$حجم خطوة الدورة. يصبح حجم الشق الجديد

${\displaystyle a_{i+1}=a_{i}+\Delta a,}$

حيث الفهرس${\displaystyle i}$يشير هذا إلى خطوة التكرار الحالية. يُستخدم حجم الشق الجديد لحساب شدة الإجهاد عند أقصى إجهاد مُطبق للتكرار التالي. تستمر هذه العملية التكرارية حتى

${\displaystyle K_{\text{max}}\geq K_{\text{Ic}}.}$

بمجرد استيفاء معيار الفشل هذا، يتم إيقاف المحاكاة.

يوضح الشكل 3 التمثيل التخطيطي لعملية التنبؤ بعمر الإجهاد.

مثال

يتم إعطاء عامل شدة الإجهاد في عينة SENT (انظر الشكل 4) تحت نمو شق الإجهاد بواسطة ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{I}&=\beta \sigma {\sqrt {\pi a}}=\sigma {\sqrt {\pi a}}{\Bigg [}0.265{\bigg [}1-{\frac {a}{W}}{\bigg ]}^{4}+{\frac {0.857+0.265{\frac {a}{W}}}{{\big [}1-{\frac {a}{W}}{\big ]}^{\frac {3}{2}}}}{\Bigg ]},\\\Delta K_{I}&=K_{\text{max}}-K_{\text{min}}=\beta \Delta \sigma {\sqrt {\pi a}}.\end{aligned}}}$

تُؤخذ المعايير التالية في الاعتبار عند إجراء الحساب

${\displaystyle a_{0}=5}$مم،${\displaystyle W=100}$مم،${\displaystyle h=200}$مم،${\displaystyle K_{\text{Ic}}=30{\text{ MPa}}{\sqrt {\text{m}}}}$،${\displaystyle R={\frac {K_{\text{min}}}{K_{\text{max}}}}=0.7}$،

${\displaystyle \Delta \sigma =20}$ميجا باسكال،${\displaystyle C=4.6774\times 10^{-11}{\frac {\text{m}}{\text{cycle}}}{\frac {1}{({\text{MPa}}{\sqrt {\text{m}}})^{m}}}}$،${\displaystyle m=3.874}$.

طول الشق الحرج،${\displaystyle a=a_{c}}$، ويمكن حسابها عندما${\displaystyle K_{\text{max}}=K_{\text{Ic}}}$مثل

${\displaystyle a_{c}={\frac {1}{\pi }}{\Bigg (}{\frac {0.45}{\beta }}{\Bigg )}^{2}.}$

بحل المعادلة أعلاه، يتم الحصول على طول الشق الحرج كما يلي:${\displaystyle a_{c}=26.7{\text{mm}}}$.

والآن، بتطبيق معادلة باريس-أردوغان، نحصل على

${\displaystyle N_{f}={\frac {1}{C(\Delta \sigma )^{m}({\sqrt {\pi }})^{m}}}\int _{a_{0}}^{a_{c}}{\frac {da}{a^{\frac {m}{2}}{\Bigg [}0.265{\bigg [}1-{\frac {a}{W}}{\bigg ]}^{4}+{\frac {0.857+0.265{\frac {a}{W}}}{{\big [}1-{\frac {a}{W}}{\big ]}^{\frac {3}{2}}}}{\Bigg ]}^{m}}}}$

من خلال التكامل العددي للتعبير أعلاه، يتم الحصول على العدد الإجمالي لدورات التحميل حتى الفشل كما يلي:${\displaystyle N_{f}=1.2085\times 10^{6}{\text{ cycles}}}$.