فترة موثوقة

في الإحصاء البايزي ، تُعرف الفترة الموثوقة بأنها فترة تُستخدم لوصف توزيع احتمالي . ويتم تعريفها بحيث يكون لقيمة معلمة غير مُلاحظة احتمال معين.${\displaystyle \gamma }$أن يقع ضمن نطاقه. على سبيل المثال، في تجربة تحدد توزيع القيم المحتملة للمعامل${\displaystyle \mu }$، إذا كان احتمال أن${\displaystyle \mu }$يقع بين 35 و 45${\displaystyle \gamma =0.95}$، ثم${\displaystyle 35\leq \mu \leq 45}$هي فترة موثوقية بنسبة 95%.

تُستخدم فترات المصداقية عادةً لوصف توزيعات الاحتمالية اللاحقة أو توزيعات الاحتمالية التنبؤية . ^{[ 1 ]} ويُطلق على تعميمها على المجموعات المنفصلة أو متعددة المتغيرات اسم مجموعة المصداقية أو منطقة المصداقية.

تُعدّ فترات المصداقية نظيرًا بايزيًا لفترات الثقة في الإحصاء التكراري . ^{[ 2 ]} ينشأ المفهومان من فلسفتين مختلفتين: ^{[ 3 ]} إذ تُعامل فترات المصداقية البايزية حدودها على أنها ثابتة، والمعلمة المُقدَّرة على أنها متغير عشوائي، بينما تُعامل فترات الثقة التكرارية حدودها على أنها متغيرات عشوائية، والمعلمة على أنها قيمة ثابتة. كما تستخدم فترات المصداقية البايزية (بل وتتطلب) معرفة التوزيع الاحتمالي المسبق الخاص بالحالة ، بينما لا تتطلب فترات الثقة التكرارية ذلك.

لا تُعتبر المجموعات الموثوقة فريدة، إذ أن أي توزيع احتمالي مُعطى له عدد لا نهائي من${\displaystyle \gamma }$- مجموعات موثوقة، أي مجموعات احتمالية${\displaystyle \gamma }$على سبيل المثال، في حالة المتغير الواحد، توجد تعريفات متعددة لفترة أو مجموعة مناسبة:

• أصغر فترة موثوقية (SCI)، وتسمى أحيانًا فترة الكثافة الأعلى . تحتوي هذه الفترة بالضرورة على الوسيط كلما${\displaystyle \gamma \geq 0.5}$عندما يكون التوزيع أحادي المنوال ، فإن هذه الفترة تحتوي أيضًا على المنوال .
• أصغر مجموعة موثوقة (SCS)، وتُسمى أحيانًا منطقة الكثافة الأعلى . بالنسبة للتوزيع متعدد الأنماط، لا تُمثل هذه المجموعة بالضرورة فترة زمنية، إذ يُمكن أن تكون منفصلة. تحتوي هذه المجموعة دائمًا على النمط .
• الفاصل الزمني الموثوق به القائم على المئينيات ، والذي يتم حسابه عن طريق أخذ الفاصل الزمني بين المئينيات${\displaystyle [q_{\delta },q_{\delta +\gamma }]}$لبعض المحدد مسبقًا${\displaystyle \delta \in [0,1-\gamma ]}$على سبيل المثال، متوسط ​​الفترة الموثوقة (MCI) للاحتمالية${\displaystyle \gamma }$هي الفترة التي يكون فيها احتمال أن يكون الشخص أسفلها مساوياً لاحتمال أن يكون فوقها، أي الفترة${\displaystyle [q_{(1-\gamma )/2},q_{(1+\gamma )/2}]}$يُطلق عليه أحيانًا اسم الفترة متساوية الذيل ، ويحتوي دائمًا على الوسيط . يمكن تعريف فترات موثوقية أخرى قائمة على الكميات، مثل فترة المصداقية الدنيا (LCI) وهي${\displaystyle [q_{0},q_{\gamma }]}$أو أعلى فاصل ثقة (HCI) وهو${\displaystyle [q_{1-\gamma },q_{1}]}$قد تكون هذه الفترات أكثر ملاءمة للمتغيرات المحدودة.

يمكن للمرء أيضًا تحديد فترة يكون فيها المتوسط ​​هو النقطة المركزية، بافتراض أن المتوسط ​​موجود.

${\displaystyle \gamma }$- أصغر مجموعات موثوقة (${\displaystyle \gamma }$يمكن تعميم (-SCS) بسهولة على الحالة متعددة المتغيرات، وهي محدودة بخطوط كفاف كثافة الاحتمال . ^{[ 4 ]} وهي تحتوي دائمًا على المنوال ، ولكن ليس بالضرورة على المتوسط ، أو الوسيط الإحداثي ، أو الوسيط الهندسي .

يمكن أيضًا تقدير فترات المصداقية من خلال استخدام تقنيات المحاكاة مثل سلسلة ماركوف مونت كارلو . ^{[ 5 ]}

تعني فترة الثقة التكرارية بنسبة 95% أنه مع عدد كبير من العينات المتكررة، فإن 95% من فترات الثقة المحسوبة ستشمل القيمة الحقيقية للمعلمة. من الناحية التكرارية، تكون المعلمة ثابتة (لا يمكن اعتبارها ذات توزيع للقيم المحتملة) وتكون فترة الثقة عشوائية (لأنها تعتمد على العينة العشوائية).

تختلف فترات الثقة البايزية عن فترات الثقة التكرارية في جانبين رئيسيين:

• الفترات الموثوقة هي فترات ذات كثافة احتمالية (لاحقة) تمثل مدى معقولية أن تأخذ المعلمة تلك القيم، بينما تعتبر فترات الثقة معلمة المجتمع ثابتة، وبالتالي لا تخضع للاحتمال. في فترات الثقة، تشير الثقة إلى عشوائية فترة الثقة نفسها عند تكرار التجارب، بينما تحلل الفترات الموثوقة عدم اليقين بشأن المعلمة المستهدفة بالنظر إلى البيانات المتاحة.

• تتعامل فترات المصداقية وفترات الثقة مع المعلمات المزعجة بطرق مختلفة جذرياً.

في حالة وجود مُعامل واحد وبيانات يُمكن تلخيصها في إحصائية كافية واحدة ، يُمكن إثبات أن فترة المصداقية وفترة الثقة تتطابقان إذا كان المُعامل المجهول مُعامل موقع (أي أن دالة الاحتمال الأمامي لها الشكل التالي).${\displaystyle \mathrm {Pr} (x|\mu )=f(x-\mu )}$)، مع توزيع مسبق منتظم مسطح؛ ^{[ 6 ]} وأيضًا إذا كانت المعلمة المجهولة هي معلمة مقياس (أي أن دالة الاحتمال الأمامي لها الشكل${\displaystyle \mathrm {Pr} (x|s)=f(x/s)}$), مع جيفريز السابق${\displaystyle \mathrm {Pr} (s|I)\;\propto \;1/s}$^{[ 6 ]} - ويعود السبب في ذلك إلى أن أخذ لوغاريتم معامل المقياس هذا يحوله إلى معامل موقع ذي توزيع منتظم. لكن هذه حالات خاصة (وإن كانت مهمة)؛ وبشكل عام، لا يمكن إجراء مثل هذه المعادلة.

• بولستاد، ويليام م.؛ كوران، جيمس م. (2016). "مقارنة الاستدلالات البايزية والتكرارية للمتوسط". مقدمة في الإحصاء البايزي (  الطبعة الثالثة). جون وايلي وأولاده. ص 237-253 . ISBN  978-1-118-09156-2.