النمط (الإحصائيات)

على عكس المتوسط ​​والوسيط، يُعدّ مفهوم المنوال مناسبًا أيضًا للبيانات الاسمية (أي التي لا تتكون من قيم عددية كما في حالة المتوسط، أو حتى من قيم مرتبة كما في حالة الوسيط). على سبيل المثال، عند أخذ عينة من أسماء العائلات الكورية ، قد نجد أن اسم " كيم " هو الأكثر تكرارًا. في هذه الحالة، يكون "كيم" هو المنوال في العينة. في أي نظام تصويت يُحدد فيه الفوز بالأغلبية، تُحدد قيمة منوالية واحدة الفائز، بينما تتطلب النتيجة متعددة المنوالات إجراءً لكسر التعادل.

على عكس الوسيط، يُعدّ مفهوم المنوال مناسبًا لأي متغير عشوائي يأخذ قيمًا من فضاء متجهي ، بما في ذلك الأعداد الحقيقية ( في فضاء متجهي أحادي البعد ) والأعداد الصحيحة (التي يمكن اعتبارها مضمنة في الأعداد الحقيقية). على سبيل المثال، عادةً ما يكون لتوزيع النقاط في المستوى متوسط ​​ومنوال، لكن مفهوم الوسيط لا ينطبق عليه. يكون الوسيط مناسبًا عندما يكون هناك ترتيب خطي للقيم الممكنة. من تعميمات مفهوم الوسيط للفضاءات ذات الأبعاد الأعلى: الوسيط الهندسي والنقطة المركزية .

في بعض التوزيعات الاحتمالية ، قد تكون القيمة المتوقعة لانهائية أو غير مُعرَّفة، ولكن إذا كانت مُعرَّفة، فهي فريدة. أما متوسط ​​العينة (المحدودة) فهو مُعرَّف دائمًا. الوسيط هو القيمة التي تكون فيها الكسور التي لا تتجاوزها ولا تقل عنها مساويةً لـ 1/2 على الأقل. وهو ليس بالضرورة فريدًا، ولكنه ليس لانهائيًا أو غير مُعرَّف تمامًا. بالنسبة لعينة بيانات، فهو القيمة "الوسطى" عندما تكون قائمة القيم مُرتبة تصاعديًا، حيث يُؤخذ عادةً المتوسط ​​العددي لأقرب قيمتين إلى "الوسطى" في قائمة ذات طول زوجي. أخيرًا، كما ذُكر سابقًا، فإن المنوال ليس بالضرورة فريدًا. بعض التوزيعات الشاذة (مثل توزيع كانتور ) ليس لها منوال مُعرَّف على الإطلاق. ^{[ 4 ]} بالنسبة لعينة بيانات محدودة، يكون المنوال قيمةً واحدة (أو أكثر) من قيم العينة.

بافتراض التعريف، ولتبسيط الأمر بافتراض التفرد، فيما يلي بعض الخصائص الأكثر إثارة للاهتمام.

• تتمتع جميع المقاييس الثلاثة بالخاصية التالية: إذا تم إخضاع المتغير العشوائي (أو كل قيمة من العينة) للتحويل الخطي أو الأفيني ، والذي يستبدل X بـ aX + b ، فإن المتوسط ​​والوسيط والمنوال يتم إخضاعها أيضًا.
• باستثناء العينات الصغيرة للغاية، لا يتأثر المنوال بالقيم الشاذة (مثل القراءات التجريبية النادرة أو الخاطئة). كما أن الوسيط يتمتع بثبات كبير في وجود القيم الشاذة، بينما يكون المتوسط ​​حساسًا نسبيًا.
• في التوزيعات أحادية المنوال المستمرة ، يقع الوسيط غالبًا بين المتوسط ​​والمنوال، عند ثلث المسافة تقريبًا بينهما. ويمكن التعبير عن ذلك بالصيغة التالية: الوسيط ≈ (2 × المتوسط ​​+ المنوال)/3. هذه القاعدة، التي وضعها كارل بيرسون ، تنطبق عادةً على التوزيعات غير المتماثلة قليلًا والتي تشبه التوزيع الطبيعي، ولكنها ليست صحيحة دائمًا، وبشكل عام، يمكن أن تظهر الإحصائيات الثلاث بأي ترتيب. ^{[ 5 ] [ 6 ]}
• بالنسبة للتوزيعات أحادية المنوال، يقع المنوال ضمن √3 انحرافات معيارية عن المتوسط، ويقع جذر متوسط ​​مربع الانحراف حول المنوال بين الانحراف المعياري وضعف الانحراف المعياري. ^{[ 7 ]}

من أمثلة التوزيع غير المتوازن الثروة الشخصية : قليلون هم الأثرياء جداً، ولكن من بينهم بعض الأثرياء جداً. ومع ذلك، فإن الكثيرين فقراء إلى حد ما.

يُعد التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي فئة معروفة من التوزيعات التي يمكن أن تكون ملتوية بشكل تعسفي . ويتم الحصول عليه بتحويل متغير عشوائي X يتبع التوزيع الطبيعي إلى متغير عشوائي Y = e ^X. ثم يكون لوغاريتم المتغير العشوائي Y يتبع التوزيع الطبيعي، ومن هنا جاءت التسمية.

باعتبار المتوسط ​​μ للمتغير العشوائي X مساوياً للصفر، فإن الوسيط للمتغير العشوائي Y سيكون 1، بغض النظر عن الانحراف المعياري σ للمتغير العشوائي X. وذلك لأن X له توزيع متماثل، وبالتالي فإن وسيطه يساوي صفراً أيضاً . التحويل من X إلى Y رتيب، ومن ثم نجد أن الوسيط ^e⁰ = 1 للمتغير العشوائي Y.

عندما يكون الانحراف المعياري لـ X هو σ = 0.25، يكون توزيع Y ملتويًا بشكل طفيف. باستخدام صيغ التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي ، نجد: $${\displaystyle {\begin{array}{rlll}{\text{mean}}&=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}&=e^{0+0.25^{2}/2}&\approx 1.032\\{\text{mode}}&=e^{\mu -\sigma ^{2}}&=e^{0-0.25^{2}}&\approx 0.939\\{\text{median}}&=e^{\mu }&=e^{0}&=1\end{array}}}$$ في الواقع، يقع الوسيط على بعد ثلث المسافة تقريباً من المتوسط ​​الحسابي إلى المنوال.

عندما يكون لـ X انحراف معياري أكبر، σ = 1 ، يكون توزيع Y منحرفًا بشدة. الآن $${\displaystyle {\begin{array}{rlll}{\text{mean}}&=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}&=e^{0+1^{2}/2}&\approx 1.649\\{\text{mode}}&=e^{\mu -\sigma ^{2}}&=e^{0-1^{2}}&\approx 0.368\\{\text{median}}&=e^{\mu }&=e^{0}&=1\end{array}}}$$ وهنا، تفشل قاعدة بيرسون العامة .

استنتج فان زويت متباينة توفر شروطًا كافية لتحقق هذه المتباينة. ^{[ 8 ]} المتباينة

$${\displaystyle {\text{mode}}\leq {\text{median}}\leq {\text{mean}}}$$

يحمل إذا

$${\displaystyle F({\text{median}}-x)+F({\text{median}}+x)\geq 1}$$

لكل x حيث F (⋅) هي دالة التوزيع التراكمي للتوزيع.