الاحتمال اللاحق

الاحتمال اللاحق هو نوع من الاحتمال الشرطي ينتج عن تحديث الاحتمال المسبق بمعلومات مُلخصة بواسطة دالة الاحتمال ، وذلك بتطبيق قاعدة بايز . ^{[ 1 ]} من منظور معرفي ، يحتوي الاحتمال اللاحق على كل ما يمكن معرفته حول قضية غير مؤكدة (مثل فرضية علمية، أو قيم معلمات)، بالنظر إلى المعرفة المسبقة ونموذج رياضي يصف الملاحظات المتاحة في وقت معين. ^{[ 2 ]} بعد ورود معلومات جديدة، يمكن استخدام الاحتمال اللاحق الحالي كاحتمال مسبق في جولة أخرى من التحديث البايزي. ^{[ 3 ]}

في سياق الإحصاء البايزي ، يصف توزيع الاحتمال اللاحق عادةً عدم اليقين المعرفي حول المعلمات الإحصائية المشروطة بمجموعة من البيانات المرصودة. ومن توزيع لاحق مُعطى، يمكن اشتقاق تقديرات نقطية وفتراتية متنوعة ، مثل الاحتمال اللاحق الأقصى (MAP) أو فترة الكثافة الاحتمالية اللاحقة الأعلى (HPDI). ^{[ 4 ]} ولكن على الرغم من بساطته المفاهيمية، فإن التوزيع اللاحق غير قابل للمعالجة عمومًا، وبالتالي يحتاج إلى تقريب تحليلي أو عددي. ^{[ 5 ]}

في الإحصاء البايزي، الاحتمال اللاحق هو التوزيع الاحتمالي للمعلمات${\displaystyle \theta }$بالنظر إلى الأدلة${\displaystyle X}$، ويُشار إليه بـ${\displaystyle p(\theta |X)}$.

وهذا يتناقض مع دالة الاحتمال ، التي تمثل احتمال وجود الدليل بالنظر إلى المعلمات:${\displaystyle p(X|\theta )}$.

يرتبط الاثنان على النحو التالي:

بافتراض اعتقاد مسبق بأن دالة توزيع الاحتمالات هي${\displaystyle p(\theta )}$وأن الملاحظات${\displaystyle x}$احتمالية${\displaystyle p(x|\theta )}$ثم يُعرَّف الاحتمال اللاحق على النحو التالي:

${\displaystyle p(\theta |x)={\frac {p(x|\theta )}{p(x)}}p(\theta )}$, ^{[ 6 ]}

أين${\displaystyle p(x)}$هو ثابت التوحيد ويتم حسابه على النحو التالي

${\displaystyle p(x)=\int p(x|\theta )p(\theta )d\theta }$

للاستمرار${\displaystyle \theta }$أو عن طريق الجمع${\displaystyle p(x|\theta )p(\theta )}$ على جميع القيم الممكنة لـ${\displaystyle \theta }$للمنفصل${\displaystyle \theta }$[ ^{7 ]​}

وبالتالي فإن الاحتمال اللاحق يتناسب مع حاصل ضرب الاحتمالية × الاحتمال المسبق . ^{[ 8 ]}

لنفترض وجود مدرسة فيها 60% من الطلاب بنين و40% بنات. ترتدي البنات سراويل أو تنانير بأعداد متساوية، بينما يرتدي جميع البنين سراويل. يرى شخص ما طالبًا (عشوائيًا) من مسافة بعيدة، وكل ما يراه هو أن هذا الطالب يرتدي سروالًا. ما احتمال أن يكون هذا الطالب فتاة؟ يمكن حساب الإجابة الصحيحة باستخدام نظرية بايز.

الحدث G هو أن الطالبة الملاحظة فتاة، والحدث T هو أن الطالبة الملاحظة ترتدي بنطالًا. لحساب الاحتمال اللاحق${\displaystyle P(G|T)}$، نحتاج أولاً إلى معرفة:

• ${\displaystyle P(G)}$أو احتمال أن تكون الطالبة فتاة بغض النظر عن أي معلومات أخرى. وبما أن المراقب يرى طالبة عشوائية، أي أن جميع الطلاب لديهم نفس احتمالية الملاحظة، ونسبة الفتيات بين الطلاب هي 40%، فإن هذا الاحتمال يساوي 0.4.
• ${\displaystyle P(B)}$أو احتمال أن الطالب ليس فتاة (أي أنه فتى) بغض النظر عن أي معلومات أخرى ( حيث يمثل B الحدث المكمل لـ G ). وهذا يساوي 60%، أو 0.6.
• ${\displaystyle P(T|G)}$أو احتمال ارتداء الطالبة للبنطال علماً بأنها فتاة. وبما أن احتمال ارتدائهن للتنانير مساوي لاحتمال ارتدائهن للبنطال، فإن هذا الاحتمال يساوي 0.5.
• ${\displaystyle P(T|B)}$أو احتمال ارتداء الطالب للبنطال علماً بأنه ذكر. ويُعطى هذا الاحتمال بقيمة 1.
• ${\displaystyle P(T)}$أو احتمال ارتداء طالب (تم اختياره عشوائياً) بنطالاً بغض النظر عن أي معلومات أخرى.${\displaystyle P(T)=P(T|G)P(G)+P(T|B)P(B)}$(بموجب قانون الاحتمال الكلي )، هذا هو${\displaystyle P(T)=0.5\times 0.4+1\times 0.6=0.8}$.

بناءً على كل هذه المعلومات، يمكن حساب الاحتمالية اللاحقة لرؤية المراقب لفتاة بالنظر إلى أن الطالبة التي تمت ملاحظتها ترتدي بنطالًا عن طريق استبدال هذه القيم في الصيغة:

${\displaystyle P(G|T)={\frac {P(T|G)P(G)}{P(T)}}={\frac {0.5\times 0.4}{0.8}}=0.25.}$

إحدى الطرق البديهية لحل هذه المسألة هي افتراض أن المدرسة تضم N طالبًا. عدد الأولاد = 0.6N وعدد البنات = 0.4N . إذا كان N كبيرًا بما يكفي لتجاهل أخطاء التقريب، فإن إجمالي عدد مرتدي البناطيل = 0.6N + 50% من 0.4N . وعدد البنات اللاتي يرتدين البناطيل = 50% من 0.4N . بالتالي، في مجتمع مرتدي البناطيل، تمثل البنات (50% من 0.4N ) / (0.6N + 50% من 0.4N ) = 25%. بعبارة أخرى، إذا فصلنا مجموعة مرتدي البناطيل، فسيكون ربع هذه المجموعة من البنات. لذلك، إذا رأيتَ بنطالًا، فإن أقصى ما يمكنك استنتاجه هو أنك تنظر إلى عينة واحدة من مجموعة فرعية من الطلاب حيث 25% منهم بنات. وبحسب التعريف، فإن احتمال أن يكون هذا الطالب المختار عشوائيًا بنتًا هو 25%. يمكن حل جميع مسائل نظرية بايز بهذه الطريقة. ^{[ 9 ]}

يمكن حساب التوزيع الاحتمالي اللاحق لمتغير عشوائي واحد بمعلومية قيمة متغير آخر باستخدام نظرية بايز عن طريق ضرب التوزيع الاحتمالي المسبق بدالة الاحتمال ، ثم القسمة على ثابت التطبيع ، كما يلي:

${\displaystyle f_{X\mid Y=y}(x)={f_{X}(x){\mathcal {L}}_{X\mid Y=y}(x) \over {\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(u){\mathcal {L}}_{X\mid Y=y}(u)\,du}}}$

تعطي دالة كثافة الاحتمال اللاحق لمتغير عشوائي${\displaystyle X}$بالنظر إلى البيانات${\displaystyle Y=y}$، أين

• ${\displaystyle f_{X}(x)}$الكثافة المسبقة لـ${\displaystyle X}$،
• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X\mid Y=y}(x)=f_{Y\mid X=x}(y)}$دالة الاحتمال كدالة لـ${\displaystyle x}$،
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(u){\mathcal {L}}_{X\mid Y=y}(u)\,du}$هو ثابت التوحيد، و
• ${\displaystyle f_{X\mid Y=y}(x)}$الكثافة الخلفية لـ${\displaystyle X}$بالنظر إلى البيانات${\displaystyle Y=y}$[ ^{10 ]​}

الاحتمال اللاحق هو احتمال شرطي مبني على بيانات مُلاحظة عشوائيًا، ولذلك فهو متغير عشوائي. بالنسبة للمتغير العشوائي، من المهم تلخيص مقدار عدم اليقين فيه. إحدى طرق تحقيق هذا الهدف هي توفير فترة موثوقة للاحتمال اللاحق. ^{[ 11 ]}

في مجال التصنيف ، تعكس الاحتمالات اللاحقة عدم اليقين في تقييم ملاحظة ما لفئة معينة، انظر أيضًا احتمالات الانتماء إلى الفئة . في حين أن أساليب التصنيف الإحصائي تُولّد، بحكم تعريفها، احتمالات لاحقة، فإنّ نماذج التعلّم الآلي عادةً ما تُقدّم قيم انتماء لا تُوحي بأي ثقة احتمالية. من المستحسن تحويل قيم الانتماء أو إعادة قياسها إلى احتمالات الانتماء إلى الفئة، لأنها قابلة للمقارنة، بالإضافة إلى سهولة تطبيقها في المعالجة اللاحقة. ^{[ 12 ]}

• فترة التنبؤ
• نظرية برنشتاين-فون ميزس
• احتمالية النجاح
• نظرية المعرفة البايزية
• خوارزمية متروبوليس-هاستينغز

• لانكستر، توني (2004). مقدمة في الاقتصاد القياسي البايزي الحديث . أكسفورد: بلاكويل. ISBN 1-4051-1720-6.
• لي، بيتر م. (2004). الإحصاء البايزي  : مقدمة (  الطبعة الثالثة). وايلي . ISBN 0-340-81405-5.