التغاير المتبادل

في الاحتمالات والإحصاء ، بالنظر إلى عمليتين عشوائيتين${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$و${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$التباين المشترك هو دالة تعطي التباين المشترك بين عملية وأخرى عند أزواج من النقاط الزمنية. باستخدام الترميز المعتاد${\displaystyle \operatorname {E} }$بالنسبة لعامل التوقع ، إذا كانت العمليات لها دوال متوسطة${\displaystyle \mu _{X}(t)=\operatorname {\operatorname {E} } [X_{t}]}$و${\displaystyle \mu _{Y}(t)=\operatorname {E} [Y_{t}]}$ثم يُعطى التغاير المشترك بالصيغة التالية

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {cov} (X_{t_{1}},Y_{t_{2}})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-\mu _{X}(t_{1}))(Y_{t_{2}}-\mu _{Y}(t_{2}))]=\operatorname {E} [X_{t_{1}}Y_{t_{2}}]-\mu _{X}(t_{1})\mu _{Y}(t_{2}).\,}$

يرتبط التباين المشترك بالارتباط المتبادل الأكثر شيوعًا للعمليات المعنية.

في حالة متجهين عشوائيين${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{p})^{\rm {T}}}$و${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{q})^{\rm {T}}}$، سيكون التغاير المتقاطع${\displaystyle p\times q}$مصفوفة${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}}$(يشار إليه غالبًا بـ${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)}$) مع المدخلات${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(j,k)=\operatorname {cov} (X_{j},Y_{k}).\,}$لذا يُستخدم مصطلح التغاير المتقاطع لتمييز هذا المفهوم عن تغاير المتجه العشوائي${\displaystyle \mathbf {X} }$، والتي يُفهم أنها مصفوفة التغاير بين المكونات العددية لـ${\displaystyle \mathbf {X} }$نفسها.

في معالجة الإشارات ، يُطلق على التباين المشترك غالبًا اسم الارتباط المشترك ، وهو مقياس لتشابه إشارتين ، ويُستخدم عادةً لاكتشاف خصائص إشارة غير معروفة بمقارنتها بإشارة معروفة. وهو دالة للزمن النسبي بين الإشارتين، ويُسمى أحيانًا بالضرب النقطي المنزلق ، وله تطبيقات في التعرف على الأنماط وتحليل الشفرات .

يمكن تعميم تعريف التغاير المتقاطع للمتجهات العشوائية ليشمل العمليات العشوائية على النحو التالي:

تعريف

يترك${\displaystyle \{X(t)\}}$و${\displaystyle \{Y(t)\}}$لنرمز إلى العمليات العشوائية. عندئذٍ، تكون دالة التغاير المشترك للعمليات${\displaystyle K_{XY}}$يُعرَّف على النحو التالي: ^{[ 1 ] : ص 172}

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2}){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \operatorname {cov} (X_{t_{1}},Y_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[\left(X(t_{1})-\mu _{X}(t_{1})\right)\left(Y(t_{2})-\mu _{Y}(t_{2})\right)\right]}$

المعادلة 1

أين${\displaystyle \mu _{X}(t)=\operatorname {E} \left[X(t)\right]}$و${\displaystyle \mu _{Y}(t)=\operatorname {E} \left[Y(t)\right]}$.

إذا كانت العمليات عبارة عن عمليات عشوائية ذات قيم مركبة ، فيجب أن يكون العامل الثاني مترافقًا مركبًا :

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2}){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \operatorname {cov} (X_{t_{1}},Y_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[\left(X(t_{1})-\mu _{X}(t_{1})\right){\overline {\left(Y(t_{2})-\mu _{Y}(t_{2})\right)}}\right]}$

تعريف عمليات WSS المشتركة

لو${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$و${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$إذا كانت المتغيرات ثابتة بالمعنى الواسع المشترك ، فإن ما يلي صحيح:

${\displaystyle \mu _{X}(t_{1})=\mu _{X}(t_{2})\triangleq \mu _{X}}$للجميع${\displaystyle t_{1},t_{2}}$،

${\displaystyle \mu _{Y}(t_{1})=\mu _{Y}(t_{2})\triangleq \mu _{Y}}$للجميع${\displaystyle t_{1},t_{2}}$

و

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {K} _{XY}(t_{2}-t_{1},0)}$للجميع${\displaystyle t_{1},t_{2}}$

عن طريق الضبط${\displaystyle \tau =t_{2}-t_{1}}$(التأخير الزمني، أو مقدار الوقت الذي تم فيه إزاحة الإشارة)، يمكننا تعريفه

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(\tau )=\operatorname {K} _{XY}(t_{2}-t_{1})\triangleq \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2})}$.

وبالتالي، فإن دالة التغاير المشترك لعمليتين WSS مشتركتين تُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(\tau )=\operatorname {cov} (X_{t},Y_{t-\tau })=\operatorname {E} [(X_{t}-\mu _{X})(Y_{t-\tau }-\mu _{Y})]=\operatorname {E} [X_{t}Y_{t-\tau }]-\mu _ {X}\mu _ {Y}}$

المعادلة 2

وهو ما يعادل

${\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(\tau )=\operatorname {cov} (X_{t+\tau },Y_{t})=\operatorname {E} [(X_{t+\tau }-\mu _{X})(Y_{t}-\mu _{Y})]=\operatorname {E} [X_{t+\tau) }Y_{ر}]-\mu _ {X}\mu _ {Y}}$.

يُعدّ التغاير المتقاطع ذا أهمية في معالجة الإشارات ، حيث يُمكن تقدير التغاير المتقاطع بين عمليتين عشوائيتين ثابتتين بالمعنى الواسع عن طريق حساب متوسط ​​حاصل ضرب عينات مُقاسة من إحدى العمليتين وعينات مُقاسة من الأخرى (مع إزاحاتها الزمنية). ويمكن أن تكون العينات المُدرجة في المتوسط ​​مجموعة فرعية عشوائية من جميع عينات الإشارة (مثل عينات ضمن نافذة زمنية محدودة أو عينة فرعية من إحدى الإشارتين). وبالنسبة لعدد كبير من العينات، يتقارب المتوسط ​​مع التغاير الحقيقي.

قد يشير التغاير المتقاطع أيضًا إلى تغاير متقاطع "حتمي" بين إشارتين. ويتكون هذا من الجمع على جميع المؤشرات الزمنية. على سبيل المثال، بالنسبة للإشارات الزمنية المنفصلة${\displaystyle f[k]}$و${\displaystyle g[k]}$يُعرَّف التغاير المتقاطع على النحو التالي:

${\displaystyle (f\star g)[n]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k\in \mathbb {Z} }{\overline {f[k]}}g[n+k]=\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\overline {f[kn]}}g[k]}$

حيث يشير الخط إلى أنه يتم أخذ المرافق المركب عندما تكون الإشارات ذات قيم مركبة .

للدوال المتصلة${\displaystyle f(x)}$و${\displaystyle g(x)}$يُعرَّف التغاير المتقاطع (الحتمي) على النحو التالي:

${\displaystyle (f\star g)(x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int {\overline {f(t)}}g(x+t)\,dt=\int {\overline {f(t-x)}}g(t)\,dt}$.

• التغاير الذاتي
• الارتباط الذاتي
• علاقة
• التفاف
• الارتباط المتبادل

• الارتباط المتبادل من ماث وورلد
• http://scribblethink.org/Work/nvisionInterface/nip.html
• http://www.phys.ufl.edu/LIGO/stochastic/sign05.pdf
• http://www.staff.ncl.ac.uk/oliver.hinton/eee305/Chapter6.pdf