عملية عشوائية

جزء من سلسلة عن الإحصاء
نظرية الاحتمالات
احتمال البديهيات الحتمية نظام عدم التحديد عشوائية
فضاء الاحتمالات مساحة العينة حدث أحداث شاملة بشكل جماعي حدث ابتدائي الحصرية المتبادلة حصيلة سينجلتون تجربة محاكمة برنولي توزيع الاحتمالات توزيع برنولي التوزيع الثنائي التوزيع الأسي التوزيع الطبيعي توزيع باريتو توزيع بواسون مقياس الاحتمالية متغير عشوائي عملية برنولي مستمر أو منفصل Expected value Variance Markov chain Observed value Random walk Stochastic process
Complementary event Joint probability Marginal probability Conditional probability
Independence Conditional independence Law of total probability Law of large numbers Bayes' theorem Boole's inequality
Venn diagram Tree diagram
v t e

في نظرية الاحتمالات والمجالات ذات الصلة، العملية العشوائية (/stəˈkæstɪk / ) هي كائن رياضي يُعرَّف عادةً بأنه عائلة من المتغيرات العشوائية في فضاء الاحتمالات ، حيث يكون لمؤشر العائلة غالبًا تفسير الوقت . تُستخدم العمليات العشوائية على نطاق واسع كنماذج رياضية للأنظمة والظواهر التي يبدو أنها تتغير بطريقة عشوائية. تشمل الأمثلة نمو مجموعة بكتيرية ، أو تيار كهربائي متقلب بسبب الضوضاء الحرارية ، أو حركة جزيء غاز . ^{[1] [4] [5] للعمليات} العشوائية تطبيقات في العديد من التخصصات مثل علم الأحياء ، ^[6] الكيمياء ، ^[7] علم البيئة ، ^[8] علم الأعصاب ، ^[9] الفيزياء ، ^[10] معالجة الصور ، معالجة الإشارات ، ^[11] نظرية التحكم ، ^[12] نظرية المعلومات ، ^[13] علوم الكمبيوتر ، ^[14 ] والاتصالات . ^[15] علاوة على ذلك، فإن التغييرات العشوائية في الأسواق المالية كانت بمثابة حافز للاستخدام المكثف للعمليات العشوائية في التمويل . ^{[16] [17] [18]}

وقد ألهمت التطبيقات ودراسة الظواهر بدورها اقتراح عمليات عشوائية جديدة. ومن أمثلة هذه العمليات العشوائية عملية وينر أو عملية الحركة البراونية، ^[أ] التي استخدمها لويس باشيلييه لدراسة تغيرات الأسعار في بورصة باريس ، ^[21] وعملية بواسون ، التي استخدمها إيه كيه إرلانج لدراسة عدد المكالمات الهاتفية التي تحدث في فترة زمنية معينة. ^[22] تعتبر هاتان العمليتان العشوائيتان الأكثر أهمية ومركزية في نظرية العمليات العشوائية، ^{[1] [4] [23]} وقد تم اختراعهما مرارًا وتكرارًا وبشكل مستقل، قبل وبعد باشيلييه وإرلانج، في أماكن ودول مختلفة. ^{[21] [24]}

يُستخدم مصطلح الدالة العشوائية أيضًا للإشارة إلى عملية عشوائية أو عشوائية، ^{[25] [26]} لأنه يمكن أيضًا تفسير العملية العشوائية كعنصر عشوائي في مساحة دالة . ^{[27] [28]} تُستخدم مصطلحا العملية العشوائية والعملية العشوائية بالتبادل، وغالبًا بدون مساحة رياضية محددة للمجموعة التي تفهرس المتغيرات العشوائية. ^{[27] [29]} ولكن غالبًا ما يتم استخدام هذين المصطلحين عندما يتم فهرسة المتغيرات العشوائية بالأعداد الصحيحة أو فاصل الخط الحقيقي . ^{[5] [29]} إذا تم فهرسة المتغيرات العشوائية بواسطة المستوى الديكارتي أو بعض الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد الأعلى ، فإن مجموعة المتغيرات العشوائية تسمى عادةً حقلًا عشوائيًا بدلاً من ذلك. ^{[5] [30]} لا تكون قيم العملية العشوائية أرقامًا دائمًا ويمكن أن تكون متجهات أو كائنات رياضية أخرى. ^{[5] [28]}

بناءً على خصائصها الرياضية، يمكن تجميع العمليات العشوائية في فئات مختلفة، والتي تشمل المشي العشوائي ، ^[31] والمارتينجاليس ، ^[32] وعمليات ماركوف ، ^[33] وعمليات ليفي ، ^[34] والعمليات الغوسية ، ^[35] والحقول العشوائية، ^[36] وعمليات التجديد ، وعمليات التفرع . ^[37] وتستخدم دراسة العمليات العشوائية المعرفة والتقنيات الرياضية من الاحتمالات وحساب التفاضل والتكامل والجبر الخطي ونظرية المجموعات والطوبولوجيا ^{[38] [39] [40]} بالإضافة إلى فروع التحليل الرياضي مثل التحليل الحقيقي ونظرية القياس وتحليل فورييه والتحليل الوظيفي . ^{[41] [42] [43]} تعتبر نظرية العمليات العشوائية مساهمة مهمة في الرياضيات ^[44] وتستمر في كونها موضوعًا نشطًا للبحث لأسباب نظرية وتطبيقية. ^{[45] [46] [47]}

يمكن تعريف العملية العشوائية أو العشوائية على أنها مجموعة من المتغيرات العشوائية التي يتم فهرستها بواسطة مجموعة رياضية ما، مما يعني أن كل متغير عشوائي من العملية العشوائية مرتبط بشكل فريد بعنصر في المجموعة. ^{[4] [5]} المجموعة المستخدمة لفهرسة المتغيرات العشوائية تسمى مجموعة الفهرس . تاريخيًا، كانت مجموعة الفهرس عبارة عن مجموعة فرعية من الخط الحقيقي ، مثل الأعداد الطبيعية ، مما يمنح مجموعة الفهرس تفسير الوقت. ^[1] يأخذ كل متغير عشوائي في المجموعة قيمًا من نفس المساحة الرياضية المعروفة باسم مساحة الحالة . يمكن أن تكون مساحة الحالة هذه، على سبيل المثال، الأعداد الصحيحة أو الخط الحقيقي أو الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد. ^{[1] [5]} الزيادة هي المقدار الذي تتغير به العملية العشوائية بين قيمتي فهرس، وغالبًا ما يتم تفسيرها على أنها نقطتان في الوقت. ^{[48] [49]} يمكن أن يكون للعملية العشوائية العديد من النتائج ، بسبب عشوائيتها، وتسمى نتيجة واحدة لعملية عشوائية، من بين أسماء أخرى، دالة عينة أو تحقيق . ^{[28] [50]}${\displaystyle n}$

يمكن تصنيف العملية العشوائية بطرق مختلفة، على سبيل المثال، حسب مساحة حالتها، أو مجموعة مؤشراتها، أو الاعتماد بين المتغيرات العشوائية. إحدى الطرق الشائعة للتصنيف هي حسب عدد مجموعات المؤشرات ومساحة الحالة. ^{[51] [52] [53]}

عند تفسيرها على أنها وقت، إذا كانت مجموعة الفهرس لعملية عشوائية تحتوي على عدد محدود أو قابل للعد من العناصر، مثل مجموعة محدودة من الأرقام، أو مجموعة الأعداد الصحيحة، أو الأعداد الطبيعية، فيقال إن العملية العشوائية تكون في وقت منفصل . ^{[54] [55]} إذا كانت مجموعة الفهرس عبارة عن فترة من الخط الحقيقي، فيقال إن الوقت مستمر . يشار إلى النوعين من العمليات العشوائية على التوالي باسم العمليات العشوائية في الوقت المنفصل والوقت المستمر . ^{[48] [56] [57]} تعتبر العمليات العشوائية في الوقت المنفصل أسهل في الدراسة لأن العمليات في الوقت المستمر تتطلب تقنيات ومعرفة رياضية أكثر تقدمًا، وخاصة بسبب كون مجموعة الفهرس غير قابلة للعد. ^{[58] [59]} إذا كانت مجموعة الفهرس عبارة عن الأعداد الصحيحة، أو بعض مجموعاتها الفرعية، فيمكن أيضًا تسمية العملية العشوائية بمتتالية عشوائية . ^[55]

إذا كانت مساحة الحالة عبارة عن أعداد صحيحة أو أعداد طبيعية، فإن العملية العشوائية تسمى عملية عشوائية منفصلة أو ذات قيمة صحيحة . إذا كانت مساحة الحالة عبارة عن خط حقيقي، فإن العملية العشوائية تسمى عملية عشوائية ذات قيمة حقيقية أو عملية ذات مساحة حالة متصلة . إذا كانت مساحة الحالة عبارة عن فضاء إقليدي ذي أبعاد -، فإن العملية العشوائية تسمى عملية متجهة ذات أبعاد - أو عملية متجهة - . ^{[51] [52]}${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

كانت كلمة stochastic في اللغة الإنجليزية تستخدم في الأصل كصفة مع التعريف "متعلق بالتخمين"، وهي مشتقة من كلمة يونانية تعني "التصويب على علامة، تخمين"، ويعطي قاموس أكسفورد الإنجليزي عام 1662 كأقدم ظهور لها. ^[60] في عمله عن الاحتمالات Ars Conjectandi ، الذي نُشر في الأصل باللغة اللاتينية عام 1713، استخدم جاكوب برنولي عبارة "Ars Conjectandi sive Stochastice"، والتي تُرجمت إلى "فن التخمين أو العشوائيات". ^[61] تم استخدام هذه العبارة، في إشارة إلى برنولي، بواسطة لاديسلاوس بورتكيفيتش ^[62] الذي كتب في عام 1917 باللغة الألمانية كلمة stochastik بمعنى عشوائي. ظهر مصطلح العملية العشوائية لأول مرة في اللغة الإنجليزية في ورقة بحثية عام 1934 بقلم جوزيف دوب . ^[60] بالنسبة للمصطلح والتعريف الرياضي المحدد، استشهد دوب بورقة بحثية أخرى عام 1934، حيث تم استخدام مصطلح stochastischer Prozeß باللغة الألمانية بواسطة ألكسندر خينشين ، ^{[63] [64]} على الرغم من أن المصطلح الألماني قد تم استخدامه في وقت سابق، على سبيل المثال، بواسطة أندريه كولموغوروف في عام 1931. ^[65]

وفقًا لقاموس أكسفورد الإنجليزي، فإن الظهور المبكر لكلمة random في اللغة الإنجليزية بمعناها الحالي، والذي يتعلق بالصدفة أو الحظ، يعود إلى القرن السادس عشر، بينما بدأت الاستخدامات المسجلة السابقة في القرن الرابع عشر كاسم يعني "التسرع، السرعة الكبيرة، القوة، أو العنف (في الركوب، الجري، الضرب، إلخ)". تأتي الكلمة نفسها من كلمة فرنسية متوسطة تعني "السرعة، العجلة"، وربما تكون مشتقة من فعل فرنسي يعني "الركض" أو "الركض". أول ظهور مكتوب لمصطلح random process يسبق مصطلح stochastic process ، والذي يقدمه قاموس أكسفورد الإنجليزي أيضًا كمرادف، وقد تم استخدامه في مقال بقلم فرانسيس إيدجوورث نُشر عام 1888. ^[66]

يختلف تعريف العملية العشوائية، ^[67] ولكن العملية العشوائية تُعرَّف تقليديًا على أنها مجموعة من المتغيرات العشوائية المفهرسة بواسطة مجموعة ما. ^{[68] [69]} تعتبر مصطلحات العملية العشوائية والعملية العشوائية مترادفتين ويتم استخدامهما بالتبادل، دون تحديد مجموعة الفهرس بدقة. ^{[27] [29] [30] [70] [71] [72]} يتم استخدام كل من "المجموعة" أو ^{[28] [70]} أو "العائلة" ^{[4] [73]} بينما بدلاً من "مجموعة الفهرس"، يتم أحيانًا استخدام مصطلحي "مجموعة المعلمات" ^[28] أو "مساحة المعلمات" ^[30] .

يُستخدم مصطلح الدالة العشوائية أيضًا للإشارة إلى عملية عشوائية أو عشوائية، ^{[5] [74] [75]} على الرغم من أنه يُستخدم أحيانًا فقط عندما تأخذ العملية العشوائية قيمًا حقيقية. ^{[28] [73]} يُستخدم هذا المصطلح أيضًا عندما تكون مجموعات الفهرس عبارة عن مساحات رياضية غير الخط الحقيقي، ^{[5] [76]} بينما تُستخدم مصطلحات العملية العشوائية والعملية العشوائية عادةً عندما يتم تفسير مجموعة الفهرس على أنها وقت، ^{[5] [76] [77]} وتُستخدم مصطلحات أخرى مثل الحقل العشوائي عندما تكون مجموعة الفهرس عبارة عن فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد أو متعدد الشعب . ^{[5] [28] [30]}${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

يمكن الإشارة إلى العملية العشوائية، من بين طرق أخرى، بواسطة ، ^[56] ، ^{[69] [78]} أو ببساطة باسم . يكتب بعض المؤلفين عن طريق الخطأ على الرغم من أن هذا يعد إساءة استخدام لترميز الوظيفة . ^[79] على سبيل المثال، أو تُستخدم للإشارة إلى المتغير العشوائي ذي الفهرس ، وليس العملية العشوائية بأكملها. ^[78] إذا كانت مجموعة الفهرس هي ، فيمكن للمرء أن يكتب، على سبيل المثال، للإشارة إلى العملية العشوائية. ^[29]${\displaystyle \{X(t)\}_{t\in T}}$ ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T}}$ ${\displaystyle \{X_{t}\}}$ ${\displaystyle \{X(t)\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X(t)}$${\displaystyle X(t)}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle T=[0,\infty )}$${\displaystyle (X_{t},t\geq 0)}$

واحدة من أبسط العمليات العشوائية هي عملية برنولي ، ^[80] وهي عبارة عن سلسلة من المتغيرات العشوائية المستقلة والموزعة بشكل متطابق (iid)، حيث يأخذ كل متغير عشوائي القيمة واحد أو صفر، على سبيل المثال واحد مع الاحتمال وصفر مع الاحتمال . يمكن ربط هذه العملية بمثالية رمي عملة معدنية بشكل متكرر، حيث يُفترض أن يكون احتمال الحصول على وجه وقيمتها واحد، بينما قيمة الذيل صفر. ^[81] بعبارة أخرى، عملية برنولي عبارة عن سلسلة من المتغيرات العشوائية المستقلة والموزعة بشكل متطابق (iid)، ^[82] حيث يكون كل رمي عملة معدنية مثالي مثالاً لتجربة برنولي . ^[83]${\displaystyle p}$${\displaystyle 1-p}$${\displaystyle p}$

المشي العشوائي هو عملية عشوائية يتم تعريفها عادة على أنها مجموع متغيرات عشوائية مستقلة ذات قيمة ثابتة أو متجهات عشوائية في الفضاء الإقليدي، وبالتالي فهي عمليات تتغير في وقت منفصل. ^{[84] [85] [86] [87] [88]} ولكن البعض يستخدم المصطلح أيضًا للإشارة إلى العمليات التي تتغير في وقت مستمر، ^[89] وخاصة عملية وينر المستخدمة في النماذج المالية، والتي أدت إلى بعض الارتباك، مما أدى إلى انتقادها. ^[90] هناك أنواع أخرى مختلفة من المشي العشوائي، والتي تم تعريفها بحيث يمكن أن تكون مساحات حالتها كائنات رياضية أخرى، مثل الشبكات والمجموعات، وبشكل عام يتم دراستها بشكل كبير ولها العديد من التطبيقات في تخصصات مختلفة. ^{[89] [91]}

يُعرف المثال الكلاسيكي للمشي العشوائي باسم المشي العشوائي البسيط ، وهو عملية عشوائية في وقت منفصل مع الأعداد الصحيحة كمساحة حالة، ويستند إلى عملية برنولي، حيث يأخذ كل متغير برنولي القيمة الموجبة أو السالبة. بعبارة أخرى، يحدث المشي العشوائي البسيط على الأعداد الصحيحة، وتزداد قيمته بمقدار واحد مع الاحتمال، على سبيل المثال، ، أو تقل بمقدار واحد مع الاحتمال ، وبالتالي فإن مجموعة الفهرس لهذه المشي العشوائي هي الأعداد الطبيعية، بينما مساحة حالتها هي الأعداد الصحيحة. إذا ، تسمى هذه المشي العشوائية بالمشي العشوائي المتماثل. ^{[92] [93]}${\displaystyle p}$${\displaystyle 1-p}$${\displaystyle p=0.5}$

عملية وينر هي عملية عشوائية ذات زيادات ثابتة ومستقلة يتم توزيعها بشكل طبيعي بناءً على حجم الزيادات. ^{[2] [94]} سميت عملية وينر على اسم نوربرت وينر ، الذي أثبت وجودها رياضيًا، ولكن تسمى العملية أيضًا عملية الحركة البراونية أو الحركة البراونية فقط بسبب ارتباطها التاريخي كنموذج للحركة البراونية في السوائل. ^{[95] [96] [97]}

تلعب عملية وينر دورًا مركزيًا في نظرية الاحتمالات، وغالبًا ما تُعتبر العملية العشوائية الأكثر أهمية ودراسة، مع وجود اتصالات بعمليات عشوائية أخرى. ^{[1] [2] [3] [98] [99] [100] [101]} مجموعة مؤشراتها ومساحة حالتها هي الأرقام غير السالبة والأرقام الحقيقية، على التوالي، لذلك لديها مجموعة مؤشرات مستمرة ومساحة حالات. ^[102] ولكن يمكن تعريف العملية بشكل أكثر عمومية بحيث يمكن أن تكون مساحة حالتها مساحة إقليدية ذات أبعاد. ^{[91] [99] [103]} إذا كان متوسط ​​أي زيادة يساوي صفرًا، فيقال إن عملية حركة وينر أو براونيان الناتجة لها انجراف صفري. إذا كان متوسط ​​الزيادة لأي نقطتين في الوقت يساوي فرق الوقت مضروبًا في ثابت ما ، وهو رقم حقيقي، فيقال إن العملية العشوائية الناتجة لها انجراف . ^{[104] [105] [106]}${\displaystyle n}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$

من المؤكد تقريبًا أن مسار العينة لعملية وينر مستمر في كل مكان ولكن لا يمكن اشتقاقه في أي مكان . ويمكن اعتباره نسخة مستمرة من المشي العشوائي البسيط. ^{[49] [105]} تنشأ العملية كحد رياضي لعمليات عشوائية أخرى مثل بعض المشي العشوائي المعاد قياسه، ^{[107] [108]} وهو موضوع نظرية دونسكر أو مبدأ الثبات، والمعروف أيضًا باسم نظرية الحد المركزي الوظيفي. ^{[109] [110] [111]}

عملية وينر هي عضو في بعض العائلات المهمة من العمليات العشوائية، بما في ذلك عمليات ماركوف وعمليات ليفي والعمليات الغوسية. ^{[2] [49]} وللعملية أيضًا العديد من التطبيقات وهي العملية العشوائية الرئيسية المستخدمة في حساب التفاضل والتكامل العشوائي. ^{[112] [113]} تلعب دورًا مركزيًا في التمويل الكمي، ^{[114] [115]} حيث يتم استخدامها، على سبيل المثال، في نموذج بلاك-شولز-ميرتون. ^[116] تُستخدم العملية أيضًا في مجالات مختلفة، بما في ذلك غالبية العلوم الطبيعية بالإضافة إلى بعض فروع العلوم الاجتماعية، كنموذج رياضي لظواهر عشوائية مختلفة. ^{[3] [117] [118]}

عملية بواسون هي عملية عشوائية لها أشكال وتعريفات مختلفة. ^{[119] [120]} يمكن تعريفها بأنها عملية عد، وهي عملية عشوائية تمثل العدد العشوائي للنقط أو الأحداث حتى وقت معين. عدد نقاط العملية التي تقع في الفترة من الصفر إلى وقت معين هو متغير عشوائي بواسون يعتمد على ذلك الوقت وبعض المعلمات. تحتوي هذه العملية على الأعداد الطبيعية كمساحة حالة لها والأعداد غير السلبية كمجموعة مؤشرات لها. تسمى هذه العملية أيضًا عملية العد بواسون، حيث يمكن تفسيرها كمثال لعملية العد. ^[119]

إذا تم تعريف عملية بواسون بثابت موجب واحد، فإن العملية تسمى عملية بواسون متجانسة. ^{[119] [121]} عملية بواسون المتجانسة هي عضو في فئات مهمة من العمليات العشوائية مثل عمليات ماركوف وعمليات ليفي. ^[49]

يمكن تعريف عملية بواسون المتجانسة وتعميمها بطرق مختلفة. يمكن تعريفها بحيث تكون مجموعة مؤشراتها هي الخط الحقيقي، وتسمى هذه العملية العشوائية أيضًا عملية بواسون الثابتة. ^{[122] [123]} إذا تم استبدال ثابت المعلمة لعملية بواسون ببعض الوظائف القابلة للتكامل غير السلبية لـ ، فإن العملية الناتجة تسمى عملية بواسون غير المتجانسة أو غير المتجانسة، حيث لم تعد الكثافة المتوسطة لنقاط العملية ثابتة. ^[124] تعمل عملية بواسون كعملية أساسية في نظرية الطابور، وهي عملية مهمة للنماذج الرياضية، حيث تجد تطبيقات لنماذج الأحداث التي تحدث عشوائيًا في نوافذ زمنية معينة. ^{[125] [126]}${\displaystyle t}$

عند تعريفها على الخط الحقيقي، يمكن تفسير عملية بواسون كعملية عشوائية، ^{[49] [127]} بين أشياء عشوائية أخرى. ^{[128] [129]} ولكن بعد ذلك يمكن تعريفها على الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد أو غيره من الفضاءات الرياضية، ^[130] حيث يتم تفسيرها غالبًا على أنها مجموعة عشوائية أو مقياس عد عشوائي، بدلاً من عملية عشوائية. ^{[128] [129]} في هذا الإطار، تعد عملية بواسون، والتي تسمى أيضًا عملية نقطة بواسون، واحدة من أهم الأشياء في نظرية الاحتمالات، سواء للتطبيقات أو لأسباب نظرية. ^{[22] [131]} ولكن لوحظ أن عملية بواسون لا تحظى بالقدر الكافي من الاهتمام كما ينبغي، ويرجع ذلك جزئيًا إلى اعتبارها غالبًا على الخط الحقيقي فقط، وليس في فضاءات رياضية أخرى. ^{[131] [132]}${\displaystyle n}$

تُعرَّف العملية العشوائية بأنها مجموعة من المتغيرات العشوائية المحددة في فضاء احتمالي مشترك ، حيث هي فضاء عينة ، هي جبر ، و هي مقياس احتمال ؛ والمتغيرات العشوائية، المفهرسة بمجموعة ما ، تأخذ جميعها قيمًا في نفس الفضاء الرياضي ، والتي يجب أن تكون قابلة للقياس فيما يتعلق بمجموعة ما . [ ^28]${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle P}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \Sigma }$

بعبارة أخرى، بالنسبة لمساحة احتمالية معينة ومساحة قابلة للقياس ، فإن العملية العشوائية هي مجموعة من المتغيرات العشوائية ذات القيمة -، والتي يمكن كتابتها على النحو التالي: ^[80]${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle (S,\Sigma )}$${\displaystyle S}$

تاريخيًا، في العديد من المشكلات المتعلقة بالعلوم الطبيعية، كان للنقطة معنى الزمن، وكذلك المتغير العشوائي الذي يمثل قيمة ملحوظة في الوقت . ^[133] يمكن أيضًا كتابة عملية عشوائية لتعكس أنها في الواقع دالة لمتغيرين، و . ^{[28] [134]}${\displaystyle t\in T}$${\displaystyle X(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \{X(t,\omega ):t\in T\}}$${\displaystyle t\in T}$${\displaystyle \omega \in \Omega }$

توجد طرق أخرى للنظر في عملية عشوائية، مع اعتبار التعريف أعلاه هو التعريف التقليدي. ^{[68] [69]} على سبيل المثال، يمكن تفسير أو تعريف عملية عشوائية كمتغير عشوائي بقيمة -، حيث هي مساحة جميع الدوال الممكنة من المجموعة إلى المساحة . ^{[27] [68]} ومع ذلك، يتطلب هذا التعريف البديل باعتباره "متغيرًا عشوائيًا بقيمة دالة" بشكل عام افتراضات انتظام إضافية ليتم تعريفها جيدًا. ^[135]${\displaystyle S^{T}}$${\displaystyle S^{T}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$

تُسمى المجموعة بمجموعة الفهرس ^{[4] [51]} أو مجموعة المعلمات ^{[28] [136]} للعملية العشوائية. غالبًا ما تكون هذه المجموعة عبارة عن مجموعة فرعية من الخط الحقيقي ، مثل الأعداد الطبيعية أو الفاصل الزمني، مما يمنح المجموعة تفسير الوقت. ^[1] بالإضافة إلى هذه المجموعات، يمكن أن تكون مجموعة الفهرس مجموعة أخرى ذات ترتيب إجمالي أو مجموعة أكثر عمومية، ^{[1] [54]} مثل المستوى الديكارتي أو الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد، حيث يمكن أن يمثل العنصر نقطة في الفضاء. ^{[48] [137]} ومع ذلك، فإن العديد من النتائج والنظريات ممكنة فقط للعمليات العشوائية بمجموعة فهرس مرتبة تمامًا. ^[138]${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle t\in T}$

الفضاء الرياضي لعملية عشوائية يسمى فضاء الحالة . يمكن تعريف هذا الفضاء الرياضي باستخدام الأعداد الصحيحة أو الخطوط الحقيقية أو المساحات الإقليدية ذات الأبعاد أو المستويات المعقدة أو المساحات الرياضية الأكثر تجريدًا. يتم تعريف فضاء الحالة باستخدام عناصر تعكس القيم المختلفة التي يمكن أن تتخذها العملية العشوائية. ^{[1] [5] [28] [51] [56]}${\displaystyle S}$${\displaystyle n}$

دالة العينة هي نتيجة واحدة لعملية عشوائية، لذا يتم تشكيلها عن طريق أخذ قيمة واحدة ممكنة لكل متغير عشوائي للعملية العشوائية. ^{[28] [139]} وبشكل أكثر دقة، إذا كانت عملية عشوائية، فعندئذٍ لأي نقطة ، فإن التعيين${\displaystyle \{X(t,\omega ):t\in T\}}$${\displaystyle \omega \in \Omega }$

يُطلق عليه دالة عينة أو تحقيق أو، وخاصةً عندما يتم تفسيره على أنه وقت، مسار عينة للعملية العشوائية . ^[50] وهذا يعني أنه بالنسبة لثابت ، توجد دالة عينة تقوم بتعيين المؤشر المحدد إلى مساحة الحالة . ^[28] تشمل الأسماء الأخرى لدالة العينة لعملية عشوائية المسار أو دالة المسار ^[140] أو المسار . ^[141]${\displaystyle T}$${\displaystyle \{X(t,\omega ):t\in T\}}$${\displaystyle \omega \in \Omega }$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$

الزيادة في عملية عشوائية هي الفرق بين متغيرين عشوائيين لنفس العملية العشوائية. بالنسبة لعملية عشوائية بمجموعة مؤشرات يمكن تفسيرها على أنها وقت، فإن الزيادة هي مقدار تغير العملية العشوائية خلال فترة زمنية معينة. على سبيل المثال، إذا كانت عملية عشوائية بمساحة حالة ومجموعة مؤشرات ، فبالنسبة لأي رقمين غير سالبين ومثل ، فإن الفرق هو متغير عشوائي بقيمة - يُعرف باسم الزيادة. ^{[48] [49]} عند الاهتمام بالزيادات، غالبًا ما تكون مساحة الحالة هي الخط الحقيقي أو الأعداد الطبيعية، ولكن يمكن أن تكون مساحة إقليدية ذات أبعاد - أو مساحات أكثر تجريدًا مثل مساحات باناخ . ^[49]${\displaystyle \{X(t):t\in T\}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T=[0,\infty )}$${\displaystyle t_{1}\in [0,\infty )}$${\displaystyle t_{2}\in [0,\infty )}$${\displaystyle t_{1}\leq t_{2}}$${\displaystyle X_{t_{2}}-X_{t_{1}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle n}$

بالنسبة لعملية عشوائية محددة في فضاء الاحتمالات ، يتم تعريف قانون العملية العشوائية على أنه مقياس الصورة : ${\displaystyle X\colon \Omega \rightarrow S^{T}}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle X}$

حيث هو مقياس احتمال، ويرمز الرمز إلى تركيب الدالة و هو الصورة الأولية للدالة القابلة للقياس أو، على نحو مكافئ، المتغير العشوائي ذي القيمة - ، حيث هو مساحة جميع الدوال الممكنة ذات القيمة - لـ ، لذا فإن قانون العملية العشوائية هو مقياس احتمال. ^{[27] [68] [142] [143]}${\displaystyle P}$${\displaystyle \circ }$${\displaystyle X^{-1}}$${\displaystyle S^{T}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S^{T}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle t\in T}$

بالنسبة لمجموعة فرعية قابلة للقياس من ، فإن الصورة الأولية لـ تعطي ${\displaystyle B}$${\displaystyle S^{T}}$${\displaystyle X}$

لذلك يمكن كتابة قانون أ على النحو التالي: ^[28]${\displaystyle X}$

يُطلق على قانون العملية العشوائية أو المتغير العشوائي أيضًا اسم قانون الاحتمال أو توزيع الاحتمالات أو التوزيع . ^{[133] [142] [144] [145] [146]}

بالنسبة لعملية عشوائية ذات قانون ، يتم تعريف توزيعها ذي الأبعاد المحدودة على النحو التالي :${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle t_{1},\dots ,t_{n}\in T}$

هذا المقياس هو التوزيع المشترك للمتجه العشوائي ؛ ويمكن اعتباره "إسقاطًا" للقانون على مجموعة فرعية محدودة من . ^{[27] [147]}${\displaystyle \mu _{t_{1},..,t_{n}}}$${\displaystyle (X({t_{1}}),\dots ,X({t_{n}}))}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle T}$

بالنسبة لأي مجموعة فرعية قابلة للقياس من القوة الديكارتية ذات الطيات -، يمكن كتابة التوزيعات ذات الأبعاد المحدودة لعملية عشوائية على النحو التالي: ^[28]${\displaystyle C}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}=S\times \dots \times S}$${\displaystyle X}$

إن التوزيعات ذات الأبعاد المحدودة لعملية عشوائية تلبي شرطين رياضيين معروفين باسم شروط الاتساق. ^[57]

الثبات هو خاصية رياضية تتمتع بها عملية عشوائية عندما تكون جميع المتغيرات العشوائية لتلك العملية العشوائية موزعة بشكل متطابق. بعبارة أخرى، إذا كانت عملية عشوائية ثابتة، فبالنسبة لأي متغير عشوائي يكون له نفس التوزيع، مما يعني أنه بالنسبة لأي مجموعة من قيم مجموعة الفهرس ، فإن المتغيرات العشوائية المقابلة${\displaystyle X}$${\displaystyle t\in T}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle t_{1},\dots ,t_{n}}$${\displaystyle n}$

جميعها لها نفس توزيع الاحتمالات . عادةً ما يتم تفسير مجموعة المؤشرات لعملية عشوائية ثابتة على أنها وقت، لذا يمكن أن تكون الأعداد الصحيحة أو الخط الحقيقي. ^{[148] [149]} لكن مفهوم الثبات موجود أيضًا لعمليات النقاط والحقول العشوائية، حيث لا يتم تفسير مجموعة المؤشرات على أنها وقت. ^{[148] [150] [151]}

عندما يمكن تفسير مجموعة الفهارس على أنها وقت، يقال إن العملية العشوائية ثابتة إذا كانت توزيعاتها ذات الأبعاد المحدودة ثابتة تحت ترجمات الوقت. يمكن استخدام هذا النوع من العملية العشوائية لوصف نظام فيزيائي في حالة مستقرة، لكنه لا يزال يعاني من تقلبات عشوائية. ^[148] الحدس وراء الثبات هو أنه مع مرور الوقت يظل توزيع العملية العشوائية الثابتة كما هو. ^[152] تشكل سلسلة من المتغيرات العشوائية عملية عشوائية ثابتة فقط إذا تم توزيع المتغيرات العشوائية بشكل متطابق. ^[148]${\displaystyle T}$

يُقال أحيانًا عن عملية عشوائية ذات تعريف الثبات أعلاه أنها عملية ثابتة تمامًا، ولكن هناك أشكال أخرى من الثبات. أحد الأمثلة هو عندما يُقال عن عملية عشوائية في زمن منفصل أو زمن متصل أنها ثابتة بالمعنى الواسع، فإن العملية لها لحظة ثانية محدودة للجميع وتباين المتغيرين العشوائيين وتعتمد فقط على الرقم للجميع . ^{[152] [153] قدم} خينتشين مفهوم الثبات ذي الصلة بالمعنى الواسع ، والذي له أسماء أخرى بما في ذلك ثبات التباين أو الثبات بالمعنى الواسع . ^{[153] [154]}${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle t\in T}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle X_{t+h}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle t\in T}$

الترشيح هو تسلسل متزايد من جبر سيجما يتم تعريفه فيما يتعلق ببعض فضاء الاحتمالات ومجموعة الفهارس التي لها بعض علاقة الترتيب الكلي ، كما في حالة كون مجموعة الفهارس مجموعة فرعية من الأعداد الحقيقية. بشكل أكثر رسمية، إذا كانت العملية العشوائية تحتوي على مجموعة فهارس بترتيب كلي، فإن الترشيح ، على فضاء الاحتمالات هو عائلة من جبر سيجما بحيث بالنسبة لجميع ، حيث و يشير إلى الترتيب الكلي لمجموعة الفهارس . ^[51] باستخدام مفهوم الترشيح، من الممكن دراسة كمية المعلومات الواردة في عملية عشوائية عند ، والتي يمكن تفسيرها على أنها الوقت . ^{[51] [155]} الحدس وراء الترشيح هو أنه مع مرور الوقت، تصبح المزيد والمزيد من المعلومات حول معروفة أو متاحة، والتي يتم التقاطها في ، مما يؤدي إلى أقسام أدق وأدق من . ^{[156] [157]}${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\in T}}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}\subseteq {\mathcal {F}}_{t}\subseteq {\mathcal {F}}}$${\displaystyle s\leq t}$${\displaystyle t,s\in T}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle T}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle t\in T}$${\displaystyle t}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$${\displaystyle \Omega }$

إن تعديل عملية عشوائية هو عملية عشوائية أخرى، وهي وثيقة الصلة بالعملية العشوائية الأصلية. وبصورة أكثر دقة، فإن العملية العشوائية التي لها نفس مجموعة الفهارس ومساحة الحالة ومساحة الاحتمال مثل عملية عشوائية أخرى يقال عنها إنها تعديل إذا كان لكل ما يلي: ${\displaystyle X}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (\Omega ,{\cal {F}},P)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle t\in T}$

ينطبق ذلك. إن العمليتين العشوائيتين اللتين تعدان تعديلات لبعضهما البعض لهما نفس قانون الأبعاد المحدودة ^[158] ويقال إنهما متكافئتان عشوائيًا أو متكافئتان . ^[159]

بدلاً من التعديل، يُستخدم مصطلح الإصدار أيضًا، ^{[150] [160] [161] [162]} ومع ذلك، يستخدم بعض المؤلفين مصطلح الإصدار عندما يكون لعمليتين عشوائيتين نفس التوزيعات ذات الأبعاد المحدودة، ولكن يمكن تعريفهما على مساحات احتمالية مختلفة، وبالتالي فإن العمليتين اللتين تعدان تعديلات على بعضهما البعض، هما أيضًا إصدارات من بعضهما البعض، بالمعنى الأخير، ولكن ليس العكس. ^{[163] [142]}

إذا كانت عملية عشوائية ذات قيمة حقيقية مستمرة في الزمن تلبي شروط لحظة معينة في زياداتها، فإن نظرية استمرارية كولموغوروف تقول أنه يوجد تعديل لهذه العملية يحتوي على مسارات عينة مستمرة باحتمال واحد، وبالتالي فإن العملية العشوائية لها تعديل أو نسخة مستمرة. ^{[161] [162] [164]} يمكن أيضًا تعميم النظرية على الحقول العشوائية بحيث تكون مجموعة الفهارس عبارة عن فضاء إقليدي - الأبعاد ^[165] وكذلك على العمليات العشوائية مع المساحات المترية كمساحات حالة لها. ^[166]${\displaystyle n}$

يقال إن العمليتين العشوائيتين والمحددتين في نفس مساحة الاحتمالية ونفس مجموعة الفهرس ومساحة المجموعة لا يمكن تمييزهما إذا كان ما يلي: ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle S}$

^{[142] [158]} إذا كان اثنان و تعديلات لبعضهما البعض وهما متصلان بشكل شبه مؤكد ، فإن و لا يمكن التمييز بينهما. ^[167]${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

إن قابلية الفصل هي خاصية لعملية عشوائية تعتمد على مجموعة مؤشراتها فيما يتعلق بمقياس الاحتمالية. يتم افتراض الخاصية بحيث يمكن لوظائف العمليات العشوائية أو الحقول العشوائية ذات مجموعات المؤشرات غير القابلة للعد أن تشكل متغيرات عشوائية. لكي تكون العملية العشوائية قابلة للفصل، بالإضافة إلى الشروط الأخرى، يجب أن تكون مجموعة مؤشراتها مساحة قابلة للفصل ، ^[b] مما يعني أن مجموعة المؤشرات لها مجموعة فرعية قابلة للعد كثيفة. ^{[150] [168]}

بتعبير أدق، تكون العملية العشوائية المستمرة ذات القيمة الحقيقية ذات مساحة الاحتمال قابلة للفصل إذا كانت مجموعة الفهرس الخاصة بها تحتوي على مجموعة فرعية قابلة للعد كثيفة وهناك مجموعة احتمالية تساوي صفرًا، وبالتالي ، بحيث بالنسبة لكل مجموعة مفتوحة وكل مجموعة مغلقة ، يختلف الحدثان و عن بعضهما البعض على الأكثر في مجموعة فرعية من . ^{[169] [170] [171]} يمكن أيضًا صياغة تعريف قابلية الفصل ^[ج] لمجموعات الفهرس الأخرى ومساحات الحالة، ^[174] كما هو الحال في الحقول العشوائية، حيث يمكن أن تكون مجموعة الفهرس وكذلك مساحة الحالة فضاء إقليديًا ثنائي الأبعاد. ^{[30] [150]}${\displaystyle X}$${\displaystyle (\Omega ,{\cal {F}},P)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle U\subset T}$${\displaystyle \Omega _{0}\subset \Omega }$${\displaystyle P(\Omega _{0})=0}$${\displaystyle G\subset T}$${\displaystyle F\subset \textstyle R=(-\infty ,\infty )}$${\displaystyle \{X_{t}\in F{\text{ for all }}t\in G\cap U\}}$${\displaystyle \{X_{t}\in F{\text{ for all }}t\in G\}}$${\displaystyle \Omega _{0}}$${\displaystyle n}$

تم تقديم مفهوم قابلية فصل العملية العشوائية بواسطة جوزيف دوب ، ^[168] الفكرة الأساسية للانفصال هي جعل مجموعة قابلة للعد من النقاط لمجموعة الفهرس تحدد خصائص العملية العشوائية. ^[172] أي عملية عشوائية بمجموعة فهرس قابلة للعد تلبي بالفعل شروط الانفصال، لذلك تكون العمليات العشوائية في الوقت المنفصل قابلة للفصل دائمًا. ^[175] تقول نظرية دوب، والمعروفة أحيانًا باسم نظرية قابلية الفصل لدوب، أن أي عملية عشوائية مستمرة في الوقت الحقيقي لها تعديل قابل للفصل. ^{[168] [170] [176]} توجد أيضًا إصدارات من هذه النظرية لعمليات عشوائية أكثر عمومية مع مجموعات فهرس ومساحات حالة بخلاف الخط الحقيقي. ^[136]

يقال إن عمليتين عشوائيتين ومحددتين على نفس مساحة الاحتمالية مع نفس مجموعة الفهارس مستقلتين إذا كانت المتجهات العشوائية و مستقلة بالنسبة لجميع و لكل اختيار من العصور . ^{[177] : ص 515}${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in T}$${\displaystyle \left(X(t_{1}),\ldots ,X(t_{n})\right)}$${\displaystyle \left(Y(t_{1}),\ldots ,Y(t_{n})\right)}$

تُسمى العمليتان العشوائيتان غير مرتبطتين إذا كان تباينهما المتبادل يساوي صفرًا في جميع الأوقات. ^{[178] : ص. 142} رسميًا: ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} \left[\left(X(t_{1})-\mu _{X}(t_{1})\right)\left(Y(t_{2})-\mu _{Y}(t_{2})\right)\right]}$

${\displaystyle \left\{X_{t}\right\},\left\{Y_{t}\right\}{\text{ uncorrelated}}\quad \iff \quad \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=0\quad \forall t_{1},t_{2}}$.

إذا كانت عمليتان عشوائيتان مستقلتين ، فإنهما أيضًا غير مرتبطتين. ^{[178] : ص 151}${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

تُسمى العمليتان العشوائيتان متعامدتين إذا كان الارتباط المتبادل بينهما يساوي صفرًا في جميع الأوقات. ^{[178] : ص 142} رسميًا: ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [X(t_{1}){\overline {Y(t_{2})}}]}$

${\displaystyle \left\{X_{t}\right\},\left\{Y_{t}\right\}{\text{ orthogonal}}\quad \iff \quad \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=0\quad \forall t_{1},t_{2}}$.

فضاء سكوروخود ، والذي يُكتب أيضًا باسم فضاء سكوروخود ، هو فضاء رياضي لجميع الدوال المتصلة من اليمين إلى اليسار ذات الحدود اليسرى، والمحددة على بعض فواصل الخط الحقيقي مثل أو ، وتأخذ قيمًا على الخط الحقيقي أو على بعض الفضاءات المترية. ^{[179] [180] [181]} تُعرف هذه الدوال باسم دوال càdlàg أو cadlag، استنادًا إلى اختصار العبارة الفرنسية continue à droite, limite à gauche . ^{[179] [182]} غالبًا ما يُشار إلى فضاء دالة سكوروخود، الذي قدمه أناتولي سكوروخود ، ^[181] بالحرف ، ^{[179] [180] [181] [182]} لذلك يُشار إلى فضاء الدالة أيضًا باسم الفضاء . ^{[179] [183] ​​[184]} يمكن أن يتضمن تدوين مساحة الوظيفة هذه أيضًا الفاصل الزمني الذي يتم فيه تعريف جميع وظائف càdlàg، لذلك، على سبيل المثال، يشير إلى مساحة وظائف càdlàg المحددة على الفاصل الزمني الوحدوي . ^{[182] [184] [185]}${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle [0,\infty )}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D[0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]}$

تُستخدم مساحات دالة سكوروخود بشكل متكرر في نظرية العمليات العشوائية لأنها غالبًا ما تفترض أن الدوال العينة للعمليات العشوائية المستمرة في الزمن تنتمي إلى مساحة سكوروخود. ^{[181] [183]} ​​تحتوي مثل هذه المساحات على دوال مستمرة، والتي تتوافق مع الدوال العينة لعملية وينر. لكن المساحة تحتوي أيضًا على دوال ذات انقطاعات، مما يعني أن الدوال العينة للعمليات العشوائية ذات القفزات، مثل عملية بواسون (على الخط الحقيقي)، هي أيضًا أعضاء في هذه المساحة. ^{[184] [186]}

في سياق البناء الرياضي للعمليات العشوائية، يُستخدم مصطلح الانتظام عند مناقشة وافتراض شروط معينة لعملية عشوائية لحل مشكلات البناء المحتملة. ^{[187] [188]} على سبيل المثال، لدراسة العمليات العشوائية بمجموعات مؤشرات غير قابلة للعد، يُفترض أن العملية العشوائية تلتزم بنوع ما من شروط الانتظام مثل كون وظائف العينة مستمرة. ^{[189] [190]}

عمليات ماركوف هي عمليات عشوائية، تتم تقليديًا في زمن منفصل أو مستمر ، ولها خاصية ماركوف، مما يعني أن القيمة التالية لعملية ماركوف تعتمد على القيمة الحالية، لكنها مستقلة بشروط عن القيم السابقة للعملية العشوائية. بعبارة أخرى، فإن سلوك العملية في المستقبل مستقل عشوائيًا عن سلوكها في الماضي، بالنظر إلى الحالة الحالية للعملية. ^{[191] [192]}

تعتبر عملية الحركة البراونية وعملية بواسون (في بُعد واحد) مثالين لعمليات ماركوف ^[193] في الزمن المستمر، في حين تعتبر المشي العشوائي على الأعداد الصحيحة ومشكلة خراب المقامر مثالين لعمليات ماركوف في الزمن المنفصل. ^{[194] [195]}

سلسلة ماركوف هي نوع من عمليات ماركوف التي تحتوي إما على مساحة حالة منفصلة أو مجموعة فهرس منفصلة (غالبًا ما تمثل الوقت)، ولكن التعريف الدقيق لسلسلة ماركوف يختلف. ^[196] على سبيل المثال، من الشائع تعريف سلسلة ماركوف على أنها عملية ماركوف إما في وقت منفصل أو متصل مع مساحة حالة قابلة للعد (وبالتالي بغض النظر عن طبيعة الوقت)، ^{[197] [198] [199] [200]} ولكن من الشائع أيضًا تعريف سلسلة ماركوف على أنها تحتوي على وقت منفصل إما في مساحة حالة قابلة للعد أو متصلة (وبالتالي بغض النظر عن مساحة الحالة). ^[196] وقد قيل إن التعريف الأول لسلسلة ماركوف، حيث يكون لها وقت منفصل، يميل الآن إلى الاستخدام، على الرغم من استخدام التعريف الثاني من قبل باحثين مثل جوزيف دوب وكاي لاي تشونج . ^[201]

تشكل عمليات ماركوف فئة مهمة من العمليات العشوائية ولها تطبيقات في العديد من المجالات. ^{[39] [202]} على سبيل المثال، فهي تشكل الأساس لطريقة محاكاة عشوائية عامة تُعرف باسم سلسلة ماركوف مونت كارلو ، والتي تُستخدم لمحاكاة الكائنات العشوائية ذات توزيعات الاحتمالات المحددة، وقد وجدت تطبيقًا في الإحصاءات البايزية . ^{[203] [204]}

كان مفهوم خاصية ماركوف في الأصل مخصصًا للعمليات العشوائية في الزمن المستمر والمتقطع، ولكن تم تكييف الخاصية لمجموعات مؤشرات أخرى مثل الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد، والذي ينتج عنه مجموعات من المتغيرات العشوائية المعروفة بحقول ماركوف العشوائية. ^{[205] [206] [207]}${\displaystyle n}$

مارتينجال هي عملية عشوائية منفصلة الزمن أو متصلة الزمن لها خاصية أنه في كل لحظة، مع الأخذ في الاعتبار القيمة الحالية وجميع القيم السابقة للعملية، فإن التوقع الشرطي لكل قيمة مستقبلية يساوي القيمة الحالية. في الزمن المنفصل، إذا كانت هذه الخاصية صحيحة للقيمة التالية، فإنها صحيحة لجميع القيم المستقبلية. يتطلب التعريف الرياضي الدقيق لمارتينجال شرطين آخرين مقترنين بالمفهوم الرياضي للترشيح، والذي يرتبط بحدس زيادة المعلومات المتاحة بمرور الوقت. عادة ما يتم تعريف مارتينجال على أنها ذات قيمة حقيقية، ^{[208] [209] [155]} ولكن يمكن أن تكون أيضًا ذات قيمة معقدة ^[210] أو حتى أكثر عمومية. ^[211]

المشي العشوائي المتماثل وعملية وينر (مع الانجراف الصفري) كلاهما مثالان على المارتينجالات، على التوالي، في الزمن المنفصل والمتصل. ^{[208] [209]} بالنسبة لتسلسل من المتغيرات العشوائية المستقلة والموزعة بشكل متطابق بمتوسط ​​صفري، فإن العملية العشوائية المتكونة من المجاميع الجزئية المتعاقبة هي مارتينجال في الزمن المنفصل. ^[212] في هذا الجانب، تعمم المارتينجالات في الزمن المنفصل فكرة المجاميع الجزئية للمتغيرات العشوائية المستقلة. ^[213]${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$${\displaystyle X_{1},X_{1}+X_{2},X_{1}+X_{2}+X_{3},\dots }$

يمكن أيضًا إنشاء مارتينجال من عمليات عشوائية من خلال تطبيق بعض التحويلات المناسبة، وهي الحال بالنسبة لعملية بواسون المتجانسة (على الخط الحقيقي) مما ينتج عنه مارتينجال يسمى عملية بواسون المعوضة . ^[209] يمكن أيضًا إنشاء مارتينجال من مارتينجالات أخرى. ^[212] على سبيل المثال، توجد مارتينجالات تعتمد على عملية وينر، وتشكل مارتينجالات في الوقت المستمر. ^{[208] [214]}

تُصوغ خوارزميات مارتينجال رياضيًا فكرة "اللعبة العادلة" حيث من الممكن تكوين توقعات معقولة للمكافآت، ^[215] وقد تم تطويرها في الأصل لإظهار أنه من غير الممكن الحصول على ميزة "غير عادلة" في مثل هذه اللعبة. ^[216] لكنها تُستخدم الآن في العديد من مجالات الاحتمالات، وهو أحد الأسباب الرئيسية لدراستها. ^{[155] [216] [217]} تم حل العديد من المشكلات في الاحتمالات من خلال إيجاد مارتينجال في المشكلة ودراستها. ^[218] سوف تتقارب خوارزميات مارتينجال، مع إعطاء بعض الشروط لعزومها، لذلك غالبًا ما تُستخدم لاستنتاج نتائج التقارب، ويرجع ذلك إلى حد كبير إلى نظريات تقارب مارتينجال . ^{[213] [219] [220]}

تستخدم طريقة مارتينجال في العديد من التطبيقات في الإحصاء، ولكن لوحظ أن استخدامها وتطبيقها ليسا منتشران كما يمكن أن يكونا في مجال الإحصاء، وخاصة الاستدلال الإحصائي. ^[221] وقد وجدت تطبيقات في مجالات نظرية الاحتمالات مثل نظرية الطوابير وحساب بالم ^[222] ومجالات أخرى مثل الاقتصاد ^[223] والتمويل. ^[17]

عمليات ليفي هي أنواع من العمليات العشوائية التي يمكن اعتبارها تعميمات للمشي العشوائي في وقت مستمر. ^{[49] [224]} هذه العمليات لها العديد من التطبيقات في مجالات مثل التمويل وميكانيكا الموائع والفيزياء والأحياء. ^{[225] [226]} الخصائص الرئيسية المحددة لهذه العمليات هي خصائص الثبات والاستقلال، لذلك عُرفت باسم العمليات ذات الزيادات الثابتة والمستقلة . بعبارة أخرى، العملية العشوائية هي عملية ليفي إذا كانت للأرقام غير السالبة، الزيادات المقابلة${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 0\leq t_{1}\leq \dots \leq t_{n}}$${\displaystyle n-1}$

كلها مستقلة عن بعضها البعض، وتوزيع كل زيادة يعتمد فقط على الفرق في الوقت. ^[49]

يمكن تعريف عملية ليفي بحيث تكون مساحة حالتها عبارة عن مساحة رياضية مجردة، مثل مساحة باناخ ، ولكن غالبًا ما يتم تعريف العمليات بحيث تأخذ قيمًا في الفضاء الإقليدي. مجموعة الفهرس هي الأرقام غير السلبية، لذلك ، والتي تعطي تفسير الوقت. العمليات العشوائية المهمة مثل عملية وينر، وعملية بواسون المتجانسة (في بُعد واحد)، والمرؤوسين هي كلها عمليات ليفي. ^{[49] [224]}${\displaystyle I=[0,\infty )}$

الحقل العشوائي هو مجموعة من المتغيرات العشوائية المفهرسة بواسطة فضاء إقليدي ذي أبعاد أو بعض المتشعبات. بشكل عام، يمكن اعتبار الحقل العشوائي مثالاً لعملية عشوائية أو عشوائية، حيث لا تكون مجموعة الفهرس بالضرورة مجموعة فرعية من الخط الحقيقي. ^[30] ولكن هناك اتفاقية مفادها أن مجموعة مفهرسة من المتغيرات العشوائية تسمى حقلًا عشوائيًا عندما يكون للمؤشر بعدان أو أكثر. ^{[5] [28] [227]} إذا كان التعريف المحدد للعملية العشوائية يتطلب أن تكون مجموعة الفهرس مجموعة فرعية من الخط الحقيقي، فيمكن اعتبار الحقل العشوائي تعميمًا للعملية العشوائية. ^[228]${\displaystyle n}$

عملية النقطة هي مجموعة من النقاط تقع عشوائيًا في بعض المساحات الرياضية مثل الخط الحقيقي أو الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد أو المساحات الأكثر تجريدًا. في بعض الأحيان لا يُفضل مصطلح عملية النقطة ، حيث كانت كلمة عملية تشير تاريخيًا إلى تطور بعض الأنظمة في الوقت المناسب، لذلك تسمى عملية النقطة أيضًا بحقل النقطة العشوائي . ^[229] هناك تفسيرات مختلفة لعملية النقطة، مثل مقياس العد العشوائي أو المجموعة العشوائية. ^{[230] [231]} يعتبر بعض المؤلفين عملية النقطة والعملية العشوائية كائنين مختلفين بحيث تكون عملية النقطة كائنًا عشوائيًا ينشأ من عملية عشوائية أو يرتبط بها، ^{[232] [233]} على الرغم من أنه قد لوحظ أن الفرق بين عمليات النقطة والعمليات العشوائية غير واضح. ^[233]${\displaystyle n}$

يعتبر مؤلفون آخرون عملية النقطة عملية عشوائية، حيث يتم فهرسة العملية بمجموعات من الفضاء الأساسي ^[d] الذي يتم تعريفها عليه، مثل الخط الحقيقي أو الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد. ^{[236] [237]} تتم دراسة العمليات العشوائية الأخرى مثل عمليات التجديد والعد في نظرية العمليات النقطية. ^{[238] [233]}${\displaystyle n}$

تعود أصول نظرية الاحتمالات إلى ألعاب الحظ، والتي لها تاريخ طويل، حيث تم لعب بعض الألعاب منذ آلاف السنين، ^[239] ولكن تم إجراء القليل جدًا من التحليل عليها من حيث الاحتمالية. ^[240] غالبًا ما يُعتبر عام 1654 ميلاد نظرية الاحتمالات عندما أجرى علماء الرياضيات الفرنسيون بيير فيرما وبليز باسكال مراسلات مكتوبة حول الاحتمالات، بدافع من مشكلة المقامرة . ^{[241] [242]} ولكن كان هناك عمل رياضي سابق تم إجراؤه حول احتمالات ألعاب المقامرة مثل Liber de Ludo Aleae بواسطة Gerolamo Cardano ، الذي كتب في القرن السادس عشر ولكن نُشر بعد وفاته في وقت لاحق في عام 1663. ^[243]

بعد كاردانو، كتب جاكوب برنولي ^{[e] كتاب} Ars Conjectandi ، والذي يُعتبر حدثًا مهمًا في تاريخ نظرية الاحتمالات. نُشر كتاب برنولي، أيضًا بعد وفاته، في عام 1713 وألهم العديد من علماء الرياضيات لدراسة الاحتمالات. ^{[245] [246]} ولكن على الرغم من مساهمة بعض علماء الرياضيات المشهورين في نظرية الاحتمالات، مثل بيير سيمون لابلاس وأبراهام دي موافر وكارل جاوس وسيمون بواسون وبافنوتي تشيبيشيف ، [ ^{247] [248]} فإن معظم المجتمع الرياضي ^[f] لم يعتبر نظرية الاحتمالات جزءًا من الرياضيات حتى القرن العشرين. ^{[247] [249] [250] [251]}

في العلوم الفيزيائية، طور العلماء في القرن التاسع عشر تخصص الميكانيكا الإحصائية ، حيث يتم النظر إلى الأنظمة الفيزيائية، مثل الحاويات المملوءة بالغازات، أو التعامل معها رياضيًا على أنها مجموعات من العديد من الجسيمات المتحركة. وعلى الرغم من وجود محاولات لدمج العشوائية في الفيزياء الإحصائية من قبل بعض العلماء، مثل رودولف كلوزيوس ، إلا أن معظم العمل كان به القليل من العشوائية أو لم يكن به أي عشوائية. ^{[252] [253]} تغير هذا في عام 1859 عندما ساهم جيمس كليرك ماكسويل بشكل كبير في هذا المجال، وبشكل أكثر تحديدًا، في النظرية الحركية للغازات، من خلال تقديم عمل حيث قام بنمذجة جزيئات الغاز على أنها تتحرك في اتجاهات عشوائية بسرعات عشوائية. ^{[254] [255]} استمر تطوير النظرية الحركية للغازات والفيزياء الإحصائية في النصف الثاني من القرن التاسع عشر، مع العمل الذي قام به بشكل رئيسي كلوزيوس ولودفيج بولتزمان وجوزايا جيبس ، والذي سيكون له تأثير لاحقًا على النموذج الرياضي لألبرت أينشتاين للحركة البراونية . ^[256]

في المؤتمر الدولي للرياضيين في باريس عام 1900، قدم ديفيد هيلبرت قائمة بالمسائل الرياضية ، حيث طلبت مشكلته السادسة معالجة رياضية للفيزياء والاحتمالات تتضمن البديهيات . ^[248] في بداية القرن العشرين، طور علماء الرياضيات نظرية القياس، وهي فرع من الرياضيات لدراسة تكاملات الدوال الرياضية، حيث كان اثنان من المؤسسين من علماء الرياضيات الفرنسيين، هنري ليبيج وإميل بوريل . في عام 1925، نشر عالم رياضيات فرنسي آخر هو بول ليفي أول كتاب عن الاحتمالات استخدم أفكارًا من نظرية القياس. ^[248]

في عشرينيات القرن العشرين، تم تقديم مساهمات أساسية لنظرية الاحتمالات في الاتحاد السوفيتي من قبل علماء الرياضيات مثل سيرجي بيرنشتاين وألكسندر خينتشين [ ^g] وأندريه كولموغوروف . ^[251] نشر كولموغوروف في عام 1929 محاولته الأولى لتقديم أساس رياضي، بناءً على نظرية القياس، لنظرية الاحتمالات. ^[257] في أوائل الثلاثينيات من القرن العشرين، أقام خينتشين وكولموغوروف ندوات احتمالية، حضرها باحثون مثل يوجين سلوتسكي ونيكولاي سميرنوف [ 258 ^] وقدم خينتشين أول تعريف رياضي لعملية عشوائية كمجموعة من المتغيرات العشوائية المفهرسة بواسطة الخط الحقيقي. ^{[63] [259] [h]}

في عام 1933، نشر أندريه كولموغوروف كتابه باللغة الألمانية حول أسس نظرية الاحتمالات بعنوان Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung ، ^[i] حيث استخدم كولموغوروف نظرية القياس لتطوير إطار بديهي لنظرية الاحتمالات. يُعتبر نشر هذا الكتاب الآن على نطاق واسع بمثابة ميلاد نظرية الاحتمالات الحديثة، عندما أصبحت نظريات الاحتمالات والعمليات العشوائية جزءًا من الرياضيات. ^{[248] [251]}

بعد نشر كتاب كولموغوروف، قام كينتشين وكولموغوروف بالإضافة إلى علماء رياضيات آخرين مثل جوزيف دووب وويليام فيلر وموريس فريشيت وبول ليفي وفولفجانج دوبلين وهارالد كرامر بمزيد من العمل الأساسي حول نظرية الاحتمالات والعمليات العشوائية . ^{[248] [251]} بعد عقود من الزمان، أشار كرامر إلى ثلاثينيات القرن العشرين على أنها "الفترة البطولية لنظرية الاحتمالات الرياضية". ^{[251] تسببت} الحرب العالمية الثانية في مقاطعة تطوير نظرية الاحتمالات بشكل كبير، مما تسبب، على سبيل المثال، في هجرة فيلر من السويد إلى الولايات المتحدة الأمريكية ^[251] ووفاة دوبلين، الذي يُعتبر الآن رائدًا في العمليات العشوائية. ^[261]

بعد الحرب العالمية الثانية، اكتسبت دراسة نظرية الاحتمالات والعمليات العشوائية المزيد من الاهتمام من قبل علماء الرياضيات، مع تقديم مساهمات كبيرة في العديد من مجالات الاحتمالات والرياضيات بالإضافة إلى إنشاء مجالات جديدة. ^{[251] [264]} بدءًا من أربعينيات القرن العشرين، نشر كيوسي إيتو أوراقًا بحثية طورت مجال حساب التفاضل والتكامل العشوائي ، والذي يتضمن التكاملات العشوائية ومعادلات التفاضل العشوائية القائمة على عملية الحركة فينر أو البراونية. ^[265]

كما بدأت في الأربعينيات من القرن العشرين أيضًا إقامة روابط بين العمليات العشوائية، وخاصة المارتينجال، والمجال الرياضي لنظرية الإمكانات ، مع الأفكار المبكرة لشيزو كاكوتاني ثم العمل اللاحق لجوزيف دوب. ^[264] قام جيلبرت هانت بمزيد من العمل، والذي يعتبر رائدًا، في الخمسينيات من القرن العشرين، حيث ربط بين عمليات ماركوف ونظرية الإمكانات، والتي كان لها تأثير كبير على نظرية عمليات ليفي وأدت إلى زيادة الاهتمام بدراسة عمليات ماركوف بالطرق التي طورها إيتو. ^{[21] [266] [267]}

في عام 1953، نشر دوب كتابه العمليات العشوائية ، والذي كان له تأثير قوي على نظرية العمليات العشوائية وأكد على أهمية نظرية القياس في الاحتمالات. ^{[264] [263]} كما طور دوب بشكل أساسي نظرية المارتينجال، مع مساهمات كبيرة لاحقًا من بول أندريه ماير . تم تنفيذ أعمال سابقة من قبل سيرجي بيرنشتاين وبول ليفي وجان فيل ، حيث تبنى الأخير مصطلح المارتينجال للعملية العشوائية. ^{[268] [269]} أصبحت الأساليب المستمدة من نظرية المارتينجال شائعة لحل مشاكل الاحتمالات المختلفة. تم تطوير التقنيات والنظرية لدراسة عمليات ماركوف ثم تطبيقها على المارتينجال. وعلى العكس من ذلك، تم إنشاء أساليب من نظرية المارتينجال لعلاج عمليات ماركوف. ^[264]

تم تطوير مجالات أخرى للاحتمالات واستخدامها لدراسة العمليات العشوائية، وكان أحد الأساليب الرئيسية هو نظرية الانحرافات الكبيرة. ^[264] وللنظرية العديد من التطبيقات في الفيزياء الإحصائية، من بين مجالات أخرى، ولديها أفكار أساسية تعود إلى ثلاثينيات القرن العشرين على الأقل. في وقت لاحق في الستينيات والسبعينيات، تم إنجاز أعمال أساسية من قبل ألكسندر وينزيل في الاتحاد السوفيتي ومونرو د. دونسكر وسرينفاسا فارادان في الولايات المتحدة الأمريكية، ^[270] مما أدى لاحقًا إلى فوز فارادان بجائزة آبل لعام 2007. ^[271] في تسعينيات القرن العشرين والعقد الأول من القرن الحادي والعشرين ، تم تقديم وتطوير نظريات تطور شرام-لوينر ^[272] والمسارات الخشنة ^[142] لدراسة العمليات العشوائية وغيرها من الأشياء الرياضية في نظرية الاحتمالات، مما أدى على التوالي إلى منح ميداليات فيلدز إلى ويندلين فيرنر ^[273] في عام 2008 وإلى مارتن هيرير في عام 2014. ^[274]

لا تزال نظرية العمليات العشوائية تشكل محورًا للبحث، مع عقد مؤتمرات دولية سنوية حول موضوع العمليات العشوائية. ^{[45] [225]}

على الرغم من أن كينتشين أعطى تعريفات رياضية للعمليات العشوائية في ثلاثينيات القرن العشرين، ^{[63] [259]} فقد تم بالفعل اكتشاف عمليات عشوائية محددة في بيئات مختلفة، مثل عملية الحركة البراونية وعملية بواسون. ^{[21] [24]} بعض عائلات العمليات العشوائية مثل العمليات النقطية أو عمليات التجديد لها تاريخ طويل ومعقد، يمتد إلى قرون. ^[275]

ربما تكون عملية برنولي، التي يمكن أن تعمل كنموذج رياضي لقلب عملة متحيزة، أول عملية عشوائية تمت دراستها. ^[81] العملية عبارة عن سلسلة من تجارب برنولي المستقلة، ^[82] والتي سميت على اسم جاكوب برنولي الذي استخدمها لدراسة ألعاب الحظ، بما في ذلك مشاكل الاحتمالات التي اقترحها ودرسها كريستيان هويجنز في وقت سابق. ^[276] نُشرت أعمال برنولي، بما في ذلك عملية برنولي، في كتابه Ars Conjectandi في عام 1713. ^[277]

في عام 1905، صاغ كارل بيرسون مصطلح المشي العشوائي أثناء طرح مشكلة تصف المشي العشوائي على المستوى، والتي كانت مدفوعة بتطبيق في علم الأحياء، ولكن مثل هذه المشاكل التي تنطوي على المشي العشوائي كانت قد تمت دراستها بالفعل في مجالات أخرى. يمكن اعتبار بعض مشاكل المقامرة التي تمت دراستها قبل قرون مشاكل تنطوي على المشي العشوائي. ^{[89] [277]} على سبيل المثال، تستند المشكلة المعروفة باسم خراب المقامر إلى المشي العشوائي البسيط، ^{[195] [278]} وهي مثال على المشي العشوائي مع الحواجز الماصة. ^{[241] [279]} قدم باسكال وفيرما وهوينز حلولاً عددية لهذه المشكلة دون تفصيل أساليبهم، ^[280] ثم قدم جاكوب برنولي وأبراهام دي موافر حلولاً أكثر تفصيلاً . ^[281]

بالنسبة للمشي العشوائي في شبكات الأعداد الصحيحة ذات الأبعاد - ، نشر جورج بوليا في عامي 1919 و1921 عملاً درس فيه احتمالية عودة المشي العشوائي المتماثل إلى موضع سابق في الشبكة. أظهر بوليا أن المشي العشوائي المتماثل، الذي لديه احتمال متساوٍ للتقدم في أي اتجاه في الشبكة، سيعود إلى موضع سابق في الشبكة عددًا لا نهائيًا من المرات باحتمال واحد في بعد واحد وبعدين، ولكن باحتمال صفر في ثلاثة أبعاد أو أعلى. ^{[282] [283]}${\displaystyle n}$

تعود أصول عملية وينر أو عملية الحركة البراونية إلى مجالات مختلفة بما في ذلك الإحصاء والتمويل والفيزياء. ^[21] في عام 1880، كتب عالم الفلك الدنماركي ثورفالد ثيل ورقة بحثية عن طريقة المربعات الصغرى، حيث استخدم العملية لدراسة أخطاء نموذج في تحليل السلاسل الزمنية. ^{[284] [285] [286]} يُعتبر العمل الآن بمثابة اكتشاف مبكر للطريقة الإحصائية المعروفة باسم تصفية كالمان ، ولكن تم تجاهل العمل إلى حد كبير. يُعتقد أن الأفكار الواردة في ورقة ثيل كانت متقدمة جدًا بحيث لا يمكن فهمها من قبل المجتمع الرياضي والإحصائي الأوسع في ذلك الوقت. ^[286]

استخدم عالم الرياضيات الفرنسي لويس باشيلييه عملية وينر في أطروحته لعام 1900 ^{[287] [288]} من أجل نمذجة تغيرات الأسعار في بورصة باريس ، وهي بورصة للأوراق المالية ، ^[289] دون معرفة عمل ثيل. ^[21] وقد تم التكهن بأن باشيلييه استقى أفكاره من نموذج المشي العشوائي لجول ريجنولت ، لكن باشيلييه لم يستشهد به، ^[290] وتعتبر أطروحة باشيلييه الآن رائدة في مجال الرياضيات المالية. ^{[289] [290]}

يُعتقد عمومًا أن عمل باشيلييه لم يحظ باهتمام كبير وتم نسيانه لعقود من الزمن حتى أعيد اكتشافه في الخمسينيات من القرن الماضي بواسطة ليونارد سافاج ، ثم أصبح أكثر شهرة بعد ترجمة أطروحة باشيلييه إلى اللغة الإنجليزية في عام 1964. لكن العمل لم يُنسى أبدًا في المجتمع الرياضي، حيث نشر باشيلييه كتابًا في عام 1912 يوضح أفكاره، ^[290] والذي استشهد به علماء الرياضيات بما في ذلك دوب وفيلر ^[290] وكولموغوروف. ^[21] استمر الاستشهاد بالكتاب، ولكن بعد ذلك بدءًا من الستينيات، بدأ الاستشهاد بأطروحة باشيلييه الأصلية أكثر من كتابه عندما بدأ خبراء الاقتصاد في الاستشهاد بعمل باشيلييه. ^[290]

في عام 1905، نشر ألبرت أينشتاين ورقة بحثية درس فيها الملاحظة الفيزيائية للحركة البراونية أو الحركة لشرح الحركات العشوائية على ما يبدو للجسيمات في السوائل باستخدام أفكار من النظرية الحركية للغازات . استنتج أينشتاين معادلة تفاضلية ، تُعرف باسم معادلة الانتشار ، لوصف احتمالية العثور على جسيم في منطقة معينة من الفضاء. بعد وقت قصير من نشر أينشتاين لأول ورقة بحثية عن الحركة البراونية، نشر ماريان سمولوخوفسكي عملاً استشهد فيه بأينشتاين، لكنه كتب أنه استنتج بشكل مستقل النتائج المكافئة باستخدام طريقة مختلفة. ^[291]

ألهم عمل أينشتاين، بالإضافة إلى النتائج التجريبية التي حصل عليها جان بيرين ، نوربرت وينر في عشرينيات القرن العشرين ^[292] لاستخدام نوع من نظرية القياس، التي طورها بيرسي دانييل ، وتحليل فورييه لإثبات وجود عملية وينر ككائن رياضي. ^[21]

سميت عملية بواسون على اسم سيميون بواسون ، وذلك بسبب تعريفها الذي يتضمن توزيع بواسون ، ولكن بواسون لم يدرس العملية مطلقًا. ^{[22] [293]} هناك عدد من المطالبات بالاستخدامات أو الاكتشافات المبكرة لعملية بواسون. ^{[22] [24]} في بداية القرن العشرين، نشأت عملية بواسون بشكل مستقل في مواقف مختلفة. ^{[22] [24]} في السويد عام 1903، نشر فيليب لوندبيرج أطروحة تحتوي على عمل، يُعتبر الآن أساسيًا ورائدًا، حيث اقترح نمذجة مطالبات التأمين باستخدام عملية بواسون متجانسة. ^{[294] [295]}

حدث اكتشاف آخر في الدنمارك عام 1909 عندما استنتج إيه كيه إرلانج توزيع بواسون عند تطوير نموذج رياضي لعدد المكالمات الهاتفية الواردة في فترة زمنية محدودة. لم يكن إرلانج في ذلك الوقت على دراية بعمل بواسون السابق وافترض أن عدد المكالمات الهاتفية الواردة في كل فترة زمنية مستقلة عن بعضها البعض. ثم وجد الحالة الحدية، والتي تعيد صياغة توزيع بواسون بشكل فعال كحد للتوزيع الثنائي. ^[22]

في عام 1910، نشر إرنست رذرفورد وهانز جايجر نتائج تجريبية حول عد جسيمات ألفا. وبدافع من عملهما، درس هاري باتمان مشكلة العد واستنبط احتمالات بواسون كحل لعائلة من المعادلات التفاضلية، مما أدى إلى اكتشاف مستقل لعملية بواسون. ^[22] بعد هذا الوقت، كانت هناك العديد من الدراسات والتطبيقات لعملية بواسون، لكن تاريخها المبكر معقد، وقد تم تفسيره من خلال التطبيقات المختلفة للعملية في العديد من المجالات من قبل علماء الأحياء وعلماء البيئة والمهندسين وعلماء الفيزياء المختلفين. ^[22]

سميت عمليات ماركوف وسلاسل ماركوف على اسم أندريه ماركوف الذي درس سلاسل ماركوف في أوائل القرن العشرين. كان ماركوف مهتمًا بدراسة امتداد التسلسلات العشوائية المستقلة. في ورقته الأولى عن سلاسل ماركوف، التي نُشرت عام 1906، أظهر ماركوف أنه في ظل ظروف معينة، ستتقارب النتائج المتوسطة لسلسلة ماركوف إلى متجه ثابت من القيم، وبالتالي إثبات قانون ضعيف للأعداد الكبيرة دون افتراض الاستقلال، ^{[296] [297] [298]} والذي كان يُنظر إليه عمومًا على أنه شرط لصدق مثل هذه القوانين الرياضية. ^[298] استخدم ماركوف لاحقًا سلاسل ماركوف لدراسة توزيع حروف العلة في يوجين أونجين ، الذي كتبه ألكسندر بوشكين ، وأثبت نظرية الحد المركزي لمثل هذه السلاسل.

في عام 1912، درس بوانكاريه سلاسل ماركوف على مجموعات محدودة بهدف دراسة خلط البطاقات. تشمل الاستخدامات المبكرة الأخرى لسلاسل ماركوف نموذج الانتشار، الذي قدمه بول وتاتيانا إيرنفيست في عام 1907، وعملية التفرع، التي قدمها فرانسيس جالتون وهنري ويليام واتسون في عام 1873، والتي سبقت عمل ماركوف. ^{[296] [297]} بعد عمل جالتون وواتسون، تم الكشف لاحقًا عن أن عملية التفرع الخاصة بهم تم اكتشافها ودراستها بشكل مستقل قبل حوالي ثلاثة عقود من قبل إيرينيه جول بينيميه . ^[299] بدءًا من عام 1928، أصبح موريس فريشيه مهتمًا بسلاسل ماركوف، مما أدى في النهاية إلى نشره في عام 1938 دراسة مفصلة عن سلاسل ماركوف. ^{[296] [300]}

طور أندريه كولموغوروف في ورقة بحثية عام 1931 جزءًا كبيرًا من النظرية المبكرة لعمليات ماركوف المستمرة. ^{[251] [257]} استوحى كولموغوروف جزئيًا من عمل لويس باشيلير عام 1900 حول التقلبات في سوق الأوراق المالية بالإضافة إلى عمل نوربرت وينر حول نموذج أينشتاين للحركة البراونية. ^{[257] [301]} قدم ودرس مجموعة معينة من عمليات ماركوف المعروفة باسم عمليات الانتشار، حيث اشتق مجموعة من المعادلات التفاضلية التي تصف العمليات. ^{[257] [302]} بصرف النظر عن عمل كولموغوروف، اشتق سيدني تشابمان في ورقة بحثية عام 1928 معادلة، تسمى الآن معادلة تشابمان-كولموغوروف ، بطريقة أقل صرامة رياضيًا من كولموغوروف، أثناء دراسة الحركة البراونية. ^[303] تُسمى المعادلات التفاضلية الآن معادلات كولموغوروف ^[304] أو معادلات كولموغوروف-تشابمان. ^[305] ومن بين علماء الرياضيات الآخرين الذين ساهموا بشكل كبير في أسس عمليات ماركوف ويليام فيلر، بدءًا من ثلاثينيات القرن العشرين، ثم لاحقًا يوجين دينكين، بدءًا من خمسينيات القرن العشرين. ^[251]

تمت تسمية عمليات ليفي مثل عملية وينر وعملية بواسون (على الخط الحقيقي) على اسم بول ليفي الذي بدأ دراستها في ثلاثينيات القرن العشرين، ^[225] ولكن لها صلات بتوزيعات قابلة للقسمة بلا حدود تعود إلى عشرينيات القرن العشرين. ^[224] في ورقة بحثية عام 1932، استنتج كولموغوروف دالة مميزة للمتغيرات العشوائية المرتبطة بعمليات ليفي. تم استخلاص هذه النتيجة لاحقًا في ظل ظروف أكثر عمومية بواسطة ليفي في عام 1934، ثم قدم خينتشين بشكل مستقل شكلًا بديلاً لهذه الدالة المميزة في عام 1937. ^{[251] [306]} بالإضافة إلى ليفي وخينتشين وكولوموغروف، قدم برونو دي فينيتي وكيوسي إيتو مساهمات أساسية مبكرة في نظرية عمليات ليفي . ^[224]

في الرياضيات، هناك حاجة إلى إنشاء كائنات رياضية، وهو ما ينطبق أيضًا على العمليات العشوائية، لإثبات وجودها رياضيًا. ^[57] هناك طريقتان رئيسيتان لإنشاء عملية عشوائية. تتضمن الطريقة الأولى النظر في مساحة قابلة للقياس من الوظائف، وتحديد تعيين قابل للقياس مناسب من مساحة الاحتمال إلى هذه المساحة القابلة للقياس من الوظائف، ثم استنباط التوزيعات ذات الأبعاد المحدودة المقابلة. ^[307]

يتضمن نهج آخر تعريف مجموعة من المتغيرات العشوائية بحيث يكون لها توزيعات محددة ذات أبعاد محدودة، ثم استخدام نظرية وجود كولموغوروف ^[j] لإثبات وجود عملية عشوائية مقابلة. ^{[57] [307]} تنص هذه النظرية، التي تعد نظرية وجود للمقاييس على مساحات المنتج اللانهائية، ^[311] على أنه إذا كانت أي توزيعات ذات أبعاد محدودة تلبي شرطين، يُعرفان باسم شروط الاتساق ، فهناك عملية عشوائية مع تلك التوزيعات ذات الأبعاد المحدودة. ^[57]

عند إنشاء عمليات عشوائية مستمرة في الزمن تنشأ بعض الصعوبات الرياضية، بسبب مجموعات الفهرس غير القابلة للعد، والتي لا تحدث مع العمليات في الزمن المنفصل. ^{[58] [59]} إحدى المشكلات هي أنه من الممكن أن يكون هناك أكثر من عملية عشوائية بنفس التوزيعات ذات الأبعاد المحدودة. على سبيل المثال، كل من التعديل المستمر لليسار والتعديل المستمر لليمين لعملية بواسون لهما نفس التوزيعات ذات الأبعاد المحدودة. ^[312] وهذا يعني أن توزيع العملية العشوائية لا يحدد بالضرورة خصائص وظائف العينة للعملية العشوائية بشكل فريد. ^{[307] [313]}

هناك مشكلة أخرى وهي أن الدوال الوظيفية لعملية مستمرة في الزمن تعتمد على عدد لا يحصى من نقاط مجموعة الفهارس قد لا تكون قابلة للقياس، وبالتالي فإن احتمالات أحداث معينة قد لا تكون محددة جيدًا. ^[168] على سبيل المثال، لا يعد الحد الأقصى لعملية عشوائية أو حقل عشوائي بالضرورة متغيرًا عشوائيًا محددًا جيدًا. ^{[30] [59]} بالنسبة لعملية عشوائية مستمرة في الزمن ، تتضمن الخصائص الأخرى التي تعتمد على عدد لا يحصى من نقاط مجموعة الفهارس ما يلي : ^[168]${\displaystyle X}$${\displaystyle T}$

• دالة العينة لعملية عشوائية هي دالة مستمرة لـ ؛${\displaystyle X}$${\displaystyle t\in T}$
• دالة العينة لعملية عشوائية هي دالة محدودة لـ ؛ و${\displaystyle X}$${\displaystyle t\in T}$
• دالة العينة لعملية عشوائية هي دالة متزايدة لـ .${\displaystyle X}$${\displaystyle t\in T}$

حيث يمكن قراءة الرمز ∈ على أنه "عضو في المجموعة"، كما في عضو المجموعة . ${\displaystyle t}$${\displaystyle T}$

للتغلب على الصعوبات المذكورة أعلاه، أي "أكثر من واحد..." و"وظائف..."، من الممكن اتباع افتراضات وأساليب مختلفة. ^[69]

أحد الأساليب لتجنب مشكلات البناء الرياضي للعمليات العشوائية، التي اقترحها جوزيف دوب ، هو افتراض أن العملية العشوائية قابلة للفصل. ^[314] تضمن قابلية الفصل أن تحدد التوزيعات ذات الأبعاد اللانهائية خصائص الدوال العينة من خلال اشتراط تحديد الدوال العينة بشكل أساسي من خلال قيمها على مجموعة كثيفة قابلة للعد من النقاط في مجموعة الفهرس. ^[315] علاوة على ذلك، إذا كانت العملية العشوائية قابلة للفصل، فإن الدوال لعدد غير قابل للعد من النقاط في مجموعة الفهرس قابلة للقياس ويمكن دراسة احتمالاتها. ^{[168] [315]}

هناك نهج آخر ممكن، تم تطويره في الأصل بواسطة أناتولي سكوروخود وأندريه كولموغوروف ، ^[316] لعملية عشوائية مستمرة في الزمن مع أي مساحة مترية كمساحة حالة لها. لبناء مثل هذه العملية العشوائية، يُفترض أن الدوال العينة للعملية العشوائية تنتمي إلى بعض مساحة الوظائف المناسبة، والتي عادةً ما تكون مساحة سكوروخود المكونة من جميع الدوال المستمرة اليمنى ذات الحدود اليسرى. يُستخدم هذا النهج الآن أكثر من افتراض الانفصال، ^{[69] [262]} ولكن مثل هذه العملية العشوائية القائمة على هذا النهج ستكون قابلة للفصل تلقائيًا. ^[317]

على الرغم من قلة استخدام افتراض الانفصال، فإنه يعتبر أكثر عمومية لأن كل عملية عشوائية لها نسخة قابلة للفصل. ^[262] كما يستخدم عندما لا يكون من الممكن إنشاء عملية عشوائية في فضاء Skorokhod. ^[173] على سبيل المثال، يُفترض الانفصال عند إنشاء ودراسة الحقول العشوائية، حيث يتم الآن فهرسة مجموعة المتغيرات العشوائية بمجموعات أخرى غير الخط الحقيقي مثل الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد. ^{[30] [318]}${\displaystyle n}$

أحد أشهر تطبيقات العمليات العشوائية في التمويل هو نموذج بلاك-سكولز لتسعير الخيارات. طور هذا النموذج فيشر بلاك وميرون سكولز وروبرت سولو ، ويستخدم الحركة البراونية الهندسية ، وهي نوع معين من العمليات العشوائية، لوصف ديناميكيات أسعار الأصول. ^{[319] [320]} يفترض النموذج أن سعر السهم يتبع عملية عشوائية مستمرة الوقت ويوفر حلاً مغلق الشكل لتسعير الخيارات على الطراز الأوروبي. كان لصيغة بلاك-سكولز تأثير عميق على الأسواق المالية، حيث شكلت الأساس لكثير من تداول الخيارات الحديثة.

الافتراض الرئيسي لنموذج بلاك-شولز هو أن سعر الأصل المالي، مثل الأسهم، يتبع توزيعًا لوغاريتميًا طبيعيًا ، مع عوائده المستمرة التي تتبع توزيعًا طبيعيًا. وعلى الرغم من أن النموذج له قيود، مثل افتراض التقلب المستمر، إلا أنه يظل مستخدمًا على نطاق واسع بسبب بساطته وأهميته العملية.

تطبيق مهم آخر للعمليات العشوائية في التمويل هو في نماذج التقلب العشوائية ، والتي تهدف إلى التقاط الطبيعة المتغيرة بمرور الوقت لتقلب السوق. نموذج هيستون ^[321] هو مثال شائع، مما يسمح لتقلب أسعار الأصول باتباع عملية عشوائية خاصة به. على عكس نموذج بلاك-سكولز، الذي يفترض تقلبًا ثابتًا، توفر نماذج التقلب العشوائي إطارًا أكثر مرونة لنمذجة ديناميكيات السوق، خاصة خلال فترات عدم اليقين العالي أو ضغوط السوق.

أحد التطبيقات الأساسية للعمليات العشوائية في علم الأحياء هو في ديناميكيات السكان . وعلى النقيض من النماذج الحتمية ، التي تفترض أن السكان يتغيرون بطرق يمكن التنبؤ بها، فإن النماذج العشوائية تأخذ في الاعتبار العشوائية المتأصلة في المواليد والوفيات والهجرة. تصف عملية الولادة والوفاة ، ^[322] وهي نموذج عشوائي بسيط، كيف تتقلب السكان بمرور الوقت بسبب المواليد والوفيات العشوائية. هذه النماذج مهمة بشكل خاص عند التعامل مع السكان الصغار، حيث يمكن للأحداث العشوائية أن يكون لها تأثيرات كبيرة، كما هو الحال في حالة الأنواع المهددة بالانقراض أو السكان الميكروبيين الصغار.

ومن الأمثلة الأخرى عملية التفرع ، ^[323] التي تنمذج نمو السكان حيث يتكاثر كل فرد بشكل مستقل. وغالبًا ما تُستخدم عملية التفرع لوصف انقراض السكان أو انفجارهم، وخاصة في علم الأوبئة، حيث يمكنها نمذجة انتشار الأمراض المعدية داخل السكان.

This "Further reading" section may need cleanup. Please read the editing guide and help improve the section. (July 2018) (Learn how and when to remove this message)

• أبلباوم، ديفيد (2004). "عمليات ليفي: من الاحتمالية إلى التمويل والمجموعات الكمية". إشعارات الجمعية الأمريكية للطب . 51 (11): 1336-1347.
• كرامر، هارالد (1976). "نصف قرن مع نظرية الاحتمالات: بعض الذكريات الشخصية". حوليات الاحتمالات . 4 (4): 509-546. doi : 10.1214/aop/1176996025 . ISSN  0091-1798.
• جوتورب، بيتر؛ ثورارينسدوتير، ثورديس إل. (2012). "ماذا حدث للفوضى المنفصلة، ​​وعملية كوينويل، وخاصية ماركوف الحادة؟ بعض تاريخ عمليات النقطة العشوائية". المراجعة الإحصائية الدولية . 80 (2): 253-268. doi :10.1111/j.1751-5823.2012.00181.x. ISSN  0306-7734. S2CID  80836.
• جارو، روبرت؛ بروتر، فيليب (2004). "تاريخ موجز للتكامل العشوائي والتمويل الرياضي: السنوات الأولى، 1880-1970". مذكرات تذكارية لهيرمان روبين . معهد الإحصاء الرياضي - سلسلة المحاضرات. ص 75-91. doi :10.1214/lnms/1196285381. ISBN 978-0-940600-61-4.ISSN 0749-2170  .
• ماير، بول أندريه (2009). "العمليات العشوائية من عام 1950 إلى الوقت الحاضر". المجلة الإلكترونية لتاريخ الاحتمالات والإحصاء . 5 (1): 1-42.

• روبرت ج. أدلر (2010). هندسة الحقول العشوائية. SIAM. ISBN 978-0-89871-693-1.
• روبرت ج. أدلر؛ جوناثان إي. تايلور (2009). الحقول العشوائية والهندسة. سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. رقم ISBN 978-0-387-48116-6.
• بيير بريمود (2013). سلاسل ماركوف: حقول جيبس، ومحاكاة مونت كارلو، والطوابير. سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. رقم ISBN 978-1-4757-3124-8.
• جوزيف إل. دووب (1990). العمليات العشوائية. وايلي.
• أندرس هالد (2005). تاريخ الاحتمالات والإحصاء وتطبيقاتها قبل عام 1750. جون وايلي وأولاده. رقم ISBN 978-0-471-72517-6.
• كريسبين جاردينر (2010). الأساليب العشوائية. سبرينغر. رقم ISBN 978-3-540-70712-7.
• يوسف آي. جيخمان؛ أناتولي فلاديميروفيتش سكوروخود (1996). مقدمة إلى نظرية العمليات العشوائية. كورير كوربوريشن. رقم ISBN 978-0-486-69387-3.
• إيمانويل بارزين (2015). العمليات العشوائية. منشورات كورير دوفر. رقم ISBN 978-0-486-79688-8.
• موري روزنبلات (1962). العمليات العشوائية . مطبعة جامعة أكسفورد.

• الوسائط المتعلقة بالعمليات العشوائية في ويكيميديا ​​كومنز