التغاير

التباين المشترك بين متغيرين عشوائيين معقدين${\displaystyle Z,W}$يُعرَّف على النحو التالي ^{[ 6 ] : 119}$${\displaystyle \operatorname {cov} (Z,W)=\operatorname {E} \left[(Z-\operatorname {E} [Z]){\overline {(W-\operatorname {E} [W])}}\right]=\operatorname {E} \left[Z{\overline {W}}\right]-\operatorname {E} [Z]\operatorname {E} \left[{\overline {W}}\right]}$$

لاحظ المرافق المعقد للعامل الثاني في التعريف.

ويمكن أيضاً تعريف تباين زائف ذي صلة .

إذا كان زوج المتغيرات العشوائية (الحقيقية)${\displaystyle (X,Y)}$يمكن أن تأخذ القيم${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ل${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$باحتمالات متساوية${\displaystyle p_{i}=1/n}$إذاً، يمكن كتابة التباين المشترك بشكل مكافئ بدلالة المتوسطات.${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$و${\displaystyle \operatorname {E} [Y]}$مثل $${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-E(X))(y_{i}-E(Y)).}$$

ويمكن التعبير عنها بشكل مكافئ، دون الإشارة مباشرة إلى الوسائل، على النحو التالي ^{[ 7 ]}$${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{2}}(x_{i}-x_{j})(y_{i}-y_{j})={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i}\sum _{j>i}(x_{i}-x_{j})(y_{i}-y_{j}).}$$

وبشكل أعم، إذا كان هناك${\displaystyle n}$تحقيقات محتملة لـ${\displaystyle (X,Y)}$، أي${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$لكن باحتمالات قد تكون غير متساوية${\displaystyle p_{i}}$ل${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$إذن، يكون التباين المشترك هو $${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}(x_{i}-E(X))(y_{i}-E(Y)).}$$

في حالة وجود متغيرين عشوائيين منفصلين${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$لها توزيع احتمالي مشترك، ممثل بعناصر${\displaystyle p_{i,j}}$بما يتوافق مع الاحتمالات المشتركة لـ${\displaystyle P(X=x_{i},Y=y_{j})}$، يتم حساب التغاير باستخدام عملية جمع مزدوجة على مؤشرات المصفوفة:

$${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}p_{i,j}(x_{i}-E[X])(y_{j}-E[Y]).}$$

التباين هو حالة خاصة من التغاير حيث يكون المتغيران متطابقين : ^{[ 6 ] : 121}$${\displaystyle \operatorname {cov} (X,X)=\operatorname {var} (X)\equiv \sigma ^{2}(X)\equiv \sigma _{X}^{2}.}$$

لو${\displaystyle X}$،${\displaystyle Y}$،${\displaystyle W}$، و${\displaystyle V}$هي متغيرات عشوائية ذات قيم حقيقية و${\displaystyle a,b,c,d}$إذا كانت ثوابت ذات قيم حقيقية، فإن الحقائق التالية هي نتيجة لتعريف التغاير: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} (X,a)&=0\\\operatorname {cov} (X,X)&=\operatorname {var} (X)\\\operatorname {cov} (X,Y)&=\operatorname {cov} (Y,X)\\\operatorname {cov} (aX,bY)&=ab\,\operatorname {cov} (X,Y)\\\operatorname {cov} (X+a,Y+b)&=\operatorname {cov} (X,Y)\\\operatorname {cov} (aX+bY,cW+dV)&=ac\,\operatorname {cov} (X,W)+ad\,\operatorname {cov} (X,V)+bc\,\operatorname {cov} (Y,W)+bd\,\operatorname {cov} (Y,V)\end{aligned}}}$$

بالنسبة للتسلسل${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$من المتغيرات العشوائية والثوابت ذات القيم الحقيقية${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$لدينا $${\displaystyle \operatorname {var} \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\operatorname {var} (X_{i})+2\sum _{i,j\,:\,i<j}a_{i}a_{j}\operatorname {cov} (X_{i},X_{j})=\sum _{i,j}{a_{i}a_{j}\operatorname {cov} (X_{i},X_{j})}}$$

هوية مفيدة لحساب التباين المشترك بين متغيرين عشوائيين${\displaystyle X,Y}$ هي هوية التغاير لهوفدينغ: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\int _{\mathbb {R} }\int _{\mathbb {R} }\left(F_{(X,Y)}(x,y)-F_{X}(x)F_{Y}(y)\right)\,dx\,dy}$$ أين${\displaystyle F_{(X,Y)}(x,y)}$هي دالة التوزيع التراكمي المشترك للمتجه العشوائي${\displaystyle (X,Y)}$و${\displaystyle F_{X}(x),F_{Y}(y)}$هي الفئات الهامشية .

تُسمى المتغيرات العشوائية التي يكون تباينها صفراً بالمتغيرات غير المرتبطة . ^{[ 6 ] : 121} وبالمثل، تُسمى مكونات المتجهات العشوائية التي تكون مصفوفة تباينها صفراً في كل عنصر خارج القطر الرئيسي بالمتغيرات غير المرتبطة أيضاً.

لو${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$إذا كانت المتغيرات العشوائية مستقلة ، فإن تباينها المشترك يساوي صفرًا. ^{[ 6 ] : 123 [ 10 ]} ويترتب على ذلك أنه في حالة الاستقلال، $${\displaystyle \operatorname {E} [XY]=\operatorname {E} [X]\cdot \operatorname {E} [Y].}$$

لكن العكس ليس صحيحًا بشكل عام. على سبيل المثال، لنفترض${\displaystyle X}$يتم توزيعها بشكل متساوٍ في${\displaystyle [-1,1]}$ودع${\displaystyle Y=X^{2}}$من الواضح،${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$ليست مستقلة، ولكن $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} (X,Y)&=\operatorname {cov} \left(X,X^{2}\right)\\&=\operatorname {E} \left[X\cdot X^{2}\right]-\operatorname {E} [X]\cdot \operatorname {E} \left[X^{2}\right]\\&=\operatorname {E} \left[X^{3}\right]-\operatorname {E} [X]\operatorname {E} \left[X^{2}\right]\\&=0-0\cdot \operatorname {E} [X^{2}]\\&=0.\end{aligned}}}$$

في هذه الحالة، العلاقة بين${\displaystyle Y}$و${\displaystyle X}$هي علاقة غير خطية، بينما يُعدّ كلٌّ من الارتباط والتباين مقياسين للتبعية الخطية بين متغيرين عشوائيين. يُبيّن هذا المثال أنه إذا كان متغيران عشوائيان غير مرتبطين، فهذا لا يعني بالضرورة أنهما مستقلان. مع ذلك، إذا كان المتغيران يتبعان التوزيع الطبيعي المشترك (وليس إذا كانا يتبعان التوزيع الطبيعي الفردي فقط )، فإن عدم الارتباط يُشير إلى الاستقلال. ^{[ 11 ]}

${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$تُسمى العلاقات التي يكون تباينها المشترك موجباً بالعلاقات المترابطة إيجابياً، وهذا يعني أنه إذا${\displaystyle X>E[X]}$من المرجح أن${\displaystyle Y>E[Y]}$وعلى العكس من ذلك،${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$تكون المتغيرات ذات التباين المشترك السلبي مرتبطة ارتباطًا سلبيًا، وإذا${\displaystyle X>E[X]}$من المرجح أن${\displaystyle Y<E[Y]}$.

يمكن استخلاص العديد من خصائص التغاير بشكل أنيق من خلال ملاحظة أنه يحقق خصائص مماثلة لتلك الخاصة بالضرب الداخلي :

1. ثنائي الخطية : للثوابت${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$والمتغيرات العشوائية${\displaystyle X,Y,Z,}$${\displaystyle \operatorname {cov} (aX+bY,Z)=a\operatorname {cov} (X,Z)+b\operatorname {cov} (Y,Z)}$
2. متماثل:${\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {cov} (Y,X)}$
3. شبه محدد إيجابي :${\displaystyle \sigma ^{2}(X)=\operatorname {cov} (X,X)\geq 0}$لجميع المتغيرات العشوائية${\displaystyle X}$، و${\displaystyle \operatorname {cov} (X,X)=0}$يشير ذلك إلى أن${\displaystyle X}$ثابت بشكل شبه مؤكد .

في الواقع، تشير هذه الخصائص إلى أن التغاير يُعرّف جداءً داخليًا على فضاء المتجهات الخارجة ، والذي يُحصل عليه بأخذ الفضاء الجزئي للمتغيرات العشوائية ذات العزم الثاني المحدود، وتحديد أي متغيرين يختلفان بمقدار ثابت. (يحوّل هذا التحديد شبه الإيجابية المذكورة أعلاه إلى إيجابية تامة). فضاء المتجهات الخارجة هذا متماثل مع الفضاء الجزئي للمتغيرات العشوائية ذات العزم الثاني المحدود والمتوسط ​​الصفري؛ وعلى هذا الفضاء الجزئي، يكون التغاير هو بالضبط الجداء ^{الداخلي} L² للدوال الحقيقية على فضاء العينة.

ونتيجة لذلك، بالنسبة للمتغيرات العشوائية ذات التباين المحدود، فإن المتباينة $${\displaystyle \left|\operatorname {cov} (X,Y)\right|\leq {\sqrt {\sigma ^{2}(X)\sigma ^{2}(Y)}}}$$ هي حالة خاصة من متباينة كوشي-شفارتز .

ولتسهيل الأمر، إليك برهان صريح، يستخدم فقط خصائص الضرب الداخلي المذكورة أعلاه.

لو${\displaystyle \sigma ^{2}(Y)=0}$إذاً، يكون ذلك صحيحاً بشكل بديهي. وإلا، فعرّف المتغير العشوائي $${\displaystyle Z=X-{\frac {\operatorname {cov} (X,Y)}{\sigma ^{2}(Y)}}Y.}$$

ثم لدينا $${\displaystyle {\begin{aligned}0\leq \sigma ^{2}(Z)&=\operatorname {cov} \left(X-{\frac {\operatorname {cov} (X,Y)}{\sigma ^{2}(Y)}}Y,\;X-{\frac {\operatorname {cov} (X,Y)}{\sigma ^{2}(Y)}}Y\right)\\[12pt]&=\sigma ^{2}(X)-{\frac {(\operatorname {cov} (X,Y))^{2}}{\sigma ^{2}(Y)}}\\\implies (\operatorname {cov} (X,Y))^{2}&\leq \sigma ^{2}(X)\sigma ^{2}(Y)\\\left|\operatorname {cov} (X,Y)\right|&\leq {\sqrt {\sigma ^{2}(X)\sigma ^{2}(Y)}}\end{aligned}}}$$

للمتجه${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{bmatrix}X_{1}&X_{2}&\dots &X_{m}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$ل${\displaystyle m}$المتغيرات العشوائية الموزعة بشكل مشترك ذات العزوم الثانية المحدودة، ومصفوفة التغاير الذاتي الخاصة بها (المعروفة أيضًا باسم مصفوفة التباين والتغاير أو ببساطة مصفوفة التغاير ).${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }}$(يُشار إليه أيضًا بـ${\displaystyle \Sigma (\mathbf {X} )}$أو${\displaystyle \operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {X} )}$) يُعرَّف على النحو التالي ^{[ 12 ] : 335}$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {K} _{\mathbf {XX} }=\operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {X} )&=\operatorname {E} \left[(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])^{\mathrm {T} }\right]\\&=\operatorname {E} \left[\mathbf {XX} ^{\mathrm {T} }\right]-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {X} ]^{\mathrm {T} }.\end{aligned}}}$$

يترك${\displaystyle \mathbf {X} }$ليكن متجهًا عشوائيًا بمصفوفة تباين Σ ، ولتكن A مصفوفة يمكن أن تؤثر على${\displaystyle \mathbf {X} }$على اليسار. مصفوفة التغاير لحاصل ضرب المصفوفة في المتجه AX هي: $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {cov} (\mathbf {AX} ,\mathbf {AX} )&=\operatorname {E} \left[\mathbf {AX(A} \mathbf {X)} ^{\mathrm {T} }\right]-\operatorname {E} [\mathbf {AX} ]\operatorname {E} \left[(\mathbf {A} \mathbf {X} )^{\mathrm {T} }\right]\\&=\operatorname {E} \left[\mathbf {AXX} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\right]-\operatorname {E} [\mathbf {AX} ]\operatorname {E} \left[\mathbf {X} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\right]\\&=\mathbf {A} \operatorname {E} \left[\mathbf {XX} ^{\mathrm {T} }\right]\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }-\mathbf {A} \operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} \left[\mathbf {X} ^{\mathrm {T} }\right]\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\\&=\mathbf {A} \left(\operatorname {E} \left[\mathbf {XX} ^{\mathrm {T} }\right]-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} \left[\mathbf {X} ^{\mathrm {T} }\right]\right)\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\\&=\mathbf {A} \Sigma \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }.\end{aligned}}}$$

هذا نتيجة مباشرة لخطية التوقع وهو مفيد عند تطبيق تحويل خطي ، مثل تحويل التبييض ، على متجه.

بالنسبة للمتجهات العشوائية الحقيقية${\displaystyle \mathbf {X} \in \mathbb {R} ^{m}}$و${\displaystyle \mathbf {Y} \in \mathbb {R} ^{n}}$، ال${\displaystyle m\times n}$مصفوفة التغاير المتقاطع تساوي ^{[ 12 ] : 336}

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )&=\operatorname {E} \left[(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])^{\mathrm {T} }\right]\\&=\operatorname {E} \left[\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{\mathrm {T} }\right]-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{\mathrm {T} }\end{aligned}}}$

المعادلة 2

أين${\displaystyle \mathbf {Y} ^{\mathrm {T} }}$هي منقولة المتجه (أو المصفوفة)${\displaystyle \mathbf {Y} }$.

ال${\displaystyle (i,j)}$العنصر رقم - من هذه المصفوفة يساوي التباين المشترك${\displaystyle \operatorname {cov} (X_{i},Y_{j})}$بين المكون العددي رقم i من${\displaystyle \mathbf {X} }$والمكون القياسي j من${\displaystyle \mathbf {Y} }$. بخاصة،${\displaystyle \operatorname {cov} (\mathbf {Y} ,\mathbf {X} )}$هو منقول ​${\displaystyle \operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )}$.

بشكل عام، دع${\displaystyle H_{1}=(H_{1},\langle \,,\rangle _{1})}$و${\displaystyle H_{2}=(H_{2},\langle \,,\rangle _{2})}$، تكون مساحات هيلبرت فوق${\displaystyle \mathbb {R} }$أو${\displaystyle \mathbb {C} }$مع${\displaystyle \langle \,,\rangle }$لنفترض أن العلاقة خطية عكسية في المتغير الأول، ولنفرض${\displaystyle \mathbf {X} ,\mathbf {Y} }$يكون${\displaystyle H_{1}}$على التوالي.${\displaystyle H_{2}}$المتغيرات العشوائية ذات القيم. ثم التباين المشترك لـ${\displaystyle \mathbf {X} }$و${\displaystyle \mathbf {Y} }$الشكل شبه الخطي على${\displaystyle H_{1}\times H_{2}}$ (خطية عكسية في المتغير الأول) معطاة بواسطة $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {K} _{X,Y}(h_{1},h_{2})=\operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )(h_{1},h_{2})&=\operatorname {E} \left[\langle h_{1},(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])\rangle _{1}\langle (\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]),h_{2}\rangle _{2}\right]\\&=\operatorname {E} [\langle h_{1},\mathbf {X} \rangle _{1}\langle \mathbf {Y} ,h_{2}\rangle _{2}]-\operatorname {E} [\langle h,\mathbf {X} \rangle _{1}]\operatorname {E} [\langle \mathbf {Y} ,h_{2}\rangle _{2}]\\&=\langle h_{1},\operatorname {E} \left[(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])^{\dagger }\right]h_{2}\rangle _{1}\\&=\langle h_{1},\left(\operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{\dagger }]-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{\dagger }\right)h_{2}\rangle _{1}\\\end{aligned}}}$$

يُعدّ التغاير مقياسًا هامًا في علم الأحياء . إذ تُحفظ بعض تسلسلات الحمض النووي (DNA) أكثر من غيرها بين الأنواع، ولذا، لدراسة البنى الثانوية والثالثية للبروتينات ، أو بنى الحمض النووي الريبوزي (RNA )، تُقارن التسلسلات في الأنواع وثيقة الصلة. فإذا وُجدت تغيرات في التسلسل، أو لم تُوجد أي تغيرات على الإطلاق في الحمض النووي الريبوزي غير المشفر (مثل الحمض النووي الريبوزي الميكروي )، فإن هذه التسلسلات تُعتبر ضرورية للوحدات البنائية الشائعة، مثل حلقة الحمض النووي الريبوزي. وفي علم الوراثة، يُشكّل التغاير أساسًا لحساب مصفوفة العلاقات الوراثية (GRM) (المعروفة أيضًا بمصفوفة القرابة)، مما يُتيح الاستدلال على بنية التجمع السكاني من عينة لا يوجد بها أقارب معروفون، بالإضافة إلى الاستدلال على تقدير قابلية توريث الصفات المعقدة.

في نظرية التطور والانتخاب الطبيعي ، تصف معادلة برايس كيف يتغير تردد سمة وراثية بمرور الوقت. تستخدم هذه المعادلة التغاير بين السمة واللياقة البدنية ، لتقديم وصف رياضي للتطور والانتخاب الطبيعي. وهي توفر طريقة لفهم تأثيرات انتقال الجينات والانتخاب الطبيعي على نسبة الجينات في كل جيل جديد من أفراد الجماعة. ^{[ 15 ] [ 16 ]}

تلعب التغايرات دورًا محوريًا في الاقتصاد المالي ، لا سيما في نظرية المحفظة الحديثة ونموذج تسعير الأصول الرأسمالية . وتُستخدم التغايرات بين عوائد الأصول المختلفة لتحديد النسب النسبية للأصول المختلفة التي ينبغي على المستثمرين (في التحليل المعياري ) أو يُتوقع منهم (في التحليل الإيجابي ) الاحتفاظ بها في سياق التنويع ، وذلك في ظل افتراضات معينة .

تُعدّ مصفوفة التغاير مهمة في تقدير الشروط الأولية اللازمة لتشغيل نماذج التنبؤات الجوية، وهي عملية تُعرف باسم استيعاب البيانات . تُنشأ "مصفوفة تغاير خطأ التنبؤ" عادةً بين الاضطرابات حول حالة متوسطة (سواء كانت متوسطًا مناخيًا أو متوسطًا لمجموعة من النماذج). أما "مصفوفة تغاير خطأ الرصد" فتُنشأ لتمثيل مقدار أخطاء الرصد المُجمّعة (على القطر الرئيسي) والأخطاء المترابطة بين القياسات (خارج القطر الرئيسي). هذا مثال على تطبيقها الواسع في ترشيح كالمان وتقدير الحالة بشكل عام للأنظمة المتغيرة مع الزمن.

تُعد تقنية التباين الدوامي تقنية قياس رئيسية للغلاف الجوي حيث يكون التباين بين الانحراف اللحظي في سرعة الرياح الرأسية عن القيمة المتوسطة والانحراف اللحظي في تركيز الغاز هو الأساس لحساب التدفقات المضطربة الرأسية.

تُستخدم مصفوفة التغاير لالتقاط التباين الطيفي للإشارة. ^{[ 17 ]}