معادلة داربو التفاضلية

في الرياضيات، تُسمى المعادلة التفاضلية معادلة داربو التفاضلية إذا كانت تحقق الشكل التالي:

$M(x,y)dx-L(x,y)dy+N(x,y)(xdy-ydx)=0$ [ ¹^]

أين $M(x,y)$ ، $L(x,y)$ و $N(x,y)$ هي كثيرات حدود من $x$ و $y$ .

الصيغة الصريحة لهذه المعادلة هي

$y'(x)={\frac {yN(x,y)-M(x,y)}{xN(x,y)-L(x,y)}}$ [ ²^]

والتي، بالمقارنة مع الشكل المذكور أعلاه، قد تتضمن أيضًا نقاط توازن ، والتي يجب أن تستوفي الشروط التالية:

${\begin{cases}yL(x,y)-xM(x,y)=0\\L=xN(x,y)\end{cases}}$

الحل

الحالة العامة

المصدر: ^{[ 1 ]}

بما أن معادلة داربو هي في الواقع تعميم لمعادلة ريكاتي ، فإن حلها، بشكل عام، لا يمكن إيجاده باستخدام التكاملات التربيعية. يمكن حل معادلة داربو في حالات محددة للغاية حيث يوجد عدد معين من حلول كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال . ${\check {P}}_{i}(x,y)$ ، $1\leqslant i\leqslant p$ تم العثور عليها. دع $m=\max(\deg M,\deg L,\deg N)$ .

الحالة 1.

لو $p\geqslant {\frac {1}{2}}m(m+1)+2$ ، ويكون الحل العام على شكل $u(x,y)=C$ ، أين $u(x,y)=\prod _{i=1}^{p}{g(x,y,z)^{\alpha _{i}}}$ ، $g_{i}(x,y,z)={\check {P}}_{i}\left({\frac {x}{z}},{\frac {y}{z}}\right)z^{\deg {\check {P}}_{i}}$ ، $\alpha _{i}$ هي ثوابت يجب تحديدها ومتغيرة $z$ يختفي هذا المنتج.

الحالة الثانية.

لو $p={\frac {1}{2}}m(m+1)+1$ باستخدام معادلة داربو، يمكن إيجاد عامل التكامل . ويأخذ هذا العامل الشكل الدقيق، كما يلي: $u(x,y)$ فوق.

حالة متجانسة.

إذا كانت ثلاث كثيرات حدود $M(x,y)$ ، $L(x,y)$ و $N(x,y)$ تصادف أنها متجانسة و $M(x,y)$ مع $L(x,y)$ إذا كانت المعادلات من نفس الدرجة، فيمكن التعبير عن الحل الدقيق وإيجاده باستخدام التكاملات التربيعية. ^{[ 2 ]}

دل $\deg M=\deg L=k$ ، $\deg N=n$ .

في حالة، حيث $k-n=1$ ، مما يجعل المعادلة بأكملها متجانسة .

في أي حالة أخرى يتم استبدالها $y(x)=xt(x)$ يؤدي ذلك إلى معادلة من نوع برنولي على الدالة العكسية $x=x(t)$ .

منذ $M(x,y)$ ، $L(x,y)$ و $N(x,y)$ متجانسة بدرجات $k$ ، $k$ و $n$ على التوالي، توجد كثيرات الحدود $\mu (t)$ ، $\lambda (t)$ و $\nu (t)$ ، مثل

$M(x,y)=x^{k}\mu \left({\frac {y}{x}}\right)=x^{k}\mu (t)$ ، $L(x,y)=x^{k}\lambda \left({\frac {y}{x}}\right)=x^{k}\lambda (t)$ ، و $N(x,y)=x^{n}\nu \left({\frac {y}{x}}\right)=x^{n}\nu (t)$ .

يؤدي جمع كل شيء معًا إلى $xt'(x)={\frac {x^{n+1}t\nu (t)-x^{k}\mu (t)}{x^{n+1}\nu (t)-x^{k}\nu (t)}}-t={\frac {x^{k}{\big (}\lambda (t)-\mu (t){\big )}}{x^{n+1}\nu (t)-x^{k}\lambda (t)}}={\frac {\lambda (t)-\mu (t)}{x^{n+1-k}\nu (t)-\lambda (t)}}$ .

لو $k-n=1$ تكون المعادلة الناتجة قابلة للفصل ، بينما في أي حالة أخرى، وفقًا لقاعدة الدالة العكسية ،

$x'(t)+{\frac {\lambda (t)}{\lambda (t)-\mu (t)}}x(t)={\frac {\nu (t)}{\lambda (t)-\mu (t)}}{\big (}x(t){\big )}^{n+2-k}$ .

أما المعادلة الأخيرة فهي معادلة برنولي، والتي تكون قابلة للتكامل دائمًا في التربيعات.

معادلة داربو المعممة

تُسمى المعادلة التفاضلية معادلة داربو المعممة (المتجانسة) ^{[ 3 ]} إذا كانت على الشكل التالي:

$\phi \left({\frac {y}{x}}\right)dx+\psi \left({\frac {y}{x}}\right)dy+x^{k}\chi \left({\frac {y}{x}}\right)(xdy-ydx)=0$

حيث الدوال $\phi ({\frac {y}{x}})=\phi (t)$ ، $\psi ({\frac {y}{x}})=\psi (t)$ و $\chi ({\frac {y}{x}})=\chi (t)$ هي اعتباطية.

يمكن اختزالها إلى معادلة برنولي باتباع نفس النهج المذكور أعلاه. بالتعويض $y(x)=xt(x)$ يؤدي إلى المعادلة

${\big (}\phi (t)+t\psi (t){\big )}dx+{\big (}x\psi (t)+x^{k+2}\chi (t){\big )}dt=0$

أو بالشكل الصريح

$x'(t)+{\frac {\psi (t)}{\phi (t)+t\psi (t)}}x(t)+{\frac {\chi (t)}{\phi (t)+t\psi (t)}}{\big (}x(t){\big )}^{k+2}=0$

والتي تكون قابلة للفصل إذا $k=-2$ أو معادلة برنولي على $x=x(t)$ خلاف ذلك.

انظر أيضاً

مراجع

1 2 إنس، إدوارد ليندسي (1956). المعادلات التفاضلية العادية . كتب دوفر في الرياضيات المتقدمة. نيويورك: دوفر. ص 29-32 . ISBN 978-0-486-60349-0.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
1 2 "معادلة داربو - موسوعة الرياضيات" . encyclopediaofmath.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 15 مارس 2025 .
^ لوسيف ، ديمتري فيتاليفيتش (24 فبراير 2025). "Уравнения Якоби и Даrbу" [ المعادلات التفاضلية لجاكوبي ودربوكس ] . يوتيوب (فيديو) (بالروسية) . تم الاسترجاع 2025-03-16 .

[:0-1] 1 2 إنس، إدوارد ليندسي (1956). المعادلات التفاضلية العادية . كتب دوفر في الرياضيات المتقدمة. نيويورك: دوفر. ص 29-32 . ISBN 978-0-486-60349-0.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )

[:1-2] 1 2 "معادلة داربو - موسوعة الرياضيات" . encyclopediaofmath.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 15 مارس 2025 .

[3] لوسيف ، ديمتري فيتاليفيتش (24 فبراير 2025). "Уравнения Якоби и Даrbу" [ المعادلات التفاضلية لجاكوبي ودربوكس ] . يوتيوب (فيديو) (بالروسية) . تم الاسترجاع 2025-03-16 .

[ 3 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	15 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗