عامل التكامل

تُعد عوامل التكامل مفيدة لحل المعادلات التفاضلية العادية التي يمكن التعبير عنها بالشكل التالي:

${\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)}$

الفكرة الأساسية هي إيجاد دالة ما، على سبيل المثال${\displaystyle M(x)}$يُطلق عليه اسم "عامل التكامل"، والذي يمكننا ضربه في المعادلة التفاضلية لجعل الطرف الأيسر تحت مشتقة مشتركة. بالنسبة للمعادلة التفاضلية الخطية من الرتبة الأولى الموضحة أعلاه، فإن عامل التكامل هو${\displaystyle e^{\int P(x)\,dx}}$.

لاحظ أنه ليس من الضروري تضمين الثابت الاختياري في التكامل، أو القيم المطلقة في حالة تكامل${\displaystyle P(x)}$يتضمن ذلك استخدام اللوغاريتم. أولًا، نحتاج فقط إلى عامل تكامل واحد لحل المعادلة، وليس جميع العوامل الممكنة؛ ثانيًا، ستُحذف هذه الثوابت والقيم المطلقة حتى لو تم تضمينها. بالنسبة للقيم المطلقة، يمكن ملاحظة ذلك بكتابة${\displaystyle |f(x)|=f(x)\operatorname {sgn} f(x)}$، أين${\displaystyle \operatorname {sgn} }$يشير إلى دالة الإشارة ، والتي ستكون ثابتة على فترة إذا${\displaystyle f(x)}$متصل.${\displaystyle \ln |f(x)|}$غير مُعرَّف عندما${\displaystyle f(x)=0}$، وظهور اللوغاريتم في الدالة الأصلية فقط عندما تتضمن الدالة الأصلية لوغاريتمًا أو مقلوبًا (لا يتم تعريف أي منهما لـ 0)، ستكون هذه الفترة هي فترة صلاحية حلنا.

وللوصول إلى هذا، دع${\displaystyle M(x)}$ليكن عامل التكامل لمعادلة تفاضلية خطية من الدرجة الأولى بحيث يكون الضرب في${\displaystyle M(x)}$إذا حوّلنا تعبيرًا غير قابل للتكامل إلى مشتق قابل للتكامل، فإن:

1. ${\displaystyle M(x){\underset {\text{تعبير غير قابل للتكامل}}{(\underbrace {y'+P(x)y} )}}}$
2. ${\displaystyle M(x)y'+M(x)P(x)y}$
3. ${\displaystyle \underbrace {M(x)y'+M'(x)y} _{\text{مشتقة قابلة للتكامل}}}$

يتطلب الانتقال من الخطوة الثانية إلى الخطوة الثالثة ما يلي:${\displaystyle M(x)P(x)=M'(x)}$وهي معادلة تفاضلية قابلة للفصل ، وحلها ينتج${\displaystyle M(x)}$من ناحية${\displaystyle P(x)}$:

4. ${\displaystyle M(x)P(x)=M'(x)}$
5. ${\displaystyle P(x)={\frac {M'(x)}{M(x)}}}$
6. ${\displaystyle \int P(x)\,dx=\ln M(x)+c}$
7. ${\displaystyle M(x)=Ce^{\int P(x)\,dx}}$

وللتحقق، اضرب في${\displaystyle M(x)}$أعطِ

${\displaystyle M(x)y'+P(x)M(x)y=Q(x)M(x)}$

بتطبيق قاعدة الضرب عكسيًا، نرى أن الطرف الأيسر يمكن التعبير عنه كمشتقة واحدة في${\displaystyle x}$

${\displaystyle M(x)y'+P(x)M(x)y=M(x)y'+M'(x)y={\frac {d}{dx}}(M(x)y)}$

نستخدم هذه الحقيقة لتبسيط تعبيرنا إلى

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(M(x)y\right)=Q(x)M(x)}$

دمج كلا الجانبين فيما يتعلق بـ${\displaystyle x}$

${\displaystyle Ce^{\int P(x)\,dx}y=\int Q(x)Ce^{\int P(x)\,dx}dx}$

${\displaystyle e^{\int P(x)\,dx}y=\left(\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx\right)+C}$

أين${\displaystyle C}$ثابت.

بنقل الدالة الأسية إلى الجانب الأيمن، يكون الحل العام للمعادلة التفاضلية العادية هو:

${\displaystyle y=e^{-\int P(x)\,dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx\right)+Ce^{-\int P(x)\,dx}}$

في حالة المعادلة التفاضلية المتجانسة ،${\displaystyle Q(x)=0}$والحل العام للمعادلة التفاضلية العادية هو:

${\displaystyle y=Ce^{-\int P(x)\,dx}}$.

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك المعادلة التفاضلية

${\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=0.}$

يمكننا أن نرى ذلك في هذه الحالة${\displaystyle P(x)={\frac {-2}{x}}}$

${\displaystyle M(x)=e^{\int _{1}^{x}P(x)dx}}$

${\displaystyle M(x)=e^{\int _{1}^{x}{\frac {-2}{x}}\,dx}=e^{-2\ln x}={\left(e^{\ln x}\right)}^{-2}=x^{-2}}$

${\displaystyle M(x)={\frac {1}{x^{2}}}.}$

بضرب كلا الطرفين في${\displaystyle M(x)}$نحصل على

${\displaystyle {\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0}$

يمكن إعادة كتابة المعادلة أعلاه على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {d(x^{-2}y)}{dx}}=0}$

بإجراء التكامل على كلا الطرفين بالنسبة إلى x نحصل على

${\displaystyle x^{-2}y=C}$

أو

${\displaystyle y=Cx^{2}}$

ويمكن تحقيق النتيجة نفسها باستخدام النهج التالي

${\displaystyle {\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {y'x^{3}-2x^{2}y}{x^{5}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {x(y'x^{2}-2xy)}{x^{5}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {y'x^{2}-2xy}{x^{4}}}=0.}$

عكس قاعدة القسمة يعطي

${\displaystyle \left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0}$

أو

${\displaystyle {\frac {y}{x^{2}}}=C,}$

أو

${\displaystyle y=Cx^{2}.}$

أين${\displaystyle C}$ثابت.

يمكن تعميم طريقة عوامل التكامل لمعادلات الرتبة الأولى بشكل طبيعي لتشمل معادلات الرتبة الثانية أيضًا. كان الهدف الرئيسي من حل معادلات الرتبة الأولى هو إيجاد عامل التكامل.${\displaystyle M(x)}$بحيث يكون الضرب${\displaystyle y'+p(x)y=h(x)}$بذلك سيؤتي ثماره${\displaystyle (M(x)y)'=M(x)h(x)}$وبعد ذلك، يتم دمجها وتقسيمها لاحقًا بواسطة${\displaystyle M(x)}$سيؤدي ذلك إلى${\displaystyle y}$بالنسبة للمعادلات التفاضلية الخطية من الدرجة الثانية، إذا أردنا${\displaystyle M(x)=e^{\int p(x)\,dx}}$لكي تعمل كعامل تكاملي، إذن

${\displaystyle (M(x)y)''=M(x)\left(y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y\right)=M(x)h(x)}$

وهذا يعني أن معادلة من الدرجة الثانية يجب أن تكون بالضبط على الصورة${\displaystyle y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=h(x)}$لكي يكون عامل التكامل قابلاً للاستخدام.

يمكن تعميم عوامل التكامل على أي رتبة، على الرغم من أن شكل المعادلة اللازمة لتطبيقها يصبح أكثر تحديدًا مع ازدياد الرتبة، مما يجعلها أقل فائدة للرتب من 3 فما فوق. الفكرة العامة هي اشتقاق الدالة${\displaystyle M(x)y}$${\displaystyle n}$مرات لـ${\displaystyle n}$معادلة تفاضلية من الرتبة n وجمع الحدود المتشابهة. سينتج عن ذلك معادلة على الصورة التالية:

${\displaystyle M(x)F\!\left(y,y',y'',\ldots ,y^{(n)}\right)}$

إذا كان${\displaystyle n}$معادلة من الدرجة n تتطابق مع الشكل${\displaystyle F\!\left(y,y',y'',\ldots ,y^{(n)}\right)}$يتم الحصول على ذلك بعد التفاضل${\displaystyle n}$في بعض الأحيان، يمكن ضرب جميع الحدود بعامل التكامل وإجراء التكامل${\displaystyle h(x)M(x)}$${\displaystyle n}$يتم ضرب المعادلة في عامل التكامل من كلا الجانبين للوصول إلى النتيجة النهائية.