معادلة ريكاتي

في الرياضيات ، تُعرف معادلة ريكاتي، بالمعنى الضيق، بأنها أي معادلة تفاضلية عادية من الدرجة الأولى تكون تربيعية في الدالة المجهولة. بعبارة أخرى، هي معادلة على الصورة التالية: $${\displaystyle y'(x)=q_{0}(x)+q_{1}(x)\,y(x)+q_{2}(x)\,y^{2}(x)}$$ أين${\displaystyle q_{0}(x)\neq 0}$و${\displaystyle q_{2}(x)\neq 0}$. لو${\displaystyle q_{0}(x)=0}$تتحول المعادلة إلى معادلة برنولي ، بينما إذا${\displaystyle q_{2}(x)=0}$تصبح المعادلة معادلة تفاضلية خطية عادية من الدرجة الأولى .

سُميت المعادلة نسبةً إلى جاكوبو ريكاتي (1676-1754). ^{[ 1 ]}

بشكل عام، يُستخدم مصطلح معادلة ريكاتي للإشارة إلى المعادلات المصفوفية التي تحتوي على حد تربيعي مماثل، والتي تظهر في كل من التحكم الخطي التربيعي الغاوسي في الزمن المستمر والزمن المتقطع . ويُشار إلى النسخة المستقرة (غير الديناميكية) من هذه المعادلات باسم معادلة ريكاتي الجبرية .

يمكن دائمًا تحويل معادلة ريكاتي غير الخطية إلى معادلة تفاضلية عادية خطية من الدرجة الثانية : ^{[ 2 ]} إذا${\displaystyle y'=q_{0}(x)+q_{1}(x)y+q_{2}(x)y^{2}}$ثم، أينما كان${\displaystyle q_{2}}$غير صفرية وقابلة للتفاضل، بالتعويض${\displaystyle v=yq_{2}}$، ثم

$${\displaystyle {\begin{aligned}v'&=(yq_{2})'\\[4pt]&=y'q_{2}+yq_{2}'\\&=\left(q_{0}+q_{1}y+q_{2}y^{2}\right)q_{2}+v{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}\\&=q_{0}q_{2}+\left(q_{1}+{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}\right)v+v^{2}\end{aligned}}}$$

والتي تحقق معادلة ريكاتي من الشكل${\displaystyle v'=v^{2}+R(x)v+S(x)}$، أين${\displaystyle S=q_{0}q_{2}}$و${\displaystyle R=q_{1}+{\tfrac {q_{2}'}{q_{2}}}}$.

الاستبدال${\displaystyle v=-{\tfrac {u'}{u}}}$وبناءً على ذلك${\displaystyle u}$يحقق المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة الثانية${\displaystyle u''-R(x)u'+S(x)u=0}$منذ

$${\displaystyle {\begin{aligned}v'&=-\left({\frac {u'}{u}}\right)'=-\left({\frac {u''}{u}}\right)+\left({\frac {u'}{u}}\right)^{2}\\[2pt]&=-\left({\frac {u''}{u}}\right)+v^{2}\end{aligned}}}$$

لهذا السبب.

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {u''}{u}}&=v^{2}-v'\\&=-S-Rv\\&=-S+R{\frac {u'}{u}}\end{aligned}}}$$

وبالتالي${\displaystyle u''-Ru'+Su=0}$.

ثم باستبدال الحلين لهذه المعادلة الخطية من الدرجة الثانية في التحويل ${\displaystyle y=-{\frac {u'}{q_{2}u}}=-q_{2}^{-1}\left[\log(u)\right]'}$ يكفي أن يكون لديك معرفة شاملة بالحل العام لمعادلة ريكاتي من خلال الصيغة: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle y=-q_{2}^{-1}\left[\log(c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2})\right]'.}$$

في التحليل المركب ، تظهر معادلة ريكاتي كمعادلة تفاضلية عادية غير خطية من الدرجة الأولى في المستوى المركب بالشكل ^{[ 4 ].}$${\displaystyle {\frac {dw}{dz}}=F(w,z)={\frac {P(w,z)}{Q(w,z)}},}$$ أين${\displaystyle P}$و${\displaystyle Q}$كثيرات الحدود في${\displaystyle w}$والوظائف التحليلية المحلية لـ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$، أي،${\displaystyle F}$هي دالة كسرية مركبة . المعادلة الوحيدة من هذا الشكل التي تنتمي إلى نوع بانليفيه هي معادلة ريكاتي. $${\displaystyle {\frac {dw(z)}{dz}}=A_{0}(z)+A_{1}(z)w+A_{2}(z)w^{2},}$$ أين${\displaystyle A_{i}(z)}$هي دوال (ربما مصفوفية) لـ${\displaystyle z}$.

للتطابق بين معادلات ريكاتي والمعادلات التفاضلية الخطية من الرتبة الثانية نتائج أخرى. على سبيل المثال، إذا عُرف حل واحد لمعادلة تفاضلية من الرتبة الثانية، فمن المعروف أنه يمكن الحصول على حل آخر بالتكامل العددي، أي بالتكامل البسيط. وينطبق الأمر نفسه على معادلة ريكاتي. في الواقع، إذا أمكن إيجاد حل معين y _{= 1 ، يُمكن الحصول على الحل العام على النحو التالي:}$${\displaystyle y=y_{1}+u}$$ الاستبدال $${\displaystyle y_{1}+u}$$ ينتج عن معادلة ريكاتي $${\displaystyle y_{1}'+u'=q_{0}+q_{1}\cdot (y_{1}+u)+q_{2}\cdot (y_{1}+u)^{2},}$$ ومنذ ذلك الحين $${\displaystyle y_{1}'=q_{0}+q_{1}\,y_{1}+q_{2}\,y_{1}^{2},}$$ ويترتب على ذلك أن $${\displaystyle u'=q_{1}\,u+2\,q_{2}\,y_{1}\,u+q_{2}\,u^{2}}$$ أو $${\displaystyle u'-(q_{1}+2\,q_{2}\,y_{1})\,u=q_{2}\,u^{2},}$$ وهي معادلة برنولي . والتعويض اللازم لحل هذه المعادلة هو $${\displaystyle z={\frac {1}{u}}}$$ الاستبدال $${\displaystyle y=y_{1}+{\frac {1}{z}}}$$ يؤدي إدخالها مباشرة في معادلة ريكاتي إلى المعادلة الخطية $${\displaystyle z'+(q_{1}+2\,q_{2}\,y_{1})\,z=-q_{2}}$$ تُعطى مجموعة من حلول معادلة ريكاتي على النحو التالي $${\displaystyle y=y_{1}+{\frac {1}{z}}}$$ حيث z هو الحل العام للمعادلة الخطية المذكورة أعلاه .

• منظم خطي تربيعي
• معادلة ريكاتي الجبرية
• التحكم الخطي التربيعي الغاوسي

• هيل، إينار (1997) [1976]، المعادلات التفاضلية العادية في المجال المركب ، نيويورك: منشورات دوفر، ISBN 0-486-69620-0
• نهاري ، زئيف (1975) [1952]، رسم الخرائط المطابقة ، نيويورك: منشورات دوفر، ISBN 0-486-61137-X
• بوليانين، أندريه د.؛ زايتسيف، فالنتين ف. (2003)، دليل الحلول الدقيقة للمعادلات التفاضلية العادية (  الطبعة الثانية)، بوكا راتون، فلوريدا: تشابمان آند هول/سي آر سي، رقم ISBN 1-58488-297-2
• زيلكين، ميخائيل إي. (2000)، الفضاءات المتجانسة ومعادلة ريكاتي في حساب التفاضل والتكامل ، برلين: سبرينغر-فيرلاغ
• ريد، ويليام ت. (1972)، المعادلات التفاضلية لريكاتي ، لندن: أكاديميك برس

• "معادلة ريكاتي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
• معادلة ريكاتي في موقع EqWorld: عالم المعادلات الرياضية.
• معادلة ريكاتي التفاضلية في موقع ماث وورلد
• دالة MATLAB لحل معادلة ريكاتي الجبرية ذات الزمن المستمر.
• يحتوي SciPy على وظائف لحل معادلة ريكاتي الجبرية المستمرة ومعادلة ريكاتي الجبرية المنفصلة .