موجة دوبيشيز

تُعدّ موجات دوبيشيز ، المستندة إلى أعمال إنغريد دوبيشيز ، عائلة من الموجات المتعامدة التي تُعرّف تحويلًا موجيًا منفصلًا ، وتتميز بأقصى عدد من العزوم المتلاشية ضمن نطاق معين . ولكل نوع من أنواع الموجات في هذه الفئة، توجد دالة قياس (تُسمى الموجة الأم ) تُولّد تحليلًا متعامدًا متعدد الدقة .

بشكل عام، تُختار موجات دوبيشيز بحيث يكون لها أكبر عدد من العزوم المتلاشية (A )، (وهذا لا يعني بالضرورة أفضل سلاسة) لعرض نطاق معين (عدد المعاملات) 2A . [ ^{1 ] يوجد} نظامان للتسمية: D_N باستخدام الطول أو عدد النقرات ، وdb_A بالإشارة إلى عدد العزوم المتلاشية. لذا، فإن D₄ وdb₂ هما نفس تحويل الموجة.

من بين الحلول الممكنة البالغ ^{عددها 2A⁻¹} للمعادلات الجبرية لشروط العزم والتعامد، يُختار الحل الذي يتميز مرشح القياس الخاص به بطور متطرف. كما أن تحويل المويجات سهل التطبيق عمليًا باستخدام تحويل المويجات السريع . وتُستخدم مويجات دوبيشيز على نطاق واسع في حل مجموعة متنوعة من المسائل، مثل خصائص التشابه الذاتي للإشارة أو مسائل الفراكتلات ، وانقطاعات الإشارة، وما إلى ذلك.

لا تُعرَّف موجات دوبيشيز بدلالة دوال القياس والموجات الناتجة؛ بل في الواقع، لا يمكن كتابتها بصيغة مغلقة . تم توليد الرسوم البيانية أدناه باستخدام خوارزمية التتالي ، وهي تقنية عددية تتكون من تحويل [1 0 0 0 0 ...] عكسيًا عددًا مناسبًا من المرات.

وظائف القياس والمويجات
سعات أطياف التردد للدوال المذكورة أعلاه

لاحظ أن الأطياف المعروضة هنا ليست استجابة التردد لمرشحات التمرير العالي والمنخفض، بل هي سعات تحويلات فورييه المستمرة لوظائف القياس (الأزرق) والمويجات (الأحمر).

تُستخدم موجات دوبيشيز المتعامدة D2–D20 وdb1–db10 على التوالي بشكل شائع. تحتوي كل موجة على عدد من العزوم الصفرية أو العزوم المتلاشية يساوي نصف عدد المعاملات. على سبيل المثال، تحتوي D2 على عزم متلاشٍ واحد، وD4 على عزمين، وهكذا. يحدّ العزم المتلاشي من قدرة الموجات على تمثيل السلوك متعدد الحدود أو المعلومات في الإشارة. على سبيل المثال، تُشفّر D2، بعزمها المتلاشي الواحد، بسهولة متعددات الحدود ذات المعامل الواحد، أو مكونات الإشارة الثابتة. تُشفّر D4 متعددات الحدود ذات المعاملين، أي مكونات الإشارة الثابتة والخطية؛ وتُشفّر D6 متعددات الحدود من الدرجة الثالثة، أي مكونات الإشارة الثابتة والخطية والتربيعية . مع ذلك، فإن هذه القدرة على تشفير الإشارات تخضع لظاهرة تسرب المقياس ، وعدم ثبات الإزاحة، واللذان ينشآن من عملية الإزاحة المنفصلة (المذكورة أدناه) أثناء تطبيق التحويل. تُعامل المتتاليات الفرعية التي تُمثل مكونات الإشارة الخطية أو التربيعية (على سبيل المثال) بشكل مختلف بواسطة التحويل، وذلك اعتمادًا على ما إذا كانت النقاط تتوافق مع مواقع ذات أرقام زوجية أو فردية في المتتالية. وقد أدى غياب خاصية الثبات تحت الإزاحة ، وهي خاصية مهمة، إلى تطوير العديد من الإصدارات المختلفة لتحويل المويجات الثابت تحت الإزاحة (المنفصل) .

سيتم هنا تطبيع كل من متتالية القياس (مرشح تمرير منخفض) ومتتالية المويجات (مرشح تمرير نطاقي) (انظر المويجات المتعامدة لمزيد من التفاصيل حول هذا التركيب) بحيث يكون مجموعهما مساويًا لـ 2 ومجموع مربعاتهما مساويًا لـ 2. في بعض التطبيقات، يتم تطبيعهما بحيث يكون مجموعهما مساويًا لـ 2.${\displaystyle {\sqrt {2}}}$، بحيث تكون كلتا المتتاليتين وجميع إزاحاتهما بعدد زوجي من المعاملات متعامدة مع بعضها البعض.

باستخدام التمثيل العام لتسلسل قياس تحويل المويجات المنفصلة المتعامدة من رتبة التقريب A ،

${\displaystyle a(Z)=2^{1-A}(1+Z)^{A}p(Z),}$

بفرض أن N = 2A ، وأن معاملات p حقيقية، و p (1) = 1، و deg( p )  = A − 1، يمكن كتابة شرط التعامد على النحو التالي:   

${\displaystyle a(Z)a\left(Z^{-1}\right)+a(-Z)a\left(-Z^{-1}\right)=4,}$

أو على نحو مماثل

${\displaystyle (2-X)^{A}P(X)+X^{A}P(2-X)=2^{A}\qquad (*),}$

باستخدام متعددة الحدود لوران

${\displaystyle X:={\frac {1}{2}}\left(2-ZZ^{-1}\right)}$

توليد جميع المتتاليات المتناظرة و${\displaystyle X(-Z)=2-X(Z).}$علاوة على ذلك، يرمز P ( X ) إلى متعددة الحدود المتناظرة لوران

${\displaystyle P(X(Z))=p(Z)p\left(Z^{-1}\right).}$

منذ

${\displaystyle X(e^{iw})=1-\cos(w)}$

${\displaystyle p(e^{iw})p(e^{-iw})=|p(e^{iw})|^{2}}$

تأخذ P قيمًا غير سالبة على القطعة [0,2].

للمعادلة (*) حل أدنى واحد لكل قيمة A ، والذي يمكن الحصول عليه عن طريق القسمة في حلقة متسلسلات القوى المقتطعة في X.

${\displaystyle P_{A}(X)=\sum _{k=0}^{A-1}{\binom {A+k-1}{A-1}}2^{-k}X^{k}.}$

من الواضح أن هذا له قيم موجبة على (0،2).

المعادلة المتجانسة لـ (*) متناظرة عكسيًا حول X = 1، وبالتالي لها الحل العام

${\displaystyle X^{A}(X-1)R\left((X-1)^{2}\right),}$

حيث R دالة متعددة الحدود ذات معاملات حقيقية. يكون المجموع

${\displaystyle P(X)=P_{A}(X)+X^{A}(X-1)R\left((X-1)^{2}\right)}$

يُترجم كون P غير سالب على الفترة [0,2] إلى مجموعة من القيود الخطية على معاملات R. وتكون قيم P على الفترة [0,2] محدودة بكمية معينة.${\displaystyle 4^{Ar},}$إن تعظيم قيمة r يؤدي إلى برنامج خطي يحتوي على عدد لا نهائي من شروط عدم المساواة.

لحل

${\displaystyle P(X(Z))=p(Z)p\left(Z^{-1}\right)}$

بالنسبة لـ p ، تُستخدم تقنية تُسمى التحليل الطيفي أو خوارزمية فيجير-ريز. تنقسم متعددة الحدود P ( X ) إلى عوامل خطية

${\displaystyle P(X)=(X-\mu _{1})\cdots (X-\mu _{N}),\qquad N=A+1+2\deg(R).}$

يمثل كل عامل خطي متعدد حدود لوران

${\displaystyle X(Z)-\mu =-{\frac {1}{2}}Z+1-\mu -{\frac {1}{2}}Z^{-1}}$

يمكن تحليل ذلك إلى عاملين خطيين. يمكن إسناد أيٍّ من هذين العاملين الخطيين إلى p ( Z )، وبالتالي نحصل على ^2N حلاً ممكناً. بالنسبة للطور المتطرف، نختار الحل الذي تقع جميع جذوره المركبة لـ p ( Z ) داخل دائرة الوحدة أو عليها، وبالتالي يكون حقيقياً.

في تحويل دوبيشيز الموجي، يُستخدم زوج من المرشحات الخطية. يجب أن يكون كل مرشح من الزوج مرشح مرآة تربيعية . يتم حساب معامل المرشح الخطي.${\displaystyle c_{i}}$يؤدي استخدام خاصية مرشح المرآة التربيعية إلى الحل التالي لقيم معاملات المرشح من الرتبة 4.

${\displaystyle c_{0}={\frac {1+{\sqrt {3}}}{4{\sqrt {2}}}},\quad c_{1}={\frac {3+{\sqrt {3}}}{4{\sqrt {2}}}},\quad c_{2}={\frac {3-{\sqrt {3}}}{4{\sqrt {2}}}},\quad c_{3}={\frac {1-{\sqrt {3}}}{4{\sqrt {2}}}}.}$

فيما يلي معاملات دوال القياس لـ D2-20. تُشتق معاملات الموجة الصغيرة بعكس ترتيب معاملات دوال القياس ، ثم عكس إشارة كل معامل ثانٍ (أي موجة D4 الصغيرة).${\displaystyle \approx }${−0.1830127, −0.3169873, 1.1830127, −0.6830127}). رياضياً، يبدو هذا كالتالي${\displaystyle b_{k}=(-1)^{k}a_{N-1-k}}$حيث k هو دليل المعامل، وb هو معامل متسلسلة المويجات، و a هو معامل متسلسلة القياس. N هو دليل المويجات، أي 2 لـ D2.

كما تُستخدم أجزاء من البناء لاستخلاص موجات كوهين-دوبيشيز-فيوفو ثنائية التعامد (CDFs).

بينما تدعم برامج مثل Mathematica موجات دوبيشيز مباشرةً ^{[ 2 ]،} يُمكن تطبيقها بشكلٍ أساسي في MATLAB (في هذه الحالة، دوبيشيز 4). يستخدم هذا التطبيق التقسيم الدوري لمعالجة مشكلة الإشارات ذات الطول المحدود. تتوفر طرق أخرى أكثر تطورًا، ولكن غالبًا لا يكون استخدامها ضروريًا لأنها تؤثر فقط على طرفي الإشارة المُحوّلة. يتم إنجاز التقسيم الدوري في التحويل الأمامي مباشرةً باستخدام ترميز المتجهات في MATLAB، وفي التحويل العكسي باستخدام الدالة circshift():

N = طول ( S )؛ جذر 3 = جذر ( 3 )؛ s_odd = S ( 1 : 2 : N - 1 )؛ s_even = S ( 2 : 2 : N )؛s = ( √3 + 1 ) * s_odd + ( 3 + √3 ) * s_even + ( 3 - √3 ) * [ s_odd ( 2 : N / 2 ); s_odd ( 1 )] + ( 1 - √3 ) * [ s_even ( 2 : N / 2 ); s_even ( 1 )]; d = ( 1 - √3 ) * [ s_odd ( N / 2 ); s_odd ( 1 : N / 2 - 1 )] + ( √3 - 3 ) * [ s_even ( N / 2 ); s_even ( 1 : N / 2 - 1 ) ] + ( 3 + √3 ) * s_odd + ( -1 - √3 ) * s_even s = s / ( 4 * √2 ) ) ; د = د / ( 4 * جذر ( 2 ));

d1 = d * (( sqrt ( 3 ) - 1 ) / sqrt ( 2 )); s2 = s * (( sqrt ( 3 ) + 1 ) / sqrt ( 2 )); s1 = s2 + انزياح الدائرة ( d1 , - 1 ); S ( 2 : 2 : N ) = d1 + sqrt ( 3 ) / 4 * s1 + ( sqrt ( 3 ) - 2 ) / 4 * إزاحة الدائرة ( s1 , 1 ) ؛ س ( 1 : 2 : ن - 1 ) = س1 - جذر ( 3 ) * س ( 2 : 2 : ن );

أظهر علي أكانسو في عام 1990 أن بنك مرشحات المرآة التربيعية الثنائية (Binomial QMF) مطابق لمرشح موجات دوبيشيز، وقد صُنِّف أداؤه ضمن أفضل حلول الفضاء الجزئي المعروفة من منظور معالجة الإشارات المتقطعة. ^{[ 3 ] [ 4 ]} وكان هذا امتدادًا للأعمال السابقة حول معامل ذي الحدين ومتعددات حدود هيرميت التي أدت إلى تطوير تحويل هيرميت المعدل (MHT) في عام 1987. ^{[ 5 ] [ 6 ]} تُعد دوال مربع المقدار لمرشحات Binomial-QMF الدوال الوحيدة المسطحة القصوى في صياغة تصميم QMF ثنائي النطاق لإعادة البناء المثالي (PR-QMF) المرتبطة بانتظام الموجات في المجال المستمر. ^{[ 7 ] [ 8 ]}

• لقد ثبتت فعالية تطبيق تحويل دوبيشيز الموجي كتقنية للعلامات المائية. يعمل هذا النهج بكفاءة في مجال تردد متعدد الدقة، مما يتيح دمج شعار رقمي مشفر في شكل رموز QR. ^{[ 9 ]}
• يمكن استخدام تقريب موجات دوبيشيز لتحليل سلوك شق غريفيث في انتشار موجات القص الأفقي المغناطيسي المرن غير الموضعي داخل شريط متجانس متساوي الخواص ذي سمك محدود وطول لانهائي. ^{[ 10 ]}
• يمكن أن تكون معاملات دوبيشيز السيبسترالية الموجية مفيدة في سياق الكشف عن مرض باركنسون. تُستخدم موجات دوبيشيز، المعروفة بكفاءتها في تحليل البيانات متعددة الدقة، لاستخلاص السمات السيبسترالية من بيانات الإشارات الصوتية. يمكن لهذه المعاملات الموجية أن تعمل كسمات تمييزية لتحديد الأنماط الدالة على مرض باركنسون بدقة، مما يوفر نهجًا جديدًا لمنهجيات التشخيص. ^{[ 11 ]}
• عندما يتعلق الأمر بتحليل واكتشاف الالتهاب الرئوي المكتسب من المجتمع، يمكن استخدام موجات دوبيشيز المعقدة لتحديد التفاصيل الدقيقة للمناطق المصابة بالالتهاب الرئوي في الرئتين المصابتين لإنتاج نتائج دقيقة. ^{[ 12 ]}
• تتضمن مشكلة التزييت المرن الهيدروديناميكي دراسة أنظمة التزييت التي يؤثر فيها تشوه الأسطح المتلامسة بشكل كبير على طبقة التزييت. يمكن لمويجات دوبيشيز معالجة التحديات المرتبطة بنمذجة ومحاكاة ظواهر التزييت المعقدة هذه بدقة. تسمح مويجات دوبيشيز باستكشاف أكثر تفصيلاً ودقة للتفاعلات بين مادة التزييت والأسطح المتلامسة. ^{[ 13 ]}
• تستطيع موجة دوبيشيز استخلاص تفاصيل وخصائص دقيقة من الإشارات الاهتزازية الصوتية، مما يوفر منهجًا تشخيصيًا شاملًا لتقييم حالة وأداء محركات الديزل في الحصادات. يُعد طيف موجة دوبيشيز أداة تحليلية فعّالة، تُمكّن الباحثين من تحديد الأنماط والشذوذات والبصمات المميزة ضمن الإشارات المرتبطة بحالات المحرك المختلفة. يُسهم هذا التحليل الطيفي المُفصّل في تعزيز دقة التقييمات التشخيصية، مما يُتيح فهمًا أدق للخصائص الاهتزازية والصوتية التي تُشير إلى سلامة المحرك أو المشكلات المحتملة. ^{[ 14 ]}
• من الناحية العملية، تُسهّل موجات دوبيشيز دراسة دقيقة للخصائص الزمنية والمكانية للموجات الديناميكية داخل المواد المرنة. يُمكّن هذا النهج من فهمٍ أدقّ لكيفية استجابة المواد الصلبة المرنة للظروف الديناميكية المتغيرة مع مرور الوقت. من المرجح أن يُسهم دمج موجات دوبيشيز في طريقة مجال الموجات المحدودة في توفير إطار تحليلي أكثر تنوعًا وقوة لدراسة الموجات الديناميكية العابرة في المواد الصلبة المرنة. ^{[ 15 ] [ 16 ]}
• يمكن صياغة مسألة منحنى براكيستوكرون والتعبير عنها كمسألة حسابية، مع التركيز على أهمية إيجاد المنحنى الأمثل الذي يقلل زمن الهبوط. وبإدخال موجات دوبيشيز في الإطار الرياضي، يمكن لدوال القياس المرتبطة بهذه الموجات أن تُنشئ تقريبًا للمنحنى الأمثل. وتُعد موجات دوبيشيز، بقدرتها على التقاط كلٍ من مكونات التردد العالي والمنخفض للدالة، أداةً أساسيةً في تحقيق تمثيلٍ مفصلٍ لمنحنى براكيستوكرون. ^{[ 17 ]}

• تحويل المويجات السريع

• إنجريد دوبيشيز: عشر محاضرات عن الموجات الصغيرة ، SIAM 1992.
• وقائع الندوة الأولى لمعهد نيوجيرسي للتكنولوجيا حول الموجات الصغيرة والنطاقات الفرعية والتحويلات، أبريل 1990.
• أكانسو، علي ن.؛ حداد، ريتشارد أ. (1992)، تحليل الإشارة متعددة الدقة: التحويلات، والنطاقات الفرعية، والمويجات ، بوسطن، ماساتشوستس: أكاديميك برس، ISBN 978-0-12-047141-6
• AN Akansu، بنوك المرشحات والمويجات في معالجة الإشارات: مراجعة نقدية ، وقائع SPIE اتصالات الفيديو و PACS للتطبيقات الطبية (ورقة مدعوة)، ص  330-341، المجلد 1977، برلين، أكتوبر 1993.
• كارلوس كابريلي، أورسولا مولتر : "التشابه الذاتي المعمم"، مجلة التحليل الرياضي والتطبيقات ، 230: 251-260، 1999.
• التنفيذ المادي للمويجات
• "موجات دوبيشيز" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994].
• آي. كابلان، تحويل الموجة D4 لدوبيشيز .
• جنسن؛ لا كور-هاربو (2001). تموجات في الرياضيات . برلين: سبرينغر. ص 157-160 . ISBN  3-540-41662-5أُرشف من المصدر الأصلي بتاريخ 2008-12-02 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2008-12-10 .
• جيان هونغ (جاكي) شين وجيلبرت سترانج ، التحليل التوافقي التطبيقي والحسابي ، 5 (3)، التقارب لمرشحات دوبيشيز، ووظائف القياس، والمويجات .