موجة هار

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 55 صور
الموسوعة الحرة

موجة هار

في الرياضيات، تُعرف موجة هار بأنها سلسلة من الدوال المُعاد قياسها ذات الشكل المربع، والتي تُشكل معًا عائلة أو أساسًا للموجات . يُشبه تحليل الموجات تحليل فورييه في كونه يسمح بتمثيل دالة مُستهدفة على فترة ما بدلالة أساس متعامد . تُعتبر سلسلة هار الآن أول أساس معروف للموجات، وتُستخدم على نطاق واسع كمثال تعليمي.

اقترح ألفريد هار متتالية هار عام 1909. [ 1 ] استخدم هار هذه الدوال لتقديم مثال على نظام متعامد معياري لفضاء الدوال القابلة للتكامل التربيعي على الفترة  [0، 1]. لم تظهر دراسة المويجات، ولا حتى مصطلح "المويجة"، إلا بعد ذلك بكثير. تُعرف مويجة هار،  كحالة خاصة من مويجة دوبيشيز ، أيضًا باسم Db1 .

تُعدّ موجة هار أبسط أنواع الموجات الممكنة. لكن عيبها التقني هو أنها غير متصلة ، وبالتالي غير قابلة للتفاضل . مع ذلك، قد تُشكّل هذه الخاصية ميزةً لتحليل الإشارات ذات التحولات المفاجئة ( الإشارات المنفصلة )، مثل مراقبة أعطال الأدوات في الآلات. [ 2 ]

دالة الموجة الأم لمويجة هارψ(ت){\displaystyle \psi (t)}يمكن وصفها بأنها

ψ(ت)={10≤ت<12،-112≤ت<1،0خلاف ذلك.{\displaystyle \psi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<{\frac {1}{2}},\\-1&{\frac {1}{2}}\leq t<1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}

دالة القياس الخاصة بهاφ(ت){\displaystyle \varphi (t)}يمكن وصفها بأنها

φ(ت)={10≤ت<1،0خلاف ذلك.{\displaystyle \varphi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}

وظائف هار ونظام هار

لكل زوج من الأعداد الصحيحة n و k فيZ{\displaystyle \mathbb {Z} }دالة هار ψ n , k معرفة على خط الأعداد الحقيقيةR{\displaystyle \mathbb {R} }وفقًا للصيغة

ψن،ك(ت)=2ن/2ψ(2نت-ك)،ت∈R.{\displaystyle \psi _{n,k}(t)=2^{n/2}\psi (2^{n}tk),\quad t\in \mathbb {R} .}

هذه الدالة مدعومة على الفترة المفتوحة من اليمين I n , k = [ k 2 − n , ( k +1)2 − n ) ، أي أنها تتلاشى خارج تلك الفترة. ولها تكامل يساوي صفرًا ومعيار يساوي 1 في فضاء هيلبرت L 2 (  R{\displaystyle \mathbb {R} }) ،

∫Rψن،ك(ت)دت=0،‖ψن،ك‖ل2(R)2=∫Rψن،ك(ت)2دت=1.\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\psi _{n,k}(t)\,dt=0,\quad \|\psi _{n,k}\|_{L^{2}(\mathbb {R} )}^{2}=\int _{\mathbb {R} }\psi _{n,k}(t)^{2}\,dt=1.}

دوال هار متعامدة بشكل زوجي ،

∫Rψن1،ك1(ت)ψن2،ك2(ت)دت=دلتان1ن2دلتاك1ك2،{\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\psi _{n_{1},k_{1}}(t)\psi _{n_{2},k_{2}}(t)\,dt=\delta _{n_{1}n_{2}}\delta _{k_{1}k_{2}},}

أيندلتاأناج{\displaystyle \delta _{ij}}يمثل دلتا كرونكر . إليك سبب التعامد: عندما تكون الفترتان الداعمتانأنان1،ك1{\displaystyle I_{n_{1},k_{1}}}وأنان2،ك2{\displaystyle I_{n_{2},k_{2}}}إذا لم تكن متساوية، فإما أن تكون منفصلة، ​​أو أن تكون الدعامة الأصغر من بين الدعامتين، على سبيل المثالأنان1،ك1{\displaystyle I_{n_{1},k_{1}}}، تقع في النصف السفلي أو العلوي من الفترة الأخرى، التي تقع عليها الدالةψن2،ك2{\displaystyle \psi _{n_{2},k_{2}}}يبقى ثابتًا. ويترتب على ذلك في هذه الحالة أن حاصل ضرب هاتين الدالتين من دوال هار هو مضاعف للدالة الأولى من دوال هار، وبالتالي فإن حاصل الضرب يساوي  صفرًا صحيحًا.

نظام هار على الخط الحقيقي هو مجموعة الدوال

{ψن،ك(ت):ن∈Z،ك∈Z}.{\displaystyle \{\psi _{n,k}(t)\;:\;n\in \mathbb {Z} ,\;k\in \mathbb {Z} \}.}

وهي مكتملة في المستوى الثاني (L2 )R{\displaystyle \mathbb {R} }): نظام هار على الخط هو أساس متعامد في L 2 (R{\displaystyle \mathbb {R} }).

خصائص موجة هار

تتمتع موجة هار بعدة خصائص ملحوظة:

  1. يمكن تقريب أي دالة حقيقية متصلة ذات دعم مضغوط بشكل منتظم بواسطة تركيبات خطية منφ(ت)،φ(2ت)،φ(4ت)،...،φ(2نت)،...{\displaystyle \varphi (t)،\varphi (2t)،\varphi (4t)،\dots،\varphi (2^{n}t)،\dots }ووظائفها المُزاحة. ويمتد هذا إلى فضاءات الدوال التي يمكن فيها تقريب أي دالة فيها بواسطة دوال متصلة.
  2.  يمكن تقريب أي دالة حقيقية متصلة على الفترة [0، 1] بشكل منتظم على الفترة [0،  1] بواسطة تركيبات خطية للدالة الثابتة 1 ، ψ(ت)،ψ(2ت)،ψ(4ت)،...،ψ(2نت)،...{\displaystyle \psi (t),\psi (2t),\psi (4t),\dots ,\psi (2^{n}t),\dots }ووظائفها المتغيرة. [ 3 ]
  3. التعامد في شكل
    ∫-∞∞2(ن+ن1)/2ψ(2نت-ك)ψ(2ن1ت-ك1)دت=دلتانن1دلتاكك1.{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }2^{(n+n_{1})/2}\psi (2^{n}tk)\psi (2^{n_{1}}t-k_{1})\,dt=\delta _{nn_{1}}\delta _{kk_{1}}.}
    هنا،دلتاأناج{\displaystyle \delta _{ij}}يمثل دلتا كرونكر . الدالة الثنائية لـ ψ( t ) هي ψ( t ) نفسها.
  4. توجد علاقة وظيفية بين دوال المويجات/التحجيم ذات المقاييس المختلفة n : [ 4 ] بما أن
    φ(ت)=φ(2ت)+φ(2ت-1)ψ(ت)=φ(2ت)-φ(2ت-1)،{\displaystyle {\begin{محاذاة}\varphi (t)&=\varphi (2t)+\varphi (2t-1)\\[.2em]\psi (t)&=\varphi (2t)-\varphi (2t-1)،\end{محاذاة}}}

    ويترتب على ذلك أنه يمكن حساب معاملات المقياس n من خلال معاملات المقياس n+1 : إذاχw(ك،ن)=2ن/2∫-∞∞x(ت)φ(2نت-ك)دت{\displaystyle \chi _{w}(k,n)=2^{n/2}\int _{-\infty}^{\infty}x(t)\varphi (2^{n}tk)\,dt} وXw(ك،ن)=2ن/2∫-∞∞x(ت)ψ(2نت-ك)دت{\displaystyle \mathrm {X} _{w}(k,n)=2^{n/2}\int _{-\infty}^{\infty}x(t)\psi (2^{n}tk)\,dt} ثم

    χw(ك،ن)=2-1/2(χw(2ك،ن+1)+χw(2ك+1،ن+1)){\displaystyle \chi _{w}(k,n)=2^{-1/2}{\bigl (}\chi _{w}(2k,n+1)+\chi _{w}(2k+1,n+1){\bigr )}}
    Xw(ك،ن)=2-1/2(χw(2ك،ن+1)-χw(2ك+1،ن+1)).{\displaystyle \mathrm {X} _{w}(k,n)=2^{-1/2}{\bigl (}\chi _{w}(2k,n+1)-\chi _{w}(2k+1,n+1){\bigr )}.}

في هذا القسم، يقتصر النقاش على الفترة [0،  1] وعلى دوال هار التي تدعمها هذه الفترة  . يتألف نظام الدوال الذي درسه هار عام 1910، [ 5 ] والذي يُسمى في هذه المقالة نظام هار على [0،  1] ، من مجموعة فرعية من موجات هار المعرفة على النحو التالي:

{ت∈[0،1]↦ψن،ك(ت):ن،ك∈شمال∪{0}،0≤ك<2ن}،{\displaystyle \{t\in [0,1]\mapsto \psi _{n,k}(t)\;:\;n,k\in \mathbb {N} \cup \{0\},\;0\leq k<2^{n}\},}

مع إضافة الدالة الثابتة 1 على [0،  1].

من حيث فضاء هيلبرت ، فإن نظام هار هذا على [0،  1] هو نظام متعامد كامل، أي أساس متعامد ، للفضاء L 2 ([0،  1]) للدوال القابلة للتكامل التربيعي على فترة الوحدة.

يُعد نظام هار على الفترة [0,  1] - حيث تكون الدالة الثابتة 1 هي العنصر الأول، متبوعة بدوال هار مرتبة وفقًا للترتيب المعجمي للأزواج ( n , k ) - أساسًا شاودر رتيبًا للفضاء L p ([0, 1]) عندما يكون 1 ≤ p < ∞ . [ 6 ] ويكون هذا الأساس غير مشروط عندما يكون 1 < p < ∞ . [ 7 ] 

يوجد نظام رادماخر ذو صلة يتكون من مجاميع دوال هار،

رن(ت)=2-ن/2∑ك=02ن-1ψن،ك(ت)،ت∈[0،1]، ن≥0.{\displaystyle r_{n}(t)=2^{-n/2}\sum _{k=0}^{2^{n}-1}\psi _{n,k}(t),\quad t\in [0,1],\ n\geq 0.}

لاحظ أن | rn ( t )| = 1 على الفترة  [0,  1). هذا نظام متعامد معياري، ولكنه غير كامل. [ 8 ] [ 9 ] في لغة نظرية الاحتمالات ، تُعدّ متتالية رادماخر مثالًا على متتالية من متغيرات برنولي العشوائية المستقلة ذات المتوسط ​​0. تُعبّر متباينة خينتشين عن حقيقة أنه في جميع الفضاءات Lp ( [0, 1])، حيث 1 ≤ p < ∞ ، تكون متتالية رادماخر مكافئة لأساس متجه الوحدة في ℓ² . [ 10 ] على وجه الخصوص، فإن الامتداد الخطي المغلق لمتتالية رادماخر في Lp ([0, 1])، حيث 1 ≤ p < ∞ ، متماثل مع ℓ² .   

نظام فابر – شودر

نظام فابر - شاودر [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] هو عائلة من الدوال المتصلة على الفترة [0،  1]، تتكون من الدالة الثابتة 1 ، ومضاعفات التكاملات غير المحددة للدوال في نظام هار على الفترة [0، 1]، والتي تم اختيارها بحيث يكون معيارها 1 في المعيار الأقصى . يبدأ هذا النظام بـ s₀ = 1 ، ثم s₁ ( t ) = t هو التكامل غير المحدد الذي يتلاشى عند 0 للدالة 1 ، وهي العنصر الأول من نظام هار على الفترة [0، 1]. بعد ذلك، لكل عدد صحيح n ≥ 0 ، تُعرَّف الدوال sₙ , k بالصيغة التالية :         

sن،ك(ت)=21+ن/2∫0تψن،ك(u)دu،ت∈[0،1]، 0≤ك<2ن.{\displaystyle s_{n,k}(t)=2^{1+n/2}\int _{0}^{t}\psi _{n,k}(u)\,du,\quad t\in [0,1],\ 0\leq k<2^{n}.}

هذه الدوال s (n , k) متصلة، خطية على أجزاء ، ومُعرَّفة بالفترة I (n , k) التي تُعرَّف أيضًا بالدالة ψ (n , k) . تساوي الدالة s (n , k) واحدًا عند نقطة المنتصف x( n , k) للفترة I( n , k) ، وهي خطية على نصفي تلك الفترة. وتأخذ قيمًا بين 0 و 1 في كل مكان.    

نظام فابر - شاودر هو أساس شاودر للفضاء C ([0,  1]) للدوال المتصلة على [0,  1]. [ 6 ] لكل دالة f في C ([0, 1])، يكون المجموع الجزئي  

ون+1=أ0s0+أ1s1+∑م=0ن-1(∑ك=02م-1أم،كsم،ك)∈ج([0،1]){\displaystyle f_{n+1}=a_{0}s_{0}+a_{1}s_{1}+\sum _{m=0}^{n-1}{\Bigl (}\sum _{k=0}^{2^{m}-1}a_{m,k}s_{m,k}{\Bigr )}\in C([0,1])}

إنّ متسلسلة توسيع الدالة f في نظام فابر - شودر هي دالة خطية متصلة مجزأة تتطابق مع f عند النقاط k − n ، حيث 0 ≤ k ≤ 2n . بعد ذلك ، الصيغة 

ون+2-ون+1=∑ك=02ن-1(و(xن،ك)-ون+1(xن،ك))sن،ك=∑ك=02ن-1أن،كsن،ك// _ {ك = 0} ^ {2 ^ {ن} -1} أ_ {ن، ك} ق_ {ن، ك}}

تُتيح هذه الطريقة حساب مفكوك الدالة f خطوةً بخطوة. وبما أن f دالة متصلة بانتظام ، فإن المتتالية { fₙ } تتقارب بانتظام إلى f . ويترتب على ذلك أن مفكوك متسلسلة فابر - شاودر للدالة f يتقارب في C ([0,  1])، ومجموع هذه المتسلسلة يساوي f . 

نظام فرانكلين

يُستخلص نظام فرانكلين من نظام فابر - شودر باستخدام إجراء غرام - شميدت للتعامد المعياري . [ 14 ] [ 15 ] ولأن نظام فرانكلين له نفس المدى الخطي لنظام فابر - شودر، فإن هذا المدى كثيف في C ([0,  1])، وبالتالي في L² ([0, 1]). لذا ، يُعد نظام فرانكلين أساسًا متعامدًا معياريًا لـ L² ([0, 1] ) ، ويتكون من دوال خطية متصلة متقطعة. وقد أثبت بيير فرانكلين عام 1928 أن هذا النظام أساس شودر لـ C ([0, 1]). [ 16 ] كما يُعد نظام فرانكلين أساس شودر غير مشروط للفضاء Lₚ ( [0, 1]) عندما يكون 1 < p < ∞ . [ 17 ] ويوفر نظام فرانكلين أساس شودر في جبر القرص A ( D ). [ 17 ] وقد أثبت بوتشاريف ذلك في عام 1974، بعد أن ظل وجود أساس لجبر القرص غير معروف لأكثر من أربعين عامًا. [ 18 ]    

يتم بناء أساس شاودر في A ( D ) بواسطة بوتشاريف على النحو التالي: لتكن f دالة ليبشيتز ذات قيم مركبة على [0, π]؛ عندئذٍ تكون f مجموع متسلسلة جيب تمام ذات معاملات قابلة للجمع المطلق . ولتكن T ( f ) العنصر من A ( D ) المعرف بواسطة متسلسلة القوى المركبة ذات المعاملات نفسها.    

{و:x∈[0،π]→∑ن=0∞أنكوس⁡(نx)}⟶{تي(و):z→∑ن=0∞أنzن،|z|≤1}.{\displaystyle \left\{f:x\in [0,\pi ]\rightarrow \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\cos(nx)\right\}\longrightarrow \left\{T(f):z\rightarrow \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},\quad |z|\leq 1\right\}.}

تُشكّل أساسات بوتشاريف لـ A ( D ) من صور الدوال في نظام فرانكلين على [0, π] تحت تأثير T. يبدأ وصف بوتشاريف المكافئ للتطبيق T بتمديد f إلى دالة ليبشيتز زوجية g₁ على [ −π , π]، والتي تُعرّف بدالة ليبشيتز على دائرة الوحدة T. بعد ذلك، لنفترض أن g₂ هي الدالة المرافقة لـ g₁ ، ونُعرّف T ( f ) على أنها الدالة في A ( D ) التي تساوي قيمتها على حدود D ، T ، g₁ + ig₂ .           

عند التعامل مع الدوال المتصلة الدورية من الدرجة 1، أو بالأحرى مع الدوال المتصلة f على الفترة [0,  1] بحيث f (0) = f (1) ، يتم حذف الدالة s1 ( t ) = t من نظام فابر - شودر، للحصول على نظام فابر - شودر الدوري . ويُستنتج نظام فرانكلين الدوري من خلال التعامد المعياري لنظام فابر - شودر الدوري. [ 19 ] ويمكن إثبات نتيجة بوتشاريف على A ( D ) بإثبات أن نظام فرانكلين الدوري على الفترة [0, 2π] يُشكل أساسًا لفضاء باناخ A <sub>r </sub> المتماثل مع A ( D ). [ 19 ] ويتكون الفضاء A <sub>r</sub> من دوال متصلة مركبة على دائرة الوحدة T، ودالتها المرافقة متصلة أيضًا. 

مصفوفة هار

مصفوفة هار 2×2 المرتبطة بموجة هار هي

ح2=[111-1].{\displaystyle H_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}.}

باستخدام تحويل المويجات المنفصلة ، ​​يمكن تحويل أي متتالية(أ0،أ1،...،أ2ن،أ2ن+1){\displaystyle (a_{0},a_{1},\dots ,a_{2n},a_{2n+1})}تحويل العناصر ذات الطول الزوجي إلى سلسلة من متجهات مكونة من عنصرين((أ0،أ1)،(أ2،أ3)،...،(أ2ن،أ2ن+1)){\displaystyle \left(\left(a_{0},a_{1}\right),\left(a_{2},a_{3}\right),\dots ,\left(a_{2n},a_{2n+1}\right)\right)}إذا قام المرء بضرب كل متجه بالمصفوفة من اليمينح2{\displaystyle H_{2}}، ويحصل المرء على النتيجة((s0،د0)،...،(sن،دن)){\displaystyle \left(\left(s_{0},d_{0}\right),\dots ,\left(s_{n},d_{n}\right)\right)}في إحدى مراحل تحويل هار السريع للمويجات، يتم عادةً فصل المتتاليتين s و d ، ثم يُستكمل التحويل بالمتتالية s . تُعرف المتتالية s عادةً بجزء المتوسطات ، بينما تُعرف d بجزء التفاصيل . [ 20 ]

إذا كان لدينا سلسلة طولها من مضاعفات العدد أربعة، فيمكننا بناء كتل من 4 عناصر وتحويلها بطريقة مماثلة باستخدام مصفوفة هار 4×4

ح4=[111111-1-11-100001-1]،{\displaystyle H_{4}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&0&0\\0&0&1&-1\end{bmatrix}},}

والتي تجمع بين مرحلتين من تحويل هار-ويفليت السريع.

قارن ذلك بمصفوفة والش ، وهي مصفوفة غير موضعية 1/–1.

بشكل عام، يمكن اشتقاق مصفوفة هار 2N×2N من خلال المعادلة التالية.

ح2شمال=[حشمال⊗[1،1]أناشمال⊗[1،-1]]{\displaystyle H_{2N}={\begin{bmatrix}H_{N}\otimes [1,1]\\I_{N}\otimes [1,-1]\end{bmatrix}}}
أينأناشمال=[10...001...0⋮⋮⋱⋮00...1]{\displaystyle I_{N}={\begin{bmatrix}1&0&\dots &0\\0&1&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &1\end{bmatrix}}}و⊗{\displaystyle \otimes }هو منتج كرونيكر .

منتج كرونيكر​أ⊗ب{\displaystyle A\otimes B}، أينأ{\displaystyle A}هي مصفوفة من الرتبة m×n وب{\displaystyle B}هي مصفوفة ap×q، ويتم التعبير عنها على النحو التالي

أ⊗ب=[أ11ب...أ1نب⋮⋱⋮أم1ب...أمنب].{\displaystyle A\otimes B={\begin{bmatrix}a_{11}B&\dots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\dots &a_{mn}B\end{bmatrix}}.}

مصفوفة هار غير مُعَيَّرة ذات 8 نقاطح8{\displaystyle H_{8}}يظهر أدناه

ح8=[111111111111-1-1-1-111-1-10000000011-1-11-1000000001-1000000001-1000000001-1].{\displaystyle H_{8}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&1&-1&-1&0&0&0&0&\\0&0&0&0&1&1&-1&-1\\1&-1&0&0&0&0&0&0&\\0&0&1&-1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&-1&0&0&\\0&0&0&0&0&0&1&-1\end{bmatrix}}.}

لاحظ أن المصفوفة المذكورة أعلاه هي مصفوفة هار غير مُعَيَّرة. يجب تطبيع مصفوفة هار المطلوبة لتحويل هار.

من تعريف مصفوفة هارح{\displaystyle H}يمكن ملاحظة أنه على عكس تحويل فورييه ،ح{\displaystyle H}تحتوي فقط على عناصر حقيقية (أي 1 أو -1 أو 0) وهي غير متناظرة.

خذ مصفوفة هار ذات 8 نقاطح8{\displaystyle H_{8}}على سبيل المثال. الصف الأول منح8{\displaystyle H_{8}}يقيس القيمة المتوسطة، والصف الثاني منح8{\displaystyle H_{8}}يقيس هذا المقياس مكون التردد المنخفض لمتجه الإدخال. أما الصفان التاليان فيقيسان النصف الأول والثاني من متجه الإدخال على التوالي، وهو ما يتوافق مع مكونات التردد المتوسط. بينما تقيس الصفوف الأربعة المتبقية أجزاء متجه الإدخال الأربعة، وهو ما يتوافق مع مكونات التردد العالي. [ 21 ]

تحويل الشعر

يُعد تحويل هار أبسط تحويلات المويجات . يقوم هذا التحويل بضرب دالة ما في مويجة هار مع إزاحات وتمديدات مختلفة، كما يفعل تحويل فورييه عندما يضرب دالة ما في موجة جيبية ذات طورين وتمديدات متعددة. [ 22 ]

مقدمة

يُعد تحويل هار أحد أقدم دوال التحويل، وقد اقترحه عالم الرياضيات المجري ألفريد هار عام 1910. وقد أثبت فعاليته في تطبيقات مثل ضغط الإشارات والصور في الهندسة الكهربائية وهندسة الحاسوب، حيث يوفر أسلوبًا بسيطًا وفعالًا من حيث الحساب لتحليل الجوانب المحلية للإشارة.

يُشتق تحويل هار من مصفوفة هار. ويُعرض أدناه مثال على مصفوفة تحويل هار بحجم 4×4.

ح4=12[111111-1-12-200002-2]{\displaystyle H_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}

يمكن اعتبار تحويل هار بمثابة عملية أخذ عينات حيث تعمل صفوف مصفوفة التحويل كعينات ذات دقة أعلى فأعلى.

قارن مع تحويل والش ، وهو أيضًا 1/–1، ولكنه غير موضعي.

ملكية

يتمتع تحويل هار بالخصائص التالية

  1. لا حاجة لعمليات الضرب. يتطلب الأمر عمليات جمع فقط، ويحتوي مصفوفة هار على العديد من العناصر ذات القيمة الصفرية، لذا فإن وقت الحساب قصير. وهو أسرع من تحويل والش ، الذي تتكون مصفوفته من +1 و-1.
  2. طول المدخلات والمخرجات متساويان. ومع ذلك، يجب أن يكون الطول قوة للعدد 2، أيشمال=2ك،ك∈شمال{\displaystyle N=2^{k},k\in \mathbb {N} }.
  3. يمكن استخدامها لتحليل الخصائص الموضعية للإشارات. وبفضل خاصية التعامد لدالة هار، يمكن تحليل مكونات التردد لإشارة الإدخال.

تحويل هار وتحويل هار معكوس

تحويل هار y<sub> n</sub> لدالة x <sub> n </sub> ذات n مدخل هو

yن=حنxن{\displaystyle y_{n}=H_{n}x_{n}}

مصفوفة تحويل هار حقيقية ومتعامدة. وبالتالي، يمكن اشتقاق تحويل هار العكسي من المعادلات التالية.

ح=ح*،ح-1=حتي، أي ححتي=أنا{\displaystyle H=H^{*},H^{-1}=H^{T},{\text{ i.e. }}HH^{T}=I}
أينأنا{\displaystyle I}هي مصفوفة الوحدة . على سبيل المثال، عندما n = 4
ح4تيح4=12[112011-201-1021-10-2]⋅12[111111-1-12-200002-2]=[1000010000100001]{\displaystyle H_{4}^{T}H_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&{\sqrt {2}}&0\\1&1&-{\sqrt {2}}&0\\1&-1&0&{\sqrt {2}}\\1&-1&0&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}\cdot \;{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}

وهكذا، فإن تحويل هار معكوس هو

xن=حتيyن{\displaystyle x_{n}=H^{T}y_{n}}

مثال

معاملات تحويل هار لإشارة مكونة من 4 نقاطx4=[1،2،3،4]تي{\displaystyle x_{4}=[1,2,3,4]^{T}}يمكن العثور عليها على النحو التالي

y4=ح4x4=12[111111-1-12-200002-2][1234]=[5-2-1/2-1/2]{\displaystyle y_{4}=H_{4}x_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\\-2\\-1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}

يمكن بعد ذلك إعادة بناء إشارة الإدخال بشكل مثالي بواسطة تحويل هار العكسي

x4^=ح4تيy4=12[112011-201-1021-10-2][5-2-1/2-1/2]=[1234]{\displaystyle {\hat {x_{4}}}=H_{4}^{T}y_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&{\sqrt {2}}&0\\1&1&-{\sqrt {2}}&0\\1&-1&0&{\sqrt {2}}\\1&-1&0&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5\\-2\\-1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}}}

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ انظر ص. 361 في هار (1910) .
  2. ↑ لي، ب.؛ تارنغ، ي.س. (1999). "تطبيق تحويل المويجات المنفصلة لرصد أعطال الأدوات في عملية الطحن النهائي باستخدام تيار محرك المغزل". المجلة الدولية لتكنولوجيا التصنيع المتقدمة . 15 (4): 238-243 . doi : 10.1007/s001700050062 . S2CID 109908427 . 
  3. ↑ على عكس البيان السابق، فإن هذه الحقيقة ليست واضحة: انظر الصفحة 363 في هار (1910) .
  4. ↑ فيداكوفيتش، براني (2010). النمذجة الإحصائية باستخدام الموجات . سلسلة وايلي في الاحتمالات والإحصاء ( الطبعة الثانية). ص 60، 63. doi : 10.1002/9780470317020 . ISBN   9780470317020.
  5. ↑ ص 361 في هار (1910)
  6. 1 2 انظر ص. 3 في J. Lindenstrauss ، L. Tzafriri، (1977)، “Classical Banach Spaces I، Sequence Spaces”، Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 92 ، برلين: Springer-Verlag، ISBN 3-540-08072-4.
  7. ↑ ترجع النتيجة إلى RE Paley ، سلسلة رائعة من الوظائف المتعامدة (I) ، Proc. لندن الرياضيات. شركة نفط الجنوب. 34 (1931) ص 241-264. أنظر أيضا ص. 155 في J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, (1979)، "فضاءات باناخ الكلاسيكية II، مساحات الوظيفة". Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 97 ، برلين: Springer-Verlag، ISBN 3-540-08888-1.
  8. ↑ "النظام المتعامد" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
  9. ↑ والتر، جيلبرت ج.؛ شين، شياوبينغ (2001). المويجات وأنظمة متعامدة أخرى . بوكا راتون: تشابمان. ISBN 1-58488-227-1.
  10. ↑ انظر على سبيل المثال ص. 66 في J. Lindenstrauss ، L. Tzafriri، (1977)، “Classical Banach Spaces I، Sequence Spaces”، Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 92 ، برلين: Springer-Verlag، ISBN 3-540-08072-4.
  11. ^ فابر، جورج (1910)، “Über die Orthogonalfunktionen des Herrn Haar”، Deutsche Math.-Ver (بالألمانية) 19 : 104 – 112. ISSN 0012-0456 ؛ http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN37721857X ; http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002122553  
  12. ^ شودر ، يوليوس (1928) ، “Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems”، Mathematische Zeitschrift 28 : 317 – 320.
  13. ^ Golubov، BI (2001) [1994]، “نظام فابر شودر” ، موسوعة الرياضيات ، مطبعة EMS
  14. ^ انظر Z. Ciesielski، خصائص نظام فرانكلين المتعامد . دراسة الرياضيات. 23 1963 141-157.
  15. ↑ نظام فرانكلين. بي. آي. غولوبوف (المؤلف)، موسوعة الرياضيات. الرابط: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Franklin_system&oldid=16655
  16. ↑ فيليب فرانكلين، مجموعة من الدوال المتعامدة المتصلة ، حوليات الرياضيات 100 (1928)، 522-529. doi : 10.1007/BF01448860
  17. ١ ٢ س. ف. بوتشاريف، وجود أساس في فضاء الدوال التحليلية في القرص، وبعض خصائص نظام فرانكلين . مات. سب. ٩٥ (١٩٧٤)، ٣-١٨ (بالروسية). تُرجم في مات. يو إس إس آر-سب. ٢٤ (١٩٧٤)، ١-١٦.
  18. ↑ يظهر السؤال ص. 238، §3 في كتاب باناخ، ستيفان باناخ (1932)، Théorie des opérations linéaires ، Monografie Matematyczne، المجلد. 1، وارسو: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej، ZBL 0005.20901  . يظهر جبر القرص A ( D  ) كمثال 10، ص.  12 في كتاب باناش.
  19. ١ ٢ انظر الصفحة ١٦١، القسم الثالث د.٢٠ والصفحة ١٩٢، القسم الثالث هـ.١٧ في Wojtaszczyk، Przemysław (١٩٩١)، فضاءات باناخ للمحللين ، دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة، المجلد ٢٥، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج، الصفحات ١٤+٣٨٢، رقم ISBN   0-521-35618-0
  20. ↑ روش، ديفيد ك.؛ فان فليت، باتريك ج. (2009). نظرية الموجات: مدخل تمهيدي مع تطبيقات . جون وايلي وأولاده. ISBN 978-0-470-38840-2.
  21. ↑ "haar" . Fourier.eng.hmc.edu. 30 أكتوبر 2013. مؤرشف من الأصل في 21 أغسطس 2012. تم الاطلاع عليه في 23 نوفمبر 2013 .
  22. ↑ تحويل هار

مراجع

تحويل الشعر

  • كينغسبري، نيك. "تحول هار" . مؤرشف من الأصل في 19 أبريل 2006.
  • إيك، ديفيد (31 يناير 2006). "تطبيقات عرض تحويل هار" .
  • أيمز، جريج (7 ديسمبر 2002). "ضغط الصور" (ملف PDF) . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 25 يناير 2011.
  • آرون، آن؛ هيل، مايكل؛ سريفاتسا، أناند. "موسمات 500. مولد صور فسيفسائية. 2. النظرية" . مؤرشف من الأصل في 18 مارس 2008.
  • وانغ، روي (4 ديسمبر 2008). "تحول الشعر" . مؤرشف من الأصل في 21 أغسطس 2012.