حساب التفاضل والتكامل على الجبر التبادلي

في الرياضيات ، يُعدّ حساب التفاضل والتكامل على الجبر التبادلي جزءًا من الجبر التبادلي، ويستند إلى ملاحظة أن معظم المفاهيم المعروفة من حساب التفاضل والتكامل الكلاسيكي يُمكن صياغتها بعبارات جبرية بحتة. ومن أمثلة ذلك:

1. المعلومات الطوبولوجية الكاملة لمتشعب أملس${\displaystyle M}$يتم ترميزها في الخصائص الجبرية لـ${\displaystyle \mathbb {R} }$- جبر الدوال الملساء${\displaystyle A=C^{\infty }(M),}$كما هو الحال في نظرية باناش-ستون .
2. حزم المتجهات فوق${\displaystyle M}$تتوافق مع الوحدات النمطية المولدة نهائيًا الإسقاطية على${\displaystyle A,}$عن طريق الدالة${\displaystyle \Gamma }$الذي يرتبط بحزمة متجهة بوحدة أقسامها.
3. حقول المتجهات${\displaystyle M}$ترتبط بشكل طبيعي باشتقاقات الجبر${\displaystyle A}$.
4. وبشكل أعم، هو مؤثر تفاضلي خطي من الرتبة k، يرسل مقاطع من حزمة متجهة${\displaystyle E\rightarrow M}$إلى أجزاء من حزمة أخرى${\displaystyle F\rightarrow M}$يُنظر إليه على أنه${\displaystyle \mathbb {R} }$خريطة خطية${\displaystyle \Delta$ :\Gamma (E)\to \Gamma (F)} بين الوحدات المرتبطة، بحيث يكون لأي${\displaystyle k+1}$عناصر${\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{k}\in A}$:

$${\displaystyle \left[f_{k}\left[f_{k-1}\left[\cdots \left[f_{0},\Delta \right]\cdots \right]\right]\right]=0}$$ حيث القوس${\displaystyle [f,\Delta ]:\Gamma (E)\to \Gamma (F)}$يُعرَّف بأنه المبدل $${\displaystyle [f,\Delta ](s)=\Delta (f\cdot s)-f\cdot \Delta (s).}$$

يشير إلى مجموعة${\displaystyle k}$المؤثرات التفاضلية الخطية من الرتبة n ^من${\displaystyle A}$-وحدة${\displaystyle P}$إلى${\displaystyle A}$-وحدة${\displaystyle Q}$مع${\displaystyle \mathrm {Diff} _{k}(P,Q)}$نحصل على دالة ثنائية ذات قيم في فئة${\displaystyle A}$-الوحدات النمطية. ثم تُستخلص مفاهيم طبيعية أخرى في حساب التفاضل والتكامل، مثل فضاءات النفاثات والأشكال التفاضلية ، باعتبارها كائنات تمثل الدوال.${\displaystyle \mathrm {Diff} _{k}}$والدوال ذات الصلة.

من وجهة النظر هذه، يمكن فهم حساب التفاضل والتكامل في الواقع على أنه نظرية هذه الدوال والأشياء التي تمثلها.

استبدال الأرقام الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$مع أي حلقة تبديلية ، والجبر${\displaystyle C^{\infty }(M)}$مع أي جبر تبديلي، يظل ما سبق ذا معنى، وبالتالي يمكن تطوير حساب التفاضل والتكامل لأي جبر تبديلي. تُستخدم العديد من هذه المفاهيم على نطاق واسع في الهندسة الجبرية والهندسة التفاضلية وحساب التفاضل والتكامل الثانوي . علاوة على ذلك، تُعمم النظرية بشكل طبيعي لتشمل الجبر التبديلي المتدرج ، مما يسمح بتأسيس طبيعي لحساب التفاضل والتكامل على الفضاءات الفائقة والفضاءات المتدرجة والمفاهيم المرتبطة بها مثل تكامل بيريزين .

• حساب التفاضل والتكامل الثانوي والفيزياء الكوهومولوجية – تخصص حديث 
• الجبر التفاضلي – الدراسة الجبرية للمعادلات التفاضلية 
• طيف الخاتم – مجموعة المُثُل الأساسية للخاتم 

• J. Nestruev, Smooth Manifolds and Observables , Graduate Texts in Mathematics 220 , Springer, 2002.
• نيسترويف، جيت (10 سبتمبر 2020). المشعبات الملساء والكميات القابلة للرصد . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد  220. تشام، سويسرا: سبرينغر نيتشر . ISBN 978-3-030-45649-8. OCLC 1195920718 . 
• IS Krasil'shchik، "محاضرات حول المؤثرات التفاضلية الخطية على الجبر التبادلي". منشور إلكتروني DIPS-01/99 .
• IS Krasil'shchik, AM Vinogradov (eds) “Algebraic Aspects of Differential Calculus,” Acta Appl. Math. 49 (1997), Eprints: DIPS-01/96 , DIPS-02/96 , DIPS-03/96 , DIPS-04/96 , DIPS-05/96 , DIPS-06/96 , DIPS-07/96 , DIPS-08/96 .
• IS Krasil'shchik, AM Verbovetsky, "الأساليب المتجانسة في معادلات الفيزياء الرياضية"، Open Ed. and Sciences، أوبافا (جمهورية التشيك)، 1998؛ نسخة إلكترونية arXiv:math/9808130v2 .
• جي. سارداناشفيلي، محاضرات في الهندسة التفاضلية للوحدات والحلقات ، لامبرت للنشر الأكاديمي، 2012؛ نسخة إلكترونية arXiv:0910.1515 [math-ph] 137 صفحة.
• AM Vinogradov, "The Logic Algebra for the The The Lineal Differential Operators", Dokl. Akad. Nauk SSSR , 295 (5) (1972) 1025–1028; English translation. in Soviet Math. Dokl. 13 (4) (1972), 1058–1062.
• فينوغرادوف، أ.م. (2001). التحليل الكوهومولوجي للمعادلات التفاضلية الجزئية وحساب التفاضل والتكامل الثانوي . الجمعية الأمريكية للرياضيات. ISBN 9780821897997.
• AM Vinogradov, "بعض الأنظمة الهومولوجي الجديدة المرتبطة بحساب التفاضل والتكامل على الجبر التبادلي" (بالروسية)، Uspechi Mat.Nauk، 1979، 34 (6)، 145-150؛ الترجمة الإنجليزية في Russian Math. Surveys ، 34 (6) (1979)، 250-255.