الاشتقاق (الجبر التفاضلي)

في الرياضيات ، الاشتقاق هو دالة على جبر ما تعمم بعض خصائص عامل الاشتقاق . على وجه التحديد، بالنظر إلى جبر ما${\displaystyle A}$فوق حلقة أو حقل${\displaystyle K}$، أ${\displaystyle K}$الاشتقاق هو${\displaystyle K}$- خريطة خطية${\displaystyle D:A\to A}$الذي يفي بقانون لايبنتز :

${\displaystyle D(ab)=aD(b)+D(a)b.}$

وبشكل أعم، إذا${\displaystyle M}$هو${\displaystyle A}$- وحدة ثنائية ، أ${\displaystyle K}$خريطة خطية${\displaystyle D:A\to M}$يُطلق على ما يُحقق قانون لايبنتز اسم الاشتقاق. مجموعة جميع${\displaystyle K}$-مشتقات${\displaystyle A}$يُشار إلى نفسه بـ${\displaystyle \mathrm {Der} _{K}(A)}$مجموعة${\displaystyle K}$-مشتقات${\displaystyle A}$إلى${\displaystyle A}$-وحدة${\displaystyle M}$يُرمز إليه بـ${\displaystyle \mathrm {Der} _{K}(A,M)}$.

تُستخدم الاشتقاقات في سياقات عديدة ومختلفة في مجالات متنوعة من الرياضيات. المشتقة الجزئية بالنسبة لمتغير ما هي${\displaystyle \mathbb {R} }$الاشتقاق على جبر الدوال القابلة للتفاضل ذات القيم الحقيقية على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$مشتقة لي بالنسبة لحقل متجه هي${\displaystyle \mathbb {R} }$الاشتقاق على جبر الدوال القابلة للتفاضل على مشعب قابل للتفاضل ؛ وبشكل أعم، هو اشتقاق على جبر الموترات لمشعب. ويترتب على ذلك أن التمثيل المرافق لجبر لي هو اشتقاق على ذلك الجبر. مشتق بينشرلي مثال على الاشتقاق في الجبر المجرد . إذا كان الجبر${\displaystyle A}$إذا كانت غير تبديلية، فإن المبدل بالنسبة لعنصر من عناصر الجبر${\displaystyle A}$يُعرّف تشاكلًا خطيًا داخليًا لـ${\displaystyle A}$إلى نفسها، وهو اشتقاق على${\displaystyle K}$. إنه،

${\displaystyle [FG,N]=[F,N]G+F[G,N]\,,}$

أين${\displaystyle [\cdot ,N]}$هو المبدل بالنسبة إلى${\displaystyle N}$. الجبر${\displaystyle A}$مزود بأصل مميز${\displaystyle d}$يشكل جبرًا تفاضليًا ، وهو بحد ذاته موضوع دراسة مهم في مجالات مثل نظرية غالوا التفاضلية .

لو${\displaystyle A}$هو${\displaystyle K}$الجبر، لـ${\displaystyle K}$خاتم، و د :${\displaystyle A}$→${\displaystyle A}$هو${\displaystyle K}$-الاشتقاق، إذن

• لو${\displaystyle A}$إذا كان لديه وحدة واحدة، فـ${\displaystyle D(1)=D(1^{2})=2D(1)}$، لهذا السبب${\displaystyle D(1)=0}$وهكذا${\displaystyle K}$الخطية،${\displaystyle D(k)=0}$للجميع${\displaystyle k\in K}$.
• لو${\displaystyle A}$إذا كانت عملية تبادلية، فإن${\displaystyle D(x^{2})=xD(x)+D(x)x=2xD(x)}$، و${\displaystyle D(x^{n})=nx^{n-1}D(x)}$، وفقًا لقاعدة لايبنتز.
• وبشكل أعم، بالنسبة لأي${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\in A}$ويترتب على ذلك بالاستقراء أن

  ${\displaystyle D(x_{1}x_{2}\cdots x_{n})=\sum _{i}x_{1}\cdots x_{i-1}D(x_{i})x_{i+1}\cdots x_{n}}$

وهو${\displaystyle \textstyle \sum _{i}D(x_{i})\prod _{j\neq i}x_{j}}$إن كان ذلك للجميع${\displaystyle i}$،${\displaystyle D(x_{i})}$التنقل مع${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i-1}}$.

• ل${\displaystyle n>1}$،${\displaystyle D^{n}}$لا يُعدّ اشتقاقًا، بل يُلبي قاعدة لايبنيز من الدرجة الأعلى:

${\displaystyle D^{n}(uv)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cdot D^{nk}(u)\cdot D^{k}(v).}$

علاوة على ذلك، إذا${\displaystyle M}$هو${\displaystyle A}$-وحدة ثنائية، اكتب

${\displaystyle \operatorname {Der} _{K}(A,M)}$

لمجموعة${\displaystyle K}$-مشتقات من${\displaystyle A}$ل${\displaystyle M}$.

• ${\displaystyle \mathrm {Der} _{K}(A,M)}$هو وحدة نمطية فوق${\displaystyle K}$.
• ${\displaystyle \mathrm {Der} _{K}(A)}$هي جبر لي مع قوس لي معرف بواسطة المبدل :

${\displaystyle [D_{1},D_{2}]=D_{1}\circ D_{2}-D_{2}\circ D_{1}.}$

لأنه من السهل التحقق من أن مبدل اشتقاقين هو اشتقاق آخر.

• هناك${\displaystyle A}$-وحدة${\displaystyle \Omega _{A/K}}$(تسمى تفاضلات كاهلر ) مع${\displaystyle K}$-اشتقاق${\displaystyle d:A\to \Omega _{A/K}}$والتي من خلالها أي اشتقاق${\displaystyle D:A\to M}$العوامل. أي، لأي اشتقاق${\displaystyle D}$هناك${\displaystyle A}$خريطة الوحدة النمطية${\displaystyle \varphi }$مع

${\displaystyle D:A{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\Omega _{A/K}{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}M}$

المراسلات${\displaystyle D\leftrightarrow \varphi }$هو تماثل لـ${\displaystyle A}$-الوحدات النمطية:

${\displaystyle \operatorname {Der} _{K}(A,M)\simeq \operatorname {Hom} _{A}(\Omega _{A/K},M)}$

• لو${\displaystyle k\subset K}$إذا كانت حلقة فرعية ، فـ${\displaystyle A}$يرث${\displaystyle k}$بنية الجبر، لذلك يوجد تضمين

${\displaystyle \operatorname {Der} _{K}(A,M)\subset \operatorname {Der} _{k}(A,M),}$

منذ أي${\displaystyle K}$-الاشتقاق هو من باب أولى${\displaystyle k}$-اشتقاق.

بالنظر إلى الجبر المتدرج${\displaystyle A}$وخريطة خطية متجانسة${\displaystyle D}$من الدرجة${\displaystyle |D|}$على${\displaystyle A}$،${\displaystyle D}$يكون الاشتقاق متجانساً إذا

${\displaystyle {D(ab)=D(a)b+\varepsilon ^{|a||D|}aD(b)}}$

لكل عنصر متجانس${\displaystyle A}$وكل عنصر${\displaystyle b}$ل${\displaystyle A}$لعامل التبديل${\displaystyle \varepsilon =\pm 1}$الاشتقاق المتدرج هو مجموع اشتقاقات متجانسة لها نفس${\displaystyle \varepsilon }$.

لو${\displaystyle \varepsilon =1}$، يؤول هذا التعريف إلى الحالة المعتادة. إذا${\displaystyle \varepsilon =-1}$لكن، إذن

${\displaystyle {D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a||D|}aD(b)}}$

للفردي${\displaystyle |D|}$، و${\displaystyle D}$يُطلق عليه اسم الاشتقاق المضاد .

تشمل أمثلة المشتقات المضادة المشتق الخارجي والناتج الداخلي الذي يعمل على الأشكال التفاضلية .

الاشتقاقات المتدرجة للجبر الفائق (أي،${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$تُسمى الجبر المتدرج غالبًا بالمشتقات الفائقة .

مشتقات هاس-شميت هي${\displaystyle K}$تماثلات الجبر

${\displaystyle A\to A[[t]].}$

إضافة إلى ذلك، يتم استخدام الخريطة التي ترسل سلسلة قوى رسمية.${\displaystyle \sum a_{n}t^{n}}$إلى المعامل${\displaystyle a_{1}}$يقدم اشتقاقًا.

• في الهندسة التفاضلية، تكون الاشتقاقات متجهات مماسية
• تفاضلي كاهلر
• مشتق هاس
• الاشتقاق p
• مشتقات ويرتينجر
• مشتقة الدالة الأسية

• بورباكي، نيكولاس (1989)، الجبر 1 ، عناصر الرياضيات، سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 3-540-64243-9.
• أيزنبد، ديفيد (1999)، الجبر التبادلي مع نظرة نحو الهندسة الجبرية (الطبعة الثالثة  )، سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-94269-8.
• ماتسومورا، هيديوكي (1970)، الجبر التبادلي ، سلسلة محاضرات محاضرات الرياضيات، WA Benjamin، ISBN 978-0-8053-7025-6.
• كولار، إيفان؛ سلوفاك، يان؛ ميخور، بيتر دبليو. (1993)، العمليات الطبيعية في الهندسة التفاضلية ، سبرينغر-فيرلاغ.