الصيغة التفاضلية

يمكن تكامل الشكل التفاضلي من الرتبة k على مشعب موجه ذي بُعد k . ويمكن اعتبار الشكل التفاضلي من الرتبة 1 بمثابة قياس لطول موجه متناهي الصغر، أو كثافة موجهة أحادية البعد. ويمكن اعتبار الشكل التفاضلي من الرتبة 2 بمثابة قياس لمساحة موجهة متناهي الصغر، أو كثافة موجهة ثنائية البعد. وهكذا.

يكون تكامل الأشكال التفاضلية مُعرَّفًا جيدًا فقط على المشعبات الموجهة . مثال على مشعب أحادي البعد هو الفترة [ a , b ] ، ويمكن إعطاء الفترات توجيهًا: تكون موجهة إيجابيًا إذا كان a < b ، وموجهة سلبيًا فيما عدا ذلك. إذا كان a < b، فإن تكامل الشكل التفاضلي من الدرجة الأولى f ( x ) dx على الفترة [ a , b ] (مع توجيهها الموجب الطبيعي) هو $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$$ وهو معكوس تكامل نفس الصيغة التفاضلية على نفس الفترة، عند استخدام الاتجاه المعاكس. أي: $${\displaystyle \int _{b}^{a}f(x)\,dx=-\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$ يُضفي هذا سياقًا هندسيًا على اصطلاحات التكاملات أحادية البعد، حيث تتغير الإشارة عند عكس اتجاه الفترة. ويُفسَّر هذا عادةً في نظرية التكامل لمتغير واحد بأنه عندما تكون حدود التكامل بترتيب معاكس ( b < a )، فإن الزيادة dx تكون سالبة في اتجاه التكامل.

بشكلٍ أعم، يُعرَّف الشكل m بأنه كثافة موجهة يمكن تكاملها على مشعب موجه ذي m بُعد. (على سبيل المثال، يمكن تكامل الشكل 1 على منحنى موجه، ويمكن تكامل الشكل 2 على سطح موجه، وهكذا). إذا كان M مشعبًا موجهًا ذا m بُعد، و M ′ هو نفس المشعب ولكن باتجاه معاكس، و ω شكل m ، فإنه يكون لدينا: $${\displaystyle \int _{M}\omega =-\int _{M'}\omega \,.}$$ تتوافق هذه الاصطلاحات مع تفسير الدالة المراد تكاملها كصيغة تفاضلية، يتم تكاملها على سلسلة . في نظرية القياس ، على النقيض من ذلك، يتم تفسير الدالة المراد تكاملها كدالة f بالنسبة إلى قياس μ ويتم التكامل على مجموعة جزئية A ، دون أي مفهوم للتوجيه؛ حيث يتم كتابة${\textstyle \int _{A}f\,d\mu =\int _{[a,b]}f\,d\mu }$للإشارة إلى التكامل على مجموعة فرعية A. هذا تمييز طفيف في بُعد واحد، ولكنه يصبح أكثر دقة على المشعبات ذات الأبعاد الأعلى؛ انظر أدناه لمزيد من التفاصيل.

^يتطلب تحديد مفهوم الكثافة الموجهة بدقة، وبالتالي مفهوم الشكل التفاضلي، استخدام الجبر الخارجي . يمكن استخدام تفاضلات مجموعة من الإحداثيات، dx₁ , ..., dxₙ ^، كأساس لجميع الأشكال التفاضلية من الرتبة الأولى . يمثل كل تفاضل منها متجهًا مرافقًا عند كل نقطة على المتشعب، ويمكن اعتباره مقياسًا لإزاحة صغيرة في اتجاه الإحداثيات المقابل. الشكل التفاضلي العام من الرتبة الأولى هو توليفة خطية من هذه التفاضلات عند كل نقطة على المتشعب. $${\displaystyle f_{1}\,dx^{1}+\cdots +f_{n}\,dx^{n},}$$ حيث f _k = f _k ( x ¹ , ... , x ⁿ ) هي دوال لجميع الإحداثيات. يتم تكامل الشكل التفاضلي من الدرجة الأولى على طول منحنى موجه كتكامل خطي.

يمكن استخدام التعبيرين dx ⁱ ∧ dx ^j ، حيث i < j، كأساس عند كل نقطة على المتشعب لجميع الأشكال الثنائية . ويمكن اعتبار هذا بمثابة مربع متناهي الصغر موجه موازٍ للمستوى x ⁱ – x ^j . الشكل الثنائي العام هو توليفة خطية من هذه التعبيرات عند كل نقطة على المتشعب.${\textstyle \sum _{1\leq i<j\leq n}f_{i,j}\,dx^{i}\wedge dx^{j}}$ويتم تكاملها تمامًا مثل التكامل السطحي.

تُعدّ عملية الضرب الخارجي (رمزها الوتد ∧ ) عملية أساسية مُعرّفة على الأشكال التفاضلية . وهي تُشبه الضرب الاتجاهي في حساب المتجهات، حيث إنها ضرب متبادل. على سبيل المثال، $${\displaystyle dx^{1}\wedge dx^{2}=-dx^{2}\wedge dx^{1}}$$

لأن المربع الذي طول ضلعه الأول ^dx1 وطول ضلعه الثاني dx2 يُعتبر معاكساً في الاتجاه للمربع الذي طول ضلعه الأول dx2 وطول ضلعه الثاني dx1 . لهذا السبب ^، يكفي جمع التعبيرات dxi ^{∧ dxj} ، حيث i < ^j ؛ على سبيل المثال: a(dxi ∧ dxj) + b(dxj ∧ dxi ) = ( ^{a −} b ) dxi ∧ ^dxj . يسمح الضرب الخارجي ^ببناء صيغ تفاضلية ^من درجات ^أعلى انطلاقاً ^من صيغ من درجات أدنى، تماماً كما يسمح الضرب الاتجاهي في حساب المتجهات بحساب متجه مساحة متوازي الأضلاع من متجهات تشير إلى أعلى ضلعيه. يعني التناوب أيضًا أن dxᵢ ^∧ dxᵢ = 0 ، بنفس الطريقة التي يكون بها حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهات المتوازية، التي يمثل مقدارها مساحة متوازي الأضلاع الذي تشكله تلك المتجهات، يساوي صفرًا. في الأبعاد الأعلى، يكون dxᵢ₁ ^{_∧ ⋅⋅⋅} ∧ ^dxᵢₘ = ⁰ إذا تساوى _أي اثنين من المؤشرات i₁ _, ..., iₘ _^، بنفس الطريقة التي يكون بها "الحجم" المحصور داخل متوازي سطوح تكون متجهات أضلاعه مرتبطة خطيًا يساوي صفرًا.

رمز شائع للضرب الخارجي للعناصر الأولية${\displaystyle k}$تُعرف الأشكال المتعددة باسم تدوين الفهرس المتعدد : في${\displaystyle n}$سياق متعدد الأبعاد، لـ${\displaystyle I=(i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}),1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}$، نحن نحدد${\textstyle dx^{I}:=dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}=\bigwedge _{i\in I}dx^{i}}$[ ^{2 ] هناك} طريقة تدوين مفيدة أخرى يتم الحصول عليها من خلال تعريف مجموعة جميع المؤشرات المتعددة المتزايدة تمامًا ذات الطول${\displaystyle k}$، في فضاء ذي أبعاد${\displaystyle n}$، المشار إليه${\displaystyle {\mathcal {J}}_{k,n}:=\{I=(i_{1},\ldots ,i_{k}):1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\}}$ثم محلياً (أينما تنطبق الإحداثيات)،${\displaystyle \{dx^{I}\}_{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}}$يمتد على فضاء التفاضل${\displaystyle k}$-تتشكل في شكل متعدد${\displaystyle M}$من الأبعاد${\displaystyle n}$عند النظر إليها كوحدة فوق الحلقة${\displaystyle C^{\infty }(M)}$وظائف سلسة على${\displaystyle M}$عن طريق حساب حجم${\displaystyle {\mathcal {J}}_{k,n}}$من الناحية التوافقية، فإن وحدة${\displaystyle k}$-يتشكل على${\displaystyle n}$متعدد الشعب ذو الأبعاد n، وفي الفضاء العام لـ${\displaystyle k}$-المتجهات الحاملة على${\displaystyle n}$الفضاء المتجهي ذو الأبعاد n هو${\displaystyle n}$ يختار ${\displaystyle k}$:${\textstyle |{\mathcal {J}}_{k,n}|={\binom {n}{k}}}$وهذا يوضح أيضًا أنه لا توجد أشكال تفاضلية غير صفرية من الدرجة أكبر من بُعد المتشعب الأساسي.

بالإضافة إلى المنتج الخارجي، هناك أيضًا مشغل المشتقات الخارجية${\displaystyle d}$المشتقة الخارجية لصيغة تفاضلية هي تعميم لتفاضل دالة ، بمعنى أن المشتقة الخارجية لـ${\displaystyle f\in C^{\infty }(M)=\Omega ^{0}(M)}$هو بالضبط تفاضل${\displaystyle f}$عند تعميمها على أشكال أعلى، إذا${\displaystyle \omega =f{\text{d}}x^{I}}$هو أمر بسيط${\displaystyle k}$-form، ثم مشتقاته الخارجية${\displaystyle d\omega }$هو${\displaystyle (k+1)}$-form المحدد عن طريق أخذ تفاضل دوال المعاملات: $${\displaystyle d\omega =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{I}.}$$ مع إمكانية التوسع إلى الأشكال العامة من الرتبة k من خلال الخطية: إذا${\textstyle \tau =\sum _{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}a_{I}\,dx^{I}\in \Omega ^{k}(M)}$ثم يكون مشتقها الخارجي هو $${\displaystyle d\tau =\sum _{I\in {\mathcal {J}}_{k,n}}\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial a_{I}}{\partial x^{j}}}\,dx^{j}\right)\wedge dx^{I}\in \Omega ^{k+1}(M)}$$

في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$، مع عامل هودج النجمي ، يتوافق المشتق الخارجي مع التدرج والالتفاف والتباعد ، على الرغم من أن هذا التوافق، مثل الضرب الاتجاهي، لا يعمم على الأبعاد الأعلى، ويجب التعامل معه بحذر.

ينطبق مفهوم المشتقة الخارجية في أي عدد محدود من الأبعاد، وهو أداة مرنة وقوية ذات تطبيقات واسعة في الهندسة التفاضلية ، والطوبولوجيا التفاضلية ، والعديد من مجالات الفيزياء. تجدر الإشارة إلى أنه على الرغم من أن التعريف السابق للمشتقة الخارجية قد تم تحديده بالنسبة للإحداثيات المحلية، إلا أنه يمكن تعريفه بطريقة مستقلة تمامًا عن الإحداثيات، باعتباره مشتقة عكسية من الدرجة الأولى على الجبر الخارجي للأشكال التفاضلية. تكمن فائدة هذا النهج الأكثر عمومية في أنه يتيح طريقة طبيعية للتكامل على المشعبات دون الاعتماد على الإحداثيات . كما يتيح تعميمًا طبيعيًا للنظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل ، والتي تُعرف بنظرية ستوكس (المعممة) ، وهي نتيجة محورية في نظرية التكامل على المشعبات.

يترك${\displaystyle U}$كن مجموعة مفتوحة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$التفاضلي${\displaystyle 0}$يُعرَّف الشكل الصفري بأنه دالة سلسة${\displaystyle f}$على${\displaystyle U}$– المجموعة التي يُرمز لها بـ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$. لو${\displaystyle \mathbf {v} }$هل أي متجه في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، ثم${\displaystyle f}$له مشتق اتجاهي${\displaystyle \partial _{\mathbf {v} }f}$، وهي وظيفة أخرى في${\displaystyle U}$قيمتها عند نقطة${\displaystyle p\in U}$هو معدل التغير (عند${\displaystyle p}$) ل${\displaystyle f}$في${\displaystyle \mathbf {v} }$اتجاه: $${\displaystyle (\partial _{\mathbf {v} }f)(p)=\left.{\frac {d}{dt}}f(p+t\mathbf {v} )\right|_{t=0}.}$$ (يمكن توسيع هذا المفهوم نقطة بنقطة ليشمل الحالة التي${\displaystyle \mathbf {v} }$هو حقل متجه على${\displaystyle U}$من خلال التقييم${\displaystyle \mathbf {v} }$عند النقطة${\displaystyle p}$(في التعريف.)

على وجه الخصوص، إذا كان v = e _j هو متجه الإحداثيات j، فإن ∂ _v f هو المشتق الجزئي للدالة f بالنسبة لمتجه الإحداثيات j ، أي ∂ f / ∂ x ^j ، حيث x ¹ ، x ² ، ...، x ⁿ هي متجهات الإحداثيات في U. وبحسب تعريفها، تعتمد المشتقات الجزئية على اختيار الإحداثيات: فإذا أُدخلت إحداثيات جديدة y ¹ ، y ² ، ...، y ^{n، فإن}$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x^{j}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}{\frac {\partial f}{\partial y^{i}}}.}$$

تتمثل الفكرة الأولى التي تؤدي إلى الأشكال التفاضلية في ملاحظة أن ∂ _v f ( p ) هي دالة خطية لـ v :

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\partial _{\mathbf {v} +\mathbf {w} }f)(p)&=(\partial _{\mathbf {v} }f)(p)+(\partial _{\mathbf {w} }f)(p)\\(\partial _{c\mathbf {v} }f)(p)&=c(\partial _{\mathbf {v} }f)(p)\end{aligned}}}$$

لأي متجهين v و w وأي عدد حقيقي c ، عند _كل نقطة p ، يُرمز لهذا التطبيق الخطي من Rⁿ إلى R بالرمز dfₚ _، ويُسمى مشتقة أو تفاضل الدالة f عند p . بالتالي، ^dfₚ ( v ) = ∂vf ₍ p ) . عند امتداده على المجموعة بأكملها، يمكن اعتبار dfₚ دالة تأخذ حقل متجه على U ، وتُرجع دالة حقيقية القيمة ، قيمتها عند كل نقطة هي مشتقة الدالة f على طول حقل المتجهات . لاحظ أنه عند كل p ، _فإن التفاضل dfₚ ليس عددًا حقيقيًا، بل دالة خطية على متجهات مماسية، وهو مثال نموذجي لشكل تفاضلي من الرتبة 1 .

بما أن أي متجه v هو توليفة خطية Σ v ^j e _j لمكوناته ، فإن df تُحدد بشكل فريد بواسطة df _p ( e _j ) لكل j ولكل p ∈ U ، وهي ببساطة المشتقات الجزئية للدالة f على U. بالتالي ، توفر df طريقة لترميز المشتقات الجزئية للدالة f . ويمكن فك ترميزها بملاحظة أن الإحداثيات x ¹ ، x ² ، ... ، x ⁿ هي نفسها دوال على U ، وبالتالي تُعرّف أشكالًا تفاضلية من الدرجة الأولى dx ¹ ، dx ² ، ... ، dx ⁿ . لنفترض أن f = x ⁱ . بما أن ∂ x ⁱ / ∂ x ^j = δ _ij ، وهي دالة دلتا كرونكر ، فإنه يترتب على ذلك أن

${\displaystyle df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}.}$

*

يُحدد معنى هذا التعبير بتقييم كلا الطرفين عند نقطة اختيارية p : في الطرف الأيمن، يُعرَّف المجموع " نقطيًا "، بحيث $${\displaystyle df_{p}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}(p)(dx^{i})_{p}.}$$ بتطبيق كلا الطرفين على e _j ، تكون النتيجة على كل طرف هي المشتقة الجزئية j للدالة f عند النقطة p . وبما أن p و j قيمتان اختياريتان، فإن هذا يثبت الصيغة (*) .

وبشكل أعم، لأي دالتين سلسلتين gᵢ و hᵢ على U _، نُعرّف الشكل التفاضلي 1 - _α = Σᵢ _gᵢ dhᵢ _نقطيًا كما يلي _:$${\displaystyle \alpha _{p}=\sum _{i}g_{i}(p)(dh_{i})_{p}}$$ لكل p ∈ U. تنشأ أي صيغة تفاضلية من الدرجة الأولى بهذه الطريقة، وباستخدام (*) يتبين أن أي صيغة تفاضلية من الدرجة الأولى α على U يمكن التعبير عنها بالإحداثيات كما يلي: $${\displaystyle \alpha =\sum _{i=1}^{n}f_{i}\,dx^{i}}$$ بالنسبة لبعض الدوال السلسة f _i على U .

تنشأ الفكرة الثانية المؤدية إلى الأشكال التفاضلية من السؤال التالي: إذا كان لدينا شكل تفاضلي من الدرجة الأولى α على U ، فمتى توجد دالة f على U بحيث يكون α = df ؟ يُختزل هذا السؤال، وفقًا للتوسيع أعلاه ^، إلى البحث عن دالة f تكون مشتقاتها الجزئية ∂f / ∂xi مساوية لـ n دالة معطاة fᵢ _. بالنسبة لـ n > 1 ، لا توجد مثل هذه الدالة دائمًا: أي دالة ملساء f تحقق الشرط التالي :$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{i}\,\partial x^{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{j}\,\partial x^{i}}},}$$ لذا سيكون من المستحيل العثور على مثل هذه القيمة f إلا إذا $${\displaystyle {\frac {\partial f_{j}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial f_{i}}{\partial x^{j}}}=0}$$ لكل i و j .

يشير التناظر المعكوس للطرف الأيسر في i و j إلى إمكانية إدخال حاصل ضرب مضاد للتناظر ∧ على الأشكال التفاضلية من الرتبة 1 ، وهو حاصل الضرب الخارجي ، بحيث يمكن دمج هذه المعادلات في شرط واحد. $${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{j}=0,}$$ حيث يتم تعريف ∧ بحيث: $${\displaystyle dx^{i}\wedge dx^{j}=-dx^{j}\wedge dx^{i}.}$$

هذا مثال على شكل تفاضلي من الدرجة الثانية . يُسمى هذا الشكل التفاضلي من الدرجة الثانية بالمشتقة الخارجية dα للدالة α = ∑ ⁿ _{j =1} f _j dx ^j . ويُعطى بالصيغة التالية: $${\displaystyle d\alpha =\sum _{j=1}^{n}df_{j}\wedge dx^{j}=\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial f_{j}}{\partial x^{i}}}\,dx^{i}\wedge dx^{j}.}$$

باختصار: dα = 0 هو شرط ضروري لوجود دالة f مع α = df .

الأشكال التفاضلية من الرتبة صفر ، والرتبة الأولى ، والرتبة الثانية هي حالات خاصة من الأشكال التفاضلية. لكل قيمة لـ k ، يوجد فضاء من الأشكال التفاضلية من الرتبة k ، والذي يمكن التعبير عنه بدلالة الإحداثيات كما يلي: $${\displaystyle \sum _{i_{1},i_{2}\ldots i_{k}=1}^{n}f_{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}\,dx^{i_{1}}\wedge dx^{i_{2}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}}}$$ بالنسبة لمجموعة من الدوال f _{i 1 i 2 ⋅⋅⋅ i k} . إن خاصية التناظر العكسي، التي كانت موجودة بالفعل بالنسبة للأشكال الثنائية ، تجعل من الممكن حصر المجموع في مجموعات المؤشرات التي يكون فيها i ₁ < i ₂ < ... < i _{k −1} < i _k .

يمكن ضرب الأشكال التفاضلية معًا باستخدام الضرب الخارجي، ولكل شكل تفاضلي k- α ، يوجد شكل تفاضلي ( k + 1) - dα يسمى المشتق الخارجي لـ α .

الأشكال التفاضلية، والضرب الخارجي، والمشتقة الخارجية مستقلة عن اختيار الإحداثيات. وبالتالي، يمكن تعريفها على أي مشعب أملس M. إحدى طرق القيام بذلك هي تغطية M بمخططات إحداثيات وتعريف شكل تفاضلي من الرتبة k على M على أنه عائلة من الأشكال التفاضلية من الرتبة k على كل مخطط تتفق في نقاط التداخل. مع ذلك، توجد تعريفات أكثر جوهرية تُظهر استقلالية الإحداثيات.

المنتج الخارجي لـ${\displaystyle k}$-استمارة${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \ell }$-استمارة${\displaystyle \beta }$، المشار إليه${\displaystyle \alpha \wedge \beta }$، هو${\displaystyle (k+\ell )}$-form. عند كل نقطة${\displaystyle p}$من المشعب${\displaystyle M}$، النماذج${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta }$هي عناصر قوة خارجية للفضاء المماسي المشترك عند${\displaystyle p}$عندما يُنظر إلى الجبر الخارجي على أنه خارج قسمة الجبر الموتري، فإن الضرب الخارجي يتوافق مع الضرب الموتري (باستخدام علاقة التكافؤ التي تحدد الجبر الخارجي).

يعني التناظر العكسي المتأصل في الجبر الخارجي أنه عندما${\displaystyle \alpha \wedge \beta }$إذا نُظر إليها كدالة متعددة الخطية، فهي متناوبة. ومع ذلك، عندما يتم تضمين الجبر الخارجي كفضاء فرعي من جبر الموترات بواسطة خريطة التناوب، فإن حاصل ضرب الموترات${\displaystyle \alpha \otimes \beta }$لا يتناوب. توجد صيغة صريحة تصف الناتج الخارجي في هذه الحالة. الناتج الخارجي هو $${\displaystyle \alpha \wedge \beta =\operatorname {Alt} (\alpha \otimes \beta ).}$$ إذا كان تضمين${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{n}T^{*}M}$داخل${\displaystyle {\bigotimes }^{n}T^{*}M}$يتم ذلك عبر الخريطة${\displaystyle n!\operatorname {Alt} }$بدلاً من${\displaystyle \operatorname {Alt} }$المنتج الخارجي هو $${\displaystyle \alpha \wedge \beta ={\frac {(k+\ell )!}{k!\ell$$ !}}\operatorname {Alt} (\alpha \otimes \beta ).} هذا الوصف مفيد للحسابات الصريحة. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle k=\ell =1}$، ثم${\displaystyle \alpha \wedge \beta }$هو${\displaystyle 2}$- شكل قيمته عند نقطة${\displaystyle p}$هو الشكل الثنائي الخطي المتناوب المحدد بواسطة $${\displaystyle (\alpha \wedge \beta )_{p}(v,w)=\alpha _{p}(v)\beta _{p}(w)-\alpha _{p}(w)\beta _{p}(v)}$$ ل${\displaystyle v,w\in T_{p}M}$.

المنتج الخارجي ثنائي الخطية: إذا${\displaystyle \alpha }$،${\displaystyle \beta }$، و${\displaystyle \gamma }$أي أشكال تفاضلية، وإذا${\displaystyle f}$إذا كانت أي دالة سلسة، فإن $${\displaystyle \alpha \wedge (\beta +\gamma )=\alpha \wedge \beta +\alpha \wedge \gamma ,}$$$${\displaystyle \alpha \wedge (f\cdot \beta )=f\cdot (\alpha \wedge \beta ).}$$

إنها تبديلية منحرفة (تُعرف أيضًا بالتبديلية المتدرجة )، مما يعني أنها تحقق شكلاً مختلفًا من خاصية عدم التبديلية التي تعتمد على درجات الأشكال: إذا${\displaystyle \alpha }$هو${\displaystyle k}$-form و${\displaystyle \beta }$هو${\displaystyle \ell }$-form، ثم $${\displaystyle \alpha \wedge \beta =(-1)^{k\ell }\beta \wedge \alpha .}$$ يوجد أيضًا قاعدة لايبنتز المتدرجة : $${\displaystyle d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1)^{k}\alpha \wedge d\beta .}$$

على مشعب ريماني ، أو بشكل أعم على مشعب شبه ريماني ، يُعرّف المقياس تماثلًا ليفيًّا بين حزمتي المماس والمماس المرافق. وهذا يُتيح تحويل حقول المتجهات إلى حقول متجهات مرافقة والعكس. كما يُتيح تعريف عمليات إضافية مثل مؤثر نجمة هودج.${\displaystyle \star \colon \Omega ^{k}(M)\ {\stackrel {\sim }{\to }}\ \Omega ^{n-k}(M)}$والتفاضل المشترك${\displaystyle \delta \colon \Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k-1}(M)}$، والتي لها درجة −1 وهي مترافقة مع التفاضل الخارجي d .

إحدى الخصائص المهمة للمشتق الخارجي هي أن${\displaystyle d^{2}=0}$وهذا يعني أن المشتق الخارجي يُعرّف مُركّبًا مُترافقًا : $${\displaystyle 0\ \to \ \Omega ^{0}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{1}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{2}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{3}(M)\ \to \ \cdots \ \to \ \Omega ^{n}(M)\ \to \ 0.}$$

يُطلق على هذا المركب اسم مركب دي رام، وتماثله هو بحكم التعريف تماثل دي رام لـ${\displaystyle M}$بحسب مبرهنة بوانكاريه ، فإن مُركَّب دي رام دقيق محليًا باستثناء عند${\displaystyle \Omega ^{0}(M)}$النواة في${\displaystyle \Omega ^{0}(M)}$هو فضاء الدوال الثابتة محليًا على${\displaystyle M}$لذلك، فإن المركب هو حل للحزمة الثابتة${\displaystyle {\underline {\mathbf {R} }}}$وهذا بدوره يستلزم شكلاً من أشكال نظرية دي رام: تحسب نظرية دي رام للتماثل الحزمي لـ${\displaystyle {\underline {\mathbf {R} }}}$.

يترك${\displaystyle U}$ليكن مجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. يعطي${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$اتجاهها القياسي و${\displaystyle U}$تقييد ذلك التوجه. كل سطح أملس${\displaystyle n}$-استمارة${\displaystyle \omega }$على${\displaystyle U}$له الشكل $${\displaystyle \omega =f(x)\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}$$ لبعض الوظائف السلسة${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$لهذه الدالة تكامل بالمعنى المعتاد لريمان أو لوبيغ. وهذا يسمح لنا بتعريف تكامل${\displaystyle \omega }$أن يكون جزءًا لا يتجزأ من${\displaystyle f}$: $${\displaystyle \int _{U}\omega \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\int _{U}f(x)\,dx^{1}\cdots dx^{n}.}$$ يُعد تحديد اتجاه معين ضروريًا لكي يكون هذا التعريف دقيقًا. ويعني التناظر المائل للأشكال التفاضلية أن تكامل، على سبيل المثال،${\displaystyle {\text{d}}x^{1}\wedge {\text{d}}x^{2}}$يجب أن يكون معكوس تكامل${\displaystyle {\text{d}}x^{2}\wedge {\text{d}}x^{1}}$لا تستطيع تكاملات ريمان وليبيغ إدراك هذا الاعتماد على ترتيب الإحداثيات، لذا فهي تترك إشارة التكامل غير محددة. ويحل التوجيه هذا الغموض.

يترك${\displaystyle M}$كن${\displaystyle n}$-متعددة و${\displaystyle \omega }$أن${\displaystyle n}$-نموذج على${\displaystyle M}$أولاً، افترض وجود معلمات لـ${\displaystyle M}$بواسطة مجموعة جزئية مفتوحة من الفضاء الإقليدي. أي، افترض وجود تماثل تفاضلي $${\displaystyle \varphi \colon D\to M}$$ أين${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$. يعطي${\displaystyle M}$التوجيه الناتج عن${\displaystyle \varphi }$ثم يُعرّف رودين ( 1976 ) تكامل${\displaystyle \omega }$زيادة${\displaystyle M}$أن يكون جزءًا لا يتجزأ من${\displaystyle \varphi ^{*}\omega }$زيادة${\displaystyle D}$في الإحداثيات، يكون لهذا التعبير التالي. ثبّت تضمينًا لـ${\displaystyle M}$في${\displaystyle \mathbb {R} ^{I}}$مع الإحداثيات${\displaystyle x^{1},\ldots ,x^{I}}$. ثم $${\displaystyle \omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{n}}a_{i_{1},\ldots ,i_{n}}({\mathbf {x} })\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{n}}.}$$ لنفترض أن${\displaystyle \varphi }$يتم تعريفها بواسطة $${\displaystyle \varphi ({\mathbf {u} })=(x^{1}({\mathbf {u} }),\ldots ,x^{I}({\mathbf {u} })).}$$ ويمكن كتابة التكامل بعد ذلك في الإحداثيات على النحو التالي: $${\displaystyle \int _{M}\omega =\int _{D}\sum _{i_{1}<\cdots <i_{n}}a_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(\varphi ({\mathbf {u} })){\frac {\partial (x^{i_{1}},\ldots ,x^{i_{n}})}{\partial (u^{1},\dots ,u^{n})}}\,du^{1}\cdots du^{n},}$$ أين $${\displaystyle {\frac {\partial (x^{i_{1}},\ldots ,x^{i_{n}})}{\partial (u^{1},\ldots ,u^{n})}}}$$ هو محدد مصفوفة جاكوبي . مصفوفة جاكوبي موجودة لأن${\displaystyle \varphi }$قابلة للتفاضل.

بشكل عام،${\displaystyle n}$لا يمكن تحديد معلمات -متعدد الشعب بواسطة مجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$لكن مثل هذه المعلمة ممكنة دائمًا محليًا، لذا من الممكن تعريف التكاملات على أي مشعبات بتعريفها كمجموع تكاملات على مجموعات من المعلمات المحلية. علاوة على ذلك، من الممكن أيضًا تعريف معلمات لـ${\displaystyle k}$المجموعات الفرعية ذات الأبعاد لـ${\displaystyle k<n}$وهذا يجعل من الممكن تعريف تكاملات${\displaystyle k}$-forms. ولجعل هذا الأمر دقيقًا، من الملائم تحديد مجال قياسي.${\displaystyle D}$في${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$، وعادةً ما يكون مكعبًا أو مجسمًا بسيطًا.${\displaystyle k}$- السلسلة عبارة عن مجموع رسمي للتضمينات السلسة${\displaystyle D\rightarrow M}$أي أنها مجموعة من التضمينات السلسة، يُخصص لكل منها عدد صحيح متعدد. يحدد كل تضمين سلس${\displaystyle k}$شعبة فرعية ذات أبعاد n من${\displaystyle M}$إذا كانت السلسلة $${\displaystyle c=\sum _{i=1}^{r}m_{i}\varphi _{i},}$$ ثم تكامل أ${\displaystyle k}$-استمارة${\displaystyle \omega }$زيادة${\displaystyle c}$يُعرَّف بأنه مجموع التكاملات على حدود${\displaystyle c}$: $${\displaystyle \int _{c}\omega =\sum _{i=1}^{r}m_{i}\int _{D}\varphi _{i}^{*}\omega .}$$

لا يُعطي هذا النهج في تعريف التكامل معنىً مباشراً للتكامل على كامل الفضاء المتعدد.${\displaystyle M}$ومع ذلك، لا يزال من الممكن إسناد مثل هذا المعنى بشكل غير مباشر لأن كل مشعب أملس يمكن تثليثه بسلاسة بطريقة فريدة أساسًا، والتكامل على${\displaystyle M}$يمكن تعريفها بأنها التكامل على السلسلة المحددة بواسطة التثليث.

هناك نهج آخر، تم شرحه في ( ديودونيه 1972 ) ، والذي يُعطي معنى مباشرًا للتكامل عبر${\displaystyle M}$لكن هذا النهج يتطلب تحديد اتجاه${\displaystyle M}$تكامل${\displaystyle n}$-استمارة${\displaystyle \omega }$في${\displaystyle n}$يتم تعريف المشعب ذي الأبعاد n من خلال العمل في المخططات. لنفترض أولاً أن${\displaystyle \omega }$مدعوم على مخطط واحد ذي اتجاه إيجابي. على هذا المخطط، قد يتم سحبه للخلف إلى${\displaystyle n}$-شكل على مجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$هنا، يمتلك الشكل تكامل ريمان أو ليبيغ محددًا جيدًا كما كان من قبل. تضمن صيغة تغيير المتغيرات والافتراض بأن الرسم البياني موجه إيجابيًا معًا أن تكامل${\displaystyle \omega }$وهو مستقل عن المخطط المختار. في الحالة العامة، استخدم تجزئة الوحدة لكتابة${\displaystyle \omega }$كمجموع${\displaystyle n}$تُعرَّف الأشكال -، التي يدعم كل منها مخطط واحد ذو اتجاه إيجابي، وتُحدد تكامل${\displaystyle \omega }$أن يكون مجموع تكاملات كل حد في تجزئة الوحدة.

من الممكن أيضًا دمج${\displaystyle k}$-أشكال على موجهة${\displaystyle k}$يتم استخدام هذا النهج الجوهري لإنشاء فضاءات فرعية متعددة الأبعاد. يتم سحب الشكل إلى الفضاء الفرعي، حيث يتم تعريف التكامل باستخدام المخططات كما في السابق. على سبيل المثال، بالنظر إلى مسار${\displaystyle \gamma (t):[0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$، دمج${\displaystyle 1}$-form على المسار هو ببساطة إعادة النموذج إلى نموذج${\displaystyle f(t){\text{d}}t}$على${\displaystyle [0,1]}$وهذا التكامل هو تكامل الدالة${\displaystyle f(t)}$على الفترة الفاصلة.

تنص نظرية فوبيني على أن التكامل على مجموعة ما، إذا كان ناتج ضرب، يُمكن حسابه كتكامل متكرر على عاملي هذا الناتج. وهذا يُشير إلى أن تكامل صيغة تفاضلية على ناتج ضرب يُمكن حسابه أيضًا كتكامل متكرر. وتضمن المرونة الهندسية للصيغ التفاضلية إمكانية ذلك ليس فقط بالنسبة لمنتجات الضرب، بل في حالات أكثر عمومية أيضًا. في ظل بعض الفرضيات، يُمكن التكامل على طول ألياف دالة ملساء، ويُقابل نظرية فوبيني الحالة التي تكون فيها هذه الدالة إسقاطًا من ناتج ضرب إلى أحد عوامله.

لأن تكامل صيغة تفاضلية على فضاء جزئي يتطلب تحديد اتجاه، فإن شرطًا أساسيًا للتكامل على طول الألياف هو وجود اتجاه محدد جيدًا على تلك الألياف. ليكن M و N فضاءين قابلين للتوجيه بأبعاد m و n على التوالي. لنفترض أن f  : M → N دالة غمر شاملة. هذا يعني أن كل ليف f ^{− 1} ( y ) هو ( m − n ) بُعدي، وأنه حول كل نقطة من M ، يوجد مخطط تبدو عليه f كإسقاط من حاصل ضرب على أحد عوامله. لنثبت x ∈ M ولنضع y = f ( x ) . لنفترض أن $${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{x}&\in {\textstyle \bigwedge }^{m}T_{x}^{*}M,\\[2pt]\eta _{y}&\in {\textstyle \bigwedge }^{n}T_{y}^{*}N,\end{aligned}}}$$ وأن η _y لا تتلاشى. وفقًا لـ ( ديودونيه 1972 ) ، هناك قيمة فريدة $${\displaystyle \sigma _{x}\in {\textstyle \bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}(f^{-1}(y))}$$ والذي يمكن اعتباره الجزء الليفي من ω _x بالنسبة إلى η _y . وبشكل أدق، نُعرّف j  : f ^{− 1} ( y ) → M على أنه التضمين. عندئذٍ، تُعرّف σ _x بالخاصية التالية: $${\displaystyle \omega _{x}=(f^{*}\eta _{y})_{x}\wedge \sigma '_{x}\in {\textstyle \bigwedge }^{m}T_{x}^{*}M,}$$ أين $${\displaystyle \sigma '_{x}\in {\textstyle \bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}M}$$ أي متجه مصاحب من الرتبة ( m − n ) بحيث $${\displaystyle \sigma _{x}=j^{*}\sigma '_{x}.}$$يمكن أيضًا كتابة الصيغة σ _x على النحو التالي ω _x / η _y .

_{علاوة على} ذلك، بالنسبة لقيمة ثابتة لـ y ، تتغير σx بسلاسة بالنسبة لـ x . أي، لنفترض أن $${\displaystyle \omega \colon f^{-1}(y)\to T^{*}M}$$ هو مقطع أملس من خريطة الإسقاط؛ نقول إن ω شكل تفاضلي أملس من الرتبة m على M على طول f ^{− 1} ( y ) . عندئذٍ يوجد شكل تفاضلي أملس من الرتبة ( m − n ) σ على f ^{− 1} ( y ) بحيث، عند كل x ∈ f ^{− 1} ( y ) ، $${\displaystyle \sigma _{x}=\omega _{x}/\eta _{y}.}$$ يُرمز إلى هذا الشكل بـ ω / η _y . وينطبق البناء نفسه إذا كان ω شكلاً من الرتبة m في جوار الليف، ويُستخدم الترميز نفسه. ومن النتائج المترتبة على ذلك أن كل ليف f ^{− 1} ( y ) قابل للتوجيه. وعلى وجه الخصوص، يُحدد اختيار أشكال التوجيه على M و N توجيه كل ليف من f .

يُمكن نظير نظرية فوبيني كما يلي. كما في السابق، M و N فضاءان قابلان للتوجيه ذوا بُعدين بحتين m و n ، و f  : M → N دالة غمر شاملة. لنُثبِّت توجيهات M و N ، ولنُعطِ كل ليف من f التوجيه المُستحث. ليكن ω شكلًا من الرتبة m على M ، وليكن η شكلًا من الرتبة n على N موجبًا تقريبًا في كل مكان بالنسبة لتوجيه N. عندئذٍ، لكل y ∈ N تقريبًا ، يكون الشكل ω / η _y شكلًا تكامليًا مُعرَّفًا جيدًا من الرتبة m − n على f ^{− 1} ( y ) . علاوة على ذلك، يوجد شكل تكاملي من الرتبة n على N مُعرَّف بـ $${\displaystyle y\mapsto {\bigg (}\int _{f^{-1}(y)}\omega /\eta _{y}{\bigg )}\,\eta _{y}.}$$ أرمز إلى هذا الشكل بـ $${\displaystyle {\bigg (}\int _{f^{-1}(y)}\omega /\eta {\bigg )}\,\eta .}$$ ثم ( ديودونيه 1972 ) يثبت صيغة فوبيني المعممة $${\displaystyle \int _{M}\omega =\int _{N}{\bigg (}\int _{f^{-1}(y)}\omega /\eta {\bigg )}\,\eta .}$$

من الممكن أيضًا دمج أشكال من درجات أخرى على طول ألياف الغمر. بافتراض نفس الفرضيات السابقة، ولتكن α شكلًا مضغوطًا من الرتبة ( m − n + k ) على M. عندئذٍ، يوجد شكل من الرتبة k، γ، على N ، وهو ناتج دمج α على طول ألياف f . يُعرَّف الشكل α بتحديد كيفية اقتران γ مع كل متجه من الرتبة k، v ، عند كل y ∈ N ، وقيمة هذا الاقتران هي تكامل على f ^{− 1} ( y ) يعتمد فقط على α و v واتجاهات M و N. بتعبير أدق، يوجد تماثل عند كل y ∈ N.$${\displaystyle {\textstyle \bigwedge }^{k}T_{y}N\to {\textstyle \bigwedge }^{n-k}T_{y}^{*}N}$$ يتم تعريفها بواسطة المنتج الداخلي $${\displaystyle \mathbf {v} \mapsto \mathbf {v} \,\lrcorner \,\zeta _{y},}$$ لأي اختيار لشكل الحجم ζ في اتجاه N. إذا كان x ∈ f − ^{1 (} y ) ، فإن متجه k- عند y يحدد متجهًا مشتركًا ( n − k ) عند x عن طريق السحب العكسي: $${\displaystyle f^{*}(\mathbf {v} \,\lrcorner \,\zeta _{y})\in {\textstyle \bigwedge }^{n-k}T_{x}^{*}M.}$$ لكل من هذه المتجهات المرافقة جداء خارجي مع α ، لذا يوجد شكل ( m − n ) β _v على M على طول f ^{− 1} ( y ) معرف بواسطة $${\displaystyle (\beta _{\mathbf {v} })_{x}=\left(\alpha _{x}\wedge f^{*}(\mathbf {v} \,\lrcorner \,\zeta _{y})\right){\big /}\zeta _{y}\in {\textstyle \bigwedge }^{m-n}T_{x}^{*}M.}$$ يعتمد هذا الشكل على اتجاه N وليس على اختيار ζ . عندئذٍ، يتم تعريف الشكل k - γ بشكل فريد بواسطة الخاصية $${\displaystyle \langle \gamma _{y},\mathbf {v} \rangle =\int _{f^{-1}(y)}\beta _{\mathbf {v} },}$$ و γ دالة ملساء ( ديودونيه 1972 ) . يُرمز لهذا الشكل أيضًا بـ α ^♭ ويُسمى تكامل α على طول ألياف f . يُعد التكامل على طول الألياف مهمًا لبناء خرائط جيسين في علم التماثل دي رام.

التكامل على طول الألياف يحقق صيغة الإسقاط ( ديودونيه 1972 ) . إذا كانت λ أي شكل ℓ على N ، فإن $${\displaystyle \alpha ^{\flat }\wedge \lambda =(\alpha \wedge f^{*}\lambda )^{\flat }.}$$

تُعطى العلاقة الأساسية بين المشتقة الخارجية والتكامل بواسطة نظرية ستوكس : إذا${\displaystyle \omega }$هو${\displaystyle (n-1)}$- نموذج مع دعم مضغوط على${\displaystyle M}$و${\displaystyle \partial M}$يشير إلى حدود${\displaystyle M}$مع توجيهها المستحث ، ثم $${\displaystyle \int _{M}d\omega =\int _{\partial M}\omega .}$$

من أهم نتائج ذلك أن "تكامل الصيغة المغلقة على السلاسل المتجانسة يساوي": إذا${\displaystyle \omega }$مغلق${\displaystyle k}$-form و${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$نكون${\displaystyle k}$-سلاسل متماثلة (بحيث${\displaystyle M-N}$هو حدود أ${\displaystyle (k+1)}$-سلسلة${\displaystyle W}$)، ثم${\displaystyle \textstyle {\int _{M}\omega =\int _{N}\omega }}$لأن الفرق هو التكامل${\displaystyle \textstyle \int _{W}d\omega =\int _{W}0=0}$.

على سبيل المثال، إذا${\displaystyle \omega =df}$هي مشتقة دالة جهد على المستوى أو${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ثم تكامل${\displaystyle \omega }$عبر مسار من${\displaystyle a}$ل${\displaystyle b}$لا يعتمد على اختيار المسار (التكامل هو${\displaystyle f(b)-f(a)}$بما أن المسارات المختلفة ذات نقاط النهاية المحددة متماثلة ، وبالتالي متجانسة (شرط أضعف). تُسمى هذه الحالة بنظرية التدرج ، وهي تعميم للنظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل . يُعد استقلال المسار هذا مفيدًا جدًا في التكامل الكفافي .

وتؤكد هذه النظرية أيضًا على الازدواجية بين علم التماثل دي رام وعلم تماثل السلاسل.

على مشعب تفاضلي عام (بدون بنية إضافية)، لا يمكن تكامل الأشكال التفاضلية على مجموعات جزئية من المشعب؛ هذا التمييز أساسي للتمييز بين الأشكال التفاضلية، التي تُكامل على سلاسل أو مشعبات فرعية موجهة، والمقاييس، التي تُكامل على مجموعات جزئية. أبسط مثال هو محاولة تكامل الشكل التفاضلي من الرتبة الأولى dx على الفترة [0, 1] . بافتراض المسافة المعتادة (وبالتالي المقياس) على خط الأعداد الحقيقية، يكون هذا التكامل إما 1 أو -1 ، اعتمادًا على التوجيه .${\textstyle \int _{0}^{1}dx=1}$، بينما${\textstyle \int _{1}^{0}dx=-\int _{0}^{1}dx=-1}$على النقيض من ذلك، فإن تكامل المقياس | dx | على الفترة يساوي 1 بشكل قاطع (أي أن تكامل الدالة الثابتة 1 بالنسبة لهذا المقياس يساوي 1 ) . وبالمثل، عند تغيير الإحداثيات، يتغير الشكل التفاضلي من الرتبة n بمقدار محدد جاكوبي J ، بينما يتغير المقياس بمقدار القيمة المطلقة لمحدد جاكوبي | J | ، مما يعكس مسألة التوجيه. على سبيل المثال، عند تطبيق الدالة x ↦ −x على الخط، يعود الشكل التفاضلي dx إلى −dx ؛ أي أن التوجيه قد انعكس؛ بينما يعود مقياس ليبيغ ، الذي نرمز إليه هنا بـ | dx | ، إلى | dx | ؛ أي أنه لا يتغير.