فئة متدرجة تفاضلية

في الرياضيات ، وخاصة الجبر التماثلي ، تُعرف الفئة التفاضلية المتدرجة ، والتي غالبًا ما تُختصر إلى فئة dg أو فئة DG ، بأنها فئة تُزود مجموعات التشكلات الخاصة بها ببنية إضافية للفئة التفاضلية المتدرجة.${\displaystyle \mathbb {Z} }$-وحدة .

وهذا يعني بالتفصيل أن${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,B)}$، فإن التشكلات من أي كائن A إلى كائن آخر B من الفئة هي مجموع مباشر

${\displaystyle \bigoplus _{n\in \mathbb {Z} }\operatorname {Hom} _{n}(A,B)}$

ويوجد تفاضل d على هذه المجموعة المتدرجة، أي أنه لكل n يوجد تطبيق خطي

${\displaystyle d\colon \operatorname {Hom} _{n}(A,B)\rightarrow \operatorname {Hom} _{n+1}(A,B)}$،

والذي يجب أن يفي${\displaystyle d\circ d=0}$وهذا يعادل القول بأن${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,B)}$هو مركب سلسلة مشتركة . علاوة على ذلك، فإن تركيب التشكلات ${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,B)\otimes \operatorname {Hom} (B,C)\rightarrow \operatorname {Hom} (A,C)}$يشترط أن تكون خريطة للمجمعات، وبالنسبة لجميع الكائنات A من الفئة، يشترط${\displaystyle d(\operatorname {id} _{A})=0}$.

• يمكن اعتبار أي فئة إضافية فئة DG من خلال فرض التصنيف البسيط (أي جميعها).${\displaystyle \mathrm {Hom} _{n}(-,-)}$يختفي من أجل${\displaystyle n\neq 0}$) والتفاضل التافه (${\displaystyle d=0}$).
• أما فئة المجمعات فهي أكثر تعقيداً بعض الشيء.${\displaystyle C({\mathcal {A}})}$على فئة إضافية${\displaystyle {\mathcal {A}}}$بحسب التعريف،${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C({\mathcal {A}}),n}(A,B)}$هي مجموعة الخرائط${\displaystyle A\rightarrow B[n]}$والتي لا تحتاج إلى مراعاة تفاضلات المركبين A و B ، أي

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{C({\mathcal {A}}),n}(A,B)=\prod _{l\in \mathbb {Z} }\mathrm {Hom} (A_{l},B_{l+n})}$.

تفاضل هذا التشاكل${\displaystyle f=(f_{l}\colon A_{l}\rightarrow B_{l+n})}$يُعرَّف من الدرجة n على النحو التالي:

${\displaystyle f_{l+1}\circ d_{A}+(-1)^{n+1}d_{B}\circ f_{l}}$،

أين${\displaystyle d_{A},d_{B}}$يمثلان تفاضلات A و B على التوالي. وينطبق هذا على فئة مركبات الحزم شبه المتماسكة على مخطط فوق حلقة .

• تُعتبر فئة DG التي تحتوي على عنصر واحد هي نفسها حلقة DG. وتُسمى حلقة DG فوق حقل ما بالجبر التفاضلي المتدرج، أو الجبر التفاضلي المتدرج .

يمكن تزويد فئة الفئات التفاضلية الصغيرة ببنية فئة نموذجية بحيث تكون التكافؤات الضعيفة هي تلك الدوال التي تؤدي إلى تكافؤ الفئات المشتقة . ^{[ 1 ]}

بالنظر إلى فئة dg-category C على حلقة R ما ، هناك مفهوم للنعومة والملاءمة لـ C والذي يختزل إلى المفاهيم المعتادة للتشاكلات الناعمة والملاءمة في حالة كون C هي فئة الحزم شبه المتماسكة على مخطط X ما على R.

يُطلق على فئة DG C اسم "مُثلثة مسبقًا" إذا كانت تحتوي على دالة تعليق. ${\displaystyle \Sigma }$وفئة من المثلثات المتميزة المتوافقة مع التعليق، بحيث تكون فئة التماثل الخاصة بها Ho( C ) فئة مثلثية . يُقال إن الفئة المثلثية T لها تعزيز تفاضلي متدرج C إذا كانت C فئة تفاضلية متدرجة ما قبل المثلثية وفئة التماثل الخاصة بها مكافئة لـ T. ^{[ 2 ]} تُعرَّف التعزيزات التفاضلية المتدرجة لدالة تامة بين الفئات المثلثية بشكل مشابه. بشكل عام، ليس بالضرورة أن توجد تعزيزات تفاضلية متدرجة للفئات المثلثية أو الدوال بينها، على سبيل المثال، يمكن إثبات أن فئة التماثل المستقرة لا تنشأ من فئة تفاضلية متدرجة بهذه الطريقة. ومع ذلك، توجد نتائج إيجابية مختلفة، على سبيل المثال، تقبل الفئة المشتقة D ( A ) لفئة غروتينديك الأبيلية A تعزيزًا تفاضليًا متدرجًا فريدًا.

• الجبر التفاضلي
• مُصنّف (رياضيات)
• الفئة المصنفة
• مشتق

• كيلر، بيرنهارد (1994)، “اشتقاق فئات المديرية العامة”، الحوليات العلمية للمدرسة العليا للأساتذة ، السلسلة 4، 27 (1): 63–102 ، دوى : 10.24033/asens.1689 ، ISSN 0012-9593 ، MR 1258406  

• dg-category في nLab