هيكل متدرج

في الرياضيات ، مصطلح " مصنف " له عدد من المعاني، معظمها مترابطة:

في الجبر المجرد ، يشير إلى مجموعة من المفاهيم:

• بنية جبرية${\displaystyle X}$يقال إنه${\displaystyle I}$- مصنف لمجموعة مؤشرات${\displaystyle I}$إذا كان له تدرج أو تصنيف ، أي تفكيك إلى مجموع مباشر${\textstyle X=\bigoplus _{i\in I}X_{i}}$من الهياكل؛ عناصر${\displaystyle X_{i}}$يقال إنها " متجانسة من الدرجة i " .
  • مجموعة الفهرس${\displaystyle I}$الأكثر شيوعاً${\displaystyle \mathbb {N} }$أو${\displaystyle \mathbb {Z} }$وقد يتطلب الأمر بنية إضافية حسب نوع${\displaystyle X}$.
  • التقييم بواسطة${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$(أي${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$) مهم أيضًا؛ انظر على سبيل المثال المجموعة الموقعة (الـ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$(مجموعات مصنفة).
  • التافه (​${\displaystyle \mathbb {Z} }$- أو${\displaystyle \mathbb {N} }$-) التدرج لديه${\displaystyle X_{0}=X,X_{i}=0}$ل${\displaystyle i\neq 0}$وبنية تافهة مناسبة${\displaystyle 0}$.
  • يقال إن البنية الجبرية متدرجة بشكل مزدوج إذا كانت مجموعة الفهرس عبارة عن ناتج مباشر للمجموعات؛ ويمكن تسمية الأزواج بـ " الدرجات الثنائية " (انظر على سبيل المثال التسلسل الطيفي ).
• أ${\displaystyle I}$- الفضاء المتجهي المتدرج أو الفضاء الخطي المتدرج هو بالتالي فضاء متجهي مع تفكيك إلى مجموع مباشر${\textstyle V=\bigoplus _{i\in I}V_{i}}$من المساحات.
  • الخريطة الخطية المتدرجة هي خريطة بين فضاءات متجهة متدرجة تحترم تدرجاتها.
• الحلقة المتدرجة هي حلقة تتكون من مجموع مباشر لمجموعات أبيلية جمعية${\displaystyle R_{i}}$بحيث${\displaystyle R_{i}R_{j}\subseteq R_{i+j}}$، مع${\displaystyle i}$مأخوذة من بعض المونويدات ، عادةً${\displaystyle \mathbb {N} }$أو${\displaystyle \mathbb {Z} }$أو شبه مجموعة (لحلقة بدون عنصر محايد ).
  • الحلقة المتدرجة المرتبطة بحلقة تبديلية${\displaystyle R}$فيما يتعلق بالمثال الصحيح${\displaystyle I}$يكون${\textstyle \operatorname {gr} _{I}R=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }I^{n}/I^{n+1}}$.
• الوحدة المتدرجة هي وحدة متبقية${\displaystyle M}$على حلقة متدرجة تمثل مجموعًا مباشرًا${\textstyle \bigoplus _{i\in I}M_{i}}$من الوحدات التي تستوفي${\displaystyle R_{i}M_{j}\subseteq M_{i+j}}$.
  • الوحدة الدراسية المُصنفة المرتبطة بـ${\displaystyle R}$-وحدة${\displaystyle M}$فيما يتعلق بالمثال الصحيح${\displaystyle I}$يكون${\textstyle \operatorname {gr} _{I} M=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }I^{n}M/I^{n+1}M}$.
  • وحدة دراسية متدرجة تفاضليًا ، متدرجة تفاضليًا${\displaystyle \mathbb {Z} }$-module أو DG-module هي وحدة دراسية مصنفة${\displaystyle M}$مع تفاضلي${\displaystyle d\colon M\to M\colon M_{i}\to M_{i+1}}$تحضير${\displaystyle M}$سلسلة معقدة ، أي${\displaystyle d\circ d=0}$.
• الجبر المتدرج هو نوع من أنواع الجبر${\displaystyle A}$فوق خاتم${\displaystyle R}$يُصنف ذلك على أنه خاتم؛ إذا${\displaystyle R}$يتم تقييمنا، ونحتاج أيضًا إلى ذلك.${\displaystyle A_{i}R_{j}\subseteq A_{i+j}\supseteq R_{i}A_{j}}$.
  • قاعدة لايبنتز المتدرجة للخريطة${\displaystyle d\colon A\to A}$في الجبر المتدرج${\displaystyle A}$يحدد ذلك${\displaystyle d(a\cdot b)=(da)\cdot b+(-1)^{|a|}a\cdot (db)}$.
  • الجبر التفاضلي المتدرج ، أو DG-algebra أو DGAlgebra، هو جبر متدرج عبارة عن وحدة تفاضلية متدرجة تخضع تفاضليتها لقاعدة لايبنيز المتدرجة.
  • الاشتقاق المتجانس على جبر متدرج A هو تطبيق خطي متجانس من الدرجة d = | D | على A بحيث${\displaystyle D(ab)=D(a)b+\varepsilon ^{|a||D|}aD(b),\varepsilon =\pm 1}$التأثير على العناصر المتجانسة من A.
  • الاشتقاق المتدرج هو مجموع اشتقاقات متجانسة لها نفس${\displaystyle \varepsilon }$.
  • DGA هو جبر DG معزز، أو جبر معزز متدرج تفاضلي ، (انظر الجبر المتدرج التفاضلي ).
  • الجبر الفائق هو${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$الجبر المتدرج.
    • الجبر الفائق ذو التبادل المتدرج يحقق قانون "التبديل الفائق".${\displaystyle yx=(-1)^{|x||y|}xy.}$بالنسبة لـ x و y المتجانسين ، حيث${\displaystyle |a|}$يمثل "التكافؤ" لـ${\displaystyle a}$، أي 0 أو 1 اعتمادًا على المكون الذي يقع فيه.
  • قد يشير مصطلح CDGA إلى فئة الجبر التفاضلي المتدرج المعزز التبادلي.
• الجبر اللي المتدرج هو جبر لي متدرج كفضاء متجهي بواسطة تدرج متوافق مع قوس لي الخاص به.
  • الجبر الفائق المتدرج لـ Lie هو جبر متدرج لـ Lie مع تخفيف شرط عدم التبادلية لقوس Lie الخاص به.
  • الجبر الفائق المتدرج من نوع لي هو جبر فائق متدرج من نوع لي مع إضافة فائقة${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$-تدرج.
  • الجبر التفاضلي المتدرج هو فضاء متجهي متدرج على حقل ذي خاصية صفرية بالإضافة إلى تطبيق ثنائي الخطية${\displaystyle [\ ,]\colon L_{i}\otimes L_{j}\to L_{i+j}}$وفرق${\displaystyle d\colon L_{i}\to L_{i-1}}$مُرضٍ${\displaystyle [x,y]=(-1)^{|x||y|+1[y,x],}$لأي عنصرين متجانسين x و y في L ، فإن " هوية جاكوبي المتدرجة " وقاعدة لايبنيز المتدرجة.
• مجموعة براور المتدرجة هي مرادف لمجموعة براور-وول${\displaystyle BW(F)}$تصنيف جبر القسمة المركزية المتدرجة ذات الأبعاد المحدودة على الحقل F.
• أن${\displaystyle {\mathcal {A}}}$- فئة مصنفة لفئة${\displaystyle {\mathcal {A}}}$هي فئة${\displaystyle {\mathcal {C}}}$بالإضافة إلى دالة${\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {A}}}$.
  • الفئة المتدرجة التفاضلية أو فئة DG هي فئة تشكل مجموعات التشكل الخاصة بها فئات متدرجة تفاضلية${\displaystyle \mathbb {Z} }$-الوحدات.
• المتشعب المتدرج – امتداد لمفهوم المتشعب يعتمد على أفكار مستمدة من التناظر الفائق والجبر التبادلي الفائق ، بما في ذلك أقسام حول
  • وظيفة متدرجة
  • حقول المتجهات المتدرجة
  • أشكال خارجية متدرجة
  • الهندسة التفاضلية المتدرجة
  • حساب التفاضل المتدرج

في مجالات أخرى من الرياضيات:

• تُستخدم العناصر المتدرجة وظيفيًا في تحليل العناصر المحدودة .
• الوضعية المتدرجة هي وضعية${\displaystyle P}$باستخدام دالة الترتيب${\displaystyle \rho \colon P\to \mathbb {N} }$متوافق مع الطلب (أي${\displaystyle \rho (x)<\rho (y)\يتضمن x<y}$) بحيث${\displaystyle y}$أغطية${\displaystyle x\implies \rho (y)=\rho (x)+1}$.