التوزيع على مجموعة جبرية خطية

ليكن k حقلاً مغلقاً جبرياً ، و G زمرة جبرية خطية (أي زمرة جبرية أفينية) فوق k . بحسب التعريف، فإن Lie( G ) هو جبر لي لجميع مشتقات k [ G ] التي تتبادل مع الفعل الأيسر لـ G. وكما هو الحال في زمرة لي، يمكن تعريفه بالفضاء المماسي لـ G عند عنصر الوحدة.

يوجد بناء عام لجبر هوبف كما يلي: ليكن A جبر هوبف. الفضاء الثنائي المنتهي لـ A هو فضاء الدوال الخطية على A التي تحتوي نواةُها على مثاليات يسارية ذات أبعاد مشتركة منتهية. وبشكل ملموس، يمكن اعتباره فضاء معاملات المصفوفات.

ليكن X = Spec A مخططًا خطيًا على حقل k، وليكن I _x نواة خريطة التقييد${\displaystyle A\to k(x)}$، حقل البقايا لـ x . بحسب التعريف، فإن التوزيع f المدعوم عند x '' هو دالة خطية من الرتبة k على A بحيث${\displaystyle f(I_{x}^{n})=0}$لبعض قيم n . (ملاحظة: يظل التعريف صالحًا إذا كانت k حلقة عشوائية.)

الآن، إذا كانت G زمرة جبرية على k ، فإننا نرمز بـ Dist( G ) إلى مجموعة جميع التوزيعات على G المدعومة عند العنصر المحايد (والتي تُسمى غالبًا ببساطة التوزيعات على G ). إذا كانت f و g تنتميان إلى هذه المجموعة، فإننا نُعرّف حاصل ضرب f و g ، بعد خصم f * g ، بأنه الدالة الخطية.

${\displaystyle k[G]{\overset {\Delta }{\to }}k[G]\otimes k[G]{\overset {f\otimes g}{\to }}k\otimes k=k}$

حيث Δ هو الضرب المشترك، أي التشاكل الناتج عن الضرب${\displaystyle G\times G\to G}$اتضح أن عملية الضرب تجميعية (استخدم${\displaystyle 1\otimes \Delta \circ \Delta =\Delta \otimes 1\circ \Delta }$وبالتالي فإن Dist( G ) عبارة عن جبر ترابطي، حيث أن المجموعة مغلقة تحت الضرب بالصيغة التالية:

(*)${\displaystyle \Delta (I_{1}^{n})\subset \sum _{r=0}^{n}I_{1}^{r}\otimes I_{1}^{nr}.}$

وهي أيضًا متطابقة مع الوحدة التي هي الدالة الخطية${\displaystyle k[G]\to k,\phi \mapsto \phi (1)}$، مقياس دلتا ديراك .

تقع جبر لي Lie( G ) داخل Dist( G ). في الواقع، بحسب التعريف، فإن Lie( G ) هو الفضاء المماسي لـ G عند عنصر الوحدة 1؛ أي الفضاء الثنائي لـ${\displaystyle I_{1}/I_{1}^{2}}$وبالتالي، فإن متجه المماس يُعادل دالة خطية على I1 ليس لها حد ثابت ، وتُبطل مربع I1 _، وتُشير الصيغة (*) إلى ذلك _.${\displaystyle [f,g]=f*gg*f}$لا يزال متجهًا مماسًا.

يترك${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}$لتكن جبر لي لـ G. إذن، بحسب الخاصية الشاملة، فإن الاحتواء${\displaystyle {\mathfrak {g}}\hookrightarrow \operatorname {Dist} (G)}$يُحفز التماثل الجبري:

${\displaystyle U({\mathfrak {g}})\to \operatorname {Dist} (G).}$

عندما يكون للحقل الأساسي k خاصية صفرية، فإن هذا التشاكل يكون تشاكلاً. ^{[ 1 ]}

• لأي مجموعتين جزئيتين مغلقتين H و K من G ، إذا كانت k مثالية و H غير قابلة للاختزال، فإن

${\displaystyle H\subset K\Leftrightarrow \operatorname {Dist} (H)\subset \operatorname {Dist} (K).}$

• إذا كان V وحدة نمطية G (أي تمثيلًا لـ G )، فإنه يقبل بنية طبيعية لوحدة نمطية Dist( G )، والتي بدورها تعطي بنية الوحدة النمطية على${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.
• أي فعل G على صنف جبري أفيني X يُنتج تمثيلًا لـ G على حلقة الإحداثيات k [ X ]. على وجه الخصوص، يُنتج فعل الاقتران لـ G فعل G على k [ G ]. يمكن إثبات أن I n1  مستقر تحت تأثير G ، وبالتالي فإن G يؤثر على ( k [ G ]/ I  n1 ) * ، ومن ثم على اتحاده Dist( G ) . يُسمى الفعل الناتج الفعل المرافق لـ G.